文档内容
专题3 平行线中的“拐点”模型研究（解析版）
第一部分 典例精析+变式训练
类型一 基本模型：M型，U型，Z型结论探究
典例1 如图，已知平面内有两条直线AB、CD，且AB∥CD，P为一动点．
（1）当点P移动到AB、CD之间时，如图（1），这时∠P与∠A、∠C有怎样的关系？证明你的结论；
（2）当点P移动到图（2）、图（3）的位置时，∠P、∠A、∠C又有怎样的关系？请分别写出你的结
论．
思路引领：（1）过点P作PE∥AB，根据平行线的性质进行推导，即可得出∠APC＝∠A+∠C；
（2）如图2，过点P作PE∥AB，根据平行线的性质进行推导，即可得出∠APC+∠A+∠C＝360°；如图
3，过点P作PE∥AB，根据平行线的性质进行推导，即可得出∠APC＝∠C﹣∠A．
解：（1）∠APC＝∠A+∠C．
证明：如图1，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PE，
∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠A+∠C．
（2）如图2，∠APC+∠A+∠C＝360°，
理由：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PE，
∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，
∴∠APC+∠A+∠C＝360°；
如图3，∠APC＝∠C﹣∠A．
理由：过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PE，
∴∠C＝∠CPE，∠A＝∠APE，
∴∠APC＝∠CPE﹣∠APE＝∠C﹣∠A．
总结提升：本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．解决问题的关键是
作辅助线构造内错角．
类型二 基本模型简单变式
典例2 （2021秋•沈阳期末）如图，AD∥CE，∠ABC＝110°，则∠2﹣∠1的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．110°
思路引领：作BF∥AD，利用平行线的性质分析得出答案．
解：如图，作BF∥AD，
∵AD∥CE，
∴AD∥BF∥EC，
∴∠1＝∠3，∠4+∠2＝180°，∠3+∠4＝110°，
∴∠1+∠4＝110°，
∴∠2﹣∠1＝70°．
故选：C．
总结提升：此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠1+∠4＝110°，∠2+∠4＝180°是解题关键．
变式训练1．（2022春•南京期中）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC＝
30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上．若∠1＝40°，则∠2的度数为 ．
思路引领：因为m∥n，所以∠2+∠BAC+∠ABC+∠1＝180°，根据直角三角形可知∠BAC+∠ABC＝
90°，∠1＝40°，进而可以求出∠2．
解：∵m∥n，
∴∠2+∠BAC+∠ABC+∠1＝180°，
∵△ABC为直角三角形，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∵∠1＝40°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣40°＝50°．
故答案为：50°．
总结提升：本题考查平行四边形的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的计算．
2．（2021春•福州期中）如图，AB∥DE，∠1＝26°，∠2＝116°，则∠BCD＝ °．
思路引领：由平行公理的推论得CF∥DE，其性质得求得∠4的度数为64°，再根据CF∥AB，得到∠1
＝∠3＝26°，最后由角的和差求出∠BCD的度数为90°．
解：过点C作CF∥AB，如图所示：∵AB∥DE，CF∥AB，
∴CF∥DE，
∴∠2+∠4＝180°，
又∵∠2＝116°，
∴∠4＝180°﹣∠2＝64°，
又∵CF∥AB，
∴∠1＝∠3，
又∵∠1＝26°，
∴∠3＝26°，
又∵∠BCD＝∠3+∠4，
∴∠BCD＝90°，
故答案为：90．
总结提升：本题综合考查了平行线的性质，角的和差等相关知识点，解题的关键是作辅助线构建平行线．
类型三 “M”型套“M”型
1 1
典例3（2021春•奉化区校级期末）如图，已知 AB∥CD，∠AFC＝120°，∠EAF= ∠EAB，∠ECF=
3 3
∠ECD，则∠AEC＝ 度．
思路引领：过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，利用平行线的性质可得出∠AEM＝∠EAB，∠CEM
1 1 3
＝∠ECD，∠AFN＝∠FAB，∠CFN＝∠FCD，由∠EAF= ∠EAB，∠ECF= ∠ECD可得出∠EAB=
3 3 4
3 3
∠FAB，∠ECD= ∠FCD，结合∠AEC＝∠AEM+∠CEM可得出∠AEC= ∠AFC，代入∠AFC＝120°
4 4
即可求出∠AEC的度数．
解：过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，如图所示．
∵EM∥AB，AB∥CD，
∴EM∥CD，∴∠AEM＝∠EAB，∠CEM＝∠ECD．
同理，可得：∠AFN＝∠FAB，∠CFN＝∠FCD．
1 1
又∵∠EAF= ∠EAB，∠ECF= ∠ECD，
3 3
