文档内容
专题4.4几何图形（培优篇）（专项练习）
一、单选题
1．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是五边形，这个几何体可能是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．球体 D．长方体
2．用平面去截一个圆柱，截面不可能是（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示图形中，不是正方体的展开图的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．下列四个图形中是如图所示的展开图的立体图的是（ ）A．
B．
C．
D．
5．下列四张纸片中，可以沿虚线折叠成如图所示的正方体纸盒的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图1是一个正方体的展开图，该正方体按如图2所示的位置摆放，此时这个正方
体朝下的一面的字是（ ）
A．中 B．国 C．梦 D．强
7．一个正方体的展开图如图所示，每一个面上都写有一个自然数并且相对两个面所写的两个数之和相等，那么a+b﹣2c＝（ ）
A．40 B．38 C．36 D．34
8．将选项中的四个正方体分别展开后，所得的平面展开图与如图不同的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．用小立方块搭成的几何体，从左面看和从上面看如下，这样的几何体最多要 个小
立方块，最少要 个小立方块，则 等于（ ）
A． B． C． D．10．如图，有一个无盖的正方体纸盒，的下底面标有字母“ ”，若沿图中的粗线将
其剪开展成平面图形，这个平面图形是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图是某正方体的展开图，在顶点处标有数字，当把它折成正方体时，与 重合
的数字是（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
12．如图所示，每个小立方体的棱长为1，按如图所示的视线方向看，图1中共有1个
1立方体，其中1个看得见，0个看不见；图2中共有8个立方体，其中7个看得见，1个
看不见；图3中共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见；…，则第11个图形中，
其中看得见的小立方体个数是（ ）A．271 B．272 C．331 D．332
二、填空题
13．将一个长方体的一个角切去，所得的立体图形的棱的数量为______．
14．下图所示的三个几何体的截面分别是：
（ ） ______ ；（ ） ______ ；（ ） ______ ．
1 2 3
15．如图，长方形的长为 、宽为 ，分别以该长方形的一边所在直线为轴，将
其旋转一周，形成圆柱，其体积为_____ ．（结果保留 ）
16．把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图的四块，其中点E，F分别是AB，
AD的中点， ， ，用这四块纸片拼成一个与正方形ABCD不重合的
长方形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙），则长方形MNPQ的周长是_________．
17．如图，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中“国”字所在的面相对的面上
标的字是_____．
18．瑞士著名数学家欧拉发现：简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E之间满足一种有趣的关系：V+F﹣E＝2，这个关系式被称为欧拉公式．比如：正二十面体（如右图），
是由20个等边三角形所组成的正多面体，已知每个顶点处有5条棱，则可以通过欧拉公式
算出正二十面体的顶点为_____个．那么一个多面体的每个面都是五边形，每个顶点引出的
棱都有3条，它是一个_____面体．
19．一个正方体的六个面上分别写着六个连续的整数，且相对面上的两个数之和相等，
如图所示，能看到的数为7，10，11，则这六个整数的和为______.
20．一个透明多面体的展开图，每个面都标注了字母，请回答：如果 在前面，从左
面看是 ，（字母面显示在外面）那么哪一面会在上面________
21．将正方体骰子（相对面上的点数分别为1 和6，2和5，3 和4）放置于水平桌面
上，如图 1．在图 2 中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则
完成一次变换．若骰子的初始位置为图 1 所示的状态，那么按上述规则连续完成3次变换
后，骰子朝上一面的点数是________________；连续完成2015次变换后，骰子朝上一面的
点数是________________．
22．将两个棱长相等的正方体如图摆放，每个正方体的6个面均标上数字，且所有对
面数字之和均为10，则图中看不见的面的数字之和为___．23．如图是由几个小立方块所搭成几何体的从上面、从正面看到的形状图．则搭建这
样的几何体最少需要_________个小正方体
24．如图①是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从如图②所示的位置依次翻到第
1格、第2格、第3格、第4格、第5格，这时小正方体朝上面的字是__________．
25．如图，下图中是圆柱体的有________，是棱柱体的有_________．（只填图的标
号）
26．从正面和从左面看一个长方体得到的形状图如图所示(单位： cm)，则其从上面看
到的形状图的面积是______．
27．如果一个物体的顶点数与面数相同，并且有八条棱，那么这个物体是
_____________．
28．一位画家把7个边长为1m的相同正方体摆成如图的形状，然后把露出的表面
（不包括底面）涂上颜色，则涂色面积为_________m2.三、解答题
29．用平面截几何体可得到平面图形，在表示几何体的字母后填上它可截出的平面图
形的号码.
