文档内容
跟踪训练 01 直线的方程
一．选择题（共15小题）
1．已知直线 恒过点 ，已知 ，动点 在直线 上，
则 的最小值为
A． B． C． D．
【解答】解：由 化简得 ，
所以 ，
如下图所示：
由图形可知，点 、 在直线 的同侧，
且直线 的斜率为1，
设点 关于直线 的对称点为点 ，
则 ，解得 ， ，即点 ，
由对称性可知 ．
故选： ．2．已知直线 经过点 ，且被两条平行直线 和 截得的线
段长为5，则直线 的方程为
A． B． C． D．
【解答】解：①当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，
此时 与直线 ， 的交点分别为 ， ，
截得的线段长 ，符合题意，
②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，且设直线 与直线 和 的交
点分别为 ， ，
解方程组 ，解得 ，
解方程组 ，解得 ，
，
，解得 ，
故所求直线 的方程为 ，
综上所述，所求直线 的方程为 或 ．
故选： ．
3．在直角坐标平面 中，已知两点 与 ， ， 到直线 的距离之差
的绝对值等于 ，则平面上不在任何一条直线 上的点组成的图形面积是
A．16 B． C．8 D．【解答】解：设直线 的方程为 ，则 ，
所以 ，
当 ，即 时， ，化简可得 ，
所以 ，如图，
则正方形 上及外部的点均在直线 上；
当 ， 即 时 ， ， 化 简 可 得
，
设直线 的方程为 上任意一点 ， ，则 ，
由 可知， ，
又 ，则 ，
所以，与圆 相切的直线所扫过的点均在直线 上；
综 上 ， 平 面 上 不 在 任 何 一 条 直 线 上 的 点 组 成 的 图 形 面 积 是
．
故选： ．4．已知直线 过点 ，且分别交两直线 ， 于 轴上方的 ， 两点，
点为坐标原点，则 面积的最小值为
A．8 B．9 C． D．20
【解答】解：由题意知直线 的斜率一定存在，斜率设为 ，则直线 的方程为
，
分别与 ， 联立可得 ， 两点的横坐标： ，
故 ， ， 两点都在 轴的上方，
故 ，
故 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
故 面积的最小值为8，
故选： ．
5．经过点 并且与直线 垂直的直线方程是
A． B． C． D．
【解答】解：与直线 垂直的直线方程为 ，
由于直线经过点 ，故 ，解得 ．
故直线的方程为 ．
故选： ．
6．已知点 ， 与直线 ，若在直线 上存在点 ，使得
，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
【解答】解：设点 ，由于 ，
所以 ，
整理得 ，
利用圆心 到直线 的距离 ，解得 ，
即实数 的取值范围为 ．
故选： ．
7．直线 的倾斜角是
A． B． C． D．
【解答】解：由于直线 的斜率关系式满足 ，
由于 ， ，故 ．
故选： ．
8．“ ”是直线 与 互相垂直的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：当 时，直线 与 互相垂直，
当两直线垂直时， ，解得： 或1，
故“ ”是直线 与 互相垂直的充分不必要
条件．
故选： ．
9．直线 在 轴上的截距为 ，在 轴上的截距为 ，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：令 ，解得 ，故 ；
令 ，解得 ，故 ．
故选： ．
10．若直线 与 平行，则两直线之间的距离为
A． B．1 C． D．2
【 解 答 】 解 ： 因 为 直 线 与 平 行 ， 所 以
，解得 ，
直线 与 ，即 平行，所以该两条平行直线的距离为 ．
故选： ．
11．已知 ， ， ， 是直线 为常数）上两个不同的点，则关于
和 的方程组 的解的情况，下列说法正确的是
A．无论 ， ， 如何，总是无解
B．无论 ， ， 如何，总有唯一解
C．存在 ， ， ，使 是方程组的一组解
D．存在 ， ， ，使之有无穷多解
【解答】解：由题意得 ，
则 ，
（直线 的斜率存在， ，
故 与 相交，
方程组总有唯一解． ， 错误， 正确；
若 是方程组的一组解，则 ，
则点 ， ， ， 在直线 ，
即 上，
但已知这两个点在直线 上，这两条直线不是同一条直线，
不可能是方程组的一组解， 错误．
故选： ．
12．若直线 经过 ， ， 两点，则直线 的倾斜角 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，直线 经过 ， ，