3 3
∴∠EAB= ∠FAB，∠ECD= ∠FCD．
4 4
3 3 3
∴∠AEC＝∠AEM+∠CEM＝∠EAB+∠ECD= （∠FAB+∠FCD）= （∠AFN+∠CFN）= ∠AFC＝
4 4 4
90°．
故答案为：90．
总结提升：本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
变式训练
1 1
1．（2021春•海淀区校级期末）如图，已知AB∥CD，∠EAF= ∠EAB，∠ECF= ∠ECD，则∠AFC与
4 4
∠AEC之间的数量关系是 ．
思路引领：连接AC，设∠EAF＝x°，∠ECF＝y°，∠EAB＝3x°，∠ECD＝3y°，根据平行线性质得出
∠BAC+∠ACD＝180°，求出∠CAE+∠ACE＝180°﹣（4x°+4y°），求出∠AEC＝4（x°+y°），∠AFC＝3
（x°+y°），即可得出答案．
解：如图，连接AC，设∠EAF＝x°，∠ECF＝y°，∠EAB＝4x°，∠ECD＝4y°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴∠CAE+4x°+∠ACE+4y°＝180°，
∴∠CAE+∠ACE＝180°﹣（4x°+4y°），∠FAC+∠FCA＝180°﹣（3x°+3y°），
∴∠AEC＝180°﹣（∠CAE+∠ACE）
＝180°﹣[180°﹣（4x°+4y°）]
＝4x°+4y°
＝4（x°+y°），
∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）
＝180°﹣[180°﹣（3x°+3y°）]
＝3x°+3y°
＝3（x°+y°），
3
∴∠AFC= ∠AEC，
4
3
故答案为：∠AFC= ∠AEC．
4
总结提升：本题考查了平行线性质和三角形内角和定理，熟记平行线的性质及正确作出辅助线是解题关
键．
类型四 “M”型叠“M”型
典例4 （2019春•老河口市期中）如图，AB∥CD，∠E＝35°，∠F＝∠G＝30°，则∠A+∠C的度数为
．思路引领：延长AE，CG，交于点H，过H作HP∥AB，依据平行线的判定与性质即可得到∠A+∠C的
度数．
解：如图所示，延长AE，CG，交于点H，过H作HP∥AB，
∵AB∥CD，
∴PH∥CD，
∴∠A＝∠AHP，∠C＝∠CHP，
∴∠A+∠C＝∠AHC，
∵∠F＝∠CGF＝30°，
∴EF∥CH，
∴∠AHC＝∠AEF＝35°，
∴∠A+∠C＝35°，
故答案为：35°．
总结提升：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等，熟记性质是解题
的关键．
变式训练
1．（2022春•鄞州区校级期中）如图，AB∥CD，∠E+∠G＝∠H，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠F的度数为
．
思路引领：先延长 AE，DG 交于点 Q，根据∠A+∠D＝∠Q，∠B+∠H+∠C＝360°，以及∠Q＝
∠AEF+∠DGF﹣∠F，可得∠A+∠D＝∠AEF+∠DGF﹣∠F，即∠F＝∠AEF+∠DGF﹣（∠A+∠D），
再根据∠AEF+∠DGF＝∠H，可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠F＝∠B+∠C+∠H，据此得出结论．
解：如图所示，延长AE，DG交于点Q，由题可得，∠A+∠D＝∠Q，∠B+∠H+∠C＝360°，
又∵∠Q＝∠AEF+∠DGF﹣∠F，
∴∠A+∠D＝∠AEF+∠DGF﹣∠F，
即∠F＝∠AEF+∠DGF﹣（∠A+∠D），
又∵∠AEF+∠DGF＝∠H，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠F＝∠A+∠B+∠C+∠D+∠AEF+∠DGF﹣（∠A+∠D）
＝∠B+∠C+∠H
＝360°，
故答案为：360°．
总结提升：本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作辅助线，依据两直线平行，同旁内角互
补进行计算求解．
类型五 过拐点作平行线——“Z”型图形研究
典例5（2020春•硚口区期末）已知AB∥CD
（1）如图1，求证：∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°
（2）如图2，∠DCE的平分线CG的反向延长线交∠ABE的平分线BF于F
①若BF∥CE，∠BEC＝26°，求∠BFC．
②若∠BFC﹣∠BEC＝74°，则∠BEC＝ 3 2 °．
思路引领：（1）过E作EF∥AB，根据平行线的性质可求∠B＝∠BEF，∠C+∠CEF＝180°，进而可证
明结论；
（2）①易求∠ABE＝52°，根据（1）的结论可求解∠DCE＝154°，根据角平分线的定义可得∠DCG＝
77°，过点F作FN∥AB，结合平行线的性质利用∠BFC＝∠BFN+∠NFC可求解；1
②根据平行线的性质即角平分线的定义可求解∠BFC＝∠FCE＝180°﹣∠ECG＝180°﹣（90°−
2
1 1 1
∠BEC）＝90°+ ∠BEC，设∠ABE= ∠FBE＝x，∠ECG＝∠DCG= ∠DCE＝y，结合已知条件
2 2 2
∠BFC﹣∠BEC＝74°可求解∠BEC的度数．
（1）证明：如图1，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴DC∥EF，
∴∠B＝∠BEF，∠C+∠CEF＝180°，
∴∠C+∠B﹣∠BEC＝180°，
即：∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°；
