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考点 8-1 直线与圆
1．（2020·山东·高考真题）已知直线 的图像如图所示，则角 是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】D
【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出 、 ，即可得出结果.
【详解】结合图像易知， ， ，
则角 是第四象限角，
故选：D.
2．（2020·山东·高考真题）已知圆心为 的圆与 轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】圆的圆心为 ，半径为 ，得到圆方程.
【详解】根据题意知圆心为 ，半径为 ，故圆方程为： .
故选：B.
3．（2021·河南·高三开学考试（文））已知直线 与圆心为 的圆： 交于 、 两点，则
在圆 中任取一点，该点取自 中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据直线 与圆心为 的圆： 交于 、 两点，可得 ，进而可得
三角形的面积和圆的面积，利用几何概型的公式，可得答案.
【详解】根据题意，易知 ，则 ，圆的面积 ，所以圆 内任取一点，该点落在 中的概率为 .
故选：C.
4.（2019·全国·专题练习）若⊙ 与⊙ 相交于A、B两点，且两圆
在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是_________．
【答案】4
【详解】依题意得OO ＝ ＝5，且△OO A是直角三角形，S△OO A＝ · ·OO ＝ ·OA·AO ，
1 1 1 1 1
因此AB＝ ＝4.
5．（2022·全国·高考真题）设点 ，若直线 关于 对称的直线与圆
有公共点，则a的取值范围是________．
【答案】
【分析】首先求出点 关于 对称点 的坐标，即可得到直线 的方程，根据圆心到直线的距离小于等
于半径得到不等式，解得即可；
【详解】解： 关于 对称的点的坐标为 ， 在直线 上，
所以 所在直线即为直线 ，所以直线 为 ，即 ；
圆 ，圆心 ，半径 ，
依题意圆心到直线 的距离 ，
即 ，解得 ，即 ；
故答案为：6.（2022·江苏·盐城中学模拟预测）直线 的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将直线的一般方程转化为直线的斜截式方程，根据 的范围求出 的范围，进而求出 范
围即可求解.
【详解】当 时，直线 的斜率为 ，
因为 ，所以 时， 或 ，
由 得 ，
当 即 时，直线 的斜率为 .
因为 ，所以 或 ，即 或 .
所以直线 的斜率的取值范围为 .
综上所述，直线 的斜率的取值范围为 .
故选：A.
7．（2021·吉林油田高级中学高三开学考试）已知圆 的方程为 ，过点 的直线
与圆 交于 ， 两点，则弦 的最小值为（ ）
A． B．10 C． D．5
【答案】A
【分析】确定圆的圆心和半径，确定当 时， 最短，根据圆心距和圆的半径以及弦长的关系，
即可求得答案.
【详解】圆 的方程可化为 ，则 ，
因为 ，
故点 在圆内，
过点 的最长弦一定是圆 的直径，当 时， 最短，
此时 ，
则 ，故选：A．
8．（2022·重庆一中高三模拟）若方程 有两个不等的实根，则实数b的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将 化为 ，作出直线与半圆的图形，利用两个图形有
个公共点，求出切线的斜率，观察图形可得解.
【详解】解：由 得 ，
所以直线 与半圆 有 个公共点，
作出直线与半圆的图形，如图：
当直线经 过点 时， ，
当直线与圆 相切时， ，解得 或 （舍），
由图可知，当直线 与曲线 有 个公共点时， ，
故选：B.
9.（2022·全国·高三练习）已知点 是函数 的图象上的动点，则 的最小值为
__________.
【答案】20
【分析】整理 可得为半圆，再将 转化为 到直线 的距离的5
倍，进而根据 到直线 的距离的最小值求解即可.
【详解】由 整理得 ，
可知其图象是半圆，圆心为 ，半径为 .又 ，其几何意义为点 到直线 距离的5倍，
故分析点 到直线 距离的最小值即可.
如图，作直线 ，点C到直线 的距离 ，
所以 到直线 的距离的最小值为 ，即 的最小值为4，
所以 的最小值为 .
故答案为：20
10．（2022·全国·高三专题练习）过直线 上动点P作圆 的一条切线，切
点为A，若使得 的点P有两个，则实数m的取值范围为___________．
【答案】
【分析】将使得 的点P有两个，转换为圆心 到直线 的距离的不等关系式求解即可
【详解】由题，使得 的点P有两个，即使得 的点P有两个，即圆心到直线的距
离小于半径.又圆心 到直线 的距离 ，故 ，即 ，
即
故答案为：11.（2021·全国·高三专题练习）曲线 与过原点的直线 没有交点，则 的倾斜角 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出曲线 的图形，得出各射线所在直线的倾斜角，观察直线 在绕着原点旋转时，直
线 与曲线 没有交点时，直线 的倾斜角 的变化，由此得出 的取值范围.
【详解】当 ， 时，由 得 ，该射线所在直线的倾斜角为 ；
当 ， 时，由 得 ，该射线所在直线的倾斜角为 ；
当 ， 时，由 得 ，该射线所在直线的倾斜角为 ；
当 ， 时，由 得 ，该射线所在直线的倾斜角为 .
