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第 07 讲 位似
课程标准 学习目标
①位似图形的定义 1. 掌握位似图形的定义并能够熟练的判定位似关系。
②位似图形的性质 2. 掌握位似图形的性质并能够在解决位似的相关题目时熟练的应用。
③位似图形的画法 3. 掌握位似图形的画法，能够熟练的作位似图形。
④位似变换与坐标 4. 掌握位似变换中坐标的关系，能熟练的求出位似变换中的坐标。
知识点01 位似图形的定义
1. 位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线 ，对应边 或在同
一直线上，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做 。
【即学即练1】
1．已知：△ABC∽△A′B′C′，下列图形中，△ABC与△A′B′C′不存在位似关系的是（ ）A． B．
C． D．
【即学即练2】
2．如图，在网格图中的△ABC与△DEF是否成位似图形？说明理由．如果是，同时指出它们的位似中心．
知识点02 位似图形的性质
1. 位似图形的性质：
①位似图形是特殊的 图形，它具有 图形的所有性质。
②位似图形的对应点连线交于一点，即 。对应边 或 上。
③位似图形任意一组对应点到位似中心的距离的比值等于 。
【即学即练1】
3．如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若△ABC与△DEF的面积比为4：9，则
OA：OD为（ ）
A．4：9 B．2：3 C．2：1 D．3：1
【即学即练2】
4．如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，OA：AD＝1：2，△ABC的周长为8，则
△DEF的周长为（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32【即学即练3】
5．如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，点O是它们的位似中心，若OA：OA′＝2：3，则
四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（ ）
A．1：2 B．2：3 C．2：5 D．4：9
知识点03 位似图形的画法
1. 画位似图形的步骤：
①定点：确定 以及原图形中的关键点。
②连线：过位似中心与各关键点连直线。
③截取：根据 ，在连线上截取适当的长度，做出个关键点的对应点。
④构图：按照原图形顺次连接新图形的关键点。得到位似图形。
【即学即练1】
6．画出图（1）、（2）中的位似中心．
【即学即练2】
7．如图，以点O为位似中心，位似比为2，画出△ABC的位似△A′B′C′．
知识点04 位似变换与坐标
1. 用坐标表示位似：
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k。当图形在原点的同侧，则比值为k，当图形在原点异侧时，则比值为﹣k。
即若A（x，y），以原点为位似中心，相似比为k的对应点的坐标为 。
【即学即练1】
8．如图，△AOB和△COD是以点O为位似中心的位似图形，点 A的坐标为（1，2），点B的坐标为
（3，0），位似比为1：2，则点C的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（2，4） C．（3，3） D．（3，4）
【即学即练2】
9．如图，在直角坐标系中，点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，以点O为位似中心，在第三象限
内与△OAB 的位似比为 的位似图形△OCD．若点 C 的坐标为（﹣1，﹣ ），则点 A 的坐标为
（ ）
A．（ ，2） B．（2，3） C．（3， ） D．（3，2）
题型01 几何变换的类型判断
【典例1】下列各组图形中，能将其中一个图形经过平移变换得到另一图形的是（ ）
A． B．
C． D．【变式1】如图，用放大镜将贺兰山旅游图标放大，这两个图形之间属于以下哪种图形变换（ ）
A．相似 B．平移 C．轴对称 D．旋转
【变式2】对下列各表情图片的变换顺序描述正确的是（ ）
A．轴对称，平移，旋转 B．轴对称，旋转，平移
C．旋转，轴对称，平移 D．平移，旋转，轴对称
【变式3】如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的边BC在y轴上，∠A＝60°，AB＝4，点C的坐标
为（0，1），Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE，且点E在y轴上，这种变换可以是（ ）
A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位长度
B．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3个单位长度
C．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1个单位长度
D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1个单位长度
题型02 利用位似图形的性质求线段、周长及面积
【典例1】如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC与△DEF的周长之比是3：2，则
AO：DO的值为（ ）
A．3：5 B．3：2 C．4：9 D．9：4
【变式1】如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，O是位似中心，位似比为A′B′：AB＝1：3，若
AC＝12，则A′C′的长为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】如图，嘉嘉利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，
他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔O，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像