（2）解：①∵FB∥CE，
∴∠FBE＝∠BEC＝26°，
∵BF平分∠ABE，
∴∠ABE＝2∠FBE＝52°，
由（1）得：∠DCE＝180°﹣∠ABE+∠BEC＝180°﹣52°+26°＝154°，
∵CG平分∠ECD，
∴∠DCG＝77°，
过点F作FN∥AB，如图2，
∵AB∥CD，
∴FN∥CD，
∴∠BFN＝∠ABF＝26°，∠NFC＝∠DCG＝77°，
∴∠BFC＝∠BFN+∠NFC＝103°，
②∵BF平分∠ABE，CG平分∠DCE，
1 1
设∠ABE= ∠FBE＝x，∠ECG＝∠DCG= ∠DCE＝y，
2 2
由（1）可知，∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°，∴2x+2y﹣∠BEC＝180°，
由（2）可知，∠BFC＝∠ABF+∠DCG，
∴∠BFC＝x+y，
∵∠BFC﹣∠BEC＝74°，
∴x+y＝74°+∠BEC，
∴2（74°+∠BEC）﹣∠BEC＝180°
解得∠BEC＝32°．
故答案为32°．
总结提升：本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键．
变式训练
1．（2019春•静安区期中）（1）如图 示，AB∥CD，且点E在射线AB与CD之间，请说明∠AEC＝
∠A+∠C的理由． α
（2）现在如图b示，仍有AB∥CD，但点E在AB与CD的上方，
①请尝试探索∠1，∠2，∠E三者的数量关系．
②请说明理由．
思路引领：（1）过点E作EF∥AB，根据平行线的判定和性质证明即可；
（2）过点E作EF∥AB，根据平行线的判定和性质证明即可．
解：
（1）过点E作EF∥AB；
∴∠A＝∠AEF（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD（已知）
∴EF∥CD（平行的传递性），∴∠FEC＝∠C（两直线平行，内错角相等），
∵∠AEC＝∠AEF+∠FEC（图上可知）
∴∠AEC＝∠A+∠C（等量代换）；
（2）∠1+∠2﹣∠E＝180°，
说理如下：过点E作EF∥AB
∴∠AEF+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵AB∥CD（已知）
∴EF∥CD（平行的传递性），
∴∠FEC＝∠2（两直线平行，内错角相等），
即∠CEA+∠AEF＝∠2
∴∠AEF＝∠2﹣∠CEA（等式性质）
∴∠2﹣∠CEA+∠1＝180°（等量代换），
即∠1+∠2﹣∠AEC＝180°
总结提升：本题考查了平行线的性质，作辅助线并熟记性质是解题的关键．
类型六 过拐点作平行线——“U”型图形研究
典例6（2022春•沭阳县月考）（1）如图①，MA ∥NA ，则∠A +∠A ＝ ；
1 2 1 2
如图②，MA ∥NA ，则∠A +∠A +∠A ＝ ，请你说明理由；
1 3 1 2 3
（2）如图③，MA ∥NA ，则∠A +∠A +∠A +∠A ＝ ；
1 4 1 2 3 4
（3）利用上述结论解决问题：如图④，AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，∠E＝130°，
求∠BFD的度数．
思路引领：（1）①根据两直线平行，同旁内角互补即可得∠A +∠A ；如图②过A 作PA ∥MA ，根
1 2 2 2 1
据两直线平行，同旁内角互补即可得答案；
（2）如图③，过A 作PA ∥MA ，过A 作QA ∥MA ，根据两直线平行，同旁内角互补即可得答案；
2 2 1 3 3 1
（3）根据平行线的性质、角平分线的定义及四边形内角和求解即可．
解：（1）如图①，根据MA ∥NA ，可得∠A +∠A ＝180°，
1 2 1 2故答案为：180°；
如图②，过A 作PA ∥MA ，
2 2 1
∵MA ∥NA ，
1 3
∴PA ∥MA ∥NA ，
2 1 3
∴∠A +∠A A P＝180°，∠A +∠A A P＝180°，
1 1 2 3 3 2
∴∠A +∠A A A +∠A ＝360°，
1 1 2 3 3
故答案为：360°；
（2）如图③，过A 作PA ∥MA ，过A 作QA ∥MA ，
2 2 1 3 3 1
∵MA ∥NA ，
1 3
∴QA ∥PA ∥MA ∥NA ，
3 2 1 3
∴∠A +∠A A P＝180°，∠QA A +∠A A P＝180°，∠A +∠A A Q＝180°，
1 1 2 3 2 3 2 4 4 3
∴∠A +∠A +∠A +∠A ＝540°；
1 2 3 4
故答案为：540°；
（3）如图④，∵AB∥CD，
∴∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，
∵∠E＝130°，
∴∠ABE+∠CDE＝360°﹣∠E＝230°，
∵BF、DF分别是∠ABE和∠CDE的平分线，
1 1
∴∠EBF= ∠ABE，∠EDF= ∠CDE，
2 2
∵∠BFD+∠EBF+∠EDF+∠E＝360°，1
∴∠BFD＝360°﹣∠E﹣∠EBF﹣∠EDF＝360°﹣130°﹣（∠EBF+∠EDF）= （∠ABE+∠CDE）＝
2
1
360°﹣130°− ×230°＝115°．
2
总结提升：此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
变式训练
1．（2022春•丛台区校级期末）如图为一台灯示意图，其中灯头连接杆 DE始终和桌面FG平行，灯脚AB
始终和桌面FG垂直．
（1）当∠EDC＝∠DCB＝120°时，求∠CBA；
（2）连杆BC、CD可以绕着B、C和D进行旋转，灯头E始终在D左侧，设∠EDC，∠DCB，∠CBA
