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2022-2023学年八年级数学下学期复习备考高分秘籍【人教版】
专题1.3勾股定理七大类型大题专练（分层培优42题）
类型一、勾股定理与折叠问题
1．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，已知长方形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC
边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点O，F，且OP=OF．
(1)求证：△BOP≌△EOF；
(2)求证：CP=BF；
(3)求DF的长．
2．（2023秋·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考期末）如图，△ABC中，AB>AC，AD AD是
BC边上的高，将△ADC沿AD所在的直线翻折，使点C C落在BC BC边上的点E E处．(1)若AB=20，AC=13，CD=5，求△ABC的面积：
(2)求证：AB2−AC2=BE⋅BC．
3．（2023秋·福建三明·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点E，F在边AB上，将边
AC沿CE翻折，使点A落在AB上的D点处，再将边CB沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处．
(1)求∠ECF的度数；
(2)若CE=4，B′F=1，求线段BC的长；
(3)在（2）的条件下，求△ABC的面积．
4．（2022秋·江西鹰潭·八年级校考期中）如图，△ABC的三边分别为AC=5，BC=12，AB=13，将
△ABC沿AD折叠，AC落在AB上．
(1)判断△ABC的形状，关说明理由；
(2)求折痕AD的长．
5．（2022秋·福建泉州·八年级校考阶段练习）如图，长方形ABCD中，AB=15cm，点E在AD上，且
AE=9cm，连结EC将长方形沿BE翻折，点A恰好落在EC上的点A′处，求A′C的长度．6．（2022春·福建龙岩·八年级校考阶段练习）如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形
纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8．在OC边上取一点D，
将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标．
类型二、勾股定理与面积问题
7．（2022秋·广东佛山·八年级统考期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法
可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通
过表示几何图形积的方法进行直观推导和解释．
(1)如图1，是一个重要的乘法公式的几何解释，请你写出这个公式______．
(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c，以Rt△ABC的三边长向外作正
方形的面积分别为S ，S ，S ，试猜想S ，S ，S 之间存在的等量关系为______．
1 2 3 1 2 3
(3)如图3，如果以Rt△ABC的三边长a，b，c为直径向外作半圆，那么第（2）问的结论是否成立？请说
明理由．8．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，
其中最大正方形的边长为7cm．
(1)求A，B，C，D四个正方形的面积之和．
(2)若其中每个直角三角形的最短边与最长边的长度之比都为3：5，求正方形A，B，C，D的面积．
9．（2022秋·广东茂名·八年级信宜市第二中学校考期中）如图，学校操场边有一块四边形空地ABCD，
其中AB⊥AC，AB=8m，BC=17m，CD=9m，AD=12m．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校
计划将这块四边形空地进行绿化整理．
(1)求AC的长；
(2)请说明△ACD是直角三角形；
(3)求需要绿化的空地ABCD的面积．
10．（2021秋·山西晋中·八年级校考阶段练习）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称
之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学
家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①请叙述勾股定理；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请利用图二证明该定理；
S =_____，还可以表示为_____，
大正方形所以可得到_______=______，
化简后最终得到____．
(2)如图4，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则S ，S ，S 满足的关系是______．
1 2 3
(3)如图5，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月
形图案（阴影部分）的面积为______．