与蜡烛火焰位似，其位似中心为O，其中薯片筒的长度为16cm．蜡烛火焰AB高为6cm，若像高CD为
3cm，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为（ ）
A． B．25cm C．32cm D．64cm
【典例2】在如图所示的平面直角坐标系中，△OAB与△OCD是以O为位似中心的位似图形，已知点B
的坐标为（3，3），点D的坐标为（﹣2，﹣2），则△OAB与△OCD的周长比是（ ）
A．3：2 B．9：4 C．5：2 D．25：4
【变式1】如图，△ABC和△A B C 是以点P为位似中心的位似图形，若 ，△ABC的周长为
1 1 1
6，则△A B C 的周长是（ ）
1 1 1
A．8 B．12 C．18 D．24
【变式 2】如图，△ABC 与△A'B'C′位似，位似中心为点 O，OA'＝2AA'，△ABC 的周长为 9，则
△A'B'C'周长为（ ）A． B．6 C．4 D．
【典例3】如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且OC：OF＝3：2，则△ABC的面积与
△DEF的面积之比为（ ）
A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．9：5
【变式1】如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AA'＝1：3，△ABC的面积
为2，则△A'B'C'的面积为（ ）
A．8 B．18 C．32 D．64
【变式2】如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O．若OA：AD＝1：3，△ABC的面积为
2，则△DEF的面积为（ ）
A．6 B．8 C．18 D．32
题型03 利用位似变换求点的坐标
【典例1】如图，在平面直角坐标系中，已知A（1.5，0），D（4.5，0），△ABC与△DEF位似，原点O
是位似中心．若C（1，3），则点F的坐标是（ ）A．（2，6） B．（2.5，4.5） C．（3，9） D．（4，8）
【变式1】在平面直角坐标系内，线段AB的两个端点的坐标分别为A（﹣6，3），B（﹣6，0），以原点
O为位似中心，相似比为 ，将线段AB缩小得到线段A'B'，则点A的对应点A'的坐标为（ ）
A．（﹣2，1） B．（1，﹣2）或（﹣1，2）
C．（2，﹣1） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
【变式2】如图，△AOB的顶点A的坐标为（﹣4，2），现以原点O为位似中心，画一个三角形与△AOB
位似，相似比为 ，则点A的对应点的坐标为（ ）
A．（2，﹣1） B．（8，﹣4）
C．（2，﹣1）或（﹣2，1） D．（8，﹣4）或（﹣8，4）
【变式3】已知△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．正方
形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点B为位似中心，在网格中画出△A BC ，使
1 1
△A BC 与△ABC位似，且相似比为2：1，则C 坐标为（ ）
1 1 1
A．（1，﹣1） B．（1，0） C．（2，0） D．（﹣1，0）
题型04 位似作图
【典例1】如图，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为（3，﹣1），（2，1）．
（1）若以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC缩放，使得相似比为1：2，求作△OB′C′；
（2）分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标．【变式1】如图，在平面直角坐标系xOy中，方格图中的每个小方格都是边长为 1个单位长度的正方形，
△ABC的顶点都在格点上．
（1）将△ABC向左平移8个单位长度，请画出平移后的△A B C ；
1 1 1
（2）画出平移后△A B C 关于x轴对称的△A B C ；
1 1 1 2 2 2
（3）以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△A B C 与△ABC对应边的比为1：2，请
3 3 3
画出△A B C ．
3 3 3
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（﹣1，2），B（﹣4，3），C（﹣3，
1）．
（1）以点B为位似中心，在点B的下方画出△A B C ，使△A B C 与△ABC位似，且位似比为2：1；
1 1 1 1 1 1
并写出A 和C 的坐标．
1 1
（2）求四边形CC A A的面积．
1 1【变式3】如图，在13×13的网格图中，已知△ABC和点M（1，2），
（1）以点M为位似中心，在y轴右侧画出△A′B′C′，使它与△ABC位似，且位似比为2；
（2）若△ABC内有一点P（a，b），直接写出△A′B′C′与P点对应的P′的坐标 ．
1．如图，已知△A′B′C′与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，位似比为2：3，则下列说法错误
的是（ ）A．△BCO∽△B′C′O
B．△A′B′C′与△ABC周长比为2：3
C．S△A′B′C′ ：S△ABC ＝4：9
D．OB′：BB′＝3：2
2．如图，在直角坐标系中，已知△ABC中，B的坐标为（4，2），以原点O为位似中心，在第一象限内
作△A′B′C′与△ABC位似，位似比为1：2，则顶点B′的坐标为（ ）
A．（4，8） B．（8，4） C．（1，2） D．（2，1）
3．如图，△ABC 与△A
1
B
1
C
1
是以点 O 为位似中心的位似图形，若 ，S△ABC ＝27，则
＝（ ）
A．3 B．6 C．9 D．13.5
4．如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA：AA′＝
1：2，则△ABC和△A′B′C′的周长之比为（ ）A．1：2 B．1：4 C．4：9 D．1：3
5．2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮
品．图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票