的度数分别为 ， ， ，请画出示意图，并直接写出示意图中 ， ， 之间的数量关系．
（1）解：过点αC作β CγP∥DE，延长CB交FG于点H， α β γ
∵DE∥FG，
∴PC∥FG（ ）．
∴∠PCD＝180°﹣∠D＝60°（ ）．
∴∠PCH＝120°﹣∠PCD＝60°．
∴∠CHA＝∠PCH＝60°（ ）．
又∵AB⊥FG，
∴∠ABH＝30°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ABH＝ °．
思路引领：（1）过C作CP∥DE，延长CB交FG于H，依据平行线的性质，即可得到∠CHA＝∠PCH
＝60°，依据三角形外角性质，即可得到∠CBA的度数；
（2）分六种情况讨论，分别过C作CM∥DE，过B作BN∥FG，依据平行线的性质，即可得到 ， ，
之间的数量关系． α β
γ解：（1）如图，过C作CP∥DE，延长CB交FG于H，∵DE∥FG，
∴PC∥FG（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠PCD＝180°﹣∠D＝60°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠PCH＝120°﹣∠PCD＝60°，
∴∠CHA＝∠PCH＝60°（两直线平行，内错角相等），
又∵AB⊥FG，
∴∠ABH＝30°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ABH＝150°．
故答案为：平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；
150；
（2）分六种情况：
①如图所示，过C作CP∥DE，延长CB交FG于H，
∵DE∥FG，
∴PC∥FG，
∴∠D+∠PCD＝180°，∠FHC+∠PCH＝180°，
∴∠D+∠DCH+∠FHC＝360°，
又∵∠CBA是△ABH的外角，AB⊥FG，
∴∠AHB＝∠ABC﹣90°，
∴∠FHC＝180°﹣（∠ABC﹣90°）＝270°﹣∠ABC，
∴∠D+∠DCH+270°﹣∠ABC＝360°，即∠D+∠DCB﹣∠ABC＝90°．
即 + ﹣ ＝90°．
②α如图β 所γ示，过C作CM∥DE，过B作BN∥FG，则∠D＝∠DCM，∠ABN＝90°，∵DE∥FG，
∴CM∥BN，
∴∠BCM+∠CBN＝180°，即∠BCD﹣∠DCM+∠ABC﹣∠ABN＝180°，
∴ ﹣ + ﹣90°＝180°，即 ﹣ + ＝270°；
③β如图α所γ示，过C作CM∥βDEα，γ过B作BN∥FG，
易得∠D＝∠DCM，∠ABN＝90°，CM∥BN，
∴∠BCM＝∠CBN，即∠BCD﹣∠DCM＝∠ABC﹣∠ABN，
∴ ﹣ ＝ ﹣90°，
∴β﹣α+ γ＝90°；
④α如图β所γ示，过C作CM∥DE，过B作BN∥FG，
易得∠D+∠DCM＝180°，∠ABN+∠BAF＝180°，∠BCM+∠CBN＝180°，
∴∠D+∠BCD+∠ABC+∠FAB＝540°，
即 + + +90°＝540°，
∴α+β+γ＝450°．
⑤α如β图γ，同法可得 + ﹣ ＝90°．
β γ α⑥如图，同法可得 ﹣ + ＝270°．
α β γ
综上， + ﹣ ＝90°或 ﹣ + ＝270°或 ﹣ + ＝90°或 + + ＝450°或 + ﹣ ＝90°或 ﹣ + ＝270°．
总结提α升：β 本γ题主要考β查了α平γ行线的性质α ，β解γ题时注意α：β两直γ 线平行，β同γ旁内α角互补；α两直β 线γ 平行，内
错角相等．
2．（2022春•奉贤区期中）已知：AB∥DE．
（1）如图1，点C是夹在AB和DE之间的一点，当AC⊥CD时，垂足为点C，你知道∠A+∠D是多少
吗？这一题的解决方法有很多，
例如（i）过点C作AB的平行线；
（ii）过点C作DE的平行线；
（iii）联结AD；
（iv）延长AC、DE相交于一点．
请你选择一种方法（可以不选上述四种），并说明理由．
（2）如图2，点C 、C 是夹在AB和DE之间的两点，请想一想：∠A+∠C +∠C +∠D＝ 度，并
1 2 1 2
说明理由．
（3）如图3，随着AB与CD之间点增加，那么∠A+∠C +∠C +……+∠C +∠D＝ 度．（不必说
1 2 n+1
明理由）
思路引领：（1）过点C作AB的平行线CF，利用平行线的性质，即可得到∠A+∠ACD+∠D＝180°×2＝
360°，再根据AC⊥CD，即可得出∠A+∠D＝360°﹣90°＝270°；（2）过C 作C F∥AB，过C 作C G∥DE，则利用平行线的性质，即可得到∠A+∠C +∠C +∠D的度
1 1 2 2 1 2
数；
（2）利用规律即可得到∠A+∠C +∠C +……+∠C +∠D的度数．
1 2 n+1
解：（1）如图1，过点C作AB的平行线CF，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠A+∠ACF＝180°，∠DCF+∠D＝180°，
∴∠A+∠ACD+∠D＝180°×2＝360°，
又∵AC⊥CD，
∴∠A+∠D＝360°﹣90°＝270°；
（2）如图2，过C 作C F∥AB，过C 作C G∥DE，则
1 1 2 2
∵AB∥DE，
∴C F∥AB∥C G∥DE，
1 2
∴∠A+∠AC F＝180°，∠FC C +∠C C G＝180°，∠GC D+∠D＝180°，
1 1 2 1 2 2
∴∠A+∠AC C +∠C C D+∠D＝180°×3＝540°，
1 2 1 2
故答案为：540；
（3）如图3，∠A+∠C +∠C +……+∠C +∠D＝180°×（n+2），
1 2 n+1
故答案为：180（n+2）．
