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专题4.12 线段公理与直线公理（基础篇）（专项练习）
一、单选题
1．数学源于生活，并用于生活，要把一根木条固定在墙上至少需要钉两颗钉子，其中
的数学原理是（ ）
A．过一点有无数条直线 B．线段中点的定义
C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线
2．下列生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②从A地到 地架
设电线，总是尽可能沿着线段架设；③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行
树所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中可用“两点之间，线段最短”
来解释的现象有（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
3．如图，C，D是线段AB上两点，若AD＝6，DB＝14，且D是AC中点，则BC的长
等于（ ）
A．6 B．8 C．10 D．9
4．如图，直线 是一条河流（不计河宽），小王家与小李家分别位于河流两岸的 、
两点处，现需要修一座桥，使两家离桥的距离和最小， 与 的交点 就是桥的位置，
下列的理由说法中，正确的是（ ）
A．过不同两点有且只有一条直线
B．连接两点间的线段的长度叫做两点间的距离
C．两点之间的距离，线段的长最短
D．以上说法都不对
5．下列日常现象
①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上；
②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程；
③园林工人栽一行树先栽首尾的两棵树；
④建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线然后沿着线砌墙其中，可以用“两点确定一条直线”来解释的现象是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④
6．如图，小明用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一小部分，发现剩下树叶的周长比
原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）．
A．两点之间，射线最短 B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短 D．经过一点有无数条直线
7．下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的是（
）．
A．用两个钉子就可以把木条固定在墙上
B．把弯曲的公路改直，就能缩短路程
C．利用圆规可以比较两条线段的大小关系
D．植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行的树坑在一条直线上
8．如图所示，直线MN表示一条铁路，铁路两旁各有一点A和B，表示两个工厂，要
在铁路上建一货站P，使它到两厂距离之和最短，这个货站P应建在AB与MN的交点处，
这种故法用几何知识解释应是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．射线只有一个端点
C．两直线相交只有一个交点
D．两点确定一条直线
9．如图，用剪刀沿虚线将一片平整的长方形纸片剪掉一部分，发现剩下纸片的周长比
原纸片的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）A．经过两点有且只有一条直线 B．经过一点有无数条直线
C．两条直线相交只有一个交点 D．两点之间，线段最短
10．已知线段AB＝10cm，有下列说法：
①不存在到A，B两点的距离之和小于10cm的点；
②线段AB上存在无数个到A，B两点的距离之和等于10cm的点；
③线段AB外存在无数个到A，B两点的距离之和大于10cm 的点．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题
11．我家到学校的路线有如图三种方式，请帮我选出从我家（A点）到学校B点最近
的路线为________；这其中的道理是________．
12．如图1，M、N两个村庄在一条公路l（不计河的宽度）的两侧，现要建一公交站
台，使它到M、N两个村庄的距离之和最小，图2中所示的点P即为所求的公交站台的位
置，那么这样做的理由是__________．
13．如图，点 、 在直线 上，点 是直线 外一点，可知 ,其依据是
_____．14．下列三个现象：
①用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上；
②从A地到B地架设电线，只要尽可能沿着线段AB架设，就能节省材料；
③植树时，只要定出两棵树的位置，就能使同一行树在一条直线上．
其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有______(填序号)．
15．如图，M，N是线段AB的三等分点，C是NB的中点，若AB=10cm，则CM的长
度为___cm．
16．用一根钉子钉木条时，木条会来回晃动，用数学知识说明理由：______；
用两根钉子钉木条时，木条会被固定不动，用数学知识说明理由：______；
“把弯曲的公路改直，就能缩短路程”，其中蕴含的数学道理是______．
17．如图，将原来弯曲的A、B两地间的河道改直后大大缩短了河道的长度，这一做
法的主要依据是 _____．
18．下列生产现象中，不可以用“两点确定一条直线”来解释的有________．
①固定一根木条至少需要两个钉子；
②经过刨平的木板上的两个点可以弹出一条墨线；
③建筑工人通过在两个钉子之间拉一条绳子砌端；
④把弯曲的公路改直就可以缩短路程．
三、解答题19．如图，已知四点A，B，C，D，请用直尺按要求完成作图，
(1)作射线AD；
(2)作直线BC；
(3)连接BD，请在BD上确定点P，使 的值最小，依据是___．
20．按要求解题：
（1）如图，已知A、B、M、N四点，读下列语句，按要求作出图形（不写作法）；
①作线段AB，射线AN，直线BM，且射线AN与直线BM相交于点P；
②在线段AB的延长线上取点C，使 ；
（2）在图中，若AB＝2cm，D为AB的中点，E为AC的中点，求DE的长．
21．如图，点E是线段AB的中点，C是EB上一点，AC=12，(1)若EC:CB=1:4，求AB的长；
(2)若F为CB的中点，求EF长，
22．如图，点C在线段AB上， ，点D、E分别是AB和CB的中点，
， .
