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专题 4.3 平面图形中的动点问题
【例题精讲】
【例1】如图， 是线段 上不同于点 ， 的一点， ， ， 两动点分别从
点 ， 同时出发在线段 上向左运动（无论谁先到达 点，均停止运动），点 的运
动速度为 ，点 的运动速度为 ．
（1）若 ，
①当动点 ， 运动了 时， 1 2 ；
②当 ， 两点间的距离为 时，则运动的时间为 ；
（2）当点 ， 在运动时，总有 ，
①求 的长度；
②若在直线 上存在一点 ，使 ，求 的长度．
【解答】解：（1）① ， ，
，
动点 ， 运动了 ，
， ，
， ，
，
故答案为：12；
②设运动时间为 ，
， ，
，
，
，
，故答案为：4；
（2）① ， ， ，
，
，
，
，
，
；
②当 点在 点右侧时， ，
，
；
当 点在 之间时，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述： 的长度为 或 ．
【例2】已知 ， 为 内部的一条射线（1）如图1，若 平分 ， 平分 ， 的度数为 ；
（2）如图2， 在 内部 ，且 ， 平分
平分 （射线 在射线 左侧），求 的度数；
（3）在（2）的条件下， 绕点 运动过程中，若 ，求 的度数．
【解答】解：（1）如图1，
平分 ， 平分 ，
， ，
；
故答案为： ；
（2） 平分 ， 平分 ，
， ，；
（3）当 在 的右侧时，如图2，
设 ，则 ，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
即 ，
，
解得 ，
即 ，
当 在 的左侧时，如图3，
设 ，则 ，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
，
解得 ，
答： 的度数为 或 ．【题组训练】
1．如图，已知线段 ，点 为线段 上的一个动点，点 ， 分别是 和
的中点．
（1）若 ，求 的长；
（2）若把“点 在线段 上”改为“点 在直线 上”，当 时，求 的长．
（请画出图形，说明理由）
【解答】解：（1） ， ，
，
点 、 分别是 和 的中点，， ，
；
（2）分两种情况：
①当点 在线段 上，由（1）得 ；
②当点 在直线 上，如下图所示，
，
，且 是 的中点，
，
又 分别是 的中点，
，
，
当 在直线 上时，线段 的长度是 ．
综上所述， 的长是 ．
2．如图①，已知点 是线段 上一点，点 在线段 上，点 在线段 上， 、
两点分别从 、 出发以 、 的速度沿直线 运动，运动方向如箭头所示．
（1）若 ， ，当点 、 运动了 ，求 的值．
（2）若点 、 运动时，总有 ，则： ．
（3）如图②，若 ，点 是直线 上一点，且 ，求 的值．
【解答】解：（1）当点 、 运动了 时， ，
， ，（2） ， 两点的速度分别为 ，3 ，
．
又 ，
，即 ，
；
（3）当点 在线段 上时，如图
，又
， ，即 ．
当点 在线段 的延长线上时，如图
，又
，即 ．综上所述 或1．
3．如图， 为 内一条射线， 的余角是它自身的两倍．
（1）求 的度数；
（2）射线 从 开始，在 内以 的速度绕着 点逆时针方向旋转，转到
停止，同时射线 在 内从 开始以 的速度绕 点逆时针方向旋转转到
停止，设运动时间为 秒．
①若 ， 运动的任一时刻，均有 ，求 的度数；
② 为 内任一射线，在①的条件下，当 时，以 为边所有角的度数和的最
小值为 ．
【解答】解：（1）设 ，则 的余角 ，
依题意有： ，，
；
（2）① 运动时间为 秒，则
， ， ，
，
设 ，
又 ，
则有： ，
解得： ，
，
②当 与 重合时，以 为边所有角的度数和的有最小值，
当 时，以 为边所有角的度数和的最小值为 ．
故答案为：
4．如图，平面内一定点 在直线 的上方，点 为直线 上一动点，作射线 、
、 ，当点 在直线 上运动时，始终保持 、 ，将射
线 绕点 顺时针旋转 得到射线
（1）如图1，当点 运动到使点 在射线 的左侧，若 平分 ，求 的度