总结提升：本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
类型七 几种基本图形的组合
典例7 （2021春•金坛区期末）将一根铁丝AF按如下步骤弯折：
第一步，在点B，C处弯折得到图1的形状，其中AB∥CF；
第二步，将CF绕点C逆时针旋转一定角度，在点D，E处弯折，得到图2的形状，其中AB∥EF．
解答下列问题：
（1）如图①，若∠C＝3∠B，求∠B的度数；
（2）如图②，求证：∠B+∠C＝∠D+∠E；（3）将另一根铁丝弯折成∠G，如图③摆放，其中∠ABC＝3∠CBG，∠CDE＝3∠CDG．若∠C＝
88°，∠E＝130°，直接写出∠G的度数．
思路引领：（1）根据AB∥CF，得∠B+∠C＝180°，则4∠B＝180°即可求出答案；
（2）分别过点D，C作DN∥AB，CM∥AB，根据平行线的性质可证得结论；
（3）由（2）知：∠ABC+∠C＝∠E+∠CDE，则∠ABC﹣∠CDE＝130°﹣88°＝42°，从而∠CBG﹣
∠CDG＝14°，从而求出答案．
解：（1）∵AB∥CF，
∴∠B+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠C＝3∠B，
∴4∠B＝180°，
∴∠B＝45°，
（2）证明：分别过点D，C作DN∥AB，CM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥DN∥CM∥EF（同平行于一条直线的两直线平行），
∵AB∥CM，
∴∠B+∠BCM＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
同理，∠E+∠NDE＝180°，
∵DN∥CM，
∴∠NDC＝∠MCD（两直线平行，内错角相等），
∴∠B+∠BCD＝∠E+∠CDE．（3）由（2）知：∠ABC+∠C＝∠E+∠CDE，
∴∠ABC+88°＝130°+∠CDE，
∴∠ABC﹣∠CDE＝130°﹣88°＝42°，
∴3∠CBG﹣3∠CDG＝42°，
∴∠CBG﹣∠CDG＝14°，
又∵∠CBG+∠C＝∠CDG+∠G，
∴∠CBG﹣∠CDG＝∠G﹣∠C＝14°，
∴∠G＝∠C+14°＝102°．
总结提升：本题主要考查了平行线的性质，旋转的性质，熟练掌握平行线的性质，作辅助平行线是解题
的关键，属于中考常考题型．
变式训练
1．（2022春•无棣县期末）如图1，已知∠BAE＝∠AEC﹣∠ECD，点E在直线AB，CD之间．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若AH平分∠BAE，FG∥CE．
①如图2，若∠AEC＝84°，FH平分∠DFG，求∠AHF的度数；
②如图3，若FH平分∠CFG，试判断∠AHF与∠AEC的数量关系并说明理由．
思路引领：（1）过E作EN∥AB，可得∠BAE＝∠AEN，∠BAE＝∠AEC﹣∠ECD，证得∠ECD＝
∠CEN，故EF∥CD∥AB；
（2）①HF平分∠DFG，设∠GFH＝∠DFH＝x，根据平行线的性质可以得到∠AHF的度数；
②设∠GFD＝2x，∠BAH＝∠EAH＝y，根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得到∠AHF与
∠AEC的数量关系．
解：（1）如图1，过点E作直线EN∥AB，∴∠BAE＝∠AEN，
∵∠BAE＝∠AEC﹣∠ECD，
∴∠BAE+∠ECD＝∠AEC，
∵∠AEN+∠CEN＝∠AEC，
∴∠ECD＝∠CEN，
∴EN∥CD，
∴CD∥AB；
（2）∵AH平分∠BAE，
∴∠BAH＝∠EAH，
①∵HF平分∠DFG，设∠GFH＝∠DFH＝x，
又CE∥FG，
∴∠ECD＝∠GFD＝2x，
又∠AEC＝∠BAE+∠ECD，∠AEC＝84°，
∴∠BAH＝∠EAH＝42°﹣x，
如图2，过点H作HM∥AB，
∴∠BAH＝∠AHM，
∵HM∥AB，
∴HM∥CD，
∴∠DFH＝∠MHF，
∴∠AHF＝∠BAH+∠DFH＝42°﹣x+x＝42°；
②设∠GFD＝2x，∠BAH＝∠EAH＝y，
∵HF平分∠CFG，
∴∠GFH＝∠CFH＝90°﹣x，
由（1）知∠AEC＝∠BAE+∠ECD＝2x+2y，
如图3，过点H作HK∥AB，∴∠BAH＝∠AHK，
∵HK∥AB，
∴HK∥CD，
∴∠KHF+∠CFH＝180°，
∴∠AHF﹣y+∠CFH＝180°，
即∠AHF﹣y+90°﹣x＝180°，∠AHF＝90°+（x+y），
1
∴∠AHF＝90°+ ∠AEC．
2
总结提升：此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质作出辅助线是解本题的关键．
第二部分 专题提优训练
1．（2020•钟山区模拟）把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，如果∠1＝29°，则∠2的度数为（ ）
A．18° B．16° C．14° D．12°
思路引领：由平行线的性质得得∠1＝∠3，∠2＝∠4，再由等腰直角三角形的性质得∠3+∠4＝45°，则
∠1+∠2＝45°，即可得出答案．
解：由平行线的性质得：∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠3+∠4＝45°，
∴∠1+∠2＝45°，
∴∠2＝45°﹣∠1＝45°﹣29°＝16°．
故选：B．总结提升：本题考查了等腰直角三角形以及平行线的性质，利用“两直线平行，同位角相等”证出∠1
＝∠3，∠2＝∠4是解题的关键．
2．（2020•碑林区校级模拟）如图，AB∥CD，∠E＝40°，∠A＝120°，则∠C的度数为（ ）
