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专题 3.2 一元一次方程的应用
目录
几何问题......................................................................................................................................................1
销售问题......................................................................................................................................................4
工程问题......................................................................................................................................................7
行程问题......................................................................................................................................................8
日历问题....................................................................................................................................................10
方案设计问题...........................................................................................................................................13
几何问题
①长方形的面积＝__ 长 × 宽 __；②长方形的周长＝__ 2×( 长＋宽 ) __；
③正方形的面积＝__ 边长 × 边长 __；④正方形的周长＝__ 边长 × 4__；
⑤三角形的面积＝__ × 底 × 高 __；⑥平行四边形的面积＝__ 底 × 高 __；
⑦圆的面积＝__ π r 2 __；⑧圆的周长＝__ 2π r __．
【例1】如图，某同学将一个正方形纸片剪去一个宽为 的长条后．再从剩下的长方形纸
片上剪去一个宽为 的长条．若两次剪下的长条面积正好相等，则每一个长条的面积为
A． B． C． D．
【解答】解：设原来正方形纸的边长是 ，则第一次剪下的长条的长是 ，宽是
，第二次剪下的长条的长是 ，宽是 ，由题意得： ，
解得： ，
．
故选： ．
【变式训练1】在长方形 中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中
， ，求阴影部分图形的总面积
A． B． C． D．
【解答】解：（1）设小长方形的长为 ，则宽为 ，
由题意得： ，
解得： ，
则 ，
阴影部分图形的总面积 ，
故选： ．
【例2】图1阴影面积： ；图2总长： ．【解答】解：图1：设涂色部分面积为 ，不涂色部分面积为 ，
根据题意，得 ．
解得 ．
．
故答案为： ；
图2：设涂色部分长度为 ，则不涂色部分长度为 ，
根据题意，得 ．
解得 ．
所以 ．
故答案为：
【变式训练1】如图，将一个正方形纸片剪去一个宽为 的长条后，再从剩下的长方形纸
片上剪去一个宽为 的长条．
（1）如果两次剪下的长条面积正好相等，那么这个正方形的纸片的面积多少？
（2）第二次剪下的长条的面积能是第一次剪下的长条的面积的 2倍吗？如果能，请求出正
方形纸片的面积；如果不能，请说明理由．
【解答】解：（1）设正方形纸片的边长为 ，依题意有：
，
解得 ，
．
故这个正方形的纸片的面积是 ；
（2）不能，理由如下：设正方形纸片的边长为 ，依题意有：
，
解得 ，
不符合实际，所以不能．
销售问题
1．写出利润率、利润、进价三者之间的关系：
利润率＝____
利润＝__ 进价 × 利润率 __
进价＝__ 利润 ÷ 利润率 __
2．写出售价、标价、打折数三者之间的关系：
售价＝__ 标价 × 打折数 __
标价＝__ 售价 ÷ 打折数 __
打折数＝__ 售价 ÷ 标价 __
【例3】某种商品每件的进价为80元，标价为120元，为了拓展销路，商店准备打折销售，
若使利润率为 ，设商店打 折销售，则依题意得到的方程是
A． B．
C． D．
【解答】解：设商店应打 折，
依题意得 ，