A（ ）；B（ ）；C（ ）；D（ ）；E（ ）.
30．把棱长为1cm的若干个小正方体摆放成如图所示的几何体，然后在露出的表面上
涂上颜色（不含底面）
（1）该几何体中有 小正方体？
（2）其中两面被涂到的有 个小正方体；没被涂到的有 个小正方体；
（3）求出涂上颜色部分的总面积．31．如图所示，图1为一个棱长为8的正方体，图2为图1的表面展开图（数字和字
母写在外表面上，字母也可以表示数），请根据要求回答问题：
（1）如果正方体相对面上的两个数字之和相等，则 ______， ______．
（2）如果面“10”是左面，面“6”在前面，则上面是______（填“x”或“y”或“2”）
（3）图1中，点M为所在棱的中点，在图2中找点M的位置，直接写出图2中
△ABM的面积．
32．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数
（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．
请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E）
四面体 4 4
长方体 8 6 12
正八面体 8 12
正十二面体 20 12 30
你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是 ．
（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 ．
（3）某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形
拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，
八边形的个数为y个，求x+y的值．参考答案
1．D
【分析】根据圆锥、圆柱、球体、长方体的几何特征，分别分析出用一个平面去截该
几何体时，可能得到的截面的形状，逐一比照后，即可得到答案．
解：A、用一个平面去截一个圆锥，得到的图形可能是圆形，椭圆，抛物线，双曲线
的一支，三角形，故A选项错误；
B、用一个平面去截一个圆柱，得到的图形只能是圆，椭圆，长方形，故B选项错误；
C、用一个平面去截一个球体，得到的图形可能是圆，故C选项错误；
D、用一个平面去截一个长方体，得到的图形可能是五边形，长方形，三角形，故D
选项正确．
故选D．
【点拨】此题考查立体图形，会识别图形的形状，学生有空间立体感很关键，培养学
生的空间想象能力.
2．B
【分析】根据圆柱的特点，考虑截面从不同角度和方向去截取的情况.
解：用平面去截圆柱，如果横切就是圆，竖切就是长方形，斜切就是椭圆，唯独不能
是梯形，
故选：B.
【点拨】此题考查用平面截几何体，注意截取的角度和方向.
3．C
【分析】根据平面图形的折叠及正方体的展开图解题．注意带“田”字的不是正方体
的平面展开图．
解：A、B、D都是正方体的展开图，故选项错误；
C、带“田”字格，由正方体的展开图的特征可知，不是正方体的展开图．
故选：C．
4．B
解：由展开图可知含小黑正方形的面不能与含大黑正方形的面相邻，所以A，C不是
展开图所对应的立体图；折叠后三个小黑正方形在同一面，这样D不符合；在A图中，正
好是大黑正方形在上面，那么含小黑正方形就在底面，B符合；故选B．
5．C
【分析】运用正方体展开图的知识进行作答即可
解：由展开图可知：可以沿虚线折叠成如图所示的正方体纸盒的是C；
故答案为C.
【点拨】本题考查了展开图折叠成几何体，灵活运用正方体各面与展开图的关系是解
答本题的关键.