则直线 的斜率 ，
又由 ，则 ，
则有 ，
又由 ，
则 ；
故选： ．
13．已知直线 过定点 ，2， ，向量 ，0， 为其一个方向向量，则点 ，
3， 到直线 的距离为
A． B． C．3 D．
【解答】解：定点 ，2， ， ，3， ，
故 ，所以 ；
故： ，所以 ，
所以点 ，3， 到直线 的距离 ．
故选： ．
14．直线 ， ，若两条直线平行，则
A． B．1 C．3 D． 或3
【解答】解：直线 ， 平行，
故 ，整理得 ，
解得 或 ；
当 时，两直线重合，
故 ．
故选： ．
15．设 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线 交
于点 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知，动直线 经过定点 ，
动直线 即 ，经过点定点 ，
动直线 和动直线 的斜率之积为 ，始终垂直，
又是两条直线的交点， ， ．
设 ，则 ， ，
由 且 ，可得 ，，
， ， ， ，
， ，
， ，
故选： ．
二．多选题（共5小题）
16．下列四个命题中正确的是
A．过点 ，且在 轴和 轴上的截距互为相反数的直线方程为
B．过点 且与圆 相切的直线方程为 或
C．若直线 和以 ， 为端点的线段相交，则实数 的取值
范围为 或
D．若三条直线 ， ， 不能构成三角形，则实数 所有可能
的取值组成的集合为 ，
【解答】解：对于 ，过点 在 轴和 轴上的截距互为相反数的直线还有过原点的直
线，其方程为 ， 错误：
对于 ，圆 的圆心 ，半径 ，过点 斜率不存在的直
线 与圆 相切，
当切线斜率存在时，设切线方程为 ，则 ，解得 ，此切线方程为 ，
所以过点 且与圆 相切的直线方程为 或 ， 正
确；
对 于 ， 直 线 恒 过 定 点 ， 直 线 ， 的 斜 率 分 别 为
， ，
依题意， 或 ，即为 或 ， 正确；
对于 ，当直线 ， 平行时， ，当直线 ，
平行时， ，
显然直线 ， 交于点 ，当点 在直线 时， ，
所以三条直线 ， ， 不能构成三角形，实数 的取值集合为
，1， ， 错误．
故选： ．
17．下列说法正确的有
A．若直线 经过第一、二、四象限，则 在第二象限
B．直线 的倾斜角 的取值范围是
C．“ ”是“直线 与直线 互相垂直”的充要条件D．经过点 且在 轴和 轴上截距都相等的直线方程一定为
【解答】解：对于 ，直线 经过第一、二、四象限，
则 ， ，
故 在第二象限，故 正确，
对于 ，直线 ，
则 ，斜率为 ，
故 ，
设直线的倾斜角为 ，
当 时，
则 ，
当 时，
则 ，
故直线 的倾斜角 的取值范围是 ，故 正确，
对于 ，直线 与直线 互相垂直，
则 ，解得 或 ，
故“ ”是“直线 与直线 互相垂直”的充分不必要条件，
故 错误，
对于 ，当直线在 轴和 轴上截距为0时，
直线方程为 ，
当直线在 轴和 轴上截距不为0时，
可设直线方程为 ，直线过点 ，
则 ，解得 ，
故直线方程为 ，
综上所述，直线方程为 或 ，故 错误．
故选： ．
18．已知直线 ， ，则
A．当 变化时， 的倾斜角不变
B．当 变化时， 过定点
C． 与 可能平行
D． 与 不可能垂直
【解答】解：对于 ， 直线 ，
，斜率 ，与 无关，故 正确，
对于 ， 直线 ，
直线 过定点 ，故 正确，
对于 ，直线 ， ，
则 ， ，
， ，
与 不可能平行，故 错误，
对于 ，若 ，则 ，即 ， ， ，故 错误．
故选： ．
19．下列说法中不正确的是
A．直线倾斜角 的范围是： ，且当倾斜角增大时，斜率也增大
B．若两直线平行，则两直线的斜率相等
C．若两直线的斜率之积等于 ，则两直线垂直
D．过点 且斜率为1的直线方程可表示为：
【解答】解：直线倾斜角 的范围是： ，
当 时，倾斜角增大时，斜率也增大；
当 时，斜率不存在；
当 时，倾斜角增大时，斜率也增大；故 错误；
若两直线平行，则两直线的斜率可能不存在，故 错误；
若两直线的斜率之积等于 ，则两直线垂直，故 正确；
过点 且斜率为1的直线方程为 ，而 中 ，故 错误．
故选： ．
20．下面说法中错误的是
A．经过定点 ， 的直线都可以用方程 表示
B．经过定点 ， 的直线都可以用方程 表示
C．经过定点 的直线都可以用方程 表示
D．不经过原点的直线都可以用方程 表示
E．经过任意两个不同的点 ， ， ， 的直线都可以用方程表示
【解答】解：当直线的斜率不存在时，经过定点 ， 的直线方程为 ，不能写成