故选： ．
【变式训练1】超市正在热销某种商品，其标价为每件125元．若这种商品打8折销售，则
每件可获利15元，设该商品每件的进价为 元，根据题意可列出的一元一次方程为
A． B．C． D．
【解答】解：设该商品每件的进价为 元，
依题意，得： ．
故选： ．
【例4】某商品价签已经丢失，售货员只知道“商品的进价是80元，打七折销售后，仍可
获利 ”．
（1）若设价签上的价格为 元，根据题意完成下表：
商品的进价（元 打折后的销售价格（元 利润（元
8 0
（2）根据你所学的方程的知识，帮助售货员算出价签上的价格．
【解答】解：（1）设标签上的价格为 元，
打折后的销售价格为 元，利润为 （元 ，
故答案为：80， ，4；
（2）根据题意得 ，
解得： ，
答：价签上的价格是120元．
【变式训练1】某织布厂有150名工人，为了提高经济效益，增设制衣项目．已知每人每天
能织布 ，或利用所织布制衣4件，制衣一件需要布 ，将布直接出售，每米布可获
利2元，将布制成衣后出售，每件可获利25元，若每名工人每天只能做一项工作，且不计
其他因素，设安排 名工人制衣．
（1）一天中制衣所获利润 （用含 的式子表示）；
（2）一天中剩余布所获利润 （用含 的式子表示）；
（3）一天当中安排多少名工人制衣时，所获利润为11800元？
【解答】解：（1）由题意得， ．
故答案是： ；
（2）由题意得， ．故答案是： ；
（3）由题意得， ，
解得： ．
答：一天当中安排100名工人制衣时，所获利润为11800元．
【变式训练2】橙子中含有丰富的维生素 和类黄酮具有很强的抗氧化性，可以起到减少
皱纹、美白肌肤的美容功效，受到广大女性消费者的喜爱．某水果店以5元 千克的价格购
进一批橙子，很快售完．该店又再次购进，第二次进货价格比第一次每千克便宜了 1元，
两次一共购进了1000千克，且第二次进货的花费是第一次进货花费的1.2倍．
（1）该水果店两次分别购进了多少千克的橙子？
（2）售卖中，第一批橙子在其进价的基础上加价 进行定价，第二批橙子因为进价便宜，
因此以第一批橙子的定价再打八折进行销售．销售时，在第一批橙子中有 的橙子变质
不能出售，在第二批橙子中有 的橙子变质不能出售，该水果店售完两批橙子能获利
1487元，求 的值．
【解答】解：（1）设第一次购进橙子 千克，则第二次进橙子 千克，
根据题意得： ，
解得， ，
，
答：第一次购进橙子400千克，则第二次进橙子600千克；
（2）根据题意，得
，
解得 ，
答： 的值为45
【变式训练3】肖坝社区惠民水果店第一次用615元从水果批发市场购进甲、乙两种不同品
种的苹果，其中甲种苹果的重量比乙种苹果重量的2倍多15千克，甲、乙两种苹果的进价
和售价如下表：
甲 乙
进价（元 千克） 5 8售价（元 千克） 10 15
（1）惠民水果店第一次购进的甲、乙两种苹果各多少千克？
（2）惠民水果店第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种苹果，其中甲种苹果的重量不变，
乙种苹果的重量是第一次的3倍；甲种苹果按原价销售，乙种苹果打折销售．第二次甲、
乙两种苹果都售完后获得的总利润为735元，求第二次乙种苹果按原价打几折销售？
【解答】解：（1）设惠民水果店第一次购进乙种苹果 千克，则购进甲种苹果 千
克，
依题意，得： ，
解得： ，
．
答：惠民水果店第一次购进甲种苹果75千克，乙种苹果30千克．
（2）设第二次乙种苹果按原价打 折销售，
依题意，得： ，
解得： ．
答：第二次乙种苹果按原价打8折销售．
工程问题
【例5】一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天，如
果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？设要用 天可以铺好这
条管线，则可列方程为
A． B． C． D．
【解答】解：设要用 天可以铺好这条管线，则可列方程：
．
故选： ．
【变式训练1】一本书，如果每天看15页，12天可以看完；如果每天看18页， 天
可以看完．A．15 B．14.4 C．10 D．8
【解答】解：设 天可以看完，
依题意得： ，
解得： ，
天可以看完．
故选： ．
行程问题
行程问题基本类型
(1)追及问题中的等量关系(假设甲先走)：
①甲的路程＝__乙的路程__；②甲的时间＝__乙的时间＋时间差__．
(2)相遇问题(同时出发)中的等量关系：
①甲路程＋乙路程＝__总路程__；②甲的时间＝__乙的时间__．
(3)航行问题：
顺水(风)速度＝静水(风)速度＋水流(风)速度．
逆水(风)速度＝__ 静水 ( 风 ) 速度 __－水流(风)速度．
顺速－逆速＝__2__水速；顺速 ＋ 逆速 ＝__2__船速．
顺水的路程＝__逆水的路程__．
【例6】甲乙两人骑自行车同时从相距48千米的两地相向而行，1.5小时相遇，若甲比乙每
小时多骑2千米，则乙每小时行驶