数．
（2）当点 运动到使点 在射线 的左侧， 时，求 的值．
（3）当点 运动到某一时刻时， ，直接写出 105 或 135 或 75 或
45 度．【解答】（本题10分）
解：（1） 平分 ，
设 ，
，
，
，
，
，
；
（2）①当点 运动到使点 在射线 的左侧，
，
设 ， ．
，
，
．
．
，
．
．
．
．
．②当点 运动到使 在射线 的左侧，但是射线 在 外部时．
，
设 ， ，
．
．
．
．
．
（3）①如图3，当 时，
由图可得： ．
，
．
．
②如图4，当 时，
由图可得： ．
，
．
．
当射线 在 下面时， 或 ．
综上所述： 的度数为 或 或 或 ．
故答案为：105或135或75或45．5．如图1， 是在数轴上一定点， 表示的数是5， 是数轴上一动点， 从原点 出发
沿数轴正方向运动，速度为每秒1个单位长度，点 在 的右侧， ，点 在点
的左侧， ，设 运动的时间为 秒．
（1）如图2，若 与点 重合，求 的长；
（2）若 在线段 上运动，且 ，求 的值；
（3）整个运动过程中，当 时，写出点 所表示的数（直接写出答案即可）．
【解答】解：（1）当点 与点 重合时， ，
点 在点 的左侧， ，点 表示的数是5，
点 表示的数为3，
．
（2）当点 在线段 上运动时，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，
， ，
点 表示的数为 ，
，
，
解得： 或 ．
（3）点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，， ，
点 表示的数为 ，
，
．
当 时，有 ，
解得： ， ，
此时点 表示的数为 或1；
当 时，有 ，
解得： ，
此时点 表示的数为2．
综上所述：整个运动过程中，当 时，点 所表示的数为 、1或2．
6．如图，已知 ， 分别为数轴上的两点，点 表示的数是 ，点 表示的数是50．
（1）请写出线段 中点 表示的数是 1 0 ．
（2）现有一只蚂蚁 从点 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时另一
只蚂蚁 恰好从点 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动，设两只蚂蚁在
数轴上的点 相遇．
①求 、 两点间的距离；
②求两只蚂蚁在数轴上的点 相遇时所用的时间；
③求点 对应的数是多少？
（3）若蚂蚁 从点 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时另一只蚂蚁
恰好从 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴也向左运动，设两只蚂蚁在数轴上
的 点相遇，求 点表示的数是多少？【解答】解：（1）
中点 表示的数是10．
故答案为：10
（2）① 、 两点间的距离为：
②两只蚂蚁在数轴上的点 相遇时所用的时间为： （秒
③点 对应的数是：
（3） 点表示的数是：
7．已知数轴上有三点 、 、 ．
（1）若 ，点 对应的数是200， ，求点 对应的数；
（2）在（1）的条件下动点 、 分别从 、 同时出发，其中 向正方向运动， 向反
方向运动， 的速度是 的3倍多3个单位长度，20秒后相遇，求 的速度和相遇地点
对应的数；
（3）若 ， ， 为 中点， 对应的数是 ，求 的长以及点 对应的
数．
【解答】解：（1） ， ，
，
点 对应的数是200，
点 对应的数是 ；
（2）设 的速度是 个单位长度 秒，则 的速度是 个单位长度 秒，
由题意得： ，
，
，
相遇地点对应的数是 ；（3）如图， ， ，
，
，
为 中点，
，
对应的数是 ，
点 对应的数是 ．
8．如图，数轴上有 、 、 、 、 五个点，点 为原点，点 在数轴上表示的数是
5，线段 的长度为3个单位，线段 的长度为1个单位，且 、 两点之间的距离
为12个单位，请解答下列问题：
（1）点 在数轴上表示的数是 8 ，点 在数轴上表示的数是 ；（2）若点 以每
秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动 秒运动到点 处，且 的长度是2个单位，求
点 运动的时间；
（3）把线段 的中点记作 ，如果线段 以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，
同时 点以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动，直接写出点 与线段 的一个
端点的距离为1.5个单位时运动的时间．
【解答】解：（1） 点 在数轴上表示的数是5，线段 的长度为3个单位，且点 在
点 右侧，
点 在数轴上表示的数为8．
线段 的长度为1个单位，且 、 两点之间的距离为12个单位，且点 在点 的左
侧，点 在点 的左侧，
点 在数轴上表示的数为 ，点 在数轴上表示的数为 ．
故答案为：8； ．
（2）点 在数轴上表示的数为 ，
的长度是2个单位，，
解得： 或 ．
点 的运动时间为5秒或7秒．
（3） 点 在数轴上表示的数为5，点 在数轴上表示的数为8，点 为线段 的中点，
点 在数轴上表示的数为 ．
运动时间为 时，点 在数轴上表示的数为 ，点 在数轴上表示的数为 ，点
在数轴上表示的数为 ，
当 时，有 ，
解得： 或 ；
当 时，有 ，
解得： 或 ．
综上所述：点 与线段 的一个端点的距离为1.5个单位时运动的时间为2秒、 秒、
秒或 秒．
9．如图甲，点 是线段 上一点， 、 两点分别从 、 同时出发，以 、
的速度在直线 上运动，点 在线段 之间，点 在线段 之间．
（1）设 、 两点同时沿直线 向左运动 秒时， ，求 的值；
（2）在（1）的条件下，若 、 运动 秒后都停止运动，此时恰有 ，
求 的长；
（3）在（2）的条件下，将线段 在线段 上左右滑动如图乙（点 在 之间，点
在 之间），若 、 分别为 、 的中点，试说明线段 的长度总不发生变
化．【解答】解：（1）设 ，则 ，
又 ，
， ，
；
（ 2 ） 设 ， ， 又 ， ， 由
，得
， ，
，
；
（3）在（2）中有 ， ， ， ，
设 ， ，
， ，
．
10．如图， 是线段 上一点，且 ， 、 两点分别从 、 同时出发，
点以 的速度向点 运动， 点以 的速度向点 运动，当一点到达终点时，
另一点也停止运动．
（1）当 ，点 、 运动了 时，求这时 与 的数量关系；
（2）若点 、 运动了 时，恰好点 是 的中点，求 的长；
（3）若点 、 运动时，总有 ，求 的长．【解答】解：（1） ， ，
．
当 、 运动 时，
，
，
．
，
．
（2）当 、 运动 时，
， ．
是 的中点，
，
，
．
（3）设 、 运动 ，则 ， ，
，设 ，则 ．
， ．
，
．
11．如图，已知线段 ， ，线段 在线段 上运动， 、 分别是
、 的中点．
（1）若 ， 7 ；
（2）当线段 在线段 上运动时，试判断 的长度是否发生变化？如果不变，请求
出 的长度，如果变化，请说明理由．【解答】解：（1） ， ， ，
，
、 分别是 、 的中点，
， ，
；
故答案为：7；
（2）不改变，
理由： ， ，
，
、 分别是 、 的中点，
， ，
，
．
12．点 为直线 上一点，过点 作射线 ，使 ，将一直角的顶
点放在点 处， ．
（1）如图1，当 的一边 与射线 重合时，则 ；
（2）将 绕点 逆时针运动至图 2 时，若 ，则 ；
．
（3）在上述 从图1运动到图3的位置过程中，当 的边 所在直线恰好平
分 时，求此时 是多少度？
【解答】解：（1） ，
，．
故答案为： ；
（2） ；
，
，
；
故答案为： ； ；
（3）①当 平分 时，
，
， ，
平分 ，
，
；
②当 的反向延长线 平分 时，
如图，作 的反向延长线 ，则 ，
， 平分 ，
，
．
综上所述， 的度数为 或 ．
13．已知数轴上有 ， 两点，分别代表 ，20，两只电子蚂蚁甲，乙分别从 两点
同时出发，甲沿线段 以3个单位长度 秒的速度向右运动，甲到达点 处时运动停