(1)求线段CD，DE，AB的长；
(2)是否存在点M，使它到A，C两点的距离之和等于8cm，为什么？
(3)是否存在点M，使它到A，C两点的距离之和大于10cm？如果点M存在，点M的
位置应该在哪里？为什么？这样的点M有多少个？
23．直线m表示一条公路，公路两旁分别有两个村庄A和B，要在公路上建一个临时
车站P，使它到两个村庄距离之和最小，车站P应建在什么位置？在图中画出车站的位置，
并说明这样的理由．
24．如图是由小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫格点，点A，B，C，
D均在格点上，请用直尺按要求完成画图并回答问题．(1)连接 ，延长 到E，使 ；
(2)分别画直线 ，射线 ；
(3)在射线 上找点P，使 最小，并写出此画图的依据是____________．
参考答案
1．D
【分析】根据直线的公理，可得答案．解：要把一根木条固定在墙上至少需要钉两颗钉子，其中的数学原理是两点确定一条
直线．
故选：D．
【点拨】本题考查了直线的公理，熟记直线的公理是解题关键．
2．C
【分析】根据两点确定一条直线，两点之间，线段最短进行逐一判断即可．
解：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上是因为两点确定一条直线，不符合题意；
②从A地到 地架设电线，总是尽可能沿着线段架设是因为两点之间，线段最短，
符合题意；
③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线是因为两点确
定一条直线，不符合题意；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程是因为两点之间，线段最短，符合题意；
故选：C．
【点拨】本题主要考查了两点之间，线段最短，两点确定一条直线，熟知相关定义是
解题的关键．
3．B
【分析】根据线段中点的定义得到CD=AD=6，根据线段的和差即可得到结论．
解：∵AD=6，D是AC中点，
∴CD=AD=6，
∵DB=14，
∴BC=BD CD=14-6=8，
故选：B．
【点拨】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此
题的关键．
4．C
【分析】根据线段的性质：两点之间，线段最短即可求解．
解：根据两点之间的距离，线段的长最短要使两家离桥的距离和最小，
PQ与AB的交点O就是桥的位置．
故选：C．
【点拨】本题主要考查直线的性质，线段的性质，掌握相关性质是解题的关键．
5．D【分析】根据直线的性质、线段公理，逐个进行分析、判断即可．
解：①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上，可以用“两点确定一条直线”来解
释，符合题意；
②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程，可以用“两点之间线段最短”来解释，
不符合题意；
③园林工人栽一行树先栽首尾的两棵树，可以用“两点确定一条直线”来解释，
符合题意；
④建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线然后沿着线砌墙，可以用“两点确定
一条直线”来解释，符合题意．
故选：D．
【点拨】此题主要考查了直线的性质，线段公理等知识，掌握直线的性质和线段公理
是解决问题的前提，将实际问题数学化是解决问题的关键．
6．C
【分析】根据“用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分”得到线段AB的长小于
点A绕点C到B的长度，从而确定答案．
解：小明用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一小部分，发现剩下树叶的周长比原树
叶 的周长要小，能正确解释这一现象的是数学上的知识是“两点之间，线段最短”．
故选：C．
【点拨】本题主要考查的是与线段、直线有关的几个基本事实，对它们的理解、应用
并能加以区分是关键．
7．B
【分析】根据线段的性质：两点之间线段最短，进行解答即可．
解：A、用两根钉子将细木条固定在墙上，依据是两点确定一条直线，故此选项不合
题意；
B、如果把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可用基本事实“两点之间，线段最
短”来解释，故此选项符合题意；
C、利用圆规可以比较两条线段的大小关系，是两点之间的距离，线段长度的比
较，故此选项不合题意；
