文档内容
第 05 讲 位似（3 个知识点+3 种题型+分层练习）
知识导图
知识清单
知识点1．几何变换的类型
（1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）
且相等． （2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于
对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分． （3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，
对应直线的夹角等于旋转角． （4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一
条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位
似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与
它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆
相切时切点为位似中心．
知识点2．位似变换
（1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形
叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．（2）位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比
等于k或﹣k．
知识点3．作图-位似变换
（1）画位似图形的一般步骤为：
①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作
的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩
小．
（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或
在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的
位似图形的结果是不唯一的．
题型强化
题型一．几何变换的类型
1．（2024•望花区三模）如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺之间的变换是
A．轴对称变换 B．平移变换 C．相似变换 D．旋转变换
2．（2020•东西湖区校级自主招生）在平面直角坐标系中，点 经过某种变换后得到点
，我们把点 叫做点 的终结点．已知点 的终结点为 ，点 的终结
点为 ，点 的终结点为 ，这样依次得到 ， ， ， ， ， ．若点 的坐标为 ，则点的坐标为 ．
3．（2022•龙岗区一模）如图，以锐角△ 的边 、 为边向外作正方形 和正方形 ，
连接 、 ．
（1）求证：△ △ ；
（2）图中△ 可以通过一次变换得到△ ，请你说出变换过程．
题型二．位似变换
4．（2023秋•长治期末）如图，△ 与△ 是位似图形，位似中心为点 ．若 ，△
的面积为2，则△ 的面积为A．6 B．8 C．18 D．32
5．（2024•市中区三模）如图，已知矩形 与矩形 是位似图形， 是位似中心，若点 的坐标
为 ，点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ．
6．（2023•浠水县校级一模）如图， 和 与 轴垂直， 点的坐标是 ，△ 和△ 是
位似三角形，且位似比是 ，点 是 的中心，反比例函数 的图象经过点 ，与 交于
点 ．
（1）求点 坐标；
（2）连接 、 ，求四点边形 的面积．题型三．作图-位似变换
7．（2022•龙岗区校级模拟）如图，已知反比例函数 图象上一点 ，以原点为位似中心得到
第四象限的点 ，位似比为 ，过点 作 轴于点 ，连接 ，则 的面积为
A．6 B．8 C．10 D．12
8．（2023•佳木斯二模）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，以点
为位似中心，在点 的异侧作 的位似图形△ ，使 与△ 的相似比为 ；再以点
为位似中心，在点 的异侧作△ 的位似图形△ ，使△ 与△ 的相似比为 以
此类推，则点 的坐标为 ．9．（2024•亳州二模）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 ， ，
．
（1）画出 关于 轴对称的图形△ ，并直接写出 点坐标；
（2）以原点 为位似中心，位似比为 ，在 轴的左侧，画出 放大后的图形△ ，并直接
写出 点坐标；
（3）如果点 在线段 上，请直接写出经过（2）的变化后 的对应点 的坐标．
分层练习
一、单选题
1．如图，四边形 与四边形 是位似图形，则位似中心是（ ）A．点 B．点 C．点 D．点
2．如图，若 与 是位似图形，则位似中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，原点在网格格点上的平面直角坐标系中，两个三角形（顶点均在网格的格点上）是以点 为位
似中心的位似图形，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．4．如图，在平面直角坐标系中， 与 位似，位似中心是原点 ，若 与 的相似比
为3，已知 ，则它的对应点 的坐标是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
5．如图， ，点 ， 在第一象限，点 的坐标为 ，以点 为位似中心，在 轴的下方作
的位似图形 ，使 与 的相似比为 ，若点 的横坐标为 ，则点 的横坐标为
（ ）
A． B． C． D．
6．如图，三个正六边形全等，其中成位似图形关系的有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
7．如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，已知DF＝4，则AC的长为（ ）A． B． C． D．
8．如图，ΔABC在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，如果以点 为位似中心，在平面直角坐标系
