文档内容
第 07 讲 矩形【11 个必考点】
【人教版】
【知识点1 矩形的定义及性质】..............................................................................................................................1
【必考点1 利用矩形的性质求角度】.....................................................................................................................2
【必考点2 利用矩形的性质求线段长度】.............................................................................................................3
【必考点3 利用矩形的性质求面积】.....................................................................................................................4
【必考点4 利用矩形的性质解折叠问题】.............................................................................................................5
【知识点2 直角三角形斜边上中线的性质】.........................................................................................................6
【必考点5 直角三角形斜边上中线的性质】.........................................................................................................7
【知识点3 矩形的判定】..........................................................................................................................................8
【必考点6 矩形的判定条件】..................................................................................................................................8
【必考点7 证明一个四边形是矩形】.....................................................................................................................9
【必考点8 矩形的判定解动点问题】....................................................................................................................11
【必考点9 矩形的判定与性质综合】...................................................................................................................12
【必考点10 矩形中求最值问题】..........................................................................................................................13
【必考点11 矩形中多结论问题】..........................................................................................................................14
【知识点1 矩形的定义及性质】
1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
【注意】
（1）矩形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是矩形.
（2）矩形必须具备两个条件：①是平行四边形；②有一个角是直角.这两个条件缺一不可.
（3）矩形的定义可以作为判定一个四边形是矩形的方法.
2.矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质
（见下表）.
性质 数学语言 图形
矩形的四个角都是直 ∵四边形 是矩形，
角
角
∵四边形ABCD是矩形，
对角线 矩形的对角线相等
∴AC=BD
对称性 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴【注意】
（1）矩形的性质可归结为三个方面.①边：矩形的对边平行且相等，邻边互相垂直.②角：矩形的四个角都
是直角.③对角线：矩形的对角线互相平分且相等.
（2）矩形的两条对称轴分别是两对对边中点连线所在的直线，对称轴的交点就是对角线的交点.
（3）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，这四个三角形的面积相等.
【必考点1 利用矩形的性质求角度】
【例1】如图，延长矩形ABCD的边CB至点E，使EB＝AC，连接DE，若∠BAC＝ ，则∠E的度数是（
） α
α α α
A． B．45°− C． ﹣45° D．30°+
2 2 2
α
【变式1】如图，矩形ABCD中，点E为CD边的中点，连接 AE，过E作EF⊥AE交BC于点F，连接
AF，若∠EFC＝ ，则∠BAF的度数为（ ）
α
α α
A．2 ﹣90° B．45°+ C．45°− D．90°﹣
2 2
α α
【变式2】在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点A作AM⊥BD，交BD于点M，若∠MAD
＝5∠BAM，则∠MAO的度数为 ．
【变式3】矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F在矩形ABCD边上，连接OF，若∠ADB＝
40°，∠BOF＝30°，则∠AOF＝ ．【必考点2 利用矩形的性质求线段长度】
【例1】如图，长方形ABCD中，AE平分∠BAC，交BC于点E，EF垂直平分AC，分别交AC，AD于点O
和F，若EO＝2，则长方形ABCD的周长为（ ）
A．12+4❑√3 B．6+2❑√3 C．18 D．19
【例2】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD 交BC边于点E，点F是AE
的中点，连接OF，若AB＝OB＝1，则FO的长度为（ ）
❑√3 1 ❑√3−1
A． B．❑√3−1 C． D．
2 2 2
【变式1】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，过对角线的交点O作EF⊥AC，交AD于点E，交BC