A．12.5千米 B．15 千米 C．17千米 D．20千米
【解答】解：设乙每小时骑 千米，甲每小时骑 千米，
由题意列方程： ，
解得： ．
故选： ．
【变式训练1】一辆慢车以每小时50千米的速度从 地出发匀速前进，2小时后另一辆快
车以每小时80千米的速度匀速从 地出发，沿着慢车的同一线路朝同一方向前进，经过一段时间，若两车相距20千米，则快车行驶的时间是 小时．
A． B． 或2 C． 或4 D． 或5
【解答】解：设两车相距20千米时，快车行驶的时间是 小时，
由题意可得： 或 ，
解得 或 ，
即两车相距20千米时，快车行驶的时间是 小时或4小时，
故选： ．
【例7】在风速为 的条件下，一架飞机顺风从 机场飞到 机场要用 ，逆风飞
行同样的航线要用 ，若设飞机飞行速度为每小时 ，则可列方程为
A． B．
C． D．
【解答】解：设飞机飞行速度为每小时 ，
依题意有： ．
故选： ．
【变式训练1】轮船从甲地顺流开往乙地，所用时间比乙地逆流回到甲地少 1.5小时，已知
轮船在静水中速度为每小时20千米，水流速度为每小时3千米，求甲乙两地距离．若设两
地距离为 千米，则可得方程
A． B．
C． D．
【解答】解：设两地距离为 千米，
根据题意，得 ．
故选： ．【例8】一条河中有甲、乙两艘船，现它们同时从 地顺流而行．乙船到 地时接到通知
要立即调头（调头时间不计）到 ， 两地之间的 地执行任务，甲船则继续顺流而行，
已知甲、乙两艘船在静水中的速度都是7.5千米 时，水流速度是2.5千米 时， ， 两
地的距离为10千米．如果乙船由 地经 地再到 地共用4小时，那么乙船从 地到
地时，甲船驶离 地多远？
【解答】解：设 地离 地的距离为 千米，
由题意可得： ，
解得 ，
则乙船从 地到 地时，甲船驶离 地距离为： （千米），
答：乙船从 地到 地时，甲船驶离 地20千米．
【变式训练1】一列慢车和一列快车都从 站出发到 站，它们的速度分别是60千米 时、
100千米 时，慢车早发车半小时，结果快车到达 站时，慢车刚到达距离 站50千米的
站 站在 、 两站之间），求 、 两站之间的距离．
【解答】解：设 、 两站之间的距离为 千米，
由题意可得： ，
解得 ，
答： 、 两站之间的距离为200千米．
【变式训练2】面临中考体育考试，小彬和小强每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑 ，小强
每秒跑 ．如果小强站在百米跑道的起点处，小彬站在他前面 处，两人同时同向起
跑，几秒后小强能追上小彬？
【解答】解：设 秒后小强能追上小彬，
由题意得： ，
解得： ，
答：5秒后小强能追上小彬．
【变式训练3】列方程解应用题：甲、乙两人从 ， 两地同时出发，甲骑自行车，乙骑
摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶．出发后经2小时两人相遇．已知在相遇时乙比甲多
行了90千米，相遇后经0.5小时乙到达 地．求乙行驶的速度．
【解答】解： 经过2小时，乙比甲多行了90千米，乙每小时比甲快45千米，
设乙的速度为 千米 小时，则甲的速度为 千米 小时，
由题意可得： ，
解得 ，
答：乙行驶的速度为60千米 小时．
日历问题
【例9】如图，在2021年4月份日历中按如图所示的方式任意找7个日期“ ”，那么这
7个数的和可能是
A．64 B．72 C．98 D．118
【解答】解：设7个日期的中间数为 ，则另外6个数分别为 ， ， ，
， ， ，
个数之和为 ．
当 时， ，不合题意；当 时， ，不合题意；
当 时， ，符合题意；
当 时， ，不合题意．
故选： ．
【变式训练1】如图是2022年1月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个
数（如4，11，18，12， ．照此方法，若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为48，
则这5个数中的最大数为 3 1 ．
【解答】解：设圈出的5个数中最大数为 ，则最小数为 ，
依题意得： ，
解得： ，
这5个数中的最大数为31
故答案为：31
【例10】如图是2021年12月的日历，一个十字框在图中移动，每次都框住五个数字．
（1）设十字框中间的数为 ，用代数式表示十字框中最上方的数为 ．
（2）十字框中的五个数的和能等于120吗？若能，请求出十字框中最中间的数；若不能，
请说明理由．
【解答】解：（1）当十字框中间的数为 时，十字框中最上方的数为 ．故答案为： ．
（2）十字框中的五个数的和能等于120
设十字框中最中间的数为 ，则另外四个数分别为 ， ， ， ，
依题意得： ，
解得： ．
答：十字框中的五个数的和能等于120，且十字框中最中间的数是24
【变式训练1】如图为2021年11月的日历：
（1）在日历上任意圈出一个竖列上相邻的3个数：