A．60° B．80° C．75° D．70°
思路引领：根据平行线的性质得出∠A+∠AFD＝180°，求出∠CFE＝∠AFD＝60°，根据三角形内角和
定理求出即可．
解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠AFD＝180°，
∵∠A＝120°，
∴∠AFD＝60°，
∴∠CFE＝∠AFD＝60°，
∵∠E＝40°，
∴∠C＝180°﹣∠E﹣∠CFE＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
故选：B．
总结提升：本题考查了平行线的性质的应用，能根据平行线的性质求出∠AFD是解此题的关键．
3．（2022春•怀集县期末）如图，已知直线l ∥l ，∠A＝125°，∠B＝85°，且∠1比∠2大4°，那么∠1＝
1 2
．思路引领：过点A作l 的平行线，过点B作l 的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠1，
1 2
∠4＝∠2，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CAB+∠ABD＝180°，然后计算出∠1+∠2＝30°，
结合∠1比∠2大4°，即可得解．
解：如图，过点A作l 的平行线AC，过点B作l 的平行线BD，
1 2
则∠3＝∠1，∠4＝∠2，
∵l ∥l ，
1 2
∴AC∥BD，
∴∠CAB+∠ABD＝180°，
∴∠3+∠4＝125°+85°﹣180°＝30°，
∴∠1+∠2＝30°，
∵∠1＝∠2+4°，
∴∠1＝17°，
故答案为：17°．
总结提升：本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线
平行，内错角相等．熟记性质并作辅助线是解题的关键．
4．（2022春•高青县期末）已知：点A、C、B不在同一条直线上，AD∥BE
（1）如图①，当∠A＝58°，∠B＝118°时，求∠C的度数；
（2）如图②，AQ、BQ分别为∠DAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究∠C与∠AQB的数量关系；
（3）如图③，在（2）的前提下，且有AC∥QB，QP⊥PB，直接写出∠DAC：∠ACB：∠CBE的值．思路引领：（1）过点C作CF∥AD，则CF∥BE，根据平行线的性质可得出∠ACF＝∠A、∠BCF＝
180°﹣∠B，将其代入∠ACB＝∠ACF+∠BCF即可求出∠ACB的度数；
1
（2）过点Q作QM∥AD，则QM∥BE，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出∠AQB= （∠CBE
2
﹣∠CAD），结合（1）的结论可得出2∠AQB+∠C＝180°；
1
（3）由（2）的结论可得出∠CAD= ∠CBE①，由QP⊥PB可得出∠CAD+∠CBE＝180°②，联立
2
①②可求出∠CAD、∠CBE的度数，再结合（1）的结论可得出∠ACB的度数，将其代入∠DAC：
∠ACB：∠CBE中可求出结论．
解：（1）在图①中，过点C作CF∥AD，则CF∥BE．
∵CF∥AD∥BE，
∴∠ACF＝∠A，∠BCF＝180°﹣∠B，
∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF＝180°﹣（∠B﹣∠A）＝120°．
（2）在图②中，过点Q作QM∥AD，则QM∥BE．
∵QM∥AD，QM∥BE，
∴∠AQM＝∠NAD，∠BQM＝∠EBQ．
∵AQ平分∠CAD，BQ平分∠CBE，
1 1
∴∠NAD= ∠CAD，∠EBQ= ∠CBE，
2 2
1
∴∠AQB＝∠BQM﹣∠AQM= （∠CBE﹣∠CAD）．
2
∵∠C＝180°﹣（∠CBE﹣∠CAD）＝180°﹣2∠AQB，
∴2∠AQB+∠C＝180°．
（3）∵AC∥QB，
1 1
∴∠AQB＝∠CAP= ∠CAD，∠ACP＝∠PBQ= ∠CBE，
2 21
∴∠ACB＝180°﹣∠ACP＝180°− ∠CBE．
2
∵2∠AQB+∠ACB＝180°，
1
∴∠CAD= ∠CBE．
2
又∵QP⊥PB，
∴∠CAP+∠ACP＝90°，即∠CAD+∠CBE＝180°，
∴∠CAD＝60°，∠CBE＝120°，
∴∠ACB＝180°﹣（∠CBE﹣∠CAD）＝120°，
∴∠DAC：∠ACB：∠CBE＝60°：120°：120°＝1：2：2．
总结提升：本题考查了平行线的性质、邻补角、角平分线以及垂线，解题的关键是：（1）根据平行线
的性质结合角的计算找出∠ACB＝180°﹣（∠B﹣∠A）；（2）根据平行线的性质、角平分线的定义找
1
出∠AQB= （∠CBE﹣∠CAD）；（3）由 AC∥QB、QP⊥PB 结合（1）（2）的结论分别求出
2
∠DAC、∠ACB、∠CBE的度数．
5．（2020春•固安县期末）如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC．
（1）求∠BAC+∠B+∠C的度数．
阅读并补充下面的推理过程
解：过点A作ED∥BC．
∴∠B＝ ，∠C＝∠DAC（ ）又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°
（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数（提示：过点C作CF∥AB）；
（3）如图3，已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝70°，点B在点A的左侧，∠ABC＝50°，