6．B
【分析】动手进行实验操作，或者在头脑中模拟（想象）折纸、翻转活动即可求解．
解：由图1可得，“中”和第三行的“国”相对；第二行“国”和“强”相对；
“梦”和“梦”相对；
由图2可得，此时小正方体朝下面的字即为“中”的相对面对应的字，即为“国”．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相
对面入手，分析及解答问题．
7．B
【分析】由已知条件相对两个面上所写的两个数之和相等得到：8+a=b+4=c+25，进一
步得到a-c，b-c的值，整体代入a+b-2c=（a-c）+（b-c）求值即可．
解：由题意8+a=b+4=c+25
∴b-c=21，a-c=17，
∴a+b-2c=（a-c）+（b-c）=17+21=38．
故选B．
【点拨】本题考查灵活运用正方体的相对面解答问题，立意新颖，是一道不错的题．
解答本题的关键是得到a-c，b-c的值后用这些式子表示出要求的原式．
8．B
解：观察图形可知，将选项中的四个正方体分别展开后，所得的平面展开图与上面展
开图不同的是选项B．
9．A
解：由左视图和俯视图可得，如图所示：
第1个图最多共有6+1＝7个，第2个图最少有3+1+1＝5个，故x=7，y=5,所以
x+y=12．故答案是12．
10．A
【分析】根据无盖可知底面M没有对面，再根据图形粗线的位置，可知底面的正方形
位于底面与侧面的从左边数第2个正方形下边，然后根据选项选择即可．
解：∵正方体纸盒无盖，
∴底面M没有对面，
∵沿图中的粗线将其剪开展成平面图形，
∴底面与侧面的从左边数第2个正方形相连，根据正方体的表面展开图，相对的面之
间一定相隔一个正方形可知，只有A选项图形符合．
故选A．
【点拨】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相
对面入手，分析及解答问题．
11．D
【分析】当把这个平面图形折成正方体时，左面五个正方形折成一个无盖的正方体，
此时，1与13重合、2与4重合、5与7重合、10与12重合，右面一个正方形折成正方体
的盖，此时8与2、4的重合，9与1、13的重合．
解：当把这个平面图形折成正方体时，与4重合的数字是2、8.
故选：D．
【点拨】本题是考查正方体的展开图，训练学生观察和空间想象的能力．
12．C
【分析】根据图①中,共有1个小立方体,其中1个看得见,0=（1-1）3个看不见,
图②中,共有8个小立方体,其中7个看得见,1=（2-1）3个看不见,
图③中,共有27个小立方体,其中19个看得见,8=（3-1）3个看不见,…,
归纳出变化规律:
第n个图中,一切看不见的棱长为1的小立方体的个数为（n-1）3,
看见立方体的个数为n3-（n-1）3,将第11个代入即可求解.
解：图①中,共有1个小立方体,其中1个看得见,0=（1-1）3个看不见,
图②中,共有8个小立方体,其中7个看得见,1=（2-1）3个看不见,图③中,共有27个小立方体,其中19个看得见,8=（3-1）3个看不见,…,
第n个图中,一切看不见的棱长为1的小立方体的个数为（n-1）3,
看见立方体的个数为n3-（n-1）3,
所以则第11个图形中,其中看得见的小立方体有113-103=331个,
故选C.
【点拨】本题主要考查图形变化规律,解决本题的关键是要通过题目条件进行归纳找出
图形变化规律.
13．15条或14条或12条或13条
【分析】根据长方体的特征：长方体有12条棱．在顶点处截去一个角就多出三条棱，
但是长方体原本的12条棱少了几条要画图分类讨论．
解：①
（条）；
②
（条）；
③
（条）；④
（条）；
答：所得立体图形的棱的条数为15条或14条或12条或13条
故答案为：15条或14条或12条或13条
【点拨】本题考查了长方体的特征和截长方体，明确在顶点处截去一个角就多出3条
棱是解题关键．
14． 圆 长方形 三角形
解：根据图示直接可判断，第一个截面是圆，第二个是一个长方形，第三个是一个三
角形.
故答案为圆，长方形，三角形.
15． 或 ．
【分析】根据圆柱体的体积=底面积×高求解，再利用圆柱体侧面积求法得出答案．
解：若以 为轴，旋转一周，
则 为半径，
所以 ，
若以 为轴，旋转一周，
则 为半径，
所以 ，
故答案为 或
【点拨】此题主要考查了面动成体，关键是掌握圆柱体的体积和侧面积计算公式．
16．10
【分析】根据题意，将三角形 和四边形 移动位置，即可得到长方形
MNPQ；再根据正方形纸片ABCD边长为2，通过计算即可得到长方形MNPQ的边长，从
而完成求解．
解：∵点E，F分别是AB，AD的中点， ，∴如下图，将三角形 和四边形 移动位置，即可得到长方形MNPQ；
∵正方形纸片ABCD边长为2
结合题意，得 ，
∴
∴长方形MNPQ的周长
故答案为：10．
【点拨】本题考查了平面图形的知识；解题的关键是熟练掌握平面图形的性质，从而
完成求解．
17．伟
【分析】根据在正方体的表面展开图中 ，相对的面之间一定相隔一个正方形即可解答．
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“伟”与“国”是相对面，
“人”与“中”是相对面，
“的”与“梦”是相对面．
故答案为：伟．
【点拨】本题主要考查了正方体与展开图的面的关系，掌握相对的面之间一定相隔一
个正方形是解答本题的关键.