①设中间的一个数为 ，则另外的两个数为 ， ；
②若已知这三个数的和为60，则这三个数在星期 ．
（2）在日历上用一个小正方形任意圈出其中的9个数，设圈出的9个数的中心的数为 ，
若这9个数的和为153，求 的值．
【解答】解：（1）①由题意得：设中间的一个数为 ，则另外的两个数为 ； ，
故答案为 ； ；
② ，
解得 ，
这三个数都在星期六，
故答案为六；
（2）根据题意得 ，
解得 ，．
方案设计问题
【例11】甲、乙两家商店出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，定价相同，乒乓球拍60元
副，乒乓球20元 盒，两家商店的优惠方案如下表所示：
商店 优惠方案
甲商店 每买一副球拍赠一盒乒乓球
乙商店 全部按定价的8折优惠
某班现需买球拍5副，乒乓球若干盒（不少于5盒）．
（1）当购买乒乓球8盒时，请通过计算说明去哪家商店购买更合算？
（2）当购买乒乓球多少盒时，在甲、乙两店所需支付的费用相同？
（3）若该班有500元的购买经费，请你帮忙设计出最佳的购买方案，使购买到的乒乓球的
盒数最多．
【解答】解：（1）去甲商店购买所需费用为 （元 ；
去乙商店购买所需费用为 （元 ．
，
去甲商店购买更合算．
（2）设当购买乒乓球 盒时，在甲、乙两店所需支付的费用相同，
依题意得： ，
解得： ．
答：当购买乒乓球10盒时，在甲、乙两店所需支付的费用相同．
（3） 在甲店购买5副球拍时赠送5盒乒乓球，再次购买乒乓球需要按原价购买，而乙商
店所有商品均按定价的8折优惠，
在甲商店购买5副球拍，赠送5盒乒乓球，剩余的钱再取乙商店购买乒乓球．
（盒 ．
最佳的购买方案为：在甲商店购买5副球拍获赠5盒乒乓球，再在乙商店购买12盒乒乓
球．
【变式训练1】春节期间，某超市对 ， 两种商品开展促销活动，有如下两种活动方案（同一种商品不能同时参与两种活动）
商品
项目 标价（单元：元） 100 110
方案
方案一 每件商品出售价格 按标价打7折 按标价打 折
方案二
若购买超过101件 、 两种商品可累计），每件商品均按
标价打8折后出售．
（1）某单位购买 商品50件， 商品40件，共花费7240元，求 的值；
（2）在（1）的条件下，若某单位购买 商品 件 为正整数且 ，购买 商品的件
数比 商品件数的2倍还多2件，请问该单位该选用何种方案更合算？请说明理由．
【解答】解：（1） ，
购买采用方案一，
由题意，得 ，
解得 ，
即 的值为8.5；
（2）方案二更合算，理由如下：
若购买 商品 件，则购买 商品件数为 件，累计购买了 件，
又 ，
，符合方案二，
则按方案二需 元，
若按方案一需 元，
，
，
该单位选择方案二更合算．
【变式训练2】我省从2019年开始，体育成绩按一定的原始分（40分）计入中考总分．某
校为适应中考要求，决定为体育组购置一批体育器材．学校准备订购一批某品牌的足球和跳绳，经市场调查后发现，足球每个定价150元，跳绳每条定价30元．现有 ， 两家商
店提出了各自的优惠方案．
商店：买一个足球送一条跳绳；
商店：足球和跳绳都按定价的 付款．
已知学校要购买足球40个，跳绳 条 ．
（1）若在 商店购买，则需付款 元（用含 的代数式表示）；
若在 商店购买，则需付款 元（用含 的代数式表示）．
（2）学校购买跳绳多少条时，在 商店购买和在 商店购买付一样的钱？
（3）若学校购买的跳绳是100条，请直接写出一种购买方案，使学校所付的钱最少．
【解答】解：（1）若在 商店购买，则需付款： 元，
若在 商店购买，则需付款： 元，
故答案为： ， ．
（2）根据题意得 ，
解得 ，
答：学校购买跳绳200条时，在 商店购买和在 商店购买付一样的钱．
（3）当 时，
，
，
所以在 商店购买需付款7800元，在 商店购买需付款8100元，
若在 商店购买 40 个足球，送 40 根跳绳，在 商店购买 60 根跳绳需付款：
（元 ，
7620元 元 元，
答：在 商店购买40个足球，送40根跳绳，在 商店购买60根跳绳，学校付的钱最少．
【变式训练3】我们知道，借助天平和一些物品可以探究得到等式的基本性质．
【提出问题】能否借助一架天平和一个10克的砝码测量出一个乒乓球和一个一次性纸杯的
质量？
【实验探究】准备若干相同的乒乓球和若干相同的一次性纸杯（每个乒乓球的质量相同，每个纸杯的质量也相同），设一个乒乓球的质量是 克，经过试验，将有关信息记录在下
表中：
记录 天平左边 天平右边 天平状态 乒乓球总质量 一次性纸杯的
总质量
记录一 6个乒乓球， 14个一次性 平衡
1个10克的 纸杯
砝码
记录二 4个乒乓球 1个一次性纸 平衡
杯
1个10克的
砝码
【解决问题】
（1）将表格中两个空白部分用含 的代数式表示；
（2）分别求出一个乒乓球的质量和一个一次性纸杯的质量．
【及时迁移】借助以上相关数据以及实验经验，你能设计一种方案，使实验中选取的乒乓
球和纸杯的个数一样多吗？请补全下面横线上内容，完善方案，并说明方案设计的合理性．