止 ， 乙 沿 方 向 以 5 个 单 位 长 度 秒 的 速 度 向 左 运 动 ．
（1） ， 两点间的距离为 6 0 个单位长度；甲到达 点时共运动了 秒．（2）甲，乙在数轴上的哪个点相遇？
（3）多少秒时，甲、乙相距28个单位长度？
（4）若乙到达 点后立刻掉头并保持速度不变，则甲到达 点前，甲，乙还能在数轴上
相遇吗？若能，求出相遇点所对应的数；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1） 、 两点的距离为 ，甲到达 点时共运动了
秒；
故答案为：60，20；
（2）设它们按上述方式运动，甲，乙经过 秒会相遇，根据题意得
，
解得 ，
．
答：甲，乙在数轴上的 点相遇；
（3）两种情况，相遇前，
设 秒时，甲、乙相距28个单位长度，根据题意得， ，
解得： ，
第一次相遇后，
设 秒时，甲、乙相距28个单位长度，根据题意得，
，
解得： ，
答：4秒或11秒时，甲、乙相距28个单位长度；
（4）甲到达 点前，甲，乙不能在数轴上相遇，
理由：设甲到达 点前，甲，乙经过 秒在数轴上相遇，
根据题意得， ，
解得： ，
，
故甲，乙不能在数轴上相遇．14．如图，已知点 为直线 上一点，射线 和 在直线 的两侧， ，
， 、 分别平分 、 ，射线 以 秒的速度绕点
顺时针匀速旋转，射线 以 秒的速度绕点 逆时针匀速旋转．设运动时间为 秒
．
（1）运动开始前， 的度数是多少？请写出计算过程．
（2）当 为多少时， ？请写出计算过程．
（3）当 为多少时，射线 和射线 在同一条直线上？请写出计算过程．
【解答】解：（1） 平分 ，
．
同理 ．
．
．
；
（2） ，
．
或 或 ，
解得 或 或 ，
答： 的值为6或14或96时， ；
（3）①当 与 重合时，即 与 重合在一起，
解得 ．②当 与 互为反向延长线上时，
解得：
答： 的值为10或70时．
15．如图，已知数轴上有三点 、 、 ，它们对应的数分别为 ， ， ，且
，点 对应的数是20．
（1）若 ，求 、 的值；
（2）在（1）的条件下，动点 、 分别从 、 两点同时出发向左运动，同时动点 从
点出发向右运动，点 、 、 的速度分别为8个单位长度 秒、4个单位长度 秒、
2个单位长度 秒，点 为线段 的中点，点 为线段 的中点，在 、 相遇前，
多少秒时恰好满足 ？
（3）在（1）的条件下， 为原点，动点 、 分别从 、 同时出发， 向左运动，
向右运动， 点的运动速度为8个单位长度 秒， 点的运动速度为4个单位长度 秒，
为 的中点， 为 的中点，在 、 运动的过程中， 的值是否发生
变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．
【解答】解：（1）如图1， ，
，
点对应20，点对应的数为： ， 点对应的数为： ，
的值为 ， 的值为 ；
（2）如图2，由（1）可得 ，
设 秒时， 在 右边时，恰好满足 ，
， ，
当 时， ，
解得： ，
秒时恰好满足 ；
（3）如图3，设运动的时间为 ，则 ， ，
由（1）可得 ，点 表示20，
， ， ，
，
为 的中点， 为 的中点，
， ，
，
，
即 的值不发生变化，是定值10．
16．如图：在数轴上点 表示的数是 ，点 与点 的距离为7个单位长度，
（1）点 表示的数是 或 3 ；
（2）当点 在点 右侧时，动点 从点 出发以每秒3个单位长度向右运动；同时，另
一动点 从 点出发以每秒2个单位长度也向右运动，设运动时间为 ．当 为何值时，点
与点 的距离为3个单位长度？
（3）在（2）问的条件下，动点 到达点 后立即以原来的速度返回到点 ，此时点 、同时停止运动．在整个运动过程中，设运动时间为 ．当 时，求 的值．
【解答】解：（1） 在数轴上点 表示的数是 ，点 与点 的距离为7个单位长度，
点 表示的数是 或3，
故答案为： 或3；
（2）根据题意得， 或 ，
或 ，
答： 为4或10时，点 与点 的距离为3个单位长度；（3） 或 ，
，
当 时，
即 或 ，
解得： 或 ，
当 时， 的值是1.5或 ．
17．如图1，已知线段 ，点 是线段 上一点，点 在线段 上，点 在