18． 12． 12．
【分析】①设出正二十面体的顶点为n个，则棱有 条.利用欧拉公式构建方程即可
解决问题.②设顶点数V、棱数E、面数F、每个点都属于三个面，每条边都属于两个面，
利用欧拉公式构建方程即可解决问题.
解：①设出正二十面体的顶点为n个，则棱有 条．由题意F＝20，
∴n+10﹣ ＝2，
解得n＝12．
②设顶点数V，棱数E，面数F，每个点属于三个面，每条边属于两个面
由每个面都是五边形，则就有E＝ ，V＝
由欧拉公式：F+V﹣E＝2，代入：
F+ ﹣ ＝2
化简整理：F＝12
所以：E＝30，V＝20
即多面体是12面体．棱数是30，面数是12，
故答案为12，12.
【点拨】本题考查欧拉公式的应用，解题的关键是弄清题意、利用等量关系列出方程
是解答本题的关键.
19．57
【分析】根据六个面上的数是连续整数可得另外三个面上的数有两个是8，9，再根据
已知数有10，11可知另一个数不可能是6，只能是12，然后求解即可．
解：∵六个面上分别写着六个连续的整数，
∴看不见的三个面上的数必定有8，9，
若另一个面上数是6，则10与7是相对面，与题不符，
所以，另一面上的数是12，
此时7与12相对，
8与11相对，
9与10相对，
所以，这六个整数的和为3×（10+9）=57．
故答案是：57．
【点拨】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相
对面入手，分析及解答问题，难点在于确定出看不见的三个面中有一个是12．
20．C
解：训练空间想象能力，或者实际操作制作纸盒可得C.21． 3 6
解：试题分析：根据题意可知连续3次变换是一循环．所以2015÷3=671......2，所以连
续完成3次变换后，骰子朝上一面的点数是3，连续完成2015次变换后，骰子朝上一面的
点数是6．故答案为3，6．
考点：规律型．
22．50
【分析】根据题意可分别得出正方体每个面上的数字，再相加即可，注意不要忘记两
个正方体中间两面上的数字．
解：根据题意可得出2对面是8，4对面是6，6对面是4，3对面是7，-5对面是15，
两个正方体中间两面上的数字和为10，
∴图中看不见的面的数字和为： ．
故答案为：50．
【点拨】本题考查的知识点是有理数的加法运算，结合图形找出正方体每个面上的数
字是解此题的关键．
23．11
解：从正面看，该几何体从下到上共放置了3层小立方块，结合从上面看到的图可知，
该几何体最下面一层至少需小立方块8个，第2层至少需小立方块2个，第3层至少需1个
小立方块，所以整个几何体至少需小立方块11个.
24．路
【分析】先由图1分析出：“国”和“兴”是对面，“梦”和“中”是对面，“复”
和“路”是对面，再由图2结合空间想象得出答案．
解：由图1可知：“国”和“兴”是对面，“梦”和“中”是对面，“复”和“路”
是对面，
再由图2可知，1、2、3、4、5分别对应的面是“兴”、“梦”、“路”、“国”、
“复”，
所以第5格朝上的字是“路”．
所以答案是路．
【点拨】本题考查了正方体的展开图，用空间想象去解决正方体的滚动是解题的关键．
25． ③、④ ②、⑤、⑥
【分析】根据圆柱体和棱柱体的结构特点进行判断即可.
解：①、⑦不符合圆柱体和棱柱体的结构特点，③、④符合圆柱体的结构特点，
②、⑤、⑥符合棱柱体的结构特点.
故答案为（1）③、④ （2）②、⑤、⑥
【点拨】本题考查圆柱体和棱柱体的结构特点，棱柱的结构特征：有两个面互相平行，
其余各面都是四边形，并且相邻四边形的公共边互相平行，熟练掌握圆柱体和棱柱体的结
构特点是解题关键.
26．12cm2
解：试题解析：根据从左面、从正面看到的形状图的相关数据可得；
从正面看到的形状图是长为4cm宽为2cm的长方形，
从左面看到的形状图是长为3cm宽为2cm的长方形，
则从上面看到的形状图的面积是4×3=12cm2.