作出曲线 的图象如下图所示：
由图象可知，要使得过原点的直线 与曲线 没有交点，则直线 的倾斜角 的取值范围是 ，故选A.
12．（2022·甘肃白银·三模（文））在平面直角坐标系 中，圆 ，若曲线 上存
在四个点 ，过动点 作圆 的两条切线， ， 为切点，满足 ，则 的取值范围
是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】通过圆外一点圆的切线的性质，根据关系 ，求出满足条件的点 的轨迹方程，分情况
讨论此轨迹方程与曲线y=k|x−1|+2有四个交点，即满足题意．
【详解】设 ， ，则 ，
整理得， ，解得 （舍去）或 ，
所以点P的轨迹方程为 ，
若直线 与 相切时， ，解得 或 ，
当曲线 与圆 有四个交点时，对应的 满足题意，
当 时，如图所示，二者一个交点，存在一个点 ，不符合题意，
当 时，如下图所示，此时二者有三个交点，存在三个点 ，不符合题意，当 时，如图所示，二者有两个交点，存在两个点 ，不符合题意，
当 时，如图所示，二者没有交点，不存在点 满足题意，
当 时，二者有四个交点，存在四个点 ，满足题意，综上， ．
故选：B．
【点睛】本题综合考查了直线与圆的位置关系，通过向量数量积求动点的轨迹方程，以及在不同的情况下，
折线函数与圆的交点个数问题，对数形结合、曲线作图要求很高，难度很大．
13．（2021·四川省绵阳南山中学高三阶段练习（文））已知圆C:x2＋(y－3)2＝2，点A是x轴上的一个动
点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ的取值范围是
A．[ ， ) B．[ ， ) C．[ ， ] D．[ ， ]
【答案】B
【分析】根据点A在原点及在x轴极限远的特殊位置，求得PQ的取值范围．
【详解】当A在坐标原点时，sin∠POC=
∴由 可得cos∠POC=
∴sin∠POQ=sin2∠POC=2sin∠POC cos∠POC=
即∴sin∠PCQ=
∴cos∠PCQ=
此时
当点A在x轴上无限远时，PQ值接近直径
所以PQ的取值范围为[ ， )
所以选B
【点睛】本题考查了直线与圆位置关系的综合应用，结合余弦定理求得最值，注意极限位置的用法，属于
难题．
14．（2021·全国·高三专题练习）已知点P （0，2），圆O∶x2 +y2=16上两点 ， 满足
，则 的最小值为___________.
【答案】48
【分析】将原式化为 ，而 分别表示到直线 的距离，取 的中点 ，设 在直线 的射影为 ，则原式=
，根据圆的性质可以知道 在以 为直径的圆 上，其中 ，进一步即可得到答案.
【详解】由题意， 三点共线，设 为 的中点， 在直线 的射影分别为
，点O到直线 的距离 ，
∴ 与圆 相离 ，如图：
而
，
易得 ，即 ，∴ 在以 为直径的圆 上，其中 .
∵ ，当 共线，且 在 之间时取“=”.
∴ 的最小值为 .
故答案为：48.
【点睛】本题突破口有两点，一是将原式转化为距离的问题，这需要我们对距离公式非常熟悉；二是取
的中点 ，这就需要对圆的性质要敏感，提到弦立马要想到弦心距，进而问题才能得解.
15．（2021·北京·北理工附中高三阶段练习）已知圆 ，直线 ，点
，点 .给出下列4个结论：
①当 时，直线 与圆 相离；
②若直线 是圆 的一条对称轴，则 ；
③若直线 上存在点 ，圆 上存在点 ，使得 ，则 的最大值为 ；
④ 为圆 上的一动点，若 ，则 的最大值为 .
其中所有正确结论的序号是__________.
【答案】①②④【解析】对于①： ， ，圆心 ，半径 ，直线 与圆 相离；对于②：若直线 圆 的一
条对称轴，则直线过圆的圆心，即可得到；对于③：由垂径定理， ，设 .得到
，但两处等号无法同时取到，矛盾；对于④： 为圆 上的一个动点.若 ，设
，利用参数方程解决即可.
【详解】对于①：当 时，直线 ，圆心 ，半径 ，直线 与圆 相离，故表述①正确；
对于②：若直线 圆 的一条对称轴，则直线过圆的圆心，故 ，故表述②正确；
本题的难点主要聚焦于③、④，如图所示：
设 的中点为 ，以 为直径作圆 ，连接 ．则
对于③：由垂径定理， ，设 .
一方面，若 ，则 .
当且仅当 ，且 三点共线时，等号成立，此时直线 的斜率为 .
另一方面，当 时，直线 .
故点 到直线 的距离 .此时 .
当且仅当 为点 在直线 上的射影时等号成立，此时直线 的斜率为 .
对比发现， ，但两处等号无法同时取到，矛盾.故表述③错误.
对于④： 为圆 上的一个动点.若 ，设 ，
则 .注意到 ，
故
当且仅当 且点 在点 正上方时，等号成立.故表述④正确.
故答案为：①②④.