11．（2022秋·八年级单元测试）如图，分别以等腰Rt△ACD的边AD，AC，CD为直径画半圆，所得的
两个月形图案AGCE与DHCF（即阴影部分）的面积分别记为S 、S ，△ACD的面积记为S．
1 2
(1)求证：S=S +S 的值．
1 2
(2)当AD=6cm时，求S的值．
12．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知 ABC中，∠ACB＝90°，如图，作三个等腰直角三角形
ACD， EAB， FCB，AB，AC，BC为斜△边，阴影部分的面积分别记为S，S，S，S．
1 2 3 4
△ △ △
(1)当AC＝6，BC＝8时，
①求S 的值；
1
②求S﹣S﹣S 的值；
4 2 3
(2)请写出S，S，S，S 之间的数量关系，并说明理由．
1 2 3 4
类型三、勾股数（树）
13．（2022·八年级单元测试）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
(1)观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．1 1 1
事实上，勾是三时，股和弦的算式分别是 （9﹣1）， （9＋1）；勾是五时，股和弦的算式分别是 （25
2 2 2
1
﹣1）， （25＋1）．根据你发现的规律，分别写出勾是七时，股和弦的算式；
2
(2)根据（1）的规律，请用含n（n为奇数，且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情
猜想它们之间的相等关系（请写出两种），并对其中一种猜想加以证明；
(3)继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间
断过．运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数，且m＞4）的代数式来表示股和弦．
14．（2022秋·山西晋中·八年级校考阶段练习）阅读下列材料，完成文后任务：
清朝皇帝康熙的数学专著中，有一文《积求勾股法》中记载了三边长为3，4，5的整数倍的三角形，如果
已知面积，求三边长的方法，把这种方法翻译成我们今天的数学语言是：如果三角形的三边长分别是3，
S
4，5的整数倍，设它的面积为S，则第一步：求 ，设等于m；第二步：求√m，设等于k；第三步：分别
6
用3，4，5乘以k得三边长分别为3k，4k，5k．
任务：
(1)求当面积为96时，用康熙的“积求勾股法”求三角形的三边长．
(2)你能证明康熙这种“积求勾股法”的正确性吗？请写出你的理由．
15．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）同学们都知道，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正
整数， 称之为“勾股数”． 比如 3 ，4 ，5 或 11 ，60 ，61 等．
(1)请你写出另外两组勾股数：6，______，______；7 ，______，______；
(2)清朝的扬州籍数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下：
k2−1 k2+1
（I）如果k是大于1的奇数，那么k， ， 是一组勾股数
2 2
(k) 2 (k) 2
（Ⅱ）如果k是大于2的偶数，那么k， −1， +1是一组勾股数
2 2
①如果在一组勾股数中，其中有一个数为 12，根据法则（I）求出另外两个数；
②请你任选其中一个法则证明它的正确性．16．（2018秋·四川成都·八年级成都市青羊实验中学校考阶段练习）细心观察图形，认真分析各式，然后
解答问题：
1 √2 √3
12+1＝2，S
1
＝ ，(√2) 2+1＝3，S
2
＝ ，(√3) 2+1＝4，S
3
＝
2 2 2
（1）请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律．
（2）推算出OA 的长．
10
（3）求出S2+S 2+S 2+…+S 2的值．
1 2 3 100
17．（2022春·甘肃武威·八年级校考期中）如图，Rt OAA 中，过A 作AA⊥OA，以此类推．且OA＝
1 2 2 2 3 2 1
AA＝AA＝AA…＝1，记 OAA 的面积为S， O△AA 面积为S， OAA 面积为S，…，细心观察图，
1 2 2 3 3 4 1 2 1 2 3 2 3 4 3
认真分析各题，然后解答问△题： △ △
√1
①（√1）2+1＝2，S＝ ；
1
2
√2
②（√2）2+1＝3，S＝ ；
2
2
√3
③（√3）2+1＝4，S＝
3
2
…
（1）请写出第n个等式；
（2）根据式子规律，线段OA 等于多少；
10
（3）求出S2+S2+S2+…+S 2的值．
1 2 3 10
18．（2022春·山东德州·八年级校考期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为
毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵
爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)①请叙述勾股定理．
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定