线段 上， 、 两点分别从 、 出发以 、 的速度沿直线 运动，
运动方向如箭头所示，其中 、 满足条件： ．
（1）直接写出： 1 ， ；（2）若 ，当点 、 运动了 ，求 的值；
（3）如图2，若 ，点 是直线 上一点，且 ，求 与
的数量关系．
【解答】解：（1）根据题意可得，
， ，
可得： ， ．
故答案为：1，3；
（2）当 、 运动 时，
， ，
．
（3）①当点 在线段 上时，
，
又 ，
，
．
②当点 在线段 的延长线上时，
，
又 ，
．（9分）
综上所述， 或 ．
18．如图1，点 、 、 依次在直线 上，现将射线 绕点 沿顺时针方向以每秒
的速度旋转，同时射线 绕点 沿逆时针方向以每秒 的速度旋转，直线 保持不
动，如图2，设旋转时间为 ，单位秒）（1）当 时，求 的度数；
（2）在运动过程中，当 第二次达到 时，求 的值；
（3）在旋转过程中是否存在这样的 ，使得射线 与射线 垂直？如果存在，请求出
的值；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）当 时， ．
（2）依题意，得： ，
解得： ．
答：当 第二次达到 时， 的值为 ．
（3）当 时， ，
解得： ；
当 时， 或 ，
解得： 或 ．
答：在旋转过程中存在这样的 ，使得射线 与射线 垂直， 的值为9、27或45．
19．如图，直线 、 相交于点 ， ， ．
（1）若 ，则 ．
（2）从（1）的时刻开始，若将 绕 点以每秒 的速度逆时针旋转一周，求运动
多少秒时，直线 平分 ．
（3）从（1）的时刻开始，若将 绕 点逆时针旋转一周，如果射线 是 的
角平分线，请直接写出此过程中 与 的数量关系．（不考虑 与 、 重
合的情况）【解答】解：（1） ， ，
，
， ，
，
故答案为： ；
（2）情况1：如图：
平分 ，
，
，
设运动 秒时 平分 ，
根据题意得， ，
解得， ；
情况2：如图：平分 ，
，
，
设运动 秒时 平分 ，
根据题意得， ，
解得， ，
综上，运动11或23秒时，直线 平分 ；
（3）① ，如图：
② ，如图：③ ，如图：
④ ，如图：
综上， 或 ．
20．已知 ，过顶点 作射线 ，若 ，则称射线 为 的
“好线”，因此 的“好线”有两条，如图1，射线 ， 都是 的“好线”．
（1）已知射线 是 的“好线”，且 ，求 的度数．
（2）如图2， 是直线 上的一点， ， 分别是 和 的平分线，已知
，请通过计算说明射线 是 的一条“好线”．
（3）如图3，已知 ， ．射线 和 分别从 和 同时出
发，绕点 按顺时针方向旋转， 的速度为每秒 ， 的速度为每秒 ，当射线
旋转到 上时，两条射线同时停止．在旋转过程中，射线 能否成为 的“好
线”．若不能，请说明理由；若能，请求出符合条件的所有的旋转时间．【解答】解：（1） 是 的“好线”，且 ，
，
①当 在 的外部时， ，
②当 在 的内部时， ．
（2） 是 的平分线，且 ，
，
，
，
是 的平分线，
，
，
是 的一条“好线”；
（3）设旋转的时间为 秒，
① ，
，
② ，
，
综上所述，所有符合条件的旋转时间为5秒或 秒．
21．（1）如图， ， ， 在 外部， 平分 ，
平分 ，则 4 5 度．
（2）若 ，其他条件不变，则 度．（3）若 为锐角），其他条件不变，则 度．
（4）若 且 为锐角），且点 在 的上方，求 的度数．
（请在图2中画出示意图并解答）
【解答】解： ， ，
，
又 为 平分线， 为 平分线，
，
，
；
故答案为：45．
（1） ， ，
，
又 为 平分线， 为 平分线，
，
，
；
故答案为： ．
（2）当 时．， ，
，
又 为 平分线， 为 平分线，
，
，
；
故答案为：45．
（3）如图所示：
， ，
，
又 为 平分线， 为 平分线，
，
，
．
22．将直角三角板 的直角顶点 放在直线 上，射线 平分 ．
（1）如图，若 ，求 的度数；
（2）若 ，求 的度数；
（3）将直角三角板 绕顶点 按逆时针方向旋转，在旋转过程中：当 时，
求 的度数．【解答】解：（1） ， ，