BE、DE分别为∠ABC、∠ADC的角平分线，且交于点E，点E在直线AB与CD之间，求∠BED的度
数．
思路引领：（1）根据平行线的判定与性质即可补充推理过程；
（2）如图2，过点C作CF∥AB，由AB∥ED，可得CF∥AB∥ED，再根据两直线平行，同旁内角互补
即可求出∠B+∠BCD+∠D的度数；
（3）结合（1）和（2）的方法，再根据BE、DE分别为∠ABC、∠ADC的角平分线和平行线的性质即
可求出∠BED的度数．
解：（1）过点A作ED∥BC．
∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC（两直线平行，内错角相等），
又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°．
故答案为：∠EAB，两直线平行，内错角相等；
（2）如图2，过点C作CF∥AB，
∴∠B+∠BCF＝180°，
∵AB∥ED，
∴CF∥ED，
∴∠D+∠DCF＝180°
∴∠B+∠BCD+∠D＝∠B+∠BCF+∠D+∠DCF＝360°，
∴∠B+∠BCD+∠D的度数为360°；
（3）如图3，过点E作EF∥AB，
∴∠BEF＝∠ABE，
∵AB∥CD，∴EF∥CD，
∴∠DEF＝∠CDE，
∵BE、DE分别为∠ABC、∠ADC的角平分线，
1 1
∠ABE= ∠ABC= ×50°＝25°，
2 2
1 1
∠CDE= ∠ADC= ×70°＝35°，
2 2
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠ABE+∠CDE＝60°，
∴∠BED的度数为60°．
总结提升：本题考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握平行线的判定
与性质．
6．（2021春•肥东县期末）（1）如图1，已知点A是BC上方的一点，连接AB，AC，求∠B+∠BAC+∠C
的度数．
阅读并补充下面的求解过程，
解：过点A画ED∥BC．
根据“ ”，可以得到∠B＝ ∠ ，∠C＝∠DAC．
而∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，所以∠B+∠BAC+∠C＝180°．
（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数（提示：过点C画CF∥AB）．
（3）如图3，AB∥EF，BC⊥DC于点C，设∠B＝x，∠D＝y，∠E＝z，请用一个含x，y，z的等式表
示∠B，∠D，∠E三者之间的数量关系．（直接写出结果）
思路引领：利用平行线的性质，两直线平行，内错角相等，同位角相等，同旁内角互补．
解：（1）故答案为：两直线平行，内错角相等，∠BAE，
（2）过点C画CF∥AB，∠B+∠BCD+∠D＝∠B+∠BCF+∠DCF+∠D，
两直线平行，同旁内角互补，
∠B+∠BCF+∠DCF+∠D＝180°+180°＝360°，
∠B+∠BCD+∠D＝360°，
（3）过点C画CG∥AB，过点D画DH∥AB，如图∠BCG＝∠B＝x，∠CDH＝∠DCG＝90°﹣x，
∠E＝∠EDH＝y﹣（90°﹣x）＝x+y﹣90°，
x+y﹣∠E＝90°，
即∠B+∠D﹣∠E＝90°．
总结提升：本题主要考查平行线的性质，解题关键是辅助线的作法．
7．（2021春•渝北区期末）已知，AB∥CD．直线MN分别与AB，CD交于点E．F．
（1）如图1．∠AEF和∠EFC的角平分线交于点G，∠AEG的角平分线EH与∠CFG的角平分线FH交
于点H．
①填空：∠G＝ °．
②求出∠EHF的度数；
（2）如图2，∠AEF 和∠EFC的角平分线交于点G．点H、K在直线AB、CD之间，且满足∠AEG＝
m∠AEH，∠CFG＝m∠CFH，∠BEG＝n∠BEK．∠DFG＝n∠DFK（其中m，n为常数且m＞1，n＞
1），请用m，n的代数式直接表示∠EKF与∠EHF的数量关系．思路引领：（1）①如图1，分别过点H、G作MN∥AB、OP∥AB．由AB∥OP，得∠AEG＝∠EGP．
由 AB∥CD，得 OP∥CD，故∠PGF＝∠CFG．由 EG 平分∠AEF，GF 平分∠AFE，得∠AEG
1 1 1
= ∠AEF，∠CFG= ∠CFE，进而可推断出∠EGF= (∠AEF+∠AFE)，从而解决此题．
2 2 2
②与（1）同理．
（2）由题得∠AEG+∠BEG＝m∠AEH+n∠BEK＝180°，∠CFG+∠DFG＝m∠CFH+n∠DFK＝180°，得
m∠AEH+n∠BEK+m∠CFH+n∠DFK＝360°，进而推断出m∠EHF+n∠EKF＝360°．
解：（1）如图1，分别过点H、G作MN∥AB、OP∥AB．
①∵AB∥OP，
∴∠AEG＝∠EGP．
又∵AB∥CD，
∴OP∥CD．
∴∠PGF＝∠CFG．
∴∠EGF＝∠EGP+∠FGP＝∠AEG+∠CFG．
∵EG平分∠AEF，GF平分∠AFE，
1 1
∴∠AEG= ∠AEF，∠CFG= ∠CFE．
2 21 1 1
∴∠AEG+∠CFG= ∠AEF+ ∠CFE= (∠AEF+∠CFE)．
2 2 2
1
∴∠EGF= (∠AEF+∠AFE)．
2
又∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°．
1
∴∠EGF= ×180°＝90°．
2
故答案为：90．
②：与①同理可证：∠EHF＝∠AEH+∠CFH．
1 1
由①得：∠AEG= ∠AEF，∠CFG= ∠CFE，∠AEF+∠CFE＝180°．
2 2
∵EH平分∠AEG，FH平分∠CFG，
1 1
∴∠AEH= ∠AEG，∠AFH= ∠CFG．
2 2
∴∠AEH+∠AFH
1 1
= ∠AEG+ ∠CFG