理．（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
(2)①如图4，5，6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个
图形中面积关系满足S +S =S 的有___________个．
1 2 3
②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分
别为S ，S ，直角三角形面积为S ，请写出S ，S ，S 的数量关系：___________．
1 2 3 1 2 3
(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这
一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M
的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则a2+b2+c2+d2=___________．
类型四、利用勾股定理解方程
19．（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）如图，连接四边形ABCD的对角线AC，已知∠B=90°，
BC=3，AB=4，CD=5，AD=5√2．求证：△ACD是直角三角形．20．（2022秋·江西萍乡·八年级统考期中）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作
AB⊥BD,ED⊥BD，连接AC,EC．已知AB=2,DE=1,BD=4，设CD=x．
(1)用含x的代数式表示AC+CE的值；
(2)探究：当点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？最小值是多少？
21．（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，△ABC和△EFC为等腰直角三角形，
∠ACB=∠ECF=90°，已知点E在AB上，连纳BF．
(1)求证：△AEC≌△BFC．
(2)苦AE=1,∠AEC=105∘，求BE的长．
22．（2022秋·福建福州·九年级校考期中）如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边
三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE．
(1)求证：AE=BD；
(2)若∠ADC=30°，AD=4，CD=6，求BD的长．23．（2022秋·辽宁盘锦·九年级校考期中）如图，将正方形ABCD中的△ABP绕点B顺时针旋转到
△CBP′的位置，且BP=2，AP=1．
(1)求PP′的长；
(2)连接CP，若CP=3，求∠APB的度数．
24．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图1，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上
（不与点B，C重合）．
(1)若△ADC是直角三角形．
①当AD⊥BC时，求AD的长；
②当AD⊥AC时，求CD的长．
(2)如图2，点E在AB上（不与点A，B重合），且∠ADE=∠B，若△ADE是直角三角形，求CD的长．
类型五、勾股定理逆定理及应用
25．（2022秋·甘肃酒泉·八年级统考期中）金塔县绿化环卫部门为美化环境，要在如图所示的一块四边形
ABCD空地种植草皮，工人师傅量得AB=3m，BC=4m，AC=5m，CD=12m，AD=13m，若每平方
米草皮需要300元，则需要投资多少元？
26．（2020秋·江苏南京·八年级校考期中）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，AC=8，BC=6，18
DB= ．
5
(1)求AD的长．
(2)△ABC是直角三角形吗？请说明理由．
27．（2022春·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，每个小正方形的边长都为1．
(1)四边形ABCD的周长=________；
(2)四边形ABCD的面积=________；
(3)∠ABC是直角吗？判断并说明理由．
28．（2021春·河南新乡·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在第一象限，过点
C作x轴的垂线，垂足为B，已知点C的坐标为 ， 长为2．
(3，√3) AC
(1)求AB的长．
(2)请你判断△OAC的形状，并说明理由．
29．（2022秋·河南平顶山·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=2√5，
BC=√5，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．30．（2022秋·辽宁丹东·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=n2+1，BC=n2−1，AC=2n.
(1)试判断△ABC的形状，并证明：
(2)当n=2时，点D从A出发，以1个单位/秒的速度沿折线A→B→C→A运动，设运动时间为t秒，
①当BD平分∠ABC时，求t的值：
②当点D落在边AB的垂直平分线上时，求t的值；
③在整个运动过程中，直接写出△BCD为等腰三角形时t的值.
