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专题 3.1 一元一次方程
目录
方程的概念..................................................................................................................................................1
方程的解求代数式....................................................................................................................................2
污染与覆盖问题........................................................................................................................................2
等式的基本性质........................................................................................................................................5
天平中的等式.............................................................................................................................................5
一元一次方程的概念...............................................................................................................................6
一元一次方程求参数...............................................................................................................................7
一元一次方程求解....................................................................................................................................8
方程同解问题...........................................................................................................................................11
错解问题....................................................................................................................................................12
方程的概念
方程是含有__未知数__的等式．
【例1】下列各式中：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；
⑥ ．是方程的是
A．①④ B．①②⑤ C．①④⑤ D．①②④⑤
【变式训练1】下列各式中是方程的是
A． B． C． D．
【变式训练2】下列式子中是方程的是
A． B． C． D．
在下列各式中：
① ；
② ；③ ；
④ ；
⑤ ；
⑥ ；
⑦ ．
【变式训练3】其中是方程的有 个．
A．3 B．4 C．5 D．6
方程的解求代数式
使方程左、右两边的值__相等__的未知数的值．
【例2】若 是方程 的解，则 的值为
A．1 B． C． D．3
【变式训练1】如果关于 的方程 的解 ，那么 的值是
A． B．10 C．2 D．
【变式训练2】已知 是方程 的解，则 的值是
A．2 B．3 C．7 D．8
【变式训练3】若 是方程 的解，则 的值是
A． B．4 C． D．8
污染与覆盖问题
【例3】方程 ★ ，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是 ，那么★
处的数字是
A．1 B．2 C．3 D．4【变式训练1】小丽同学在做作业时，不小心将方程 ■ 中的一个常数污染
了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是 ，请问这个被污染的常数■是
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式训练2】有一方程 ，其中一个数字被污渍盖住了．已知该方程的解为 ，那
么 处的数字应是
A．5 B． C． D．
【变式训练3】方程 ▲ ，▲处是被墨水盖住的常数，已知方程的解是 ，那么
▲处的常数是 ．
【例4】方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那
么这个方程叫做“立信方程”．
（1）若“立信方程” 的解也是关于 的方程 的解，则
；
（2）若关于 的方程 的解也是“立信方程” 的解，则
；
（3）若关于 的方程 的解也是关于 的方程 的解，且
这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数 和正整数 的值．【变式训练1】阅读下列材料：
关于 的方程
的解是 ；
的解是 ；
的解是 ；
以上材料，解答下列问题：
（1）观察上述方程以及解的特征，
请你直接写出关于 的方程 的解为 ．
（2）比较关于 的方程 与上面各式的关系，猜想它的解是 ．
（3）请验证第（2）问猜想的结论，
（4）利用第（2）问的结论，
求解关于 的方程 的解．等式的基本性质
(1)语言叙述：等式两边同时加(或减)__同一个代数式__，所得结果仍是等式．
式子表示：如果a＝b，那么a±c＝__ b ± c __．
(2)语言叙述：等式两边同时乘__同一个数__(或除以同一个__ 不为 0__的数)，所得结
果仍是等式．
式子表示：如果a＝b，那么ac＝__bc__，如果a＝b且c≠0，那么＝__ __ ．
【例5】下列根据等式的性质正确变形的是
A．由 ，得 B．由 ，得
C．由 ，得 D．由 ，得
【变式训练1】下列运用等式性质进行的变形中，正确的是