2 2
1
= (∠AEG+∠CFG)
2
1 1
= × (∠AEF+∠CFE)
2 2
1
= (∠AEF+∠CFE)
4
1
= ×180°
4
＝45°．
∴∠EHF＝45°．
（2）由（1）得：∠EHF＝∠AEH+∠CFH．
与①同理可证：∠EKF＝∠BEK+∠DFK．
∵∠AEG＝m∠AEH，∠CFG＝m∠CFH，∠BEG＝n∠BEK，∠DFG＝n∠DFK，
∴∠AEG+∠BEG＝m∠AEH+n∠BEK＝180°，
∠CFG+∠DFG＝m∠CFH+n∠DFK＝180°．
∴m∠AEH+n∠BEK+m∠CFH+n∠DFK＝360°．∴m（∠AEH+∠CFH）+n（∠BEK+∠DFK）＝360°．
∴m∠EHF+n∠EKF＝360°．
总结提升：本题主要考查平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质以及角平分线的定义
是解决本题的关键．
8．已知，AB∥CD，点E在两条平行线之间、连接AE、CE，作AF平分∠BAE，CF平分∠DCE．
（1）如图1，求证∠AEC＝2∠AFC；
（2）如图2，当∠AEC＝60°时，求∠AFC的度数；
（3）如图3，延长CF交AB于点G．当AE∥CG，∠AEC+∠BAF＝180°时，过点G作GH⊥GC交
3
∠GCD的角平分线于点H，在射线GH上取点K、连接CK、已知3∠DCK+ ∠K=∠CHG，求∠K
4
的度数．
思路引领：（1）利用平行线的性质及角平分线的定义证明；
（2）利用（1）的结论求解；
（3）利用（1）的结论，结合平行四边形的性质和判定，及解方程等知识求解．
（1）证明：根据平行线的锯齿模型知：
∠AEC＝∠BAE+∠ECD，∠AFC＝∠BAF+∠FCD，
∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，
∠BAE＝2∠BAF，∠ECD＝2∠FCD，
∴∠AEC＝∠BAE+∠ECD＝2（∠BAF+∠FCD）＝2∠AFC．
（2）解：由（1）得：2∠AFC＝360°﹣∠AEC＝300°，∴∠AFC＝150°，
（3）解：∵AF平分∠BAE，
∴∠BAF＝∠EAF，
∵∠AEC+∠BAF＝180°，
∴∠AEC+∠EAF＝180°，
∴AF∥CE，
∵AE∥CG，
∴ AECF是平行四边形，
∴▱∠AEC＝∠AFC，
由（1）得：2∠AFC＝360°﹣∠AEC，
∴∠AFC＝120°，
∴∠ECF＝∠GCD＝∠BAF＝∠EAF＝60°，
∴∠AGF＝60°，∠GCH＝∠HCD＝30°，
∵∠CHK＝90°，
∴∠BGK＝30°，
∴∠GHC＝∠BGK+∠HCD＝60°，
∵又∠K＝∠BGK+∠KCD＝30°+∠KCD，
3
∵3∠DCK+ ∠K=∠CHG＝60°．
4
解得：∠K＝40°，∠KCD＝10°．
总结提升：本题考查了行四边形的性质和判定，角平分线的定义m及解方程等知识求解，是一道综合性
较强的难题．
9．（2021春•沧县期中）引入
在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，如图是一个
“美味”的模型﹣﹣“猪蹄模型”．如图所示，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连接AE、CE，
求证：∠AEC＝∠BAE+∠DCE．
嘉琪想到了下面的思路，请根据思路继续完成求证：
证明：如图，过点E作EF∥AB．思考
当点E在如图所示的位置时，其他条件不变，写出∠BAE，∠AEC，∠DCE三者之间的数量关系并说明
理由．
应用
如图，延长线段AE交直线CD于点M，已知∠BAE＝132°，∠DCE＝118°，求∠MEC的度数．
提升
点E、F、G在直线AB与CD之间，连接AE、EF、FG和CG，其他条件不变，如图．若∠EFG＝m°，
直接写出∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG的总度数．
思路引领：（1）过点E作EF∥AB，则EF∥CD，由平行线的性质得出∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF
＝180°，即可得出结论．
（2）同（2）得∠A+∠AEC+∠DCE＝360°，得出∠AEC＝110°，即可得出答案．
（3）作FH∥AB，利用平行线的性质即可解决问题．
（1）∠BAE+∠AEC+∠DCE＝360°；理由：
证明：过点E作EF∥AB，如图①所示，
∵AB∥CD，∴EF∥CD，
∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，∴∠BAE+∠AEC+∠DCE，
＝∠A+∠AEF+∠C+∠CEF
＝180°+180°
＝360°．
（2）解：同（1）得：∠A+∠AEC+∠DCE＝360°，
∴∠AEC＝360°﹣∠A﹣∠DCE＝360°﹣132°﹣118°＝110°，
∴∠MEC＝180°﹣∠AEC，
＝180°﹣110°＝70°．
（3）过点F作FH∥AB．如图②所示，
∵AB∥CD，∴FH∥CD，
∴∠BAE+∠AEF+∠EFH＝360°，
∠HFG+∠FGC+∠GCD＝360°，
∴∠BAE+∠AEF+∠EFH+∠HFG+∠FGC+∠GCD＝720°，
∴∠BAE+∠AEF+∠EFH+∠HFG+∠FGC+∠GCD+∠EFG＝720°+m°．
∴∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG，
＝720°﹣360°+m°
＝（360+m）°．
总结提升：本题考查了平行线的判定与性质；正确作出辅助线和平行线的判定和性质是解题的关键．