D、植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上，依据是两
点确定一条直线，故此选项不合题意；
故选：B．【点拨】此题主要考查了线段的性质，两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折
线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
8．A
【分析】根据两点之间线段最短即可求出答案．
解：要在铁路上建一货站P，使它到两厂距离之和最短，
这个货站P应建在AB与MN的交点处，
这种做法用几何知识解释应是：两点之间，线段最短．
故选：A．
【点拨】本题考查了线段的性质，解题的关键是正确理解两点之间线段最短．
9．D
【分析】根据两点之间，线段最短解答即可．
解：用剪刀沿虚线将一片平整的长方形纸片剪掉一部分，发现剩下纸片的周长比原纸
片的周长要小，
能正确解释这一现象的数学知识是两点之间线段最短．
故选：D．
【点拨】本题考查的是线段的性质，掌握两点之间，线段最短是解题的关键．
10．D
【分析】根据线段上的点到线段两端点的距离的和等于线段的长，线段外的点到线段
两端点的距离的和大于线段的长，可得答案．
解：已知AB＝10cm，
①不存在到A，B两点的距离之和小于10cm的点，正确，符合题意；
②线段AB上存在无数个到A、B两点的距离之和等于10cm的点，正确，符合题
意；
③线段AB外存在无数个到A、B两点的距离之和大于10cm的点，正确，符合题
意，
故选：D．
【点拨】本题考查了两点间的距离，熟知线段上的点到线段两端点的距离的和等于线
段的长，线段外的点到线段两端点的距离的和大于线段的长是解题关键．
11． （3） 两点之间线段最短
【分析】由两点之间的所有连线中，线段最短，即可得到答案．
解：根据题意，从我家（A点）到学校B点最近的路线为（3）；
这其中的道理是：两点之间线段最短．
故答案为：（3）；两点之间线段最短．
【点拨】本题考查两点之间线段最短，解题的关键是熟记所学的性质进行判断．
12．两点之间，线段最短
【分析】根据两点之间线段最短进行求解即可．
解：图2中所示的点P即为所求的公交站台的位置，那么这样做的理由是两点之间，
线段最短，
故答案为：两点之间，线段最短．
【点拨】本题主要考查了两点之间的距离，熟知两点之间，线段最短时解题的关键．
13．两点之间，线段最短
【分析】根据题意可知 两点之间，线段 和折线 比较，线段最短
解：点 、 在直线 上，点 是直线 外一点，可知 ,其依据是
两点之间，线段最短
故答案为：两点之间，线段最短
【点拨】本题考查了线段的性质，掌握两点之间，线段最短是解题的关键．
14．②
【分析】直接利用线段的性质进而分析得出答案．
解：①用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上，可用“两点确定一条直线”来解释；
②从A地到B地架设电线，只要尽可能沿着线段AB架设，就能节省材料，可用
“两点之间线段最短”来解释；
③植树时，只要定出两棵树的位置，就能使同一行树在一条直线上，可用“两点
确定一条直线”来解释；
其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有②．
故答案为：②．
【点拨】此题考查了线段的性质和直线的性质，正确应用线段的性质是解题关键．
15．5
【分析】根据已知得出AM=MN=BN，AB=3BN，BN=2CN，根据AB=10cm求出BN和
CN，由CM=MN+CN即可求出答案．
解：∵M、N是线段AB的三等分点，
∴AM=MN=BN，AB=3BN，
∵C是BN的中点，∴BN=2CN，
∵AB=10cm，
∴BN= cm，CN= cm，
∴CM=MN+CN= + =5cm．
故答案为：5．
【点拨】本题考查了求两点之间的距离的应用，掌握中点与等分点的意义以及线段的
和与差是解决问题的关键．
16． 过一点有无数条直线 过两点有且只有一条直线 两点
之间线段最短
【分析】根据直线和线段的性质进行解答即可．
解：用一根钉子钉木条时，木条会来回晃动，数学道理：过一点有无数条直线；
用两根钉子钉木条时，木条会被固定不动，数学道理：过两点有且只有一条直线；
“把弯曲的公路改直，就能缩短路程”，其中蕴含的数学道理是： 两点之间线段
最短；
故答案为：过一点有无数条直线，过两点有且只有一条直线，两点之间线段最短．
【点拨】本题考查了直线的性质，过一点有无数条直线，过两点有且只有一条直线，
两点之间线段最短，解题关键是掌握直线和线段的性质．
17．两点之间线段最短