的形式，故 错误．
当直线的斜率等于零时，经过定点 ， 的直线方程为 ，不能写成
的形式，故 错误．
当直线的斜率不存在时，经过定点 的直线都方程为 ，不能用方程 表
示，故 错误．
不经过原点的直线，当斜率不存在时，方程为 的形式，故 错误．
经过任意两个不同的点 ， ， ， 的直线，当斜率等于零时， ，
，方程为 ，
能用方程 表示；
当 直 线 的 斜 率 不 存 在 时 ， ， ， 方 程 为 ， 能 用 方 程
表示，故 正确，
故选： ．
三．填空题（共5小题）
21．如图，在等腰直角三角形 中， ，点 是边 上异于 ， 的一点，
光线从点 出发，经 ， 反射后又回到原点 ．若光线 经过 的重心，则
长为 ．【解答】解：以直线 为 轴，直线 为 轴，建立平面直角坐标系，
则 ， ，直线 的方程为 ，
的重心 ，
设 ， 分别是点 关于直线 和 轴的对称点， ，则 ， ，
由光的反射原理可知， ， ， ， 四点共线，
所以 ，即 ，解得 ，
所以 ．
22．已知 、 分别在直线 与直线 上，且 ，点
， ，则 的最小值为 ．
【解答】解：由直线 与 间的距离为 得 ，过 作直线 垂直于
，如图所示：则直线 的方程为： ，
将 沿着直线 往上平移 个单位到 点，有 ，
连接 交直线 于点 ，过 作 于 ，连接 ，有 ， ，
故四边形 为平行四边形，
则 ，即有 ，显然 是直线 上的点与点 ，
距离和的最小值，
因 此 的 最 小 值 ， 即 的 最 小 值 ， 而
，
故 的最小值为 ．
故答案为： ．
23．已知线段 的端点 ， ，直线 与线段 相交，则
的取值范围是 ．
【解答】解：由于线段 的端点 ， ，直线 与线段
相交，直线 整理得 ，故直线恒过点 ，
由于直线 与线段 相交，
故直线的斜率满足 ．
即 的取值范围满足： ．
故答案为： ．
24．已知 的顶点 ， 边上的中线 所在的直线方程为 ，
的平分线 所在直线方程为 ，则直线 的方程为 ．
【解答】解：由题意可知，点 在 上，可设点 的坐标是 ，
则 的中点 在直线 上，
所以 ，解得 ，所以 ，
设 关于直线 的对称点为 ， ，则有 ，解得 ，即
，
则由 在直线 上，得直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
故答案为：
25．一条光线经过点 射到直线 上，被反射后经过点 ，则入射光线
所在直线的方程为 ．【解答】解：设点 关于直线 的对称点为 ， ，
则 ，
解得： ，
由于反射光线所在直线经过点 和 ，
所以反射光线所在直线的方程为 ，即 ．
解方程组 ，解得反射点 ， ．
所以入射光线所在直线的方程为： ．
故答案为： ．
四．解答题（共3小题）
26．已知点 ， ．
（Ⅰ）求线段 的垂直平分线方程；
（Ⅱ）若直线 过 ，且 、 到直线 距离相等，求直线 的方程．
【解答】解：（Ⅰ） ， ，
．线段 的中点为 ，直线 的斜率 ，
线段 的垂直平分线方程为 ，即 ；
（Ⅱ）由于直线 过 ，且 、 到直线 距离相等，
直线 和直线 平行或经过线段 的中点 ．
当直线 和直线 平行时， 的方程为 ，即 ；当直线 经过线段 的中点时， 的方程为 ，即 ；
直线 的方程为： 或 ．
27．已知直线 的方程为 ，若直线 在 轴上的截距为 ，且 ．
（1）求直线 和 的交点坐标；
（2）已知直线 经过 与 的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为 ，
求直线 的方程．
【解答】解：（1）直线 的方程为 ，故它的斜率为 ，
若直线 在 轴上的截距为 ，且 ，则直线 的斜率为1，
故直线 在的方程为 ．
由 ，求得 ，可得直线 和 的交点坐标为 ．
（2）由题意，直线 的斜率存在，设为 ，则直线 的方程为 ，
它与两坐标轴的交点为 、 ， ，
且 ， ．
根据直线 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为 ，
求得 或 ，
可得直线 的方程为 ． 或 ，
即直线 的方程为 或 ．
28．已知直线 经过点 ．（1）若直线 与直线 平行，求直线 的方程；
（2）若直线 在两坐标轴上的截距相等，求直线 的方程．
【解答】解：（1）根据题意可设直线 的方程为 ，
将点 代入计算可得 ，
可得直线 的方程为 ．
（2）若在两坐标轴上的截距为0，则可得直线方程为 ，即 ；
若在两坐标轴上的截距不为0，设为 ，
则直线 的方程为 ，代入点 可得 ，
可得直线 的方程为 ；
综上可知，直线 的方程为 或 ．
