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专题 31 一次函数中平行四边形存在问题综合应用
解答方法
1．坐标系中的平行四边形：
（1）对边平行 且相等：
（2）对角线互相平 分： 即 A、C 中点与 B、D 中点
重合．
以上两条可统一为：
总结：平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和相等
方法归纳：
1、列出四个点坐标
2、分三组对角线讨论列方程组，解方程组
3、验证点是否符合题意为AB’
典例分析
【典例 1】（2021 春•柳南区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形
OABC的顶点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，线段 OA，OC的
长分别是m，n且满足（m﹣6）2+ ＝0，点D是线段OC上一点，将△AOD
沿直线AD翻折，点O落在矩形对角线AC上的点E处
（1）求线段OD的长；
（2）求点E的坐标；
（3）DE所在直线与 AB相交于点M，点N在x轴的正半轴上，以 M、A、
N、C为顶点的四边形是平行四边形时，求N点坐标．
【变式1-1】（2021春•兴宁区校级期末）如图，已知函数 的图象与x
轴、y 轴分别交于点 A、B，与函数 y＝x 的图象交于点 M，点 M 的坐标为
（2，m）．
（1）直接写出b和m的值：b＝ ，m＝ ．
（2）在x轴上有一动点P（a，0）（其中a＞2），过点P作x轴的垂线，分
别交函数 和 y＝x 的图象于点 C、D．是否存在这样的点 P，使以
B、O、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 P的坐标；
若不存在，请说明理由．【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣ x+8的图象分别交x轴、
y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴的正半轴于点M，且点M为线段OB
的中点．
（1）求直线AM的函数解析式．
（2）在坐标平面内是否存在点 N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是平
行四边形？若存在，请直接写出所有点N的坐标；若不存在，请说明理由．夯实基础
1．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，矩形 OABC 的顶点 A（8，
0），C（0，6），将矩形OABC的一个角沿直线BD折叠，使得点A落在对
角线OB上的点E处，折痕与x轴交于点D．
（1）线段OB的长度 ；
（2）求直线BD所对应的函数表达式；
（3）若点Q在线段BD上，在线段BC上是否存在点P，使以D，E，P，Q
为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 P的坐标；若不存在，请
说明理由．
2．如图，直线l ：y＝2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C；直线l ：y＝kx+b
1 2
与x轴交于点B（3，0），与直线l 交于点D，且点D的纵坐标为4．
1
（1）不等式kx+b＞2x+2的解集是 ；
（2）求直线l 的解析式及△CDE的面积；
2
（3）点P在坐标平面内，若以A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形，
直接写出符合条件的所有点P的坐标．3．如图，直线l ：y＝2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C；直线l ：y＝kx+b
1 2
与x轴交于点B（3，0），与直线l 交于点D，且点D的纵坐标为4．
1
（1）不等式kx+b＞2x+2的解集是 ；
（2）求直线l 的解析式及△CDE的面积；
2
（3）点P在坐标平面内，若以A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形，
求符合条件的所有点P的坐标．
4．如图所示，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4交x轴于点A，直线y＝﹣
x+2交x轴于点B，两直线交于点C．
（1）求证：△ABC是直角三角形．
（2）平面直角坐标系内是否存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形
是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝﹣ x+3与x轴、y轴相交于A、B两
点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此
时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．
（1）求证：△BOC≌△CED；
（2）求点D的坐标；
（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点
的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的 Q点坐标；若不
存在，请说明理由．
6．如图，平行四边形 ABCD在直角坐标系中，点 B、点C都在x轴上，其中
OA＝8，OB＝6，AD＝12，E是线段OD的中点．
（1）直接写出点C，D的坐标；（2）求直线AE的关系式；
（3）平面内是否存在一点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边
形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
7．实践与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线l 交x轴于点A，交y轴于点B，点B坐标
1
为（0，3）．直线l ：y＝2x与直线l 相交于点C，点C的横坐标为1．
2 1
（1）求直线l 的解析式；
1
（2）若点D是y轴上一点，且△OCD的面积是△AOC面积的 ，求点D的
坐标；
（3）在y轴右侧是否存在一点E，使得以点O，A，C，E为顶点的四边形是
平行四边形？若存在，直接写出符合条件的点 E的坐标；若不存在，说明理
由．
8．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x+18的图象分别交x轴、y轴于A、
B两点．过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．
（1）求直线AM的解析式；（2）在直线AM上找一点P，使得S ＝S ，求出点P的坐标；
△ABP △AOB
（3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点 H，
使以A、B、M、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 H
的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线AB的表达式为y＝kx+2，且经过点
（1，4），与x轴、y轴分别交于点A、B，将直线AB向下平移4个单位得到
直线l．
（1）求直线l的表达式；
（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A′OB′（点A的对应点是点
A′，点B的对应点是点B′），求直线A′B′与直线AB的交点坐标；
（3）设直线l与x轴交于点C，点D为该平面直角坐标系内的点，如果以点
A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．
10．已知：直线经过点 A（﹣8，0）和点B（0，6），点C在线段AO上，将
△ABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处．
（1）求直线AB的表达式．（2）求AC的长．
（3）点P为平面内一动点，且满足以A，B，C，P为顶点的四边形为平行四
边形，请直接写出符合要求的所有P点的坐标．