方案：将天平左边放置 ，天平右边放置 ，使得天平平衡．
理由：
【解答】解：（1）根据题意可得：记录一中的一次性纸杯的总质量为： ；
记录二中的一次性纸杯的总质量为： ，
故答案为： ； ，
（2）由题意得： ，
解得： ，
答：一个乒乓球的质量为3克，一个一次性纸杯的质量为2克．
及时迁移：将天平左边放置10个乒乓球，天平右边放置10个一次性纸杯和1个10克的砝
码，使得天平平衡．
故答案为：10个乒乓球，10个一次性纸杯和1个10克的砝码，
理由：不唯一，算术方法或者方程方法说明都可以，言之有理即可．
1．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代
数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一
百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路
慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步
为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，先令在相同时间 内走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，从
而得到走路快的人的速度 ，走路慢的人的速度 ，再根据题意设未知数，列方程即可
【详解】解：令在相同时间 内走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，从而得到走
路快的人的速度 ，走路慢的人的速度 ，
设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可得 ，
根据题意可列出的方程是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查应用一元一次方程解决数学史问题，读懂题意，找准等量关系列方程是
解决问题的关键．
2．如图，在2022年2月的日历表中用优美的“ ”形框住五个数，框出1，
3，8，10，16五个数，它们的和为38，移动“ ”的位置又框出五个数，已
知这五个数的和是53，则它们中最小两个数的和是（ ）A．9 B．10 C．11 D．19
【答案】B
【分析】设最小的数为x，则其余四个数分别为 ，求和即可求得．
【详解】最小的数为x，则其余四个数分别为 ，
∵这五个数的和为53，
∴ ，
∴ ，
∴最小两个数为： ，
∴最小两个数和为： ．
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，能利用图形圈出5个数的关系列出方程是解
题的关键．
3．小江去商店购买签字笔和笔记本（其中签字笔和笔记本的单价相同）．若购买20支签
字笔和15本笔记本，则他身上的钱还缺25元；若购买19支签字笔和12本笔记本，则他
身上的钱会剩下15元．若小江购买17支签字笔和9本笔记本，则（ ）
A．他身上的钱还缺65元 B．他身上的钱会剩下65元
C．他身上的钱还缺115元 D．他身上的钱会剩下115元
【答案】B
【分析】设签字笔的单价为x元，则笔记本的单价为x元，根据小江身上的钱不变得出方
程20x+15x﹣25＝19x+12x+15，整理得x＝10，由小江购买17支签字笔和9本笔记本的钱
为17x+9x，得出19x+12x +15﹣（17x+9x）＝5x+15，代入计算即可．
【详解】解：设签字笔的单价为x元，则笔记本的单价为x元，
根据题意得：20x+15x﹣25＝19x+12x+15，
整理得：4x＝40，解得：x＝10，
∵小江购买17支签字笔和9本笔记本的钱为17x+9x＝26x，
∴19x+12 x +15﹣26x
＝5x+15
∵x＝10，
∴5x+15＝5×10+15
＝65，
即小江身上的钱会剩下65元；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，得出方程是解题
的关键．
4．小明早上8点从家骑车去图书馆，计划在上午11点30分到达图书馆．出发半小时后，
小明发现若原速骑行，将迟到10分钟，于是他加速继续骑行，平均每小时多骑行1千米，
恰好准时到达，则小明原来的速度是（ ）
A．12千米/小时 B．17千米/小时 C．18千米/小时 D．20千米/小时
【答案】C
【分析】设原来的速度是x千米/小时，则提高速度后为x+1千米/小时，根据出发半小时后，
发现按原速行驶要迟到10分钟，将速度每小时增加1千米，恰好准时到达，分别表示路程
建立方程求解即可．
【详解】解：设小明原来的速度是x千米/小时，则提高速度后为x+1千米/小时，由题意得
（3.5+ ）x= x+（x+1）×（3.5 0.5），
解得：x=18．
答：小明原来的速度是18千米/小时．
故选：C