类型六、勾股定理的证明
31．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）在一次数学实践活动中，小明同学把四个全等的直角三角形和
一个小正方形拼成的大正方形，如图所示．设直角三角形较长的直角边长为b，较短的直角边长为a，大正
方形边长为c．请你直接写出a，b，c之间的关系；并说明理由．
32．（2022秋·河南平顶山·八年级统考期中）在学习勾股定理时，我们学会运用图(I)验证它的正确性：图
中大正方形的面积可表示为：(a+b) 2，也可表示为：c2+4⋅ (1 ab ) ，即(a+b) 2=c2+4 (1 ab ) 由此推出
2 2
勾股定理a2+b2=c2，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证
明”．(1)请你用图(Ⅱ)(2002年国际数字家大会会标)的面积表达式验证勾股定理(其中四个直角三角形全等)；
(2)请你用(Ⅲ)提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证
(x+ y) 2=x2+2xy+ y2
33．（2022秋·陕西西安·八年级统考期中）如图，将两个全等的直角三角形按照如下的位置摆放，使点
A，E，D在同一条直线上，∠A=∠D=90°，AE=CD=a，AB=ED=b，BE=CE=c．
(1)填空：∠BEC=______°，根据三角形面积公式，可得△BEC的面积=______；根据割补法，由梯形的
面积减去阴影部分的面积，可得△BEC的面积=______．
(2)求证：a2+b2=c2．
34．（2022秋·福建宁德·八年级统考期中）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三
角形（如图1）与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图2）．
(1)利用图2正方形面积的等量关系得出直角三角形勾股的定理，该定理的结论用字母表示： ；
(2)用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，满足AE=BC=a，DE=AC=b，AD=AB=c，
∠AED=∠ACB=90°，求证（1）中的定理结论；
(3)如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE=m，HG=n，求正方形BDFA的面积．（用m，n
表示）35．（2022秋·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）公股定理神奇而美丽，它的证法多种多样，在学
习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图拼图：两个全等的直角三角板 ABC和直角
三角板DEF ，顶点F在BC边止，项点C、D重合，连接AE 、EB．设AB、DE交于点G．
∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=a ，AC=DF=b （a>b ），AB=DE=c． 请你回答以下问题：
(1)请猜想AB与DE的位置关系，并加以证明．
(2)填空：S =___________（用含有c的代数式表示）
四边形ADBE
(3)请尝试利用此图形证明勾股定理．
36．（2022秋·山西运城·八年级统考期中）综合与实践
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三
角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四
1 1
个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 ab×4+(b−a) 2，从而得到等式c2= ab×4+(b−a) 2，
2 2
化简便得结论a2+b2=c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双
求法”．
【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．
向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形△ABC和△DEA如图2放置，其三
边长分别为a，b，c，∠BAC=∠DEA=90°，显然BC⊥AD．
(1)请用a，b，c分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面积，再探究这三个图形面积之间的
关系，证明勾股定理a2+b2=c2．(2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶
点，可得△ABC，则AB边上的高为______．
(3)如图4，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4，AC=5，BC=6，设BD=x，求x的值．
类型七、勾股定理与弦图问题
37．（2022秋·江西抚州·八年级统考期中）我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长
度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列
两个问题：
(1)如图①是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理；
(2)如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD是AB边上的高，AC=4，BC=3，求CD的长度；
(3)如图①，若大正方形的面积是 ，小正方形的面积是 ，求 的值．
13 1 (a+b) 2
38．（2023秋·江苏南京·八年级统考期中）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c．
将Rt△ABC绕点O依次旋转90°、180°和270°，构成的图形如图1所示．该图是我国古代数学家赵爽制
作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在
北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．
(1)请利用这个图形证明勾股定理；
(2)图2所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个Rt△ABC绕中心点O顺时针连续旋转3次，每次旋转90°得到的，如果中间小正方形的面积为1cm2，这个图形的总面积为113cm2，AD=2cm，
则徽标的外围周长为________cm．
39．（2022秋·江苏·八年级统考期中）我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1
的“弦图”（史称“赵爽弦图”） ．
(1)弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长
为c，结合图1，试验证勾股定理；
(2)如图2，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外围轮廊（粗线）的周长为
24，OC=3，求该“勾股风车”图案的面积；
(3)如图3，将八个全等的直角三角形（外围四个和内部四个）紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形
EFGH，正方形MNKT的面积分别为S 、S 、S ，若S +2S +S =20，则S = ．
1 2 3 1 2 3 2
40．（2022春·广西河池·八年级统考期中）我国三国时期数学家赵爽在《周髀算经》中利用了“弦图”．
如图，由4个全等的直角三角形(Rt ΔAFB≅Rt ΔBGC ≅Rt ΔCHD≅Rt ΔDEA)和与一个小正方形
EFGH恰好拼成一个大正方形ABCD，每个直角三角形的两条直角边分别为a，b(a