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【变式训练2】下列变形正确的是
A． 得 B． 得
C． 得 D． 得
【变式训练3】如下是方程 的求解过程，其中依据等式的基本性质的步骤
有
解： ①
②
③
④
⑤A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①④⑤
天平中的等式
【例6】一个天平的托盘中形状相同的物体质量相等，如图①、图②所示的两个天平处于平
衡状态，要使图③的天平也保持平衡，则需要在它的右盘中放置
A．3个〇 B．4个〇 C．5个〇 D．6个〇
【变式训练1】橘子是我们常见的一种水果，取5个大小均等的橘子放在同一简易天平秤，
如图，则估计一个橘子的重量大约是
A．20 B．30 C．40 D．45
【变式训练2】设“■▲●”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，
若要使第三架天平也平衡，则“？”处应该放“●”
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练3】在中央电视台“开心辞典“节目中，某期的一道题目是：如图，两个天平都
平衡，则1个苹果的重量是1个香蕉重量的A． 倍 B． 倍 C．2倍 D．3倍
一元一次方程的概念
一元一次方程：只含有__一个__未知数，且未知数的次数都是__1__的方程．
【例7】下列方程为一元一次方程的是
A． B． C． D．
【变式训练1】下列方程中，属于一元一次方程的是
A． B． C． D．
【变式训练2】下列方程为一元一次方程的是
A． B． C． D．
【变式训练3】下列方程 ， ， ， ， ， ，其中
是一元一次方程的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
一元一次方程求参数
【例8】已知 是关于 的一元一次方程，则
A．3或1 B．1 C．3 D．0
【变式训练1】若 是一元一次方程，则 的值为
A． B．2 C． D．任何实数
【变式训练2】如果 是关于 的一元一次方程，则 的值为
A．2或 B． C．3或 D．3
【变式训练3】若方程 是关于 的一元一次方程，则A．1 B．2 C．3 D．1或3
【例9】已知方程 是关于 的一元一次方程．
（1）求 的值及方程的解．
（2）求代数式 的值．【变式训练1】若 是关于 的一元一次方程，求 的
值．
一元一次方程求解
①__移项__，
②__合并同类项__，
③把未知数的系数化为1，最后把方程变成x＝a的形式．
【例10】解方程．
（1） ；
（2） ；
（3） ．【变式训练1】解方程．
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【变式训练2】解方程．
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．【变式训练3】解方程：
（1） ；
（2） ．
【变式训练4】解下列方程：
（1） ；
（2） ．
【变式训练5】解下列方程：
（1） ；
（2） ．方程同解问题
(1)将方程的解代入原方程，消去未知数，得关于待定系数的方程．
(2)解这个关于待定系数的方程，求出待定系数的值．
【例11】已知关于 的方程 与 的解相同，则 的值
为
A． B．30 C． D．7
【变式训练1】若关于 的方程 和 有相同的解，则 的值是
A． B． C． D．
【变式训练2】方程 与关于 的方程 的解相同，则 的值为
A． B．2 C．3 D．4
【变式训练3】如果方程 与关于 的方程 的解相同，则 的值为
A． B．5 C． D．
【例12】若关于 的方程 的解和关于 的方程与 的解相同，求字
母 的值，并写出方程的解．【变式训练1】如果方程 的解与方程 的解相同，
求代数式 的值．
错解问题
(1)将方程的解代入原方程，消去未知数，得关于待定系数的方程．
(2)解这个关于待定系数的方程，求出待定系数的值．
【例13】小南在解关于 的一元一次方程 时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘
错误，把原方程化为 ，并解得为 ，请根据以上已知条件求出原方程正确的
解为
A． B． C． D．
【变式训练1】在数学课上，冰冰在解方程 时，因为粗心，去分母时方程
左边的1没有乘以10，从而求得的方程的解为 ，试求 的值，并解出原方程正确的
解．【变式训练2】某同学在对方程 去分母时，方程右边的1没有乘4，这时
方程的解为 ，试求 的值，并求出原方程正确的解．
【变式训练3】小马虎亮亮在解方程 时，由于粗心大意，在去分母时，方
程右边的 没有乘以12，由此求得解为 ，请解决以下问题：
（1）求 的值；
（2）求出原方程的正确解．1．若使方程 是关于x的一元一次方程，则m的值是（ ）
A． B． C． D．
2．符合条件|a＋5|＋|a－3|＝8的整数a的值有（ ）．
A．4个 B．5个 C．7个 D．9个
3．在下列方程：① ，② ，③ ，④ ，⑤
中，一元一次方程的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数，解题先要“立天元
为某某”，相当于“设x为某某”．“天元术”是中国数学史上的一项杰出创造，它指的
是我们所学的（ ）
A．绝对值 B．有理数 C．代数式 D．方程
5．解一元一次方程的过程就是通过变形，把一元一次方程转化为 的形式，下面是解
方程 的主要过程，方程变形对应的依据错误的是（ ）
解：原方程可化为 （ ① ）
去分母，得 （ ② ）
去括号，得 （ ③ ）
移项，得 （ ④ ）
合并同类项，得 （合并同类项法则）
系数化为1，得 （等式的基本性质2）
A．①分数的基本性质 B．②等式的基本性质2
C．③乘法对加法的分配律 D．④加法交换律6．下列解方程去分母正确的是( )
A．由 ，得2x﹣1＝3﹣3x
B．由 ，得2x﹣2﹣x＝﹣4
C．由 ，得2y-15=3y
D．由 ，得3(y+1)＝2y+6
7．已知下列方程：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥
其中一元一次方程的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
二、填空题
9．关于x的一元一次方程 的解是正整数，整数k的值是____________．
10．如果关于x的方程（m2﹣1）x＝1无实数解，那么m满足的条件是________．
11． 是方程 的解，那么m的值等于_____________．
12．已知m为非负整数，若关于x的方程mx=2-x的解为整数，则m的值为________．
三、解答题
13．解方程：
(1)
(2)
14．解方程(1)
(2)
15．小明同学在解方程 去分母时，方程右边的 没有乘3，因而求得方程
的解为 ，试求a的值，并正确地解方程．