于点F，则AE的长是（ ）
17 17 8
A．3 B． C． D．
5 10 5
【变式2】如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD＝10，CD＝6，作AF⊥DE于点G，交CD于
F，则CF的长是（ ）10 8
A． B． C．3 D．2
3 3
【变式3】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，点F是边AD上的一点，且DF＝3，连接BF，BF的垂直平分
线交BC的延长线于点E，交AB于点P，连接EF交CD于点H，点H为边CD的中点，则AF的长为（
）
A．8 B．7 C．4 D．3
【变式4】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作
PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F．若AB＝6，BC＝8，则PE+PF的值为（ ）
A．10 B．9.6 C．4.8 D．2.4
【必考点3 利用矩形的性质求面积】
【例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AB，CD于点E，
F，若矩形面积为12，则阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【变式1】如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，
连接PB、PD．若AE＝2，PF＝6，则图中阴影部分的面积为（ ）A．10 B．12 C．16 D．18
【变式2】如图所示，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、
F，AB＝3，BC＝5，则图中阴影部分的面积为 ．
【变式3】已知：如图，在矩形内一些相交线把它分成8个部分，其中的3个部分面积分别为13，35，
49，则图中阴影部分的面积是 ．
【必考点4 利用矩形的性质解折叠问题】
【例1】数学老师要求学生用一张长方形的纸片ABCD折出一个45°的角，甲、乙两人的折法如下，下列说
法正确的是（ ）
甲：如图1，将纸片沿折痕AE折叠，使点
B落在AD上的点B'处，∠EAD即为所求．
乙：如图2，将纸片沿折痕AE，AF折叠，
使B，D两点分别落在点B'，D'处，且
AB'与AD'在同一直线上，∠EAF即为所
求．A．甲和乙的折法都正确
B．只有甲的折法正确
C．只有乙的折法正确
D．甲和乙的折法都不正确
【变式1】如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连接
AC，将纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，AD与y轴交于点E，若B（2，4），则OE的
长为 ．
【变式2】如图所示，把一张长方形纸片ABCD沿CE折叠，得到线段B′E，折痕EC与BD相交于点M，
若B′E∥BD，∠ADB＝36°，则∠EMD＝ ．
【变式3】如图，矩形ABCD中，AD＝18，AB＝24．点E为边DC上的一个动点，△AD′E与△ADE关于
直线AE对称，当△CD′E为直角三角形时，DE的长为 ．
【知识点2 直角三角形斜边上中线的性质】
性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。即如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中
1
点，则BD= AC=AD=DC.
2【拓展】该性质的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角
形”仍然成立，它可以用来判断一个三角形是否为直角三角形.
【必考点5 直角三角形斜边上中线的性质】
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E是斜边AB的中点，
则∠ECD＝（ ）
A．35° B．30° C．45° D．50°
【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝16，BC＝12，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，D为AB的中点，
M为EF的中点，则DM的长为（ ）
A．7 B．8 C．❑√55 D．❑√73
【变式1】如图，D，E分别是三角形ABF的边AB和AF的中点，点C是DE上的一点，∠ACB＝90°，
1
CE= CD，AB＝6，则BF的长是（ ）
3A．6 B．7 C．8 D．10
【变式2】如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E是CF的中点．
（1）求证：DE⊥CF；
（2）求证：∠B＝2∠BCF．
【变式3】如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点．求证：MN⊥BD．
【知识点3 矩形的判定】
判定方法 数学语言 图形
在 中，
有一个角是直角的平行四
，
边形是矩形（定义）
是矩形.
角
在四边形 中，
有三个角是直角的四边形
，
是矩形
四边形 是矩形.在 中，
对角线相等的平行四边形
对角线 ，
是矩形
是矩形
【必考点6 矩形的判定条件】
【例1】如图，在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O，添加下列条件不能判定 ABCD为矩形的只有
（ ） ▱ ▱
A．AC＝BD B．AB＝6，BC＝8，AC＝10
C．AC⊥BD D．∠1＝∠2
【变式1】在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠B
C．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB∥CD且AC＝BD
【变式 2】如图，四边形 ABCD 是平行四边形，下列条件① AC＝BD，② AC⊥BD，③ AB⊥BC，
④∠ABD＝∠CBD，⑤∠ODC＝∠OCD中能判定四边形ABCD是矩形的是 ．
【变式3】如图，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平行线，分别交∠ABM
和∠ABN的平分线于点C，D，连接AC，AD．添加一个适当的条件：当 时，四边形ACBD为
矩形．
【必考点7 证明一个四边形是矩形】
【例1】如图，在 ABCD中，点C是BE的中点．
▱（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）当△ABE满足 时，四边形ACED是矩形，并说明理由．
【变式1】已知：如图，在△ABC中，点E、F分别是边BC、AC的中点，过点A作BC的平行线，交射线
EF于点D．
（1）求证：四边形ABED是平行四边形；
（2）如果AB＝AC，联结AE、CD，求证：四边形AECD为矩形．
【变式2】如图，将 ABCD的边AB延长至点E，使BE＝AB，连接DE，EC，BD，DE交BC于点O．
（1）求证：△AB▱D≌△BEC；
（2）若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
【变式3】如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长
线于点F，连接BF．
（1）求证：AF＝CD；