【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，利用行程问题中的速度、时间、路程之间的
等量关系是解决问题的关键．
5．植树节当天，七年级1班植树300棵，正好占这批树苗总数的 ，七年级2班植树棵数
是这批树苗总数的 ，则七年级2班植树的棵数是（ ）
A．36 B．60 C．100 D．180【答案】C
【分析】设这批树苗一共有x棵，根据七年级1班植树300棵，正好占这批树苗总数的 ，
列出方程求解即可．
【详解】解：设这批树苗一共有x棵，
由题意得： ，
解得 ，
∴七年级2班植树的棵数是 棵，
故选C．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键．
6．如图所示，已知数轴上点A表示的数为8，点B表示的数为﹣6．动点P从点A出发，
以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位长
度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，点P运动（ ）秒追上点Q．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】根据追及模型列出方程即可求解．
【详解】解：设点P运动x秒追上点Q，
根据题意得：5x-3x=8-(-6)，
解得x=7，
∴点P运动7秒追上点Q，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了数轴以及数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，理解题
意，列出一元一次方程是解决本题的关键．
7．为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢
答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小红一共
得70分，则小红答对的个数为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】B【分析】设小红答对的个数为x个，根据抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得
5分，每答错或不答一个扣1分，列出方程求解即可．
【详解】解：设小红答对的个数为x个，
由题意得 ，
解得 ，
故选B．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是列出方程求解是解题的关
键．
8．甲、乙两队开展足球对抗赛，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．
甲队与乙队一共比赛了10场，甲队保持了不败记录，一共得了22分，设甲队胜了x场，
则列方程为（ ）
A．x-3（10-x）=22 B．3x-（10-x）=22
C．x+3（10-x）=22 D．3x+（10-x）=22
【答案】D
【分析】根据题意可知，甲队的胜场积分 平场积分 总积分，然后即可列出相应的方程．
【详解】解：设甲队胜了 场，则平了 场，
由题意可得： ，
故选：D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是明确题意，找出等量关
系，列出方程．
二、填空题
9．把夏禹时代的“洛书”用数学符号翻译出来就是一个三阶幻方，它的每行、每列、每条
对角线上三个数之和均相等，那么如图的三阶幻方中x的值为_____．【答案】10
【分析】根据题意可得 ，然后求解即可．
【详解】解：由题及图可得：
，
解得： ；
故答案为10．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．
10．已知某铁路桥长1600米．现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥
共用90秒，整列火车完全在桥上的时间是70秒．则这列火车长______米．
【答案】200
【分析】设这列火车的长为x米，利用速度＝路程÷时间，结合火车的速度不变，即可得出
关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设这列火车的长为x米，
根据题意得， ，
解得 ，
∴这列火车的长为200米．
故答案为：200
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次
方程是解题的关键．
11．一群学生参加夏令营活动，男生戴白色帽子，女生戴红色帽子，休息时他们坐在一起，
大家发现了一个有趣的现象：每位男生看到的白色与红色的帽子一样多，而每位女生看到
的白色帽子数量是红色的2倍.根据信息，这群学生共有______人.
