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训练 12 同角三角函数关系式与诱导公式
一、单项选择题
1．(2023·合肥模拟)已知角α的终边经过点(－1，m)，且sin α＝－，则tan α等于( )
A．± B. C．－ D.
答案 B
解析 因为角α的终边经过点(－1，m)，
且sin α＝－，
所以＝－，所以＝，且m<0，
解得m＝－，所以tan α＝＝－m＝.
2．若cos＝，则sin等于( )
A．－ B．－ C. D.
答案 C
解析 ∵cos＝，
∴sin＝sin
＝cos＝.
3．(2024·南京模拟)密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为 6 000份，每一份叫作1
密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫作角的密位制．在角的密位
制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位
数与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“0－07”，478密位写成“4－78”，1周角
等于6 000密位，记作1周角＝60－00,1直角＝15－00.如果一个半径为2的扇形，它的面积
为π，则其圆心角用密位制表示为( )
A．12－50 B．17－50 C．21－00 D．35－00
答案 B
解析 设扇形所对的圆心角为α，α所对的密位为n，则α×22＝π，解得α＝π，
由题意可得＝，
解得n＝×6 000＝1 750，
因此，该扇形圆心角用密位制表示为17－50.
4．(2023·安庆模拟)已知3sin＋sin(θ＋π)＝0，θ∈(－π，0)，则sin θ等于( )
A．－ B．－
C. D.
答案 A
解析 因为3sin＋sin(θ＋π)＝0，
所以3cos θ－sin θ＝0，所以tan θ＝＝3，因为θ∈(－π，0)，sin2θ＋cos2θ＝1，
所以sin θ＝－.
二、多项选择题
5．已知sin θcos θ＝，<θ<2π，则( )
A．θ的终边在第三象限
B．sin θ＋cos θ＝
C．sin θ－cos θ＝0
D．tan θ＝－1
答案 AC
解析 因为sin θcos θ＝，<θ<2π，则θ为第三象限角，A正确；
由题意得sin θ<0，cos θ<0，B错误；
因为(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝0，
故sin θ－cos θ＝0，C正确；
结合选项C可知tan θ＝1，D错误．
6．(2023·岳阳模拟)若函数f(x)＝cos，则下列结论正确的是( )
A．f(x)的一个周期为2π
B．f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在区间上单调递减
答案 ABC
解析 由题意，函数f(x)＝cos，可得f(x)的最小正周期为T＝＝2π，所以A正确；
当x＝时，可得f ＝cos＝cos 3π＝－1，所以x＝是函数f(x)的其中一条对称轴，所以B正确；
由f(x)＝cos，可得f(x＋π)＝cos＝－cos，
令f(x＋π)＝0，即cos＝0，
解得x＝＋kπ，k∈Z，
当k＝0时，可得x＝，即x＝是函数f(x＋π)的一个零点，所以C正确；
由x∈，可得x＋∈，
当x＋∈，即x∈时，函数f(x)单调递减；
当x＋∈，即x∈时，函数f(x)单调递增，所以D不正确．
三、填空题
7．(2024·洛阳模拟)已知角α的终边过点(－2,1)，则sin αcos α的值是________．
答案 －
解析 角α的终边过点(－2,1)，sin α＝，cos α＝，故sin αcos α＝×＝－.
8．(2023·江淮十校质检)已知角 α 的终边经过点 P(－x，－6)，且 cos α＝－，则＋＝
________.答案 －
解析 ∵点P的纵坐标为－6，且cos α＝－<0，
∴角α的终边落在第三象限，
∴sin α＝－，tan α＝，
∴＋＝－＋＝－＝－.
四、解答题
9．已知sin α＝，求tan(α＋π)＋的值．
解 因为sin α＝>0，
所以α为第一或第二象限角．
tan(α＋π)＋＝tan α＋
＝＋＝.
当α是第一象限角时，cos α＝＝，
原式＝＝；
当α是第二象限角时，
cos α＝－＝－，
原式＝＝－.
10．已知x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝.
(1)求sin x－cos x的值；
(2)求的值．
解 (1)由sin x＋cos x＝，
等式两边平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，
整理得2sin xcos x＝－.
所以(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝.
由x∈(－π，0)，知sin x<0，
又sin x＋cos x>0，所以cos x>0，sin x－cos x<0，
故sin x－cos x＝－.
(2)＝
＝＝＝－.
