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专题 21.5 矩形的判定
教学目标 1. 掌握矩形的判定方法，能够在题目中选择合适方法判定矩形。
1. 重点
（1）矩形的判定。
教学重难点 2. 难点
（1）熟练的选择合适的判定方法判定矩形；
（2）能够结合矩形的判定与性质，熟练的解决相应的题目。知识点01 矩形的判定
1. 矩形的判定方法：
判定方法 文字语言 数学语言 图形
∵∠ABC=∠BCD=∠CDA
四个角（三个角）都是
直接判定 =∠ADC=
的四边形是矩形
∴四边形ABCD是矩形
∵ 在 ▱ ABCD 中 ，
有一个角是 的平行四边
∠ABC=90°
平行四边形 形是矩形
∴四边形ABCD是矩形
加特殊性
对角线 的平行四边形是 ∵在 ▱ABCD中，AD=BC
矩形 ∴四边形ABCD是矩形
【即学即练1】
1．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列哪个条件能够使得 ABCD是矩形（ ）
▱ ▱
A．AB＝AD B．∠ABC＝∠BCD C．∠ABD＝∠CBD D．AO⊥BO
【即学即练2】
2．如图，在 ABCD中，添加下列条件后，仍不能使它成为矩形的是（ ）
▱
A．AB⊥BC B．AC＝BD C．∠B＝∠C D．BC＝CD
【即学即练3】
3．如图，已知 ABCD，过点D作DE⊥BC交CB的延长线于点E，过点C作CF∥DE交AD的延长线于
点F．求证：四边形DECF是矩形．
▱
【即学即练4】
4．如图，AC是菱形ABCD的一条对角线，延长AD，CD，分别至点E和点F，且使DE＝AD，DF＝CD，
连接AF，FE，EC．求证：四边形ACEF是矩形．【即学即练5】
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点O是斜边AC的中点，过点O作OE⊥AC，交AB于点E，过点A
作AD∥BC，与BO的延长线交于点D，连接CD、DE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若BC＝6，∠BAC＝30°，求DE的长．
题型01 熟悉矩形的判定条件
【典例1】要检测一个四边形是不是矩形，下列方案可行的是（ ）
A．任选三个角并测量角度
B．测量对角线长度
C．测量四条边的长度
D．测量两条对角线是否垂直
【变式1】在下列条件中，能够判定 ABCD是矩形的是（ ）
A．AC＝BD B．AD＝BC C．AC⊥BD D．AB∥CD
▱
【变式2】如图，四边形ABCD中，AC和BD是对角线，依据图中所标的角度及线段长度，下列四边形不
一定为矩形的是（ ）A． B．
C． D．
题型02 添加矩形的判定条件
【典例1】要使如图所示的 ABCD成为矩形，需增加的一个条件可以是（ ）
▱
A．AC＝BD B．AB＝CD C．AB∥CD D．∠ABC＝∠ADC
【变式1】四边形ABCD对角线互相平分，要使它成为矩形，需添加条件（ ）
A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD
【变式2】如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个
条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ）
A．AB＝BE B．CE⊥DE C．∠ADB＝90° D．BE⊥AB
题型03 矩形的判定证明
【典例1】如图，在平行四边形ABCD中，延长BC至点F，延长CB至点E，且BE＝CF，DE＝AF．求证：
平行四边形ABCD是矩形．
【变式1】已知：如图，在 ABCD中，M是AD边的中点，且MB＝MC．求证：四边形ABCD是矩形．
▱【变式2】如图，已知 ABCD，延长AB到E，使BE＝AB，连接BD，ED，EC，若ED＝AD．求证：四
边形BECD是矩形．
▱
【变式3】如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且OB＝2OC，点E、F分别为线段OB、
OD的中点，连接AE、EC、CF、FA，求证：四边形AECF是矩形．
▱
题型04 矩形的判定与性质
【典例1】如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC交BC边于点E，点F在边AD上，且DF＝
BE．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）若BF平分∠ABC，且BE＝3，AB＝7，求线段BF的长．【变式1】如图，点E是 ABCD对角线AC上的点（不与A，C重合），连接BE，过点E作EF⊥BE交
CD于点F．连接BF交AC于点G，BE＝AD，∠FEC＝∠FCE．
▱
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若点E为AC的中点，请直接写出图中和∠EBA相等的角．
【变式2】如图，在 ABCD中，点O为边AD的中点，连接BO并延长交CD的延长线于点E，连接AE，
BD，∠BDC＝90°．
▱
（1）求证：四边形ABDE是矩形；
（2）连接OC．若AB=2，BD=2❑√5，求OC的长．【变式3】如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为OB延长线上一点，且BE＝OB，F为
OD延长线上一点，且DF＝OD，连接AE，EC，CF，FA．
▱
（1）当OA＝2BO时，求证：四边形AECF是矩形；
5
（2）当AO⊥OE，AO= ，EO＝6时，求四边形AECF的周长．
2
1．要用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架