和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形（图2），我们发现设计师巧妙
地使用了数学元素（忽略误差），图2中的四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形，点O是位似中
心，点A'是线段OA的中点，那么以下结论正确的是（ ）
A．四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为1：1
B．四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为1：2
C．四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的周长比为3：1
D．四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比为4：1
6．如图，小雪利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置．她在
薯片筒的底部中央打上一个小圆孔O，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡
烛火焰位似，其位似中心为O，其中薯片筒的长度为12cm．蜡烛火焰AB高为6cm，若像CD高3cm，
则蜡烛到薯片筒底部小孔O的距离为（ ）
A．6cm B．24cm C．36cm D．48cm
7．如图，矩形OABC各顶点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（3，2），C（0，2），以原点O为
位似中心，将这个矩形按相似比 缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标是（ ）
A．（9，4） B．（4，9） C．（1， ） D．（1， ）
8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4）、B（﹣6，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为
，把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标是（ ）A．（﹣1，2） B．（﹣3，﹣1）
C．（﹣1，2）或（1，﹣2） D．（﹣3，﹣1）或（3，1）
9．如图，两个三角形关于原点位似，且一对对应点的坐标分别为 A（2，﹣4），B（﹣1，b），则b的值
为（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣2 D．2
10．由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝
30°．若S△AOB ＝1，则图中与△BOA位似的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，正方形网格图中的△ABC与△A′B′C′是位似关系图，则位似中心是点R、点P、点Q、点O
四个点中的 ．
12．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，△ABC与△DEF的面积之比为4：1，则OD：
OA＝ ．13．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形EFGH是位似图形，点M（﹣1，1.5）是位似中
心，已知点A，B的坐标为（0，2），（0，1），点F的坐标为（2，0），则点H的坐标为 ．
14．如图，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，相似比为1：3，点A，B，E
在x轴上，若点A的坐标为（1，0），则点F的坐标为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，且OA＝1， ，
在第二象限内，以原点O为位似中心将矩形AOCB各边放大为原来的 倍，得到矩形A OC B ，再以原
1 1 1
点 O 为位似中心将矩形 A OC B 各边放大为原来的 倍，得到矩形 A OC B ，以此类推…，矩形
1 1 1 2 2 2
A OC B 的面积为 ，矩形A OC B 的面积为 ．
2 2 2 2024 2024 2024
16．如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的9×9网格中，已知点O，A，B，C均为网格线的交点．
（1）以O为位似中心，在网格中画出△ABC的位似图形△A B C ，使原图形与新图形的位似比为1：
1 1 1
2；（2）利用图中网格线的交点用直尺在线段AB上找到一点D，使AD：DB＝1：2．
17．如图，在平面直角坐标系中，网格中每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B、C的坐标分别为A
（1，2），B（0，1），C（2，0）．
（1）以原点O为位似中心在第三象限画出△A B C ，使它与△ABC位似，且△A B C 与△ABC的相似
1 1 1 1 1 1
比是2：1；（点A 、B 、C 分别与点A、B、C对应）
1 1 1
（2）在（1）的条件下，点A 的坐标为 ．
1
18．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．
（1）若△ABC与△DEF的相似比为1：2，AC＝2，求DF的长；
（2）若∠O＝22°，∠ABC＝38°，求∠OFE的度数．
19．如图，AB 和 A'B'与 x 轴垂直，A 点坐标是（1，2），△AOB 和
△A'OB'是位似三角形，且位似比是1：3，点C是OA'的中点，反比例函 数的图象经过点C，与A'B'交于点D．
（1）求点D坐标；
（2）连接BD、CD，求四边形ABDC的面积．
20．已知抛物线 与x轴交于点A（1，0）和点B，对称轴为直线x＝2．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点C为抛物线对称轴上一点，则在抛物线上是否存在点D，使得△OAC与△OBD位似，且位似
中心为点O？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