内画出 使得 与ΔABC位似，且相似比为 ，则点 的坐标为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
9．如图， 和 是以点 为位似中心的位似图形，点 在线段 上．若 ，则
和 的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中， ABC位于第二象限，点A的坐标是 ，先将 ABC绕点 顺
△ △
时针旋转90度得到 ，再以原点为位似中心作 的位似图形 ，若 与
的相似比为1∶2，则点A的对应点 的坐标是（ ）A． B．
C． 或 D． 或
二、填空题
11．画位似图形的依据是 ．
12．如图，△ 与△ 是以原点 为位似中心的位似图形，且位似比为1 : 2，则点A（1 , 2）在第
一象限的对应点A1的坐标是 ．
13．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形
的周长为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形 ，若 ，则四
边形 的周长为 ．14．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标为A（－1，1），B（2，3），C（0，3）．现以坐
标原点为位似中心，作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比为 ．则点A的对应点A′的坐标为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点O在坐标原点，边 在x轴上， 在y轴上，A、C
的坐标分别为 ．如果矩形 与矩形 关于点O位似，且矩形 的面积是矩形
面积的4倍，则点B的对应点 的坐标是 ．
16．如图， 和 是以点 为位似中心的位似图形，点 在线段 上．若 ，则
和 的周长之比为 ．
17．如图，在平面直角坐标系中， 与 的相似比为 ，点 是位似中心，已知点 ，点
， ．则点 的坐标为 ．（结果用含 ， 的式子表示）18．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形
OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的 ，那么点B′的坐标是
．
三、解答题
19．如图，已知点 ， 是一次函数 的图象与反比例函数 的图象的两个交点．
(1)求此反比例函数和一次函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出不等式 的解集；
(3)过点A作直线 ： ，使它与反比例函数 仅有一个公共点，求直线 的解析式．20．每个小方格是边长为1个单位长度的小正方形，菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示．
（1）以O为位似中心，在第一象限内将菱形OABC放大为原来的2倍得到菱形OA B C ，请画出菱形
1 1 1
OA B C ，并直接写出点B 的坐标；
1 1 1 1
（2）将菱形OABC绕原点O顺时针旋转90°得到菱形OA B C ，请画出菱形OA B C ．
2 2 2 2 2 2
21．如图，以某点为位似中心，将 进行位似变换得到 ，记 与 对应边的比为k，求
位似中心的坐标和k的值．22．如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为 ， 是 关于点A的位似图形，
且点 的坐标为 ．求点 的坐标．
23．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内， 的三个
顶点坐标分别为 ， ， ．
(1)画出 关于 轴对称的 ；
(2)在第四象限画出 以点 为位似中心的位似图形 ， 与 的位似比为 ；
(3)求以 ， ， ， 四个点为顶点构成的四边形的面积．24．综合与实践
主题：某数学实践小组以标准对数视力表为例，探索视力表中的数学知识
操作：步骤一：用硬纸板复制视力表中视力为0.1，0.2所对应的“E”，并依次编号为①，②，垂直放在水
平桌面上，开口的底部与桌面的接触点为 ， ；
步骤二：如1图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点 ， 与点O在
一条直线上为止．
结论：这时我们说，在 处用①号“E”测得的视力与在 处用②号“E”测得的视力相同．
探究：（1）①如1图， 与 之间存在什么关系？请说明理由；
②由标准视力表中的 ， ，可计算出 时， ___________mm；
运用：（2）如果将视力表中的两个“E”放在如2图所示的平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，
位似中心为点O，①号“E”与②号“E”的相似比为 ，点P与点Q为一组对应点．若点Q的坐标为，则点P的坐标为___________．
25．如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 、O(0,0)、 ．
(1)画出将 向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的 ；
(2)以原点 为位似中心，位似比为 ，在 轴的左侧，画出将 放大后的 ；(3)判断 与 ，能否是关于某一点 为位似中心的位似图形，若是，请直接写出点 的坐标．
26．在 ABC中，∠ACB是锐角，点D在射线BC上运动，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得
到AE，△连接EC．
（1）操作发现：若AB=AC，∠BAC=90°，当D在线段BC上时（不与点B重合），如图①所示，请你直接写
出线段CE和BD的位置关系和数量关系是 ， ；
（2）猜想论证：
在（1）的条件下，当D在线段BC的延长线上时，如图②所示，请你判断（1）中结论是否成立，并证明
你的判断．
（3）拓展延伸：
如图③，若AB≠AC，∠BA C≠90°，点D在线段BC上运动，试探究：当锐角∠ACB等于 度时，线
段CE和BD之间的位置关系仍 成立（点C、E重合除外）？此时若作DF⊥AD交线段CE于点F，且当AC=3
时，请直接写出线段CF的长的最大值是