的两对角线长就可以判断，其推理依据（ ）
A．矩形的对角线相等
B．矩形的四个角都是直角
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
2．在 ABCD中，添加下列一个条件，不能判定该四边形为矩形的是（ ）
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．BC⊥CD D．AC＝BD
▱3．活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测
量方案正确的是（ ）
A．测量是否有三个角是直角
B．测量对角线是否相等
C．测量两组对边是否分别相等
D．测量对角线是否互相垂直
4．依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．在下列条件中，能够判定四
边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AB＝AC B．AB＝AD C．OA＝OB D．AC⊥BD
6．以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90° B．OA＝OB＝OC＝OD
C．AB＝CD，AB∥CD，AC＝BD D．AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD
7．如图，在四边形AOCB中，OA⊥OC，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝3，OC＝12，则四边形AOCB的面积
是（ ）
45❑√3
A． B．45❑√3 C．90❑√3 D．100
2
8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠B＝60°，BC＝2AD＝10，点E，F分别是AB，BC的
中点，连接EF，DE，则线段DE的长是（ ）
A．5❑√3 B．4❑√3 C．2❑√5 D．8
9．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的动点且EF＝CD，O为EF的中点，OQ⊥AD于点
Q，OP⊥AB于点P，连接PQ．若AB＝4，AD＝6，则PQ的最小值为（ ）A．❑√13 B．3❑√5−3 C．5 D．2❑√13−2
10．已知平面直角坐标系中，有两点A（a，0），B（0，b），且满足b=❑√a−3+❑√3−a+4，P为AB上一
动点（不与 A，B重合），PE⊥x轴，PF⊥y轴，垂足分别为 E，F，连接 EF，则 EF的最小值为
（ ）
12
A． B．3 C．4 D．5
5
11．如图，在平行四边形ABCD中，增加一个条件后，平行四边形ABCD就成为矩形，这个条件可以是
．
1
12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC，过点A作AE∥BC，且AE= BC，连接
2
CE，则四边形ADCE的面积是 ．
13．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于
F，M为EF的中点，则PM的最小值为 ．
14．如图，在矩形 ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形
ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快 s后，四边形ABPQ成为矩
形．15．如图，△ABC中∠B=45°，AB=2❑√6，DE是△ABC的中位线，点P为射线ED上的一个动点（不
与点E重合），作PF∥AC交BC边于点F，连结AP，EF．若在ED延长线上（可以与点D重合）存在
一点P，使得四边形AEFP为矩形，则∠ACB度数的取值范围为 ．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，点E为AD中点，过点A作AF∥BC，交BE的
延长线于点F，连接CF．
求证：四边形ADCF为矩形．
17．如图，四边形ABCD是平行四边形，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且
AE＝CF．
（1）求证：△AGE≌△CHF；
（2）若EF＝AD，求证：四边形EGFH是矩形．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是AB，BC的中点．延长ED至点F，使得DF＝ED，连
接AE，AF，BF．
（1）求证：四边形AEBF是矩形．
（2）若AB平分∠FAC，AF＝1，求四边形ACEF的面积．
19．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，
OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．20．活动课上，老师给同学们发了一张平行四边形 ABCD的纸片（BD＞AC），要求利用尺规作图，在
BC、AD上各找一点E、F，使四边形AECF为矩形．
（1）某数学小组想出以下两种方法，请选择其中一种作法，证明其正确性．
思路一 思路二
作图步 过点 A作AE⊥BC 于点 E，在 AD上作 AF＝ 连接 AC、BD交于点 O，以点 O为圆心，以
骤 CE．则四边形AECF即为所求． OA为半径画弧，分别交BC、AD边于点E、
F．则四边形AECF为所求．
作图痕
迹
我选择思路 ，理由如下：
（2）数学小组将作出的矩形AECF纸片，剪下来，提出了一个新问题：
如图3，点O是矩形AECF对角线AC、EF的交点，过点O作GH⊥EF分别交AF、EC于点G、H，连
接GE、FH，若AE＝6，AF＝8，求四边形GEHF的周长．