27．四棱锥
解：点数和面数相同则肯定是棱锥，且棱数是底面边数的2倍，因为总棱数=侧棱数
+底棱数，侧棱数=底棱数，底棱数也就是底面边数．所以此物体是四棱锥．
28．23
【分析】依据图形第一层露出4×2个面，第二层露出4×3+3个面，从而可解．
解：根据分析得露出的面的个数为4×2+4×3+3=23，又每个面的面积为1m2，
则涂色面积为23m2.故答案为：23．
【点拨】结合图形的特征，认真观察，是解决此类问题的关键．
29．A（1、5、6）；B（1、3、4）；C（1、2、3、4）；D（5）；E（3、5、6） .
解：试题分析：分别分析五种图形的所有的截面情况，即可写出答案．
试题解析：A圆锥，截面有可能是三角形，圆，椭圆（不完全），
B三棱锥，截面有可能是三角形，正方形，梯形，
C正方体，截面有可能是三角形，四边形（矩形，正方形，梯形），五边形，六边形，
D球体，截面只可能是圆，
E圆柱体，截面有可能是椭圆（不完全），圆，矩形，
因此答案为：A（1、5、6）；B（1、3、4）；C（1、2、3、4）；D（5）；E（3、
5、6） .
【点拨】截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．对于这类
题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归纳的思想方法．空间想
象力对于解答此类题目也是比较关键的.30．（1）14；（2）4，1；（3）33cm2
【分析】（1）该几何体中正方体的个数为最底层的9个，加上第二层的4个，再加上
第三层的1个；（2）根据图中小正方体的位置解答即可；（3）涂上颜色部分的总面积可
分上面，前面，后面，左面，右面，相加即可．
解：（1）该几何体中正方体的个数为9+4+1=14个；
（2）根据图中小正方体的位置可知：最底层外边中间的小正方体被涂到2个面，共4
个，只有最底层正中间的小正方体没被涂到，
故答案为4；1；
（3）先算侧面--底层12个小面； 中层8个小面； 上层4个小面；
再算上面--上层1个 中层3个（正方体是可以移动的，不管放在哪里，它压住的面积
总是它的底面积，也就是一个，所以中层是4减1个）底层（9-4）=5个，
∴总共12+8+4+1+3+5=33个小面．
∴涂上颜色部分的总面积=1 1 33=33cm2.
【点拨】考查几何体三视图的画法及有关计算；有规律的找到正方体的个数和计算露
出部分的总面积是解决本题的关键．
31．（1）12；8（2）2；（3）16或80
【分析】（1）正方体展开图中，相对的两个面之间必然隔着一个正方形，由此知道
“2”与“x”是相对面，“4”与“10”是相对面，“6”与“y”是相对面，由相对面两个数之和
相等，列式计算即可；
（2）由相邻面和相对面的关系，分析判断即可得到答案；
（3）由点M所在的棱为两个面共用，可以判断得到点M的位置，根据三角形面积公
式，即可得到答案．
解：（1）∵正方体相对面上的两个数字之和相等
∴ ，
∴ ，
故答案为：12；8
（2）若面“10”是左面，面“6”在前面，则上面是“2”
（3）因为点M所在的棱为两个面共用，所以它的位置有两种情况，第一种情况如下
图：设点M左边的顶点为点D，则
第二种情况如下图：
综上所述， 的面积为：16或80
【点拨】本题考查正方体的展开图，能够准确区分展开图的相对面和相邻面是解题的
关键．
32．（1）填表见分析，V+F-E=2；（2）20；（3）14
【分析】（1）观察可得顶点数+面数-棱数=2；
（2）代入（1）中的式子即可得到面数；
（3）得到多面体的棱数，求得面数即为x+y的值．
解：（1）四面体的棱数为6；正八面体的顶点数为6；关系式为：V+F-E=2；
多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E）
四面体 4 4 6
长方体 8 6 12
正八面体 6 8 12
正十二面体 20 12 30
（2）由题意得：F-8+F-30=2，解得F=20；
（3）∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；
∴共有24×3÷2=36条棱，
那么24+F-36=2，解得F=14，∴x+y=14．
【点拨】本题考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用．