，
（2） 平分 ，
，
又 ，
设 ，
，
，
，
，
解得 ，
；
（3）①当 在直线 上方时，
，
，
平分 ，
，
，
，
当 在直线 下方时，，
，
平分 ，
，
，
，
综上所述： 的度数为 或 ．
23．已知， ， ， ， 是 内的射线．
（1）如图1，若 平分 ， 平分 ， ，则 60
；
（2）如图2，若 平分 ， 平分 ，求 的度数；
（3）如图 3， 是 内的射线，若 ， 平分 ， 平分
，当射线 在 内时，求 的度数．
【解答】解：（1） ， ，
，
平分 ，
，
故答案为：60；
（2） 平分 ， 平分 ，
， ，
，；
（3）设 ，则 ，
平分 ， 平分 ，
， ，
．
24．如图所示， ， ， 是以直线 上一点 为端点的三条射线，且 ，
， ，以 为端点作射线 ， 分别与射线 ， 重合．射
线 从 处开始绕点 逆时针匀速旋转，转速为1度 秒，射线 从 处开始绕点
顺时针匀速旋转，（射线 旋转至与射线 重合时停止，射线 旋转至与射线
重合时停止），两条射线同时开始旋转（旋转速度 旋转角度 旋转时间）．
（1）直接写出射线 停止运动时的时间为 18 0 秒．
（2）当射线 平分 时，直接写山它的旋转时间是 秒．
（3）若射线 的转速为3度 秒，当 时，直接写出射线 的旋转时间是
秒．
（4）若 时，射线 旋转到的位置恰好将 分成度数比为 的两个
角，直接写出射线 的旋转速度是 度 秒．
【解答】解：（1） 射线 旋转至与射线 重合时停止，
旋转 ，射线 停止运动时的时间为180秒．
故答案为：180．
（ 2 ） ， 当 射 线 平 分 时 ，
，此时 旋转的度数为： ，
射线 从 处开始绕点 逆时针匀速旋转，转速为 ，
旋转的时间： ．
故答案为：55．
（3）设射线 旋转的时间为 ，则
①当 和 在未重合之前， ， ；
②当 和 在重合之后， ，解得 ；
时 按题目条件 早已停止运动，但 未停止，因此第二种情况 ．
故经过5秒或70秒 ．
故答案为：5或70．
（4）若 ，
①当 在 和 之间时， ，此时 ， ，此时
，此时 旋转时间： ，那 就旋转了
， 旋转到的位置恰好将 分成度数比为 的两个角，分成2种情况，
、 ， ，此时 ， 的旋转速度， ；
、 ， ，此时 ，此时 ， 的旋转速度，
；
② 当 在 左 侧 时 ， ， 此 时 ， ， 此 时
，此时 旋转时间： ，那 就旋
转了 ， 旋转到的位置恰好将 分成度数比为 的两个角，分成2种情况，、 ， ，此时 ， 的旋转速度 ；
、 ， ，此时 ，此时 ， 的旋转速度，
，
故答案为： 或0.5或 或 ．
25．如图，已知线段 ， ，线段 在直线 上运动（点 在点 的左侧，
点 在点 的左侧），若 ．
（1）求线段 ， 的长；
（2）若点 ， 分别为线段 ， 的中点， ，求线段 的长；
（3）当 运动到某一时刻时，点 与点 重合，点 是线段 的延长线上任意一点，
下列两个结论：① 是定值，② 是定值，请选择你认为正确的一个并加以
说明．
【解答】解：（1） ，
，
， ，
， ，
， ；
（2）如图1， 、 分别为线段 、 的中点，
，
，
；
如图2， 、 分别为线段 、 的中点，，
，
；
（3）②正确．理由如下：
，
② 是定值2．
26．已知 ， ， 是 的角平分线．
（1）如图1，当 时，求 ；
（2）如图 2，若 在 内部运动，且 是 的角平分线时，求
的值；
（3）在（1）的条件下，若射线 从 出发绕 点以每秒 的速度逆时针旋转，射线
从 出发绕 点以每秒 的速度顺时针旋转，若射线 、 同时开始旋转 秒
后得到 ，求 的值．
【解答】解：（1） ，，
，
，
平分 ，
，
；
（2） 平分 ，
，
平分 ，
，
，
又 ，
；
（3）分三种情况：
①当射线 、 在 内部时，即 时，
由题意得： ， ，
， ，
，
，
解得： （舍去）；
②当射线 在 内部时，射线 在 外部时，即 时，
则 ， ，，
解得： ；
③当射线 、 在 外部时，即 时，
则 ， ，
，
解得： ；
综上所述， 的值为 秒或 秒．