（2）若AF＝BD，当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．【变式4】如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于
点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
（3）连接AE，AF，当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由．
【必考点8 矩形的判定解动点问题】
【例1】如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停
止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度的速度都是1cm/s，连接
PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．当t＝ s时，四边形ABQP是矩形．
【变式1】如图，在矩形ABCD中，AB＝20cm．动点P从点A开始沿AB边以4cm/s的速度运动，动点Q
从点C开始沿CD边以1cm/s的速度运动点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之
停止运动．设动点的运动时间为t s，当t＝ s时，四边形APQD是矩形．
【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒
的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个
点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作
DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：AE＝DF；
（2）四边形DEBF能够成为矩形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由．【变式3】在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相
向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5．
（1）若G，H分别是AB，DC中点，试说明：四边形EGFH为平行四边形；
（2）在（1）的条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形．
【必考点9 矩形的判定与性质综合】
【例1】如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF，AF与DE交于点
O． ▱
（1）求证：四边形AEFD为矩形；
（2）若AB＝3，OE＝2，BF＝5，求DF的长．
【变式1】如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO＝10，BO＝DO，且AB
＝12，BC＝16．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC于点E，求∠BDF的度数．【变式2】如图，在 ABCD中，O为AD的中点，延长BO交CD的延长线于点E，连接AE，BD，∠BDC
＝90°． ▱
（1）求证：四边形ABDE是矩形；
（2）连接OC，若AB＝4，BD＝8，求OC的长．
【变式3】如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E为BC的中点，EF⊥CD于点F，
点G在为CD上一点，连接OG，OE，且OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG为矩形；
（2）若AD＝13，OG＝6，∠ABD＝45°，求AB的长．
【必考点10 矩形中求最值问题】
【例1】如图，AB＝40❑√2，点D在AB上，△ACD是边长为10的等边三角形，过点D作与CD垂直的射
线，DP，过射线DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连
接OB，则线段BO的最小值为（ ）A．20❑√2 B．20 C．40❑√2 D．40
【例2】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连
接PB，则PB的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．❑√2 D．2❑√2
【变式1】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2❑√3，E是边BC上一动点，F是对角线BD上一动点，
且BE＝DF，则DE+CF的最小值为（ ）
A．2 B．2❑√3 C．4 D．2❑√5
【变式2】如图，四边形ABCD为矩形，AB＝8，AD＝12．点P是线段AD上一动点，点E为线段BP上一
点，∠BCE＝∠ABP，则AE的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【变式3】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，点E为CD中点，P、Q为BC边上两个动点，且PQ
＝2，则四边形APQE周长的最小值为（ ）A．10+2❑√26 B．10+2❑√13 C．12+2❑√26 D．2❑√26
【必考点11 矩形中多结论问题】
【例1】如图，在矩形ABCD中，AD=❑√2AB，∠BAD 的平分线交BC于点E，DH⊥AE 于点H，连接BH
1
并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，有下列结论：①ED平分∠AEC；②OE= DE；③HE
2
＝DF；④BC﹣CF＝2EH；⑤AB＝FH．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1】在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE＝15°，连
接OE，则下面的结论中正确的有（ ）
①△DOC是等边三角形；
②△BOE是等腰三角形；
③BC=❑√3AB；
④∠AOE＝135°；
⑤S△AOE ＝S△BOE ．
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①②③④⑤
【变式2】如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，E，F分别是边AD，BC的中点，CP⊥BE于P，DP的
25
延长线交AB于G．下列结论：①PF＝2.5；②PF⊥DG；③PG= ．其中结论正确的有（ ）
12A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
1
【变式3】如图，矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝BE＝12，F为BE上一点，且BF= EF，连接DE、
2
CE、CF．以下说法中：①BF＝4；②当点E在AD边上时，则∠DCE＝15°；③当∠EBC＝60°时，则
∠ADE＝30°；④DE+CF的最小值为10．其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