【答案】7
【分析】设其中的男生有x人，根据每位男生看到白色与红色的安全帽一样多，可以表示
出女生有（x-1）人．再根据每位女生看到白色的安全帽是红色的2倍列方程求解．
【详解】设男生有x人,则女生有(x−1)人，
根据题意得x=2(x−1−1)
解得x=4
x−1=3.
4+3=7人.
故答案为7.【点睛】此题考查一元一次方程的应用，解题关键在于列出方程.
12．某兴趣小组中女生人数占全组人数的一半，如果再增加 名女生，那么女生人数占全
组人数的 ，则这个兴趣小组原来的人数是______人．
【答案】16
【分析】设这个兴趣小组原来的人数是x，则女生人数为 x，然后根据再增加4名女生，
那么女生人数就占全组人数的 列方程，再解方程即可．
【详解】解：设这个兴趣小组原来的人数是x，根据题意得
x+4= （x+4），
解得x=16（人）．
答：这个兴趣小组原来的人数是16人．
故答案为：16．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是设出未知数，根据等量关系列出
方程．
三、解答题
13．已知一列数2，0，﹣1．﹣ ．
(1)求最大的数和最小的数的差；
(2)若再添上一个有理数m，使得五个有理数的和为0，求m的值．
【答案】(1)3；
(2)m=- ．
【分析】（1）首先得出最大数和最小数，进而得出答案；
（2）根据题意列出方程，解方程即可求解．
（1）
解：∵最大的数是2，最小的数是-1，
∴最大的数与最小的数之差为2-（-1）=2+1=3；（2）
解：根据题意得：2+0+(-1)+(- )+m=0，
解得：m=- ．
【点睛】本题考查有理数的运算，一元一次方程的应用；熟练掌握解一元一次方程的方法
和步骤是解本题的关键．
14．观察下列两个等式：
，
．
给出定义如下：我们称使等式 成立的一对有理数（a，b）为“好姊妹数对”，
如：数对（1， ），（2， ），都是“好姊妹数对”．
(1)数对（-2，1），（3， ）是“好姊妹数对”吗？
(2)若（a，3）是“好姊妹数对”，求 的值；
(3)若（m，n）是“好姊妹数对”，那么（-n，-m）是“好姊妹数对”吗？
【答案】(1)（−2，1）不“好姊妹数对”， 是“好姊妹数对”
(2)
(3)是“好姊妹数对”，理由见解析
【分析】（1）根据“好姊妹数对”的定义判断即可；
（2）根据“好姊妹数对”的定义可得关于a的一元一次方程，解方程即可；
（3）根据“好姊妹数对”的定义解答即可．
（1）
解：（−2，1）不“好姊妹数对”，（3， ）是“好姊妹数对”，理由如下：
∵−2−1＝−3，2×（−2）×1−1＝−5，
∴（−2，1）不是“好姊妹数对”；∵3− ＝ ，2×3× −1＝ ，
∴(3， )是“好姊妹数对”．
（2）
解：∵ 是“好姊妹数对”，
∴ ，
∴ ．
（3）
解：是“好姊妹数对”．
理由：∵ 是“好姊妹数对”，
∴ ，
∴ ，
∴ 是“好姊妹数对”．
【点睛】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是会用新定义解答问题．