27．如图，直线 上有 ， 两点， ，点 是线段 上的一点， ．
（1） 8 ， ；
（2）若点 是线段 上一点（点 不与点 重合），且满足 ，求 的
长；
（3）若动点 ， 分别从 ， 同时出发，向右运动，点 的速度为 ，点 的速
度为 ．设运动时间为 ，当点 与点 重合时， ， 两点停止运动．求当 为
何值时， ．
【解答】解：（1） ， ，
，解得 ，
．
故答案为：8，4；
（2）设 的长为 ，
分两种情况：①点 在线段 上时，
，，
；
②点 在线段 上时，
，
，
（不符合题意，舍）．
故 的长是 ；
（3）以点 为原点，向右为正方向作数轴．
后， 点所到的点表示的数为 ；此时， 点所到的点表示的数为 ．
当 在 的左侧）时，
， ， ，
则 ，
解得 ；
当 在 的右侧）时，
， ， ，
则 ，
解得 ．
综上所述， 或8时， ．
28．如图，已知点 、 、 是数轴上三点， 为原点．点 对应的数为6， ，
．
（1）求点 、 对应的数；
（2）动点 、 分别同时从 、 出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动． 为 的中点， 在线段 上，且 ，设运动时间为 ．
①求点 、 对应的数（用含 的式子表示）； ② 为何值时， ．
【解答】解：（1） 点 对应的数为6， ，
点 表示的数是 ，
，
点 表示的数是 ．
（2）① 动点 、 分别同时从 、 出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度，时
间是 ，
， ，
为 的中点， 在 上，且 ，
， ，
点 表示的数是 ， 表示的数是6，
表示的数是 ， 表示的数是 ．
② ， ， ，
，
由 ，得 ，
由 ，得 ，
故当 秒或 秒时 ．
29．如图，已知数轴上的点 对应的数为6， 是数轴上的一点，且 ，动点 从
点 出发，以每秒 6个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，设运动时间为 秒
．（1）数轴上点 对应的数是 ，点 对应的数是 （用 的式子表示）；
（2）动点 从点 与点 同时出发，以每秒4个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，
试问：运动多少时间点 可以追上点 ？
（3） 是 的中点， 是 的中点，点 在运动过程中，线段 的长度是否发生变
化？若有变化，说明理由；若没有变化，请你画出图形，并求出 的长．
【解答】解：（1）由题可得，
点表示的数为 ；
点 表示的数为 ；
故答案为： ， ；
（2）设点 运动 秒时，在点 处追上点 （如图），则 ， ，
，
，
解得： ，
点 运动5秒时，在点 处追上点 ；
（3）线段 的长度不发生变化，等于5．
理由如下：
分两种情况：
①当点 在点 、 两点之间运动时：
；
②当点 运动到点 的左侧时：，
综上所述，线段 的长度不发生变化，其值为5．
30．已知数轴上三点 ， ， 表示的数分别为6，0， ，动点 从 出发，以每秒6
个单位的速度沿数轴向左匀速运动．
（1）当点 到点 的距离与点 到点 的距离相等时，点 在数轴上表示的数是 1 ；
（2）另一动点 从 出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点 、 同
时出发，问点 运动多少时间追上点 ？
（3）若 为 的中点， 为 的中点，点 在运动过程中，线段 的长度是否发生
变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段 的长度．
【解答】解：（1） ， 表示的数分别为6， ，
，
，
点 表示的数是1，
故答案为：1；
（2）设点 运动 秒时，在点 处追上点 ，
则： ， ，
，
，
解得， ，
点 运动5秒时，追上点 ；
（3）线段 的长度不发生变化，理由如下分两种情况：
① 当 点 在 、 之 间 运 动 时 （ 如 图 ①
．
②当点 运动到点 左侧时（如图② ，
；综上所述，线段 的长度不发生变化，其长度为5．