【分析】根据两点之间线段最短进行判断．
解：将弯曲的河道改直是根据两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短．
【点拨】本题考查两点之间的距离，理解两点之间线段最短是解题关键．
18．④
【分析】根据两点确定一条直线，逐项判断即可求解．
解：①固定一根木条至少需要两个钉子，可以用“两点确定一条直线”来解释；
②经过刨平的木板上的两个点可以弹出一条墨线，可以用“两点确定一条直线”
来解释；
③建筑工人通过在两个钉子之间拉一条绳子砌端，可以用“两点确定一条直线”
来解释；
④把弯曲的公路改直就可以缩短路程，用“两点之间，线段最短” 来解释；所以不可以用“两点确定一条直线”来解释的有④．
故答案为：④
【点拨】本题主要考查了油管线段的基本事实，熟练掌握两点确定一条直线；两点之
间，线段最短是解题的关键．
19．(1)见分析；(2)见分析；(3)见分析，两点之间，线段最短．
【分析】（1）根据射线的定义画出图形即可；
（2）根据直线的定义画出图形即可；
（3）根据两点之间线段最短，连接 ，交 于点 ．
(1)解：射线AD是以点A为端点，延伸方向为AD方向，作射线 如图所示；
(2)解：直线BC向两方无限延伸，过点B，C作直线BC如图所示；
(3)解：连接 ，交 于点 ，这时 最小，
理由：两点之间线段最短．
故答案为两点之间，线段最短．
【点拨】本题考查直线、射线、线段的定义作图，掌握两点之间线段最短是解题的关
键．
20．（1）①见分析；②见分析；（2）2cm
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）根据中点的定义与线段的和差即可求得DE的长．
解：（1）① 如图，连接AB即为线段AB，连接AN并延长即为射线AN，连接BM并
双向延长，交点为P，②如图所示，BC=2AB；
（2）如图所示，标注字母：
因为D为AB的中点，AB＝2cm，
所以AD＝1cm，
又因为BC＝2AB，
则BC＝4cm，AC＝6cm，
由于E为AC的中点，得：AE＝3cm，
所以DE＝AE－AD＝2cm．
【点拨】本题考查了作图—复杂作图、直线、射线、线段，两点间距离，解题的关键
是根据题意准确画图．
21．(1)AB=20；(2)EF=6．
【分析】（1）设CE=x，则CB=4x，根据线段中点的定义得到AE=BE，求得AE=5x，
得到AC=6x=12，于是得到结论；
（2）根据线段中点的定义得到AE=BE，设CE=x，求得AE=BE=12-x，得到BC=BE-
CE=12-x-x，于是得到结论．
（1）解：∵EC：CB=1：4，∴设CE=x，则CB=4x，BE=5x，∵点E是线段AB的中点，
∴AE=BE，∴AE=5x，∴AC=6x=12，∴x=2，∴AB=10x=20；
（2）解：∵点E是线段AB的中点，∴AE=BE，设CE=x，∴AE=BE=12-x，∴BC=BE-
CE=12-x-x=12-2x，∵F为CB的中点，
∴CF= BC=6-x，∴EF=CE+CF=x+6-x=6．
【点拨】本题考查了两点间的距离，解题的关键是结合图形，利用线段的和与差和线
段的中点即可解答．
22．(1) cm， cm， cm；(2)不存在，见分析，这样的点M有无数
个；(3)存在，见分析．【分析】（1）根据线段中点的意义计算即可；
（2）根据两点之间线段最短，可得出结论；
（3）A，C两点之间线段最短为10cm，线段AC外的点均满足题意．
（1）解：设 cm，则 cm， cm， ，
所以 ，所以， cm， cm， cm，
cm．
（2）不存在，因为两点之间线段最短为10cm；
（3）存在线段AB外任何一点到A，C两点的距离之和都大于10cm，两点之间线段最
短为10cm，这样的点M有无数个．
【点拨】本题考查了线段的中点、距离的相关定义，难度较易，掌握线段的基本概念
是解题的关键．
23．见分析
【分析】连接AB，则AB与直线m的交点就是车站P的位置．
解：如图，连接AB，则AB与直线m的交点就是车站P的位置，
理由：两点之间线段最短．
【点拨】本题考查了两点之间线段最短的实际应用，掌握两点之间线段最短是解答本
题的关键．
24．(1)见分析(2)见分析(3)图见分析；两点之间，线段最短
【分析】（1）根据题意，连接 ，延长 到E，使
（2）根据题意画直线 ，射线 ；
（3）根据两点之间，线段最短，连接 交 于点 ，则 最小．
解：(1)如图所示，连接 ，延长 到E，使 ，(2)如图所示，直线 ，射线 ，
(3)如图所示，连接 交 于点 ，
两点之间，线段最短；
【点拨】本题考查了画线段、射线、直线，两点之间线段最短，掌握以上知识是解题
的关键．
