文档内容
第 07 讲 矩形【11 个必考点】
【人教版】
【知识点1 矩形的定义及性质】..............................................................................................................................1
【必考点1 利用矩形的性质求角度】.....................................................................................................................2
【必考点2 利用矩形的性质求线段长度】.............................................................................................................6
【必考点3 利用矩形的性质求面积】....................................................................................................................11
【必考点4 利用矩形的性质解折叠问题】...........................................................................................................14
【知识点2 直角三角形斜边上中线的性质】.......................................................................................................18
【必考点5 直角三角形斜边上中线的性质】.......................................................................................................18
【知识点3 矩形的判定】........................................................................................................................................22
【必考点6 矩形的判定条件】................................................................................................................................22
【必考点7 证明一个四边形是矩形】...................................................................................................................26
【必考点8 矩形的判定解动点问题】...................................................................................................................31
【必考点9 矩形的判定与性质综合】...................................................................................................................35
【必考点10 矩形中求最值问题】..........................................................................................................................41
【必考点11 矩形中多结论问题】..........................................................................................................................46
【知识点1 矩形的定义及性质】
1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
【注意】
（1）矩形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是矩形.
（2）矩形必须具备两个条件：①是平行四边形；②有一个角是直角.这两个条件缺一不可.
（3）矩形的定义可以作为判定一个四边形是矩形的方法.
2.矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质
（见下表）.
性质 数学语言 图形
矩形的四个角都是直 ∵四边形 是矩形，
角
角
∵四边形ABCD是矩形，
对角线 矩形的对角线相等
∴AC=BD
对称性 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴【注意】
（1）矩形的性质可归结为三个方面.①边：矩形的对边平行且相等，邻边互相垂直.②角：矩形的四个角都
是直角.③对角线：矩形的对角线互相平分且相等.
（2）矩形的两条对称轴分别是两对对边中点连线所在的直线，对称轴的交点就是对角线的交点.
（3）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，这四个三角形的面积相等.
【必考点1 利用矩形的性质求角度】
【例1】如图，延长矩形ABCD的边CB至点E，使EB＝AC，连接DE，若∠BAC＝ ，则∠E的度数是（
） α
α α α
A． B．45°− C． ﹣45° D．30°+
2 2 2
α
1 1
【分析】连接BD交AC于点O，由矩形的性质得∠ABC＝90°，OA＝OC= AC，OB＝OD= BD，AC＝
2 2
BD，则 OA＝OB，所以∠OBA＝∠BAC＝ ，而 BE＝AC＝BD，则∠BDE＝∠E，所以∠CBD＝
α
α
∠BDE+∠E＝2∠E＝90°﹣ ，则∠E＝45°− ，于是得到问题的答案．
2
α
【解答】解：连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是矩形，
1 1
∴∠ABC＝90°，OA＝OC= AC，OB＝OD= BD，AC＝BD，
2 2
∴OA＝OB，
∴∠OBA＝∠BAC＝ ，
∴∠CBD＝90°﹣ ，α
∵BE＝AC＝BD，α
∴∠BDE＝∠E，
∴∠CBD＝∠BDE+∠E＝2∠E，
∴2∠E＝90°﹣ ，
αα
∴∠E＝45°− ，
2故选：B．
【变式1】如图，矩形ABCD中，点E为CD边的中点，连接 AE，过E作EF⊥AE交BC于点F，连接
AF，若∠EFC＝ ，则∠BAF的度数为（ ）
α
α α
A．2 ﹣90° B．45°+ C．45°− D．90°﹣
2 2
α α
【分析】延长AE，交BC的延长线于点G，根据矩形的性质可得，∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝90°，
AD∥BC，可证△ADE≌△GCE（ASA），根据全等三角形的性质可得 AE＝GE，可知EF垂直平分
AG，根据线段垂直平分线的性质可得AF＝GF，进一步可得∠G＝∠FAE，根据AD∥BC，可得∠DAE
＝∠G，可表示出∠DAE的度数，进一步可得∠FEC的度数，再根据∠FEC+∠EFC＝90°，可得∠BAF
的度数．
【解答】解：延长AE，交BC的延长线于点G，如图所示：
在矩形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝90°，AD∥BC，
∴∠ECG＝90°，
∵E为CD边中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△GCE中，
{ ∠D=∠ECG )
DE=CE ，
∠AED=∠GEC
∴△ADE≌△GCE（ASA），
∴AE＝GE，
∵EF⊥AE，
∴EF垂直平分AG，∴AF＝GF，
∴∠FAE＝∠G，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠G，
∴∠DAE＝∠FAE，
90°−∠BAF
∴∠DAE= ，
2
∵∠DAE+∠AED＝90°，∠AED+∠FEC＝90°，
90°−∠BAF
∴∠FEC＝∠DAE= ，
2
∵∠FEC+∠EFC＝90°，
90°−∠BAF
∴∠EFC＝90°− =，
2
α
∴∠BAF＝2 ﹣90°，
故选：A． α
【变式2】在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点A作AM⊥BD，交BD于点M，若∠MAD
＝5∠BAM，则∠MAO的度数为 ．
【分析】由矩形的性质可得OA＝OB，∠BAD＝90°，由∠MAD＝5∠BAM可求∠BAM＝15°，再由等腰
三角形的性质，三角形的内角和定理，进行求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB，∠BAD＝90°，
∴∠MAD+∠BAM＝90°，
∵∠MAD＝5∠BAM，∴5∠BAM+∠BAM＝90°，
∴∠BAM＝15°，
∵AM⊥BD，
∴∠BMA＝∠AMO＝90°，
∴∠ABM＝90°﹣∠BAM＝75°，
∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠ABM＝75°，
∴∠AOM＝180°﹣∠ABM﹣∠BAO＝30°，
∴∠MAO＝90°﹣∠AOM＝60°，
故答案为：60°．
【变式3】矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F在矩形ABCD边上，连接OF，若∠ADB＝
40°，∠BOF＝30°，则∠AOF＝ ．
【分析】根据题意画出图形，分点F在AB上和BC上两种情况讨论即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD，
∴∠ADO＝∠OAD，
∵∠ADB＝40°，
∴∠ADO＝∠OAD＝40°
∴∠AOB＝∠ADO+∠OAD＝80°，
如图所示，当F点在AB上时，
∵∠BOF＝30°，
∴∠AOF＝∠AOB﹣∠BOF＝80°﹣30°＝50°
如图所示，当点F在BC上时，∵∠BOF＝30°，
∴∠AOF＝∠AOB+∠BOF＝80°+30°＝110°，
故答案为：50°或110°．
【必考点2 利用矩形的性质求线段长度】
【例1】如图，长方形ABCD中，AE平分∠BAC，交BC于点E，EF垂直平分AC，分别交AC，AD于点O
和F，若EO＝2，则长方形ABCD的周长为（ ）
A．12+4❑√3 B．6+2❑√3 C．18 D．19
【分析】先由垂直平分线的性质得 AE＝CE，∠AOE＝90°，∠OAE＝∠OCE，结合长方形的性质得
1
AD∥BC，∠DAB＝90°，∠ABE＝90°，因为AE平分∠BAC，故∠BAE=∠EAC= ×90°=30°，再
3
运用30度所对的直角边是斜边的一半，得EC＝AE＝4，最后由勾股定理，进行列式计算，即可作答．
【解答】解：∵EF垂直平分AC，
∴AE＝CE，∠AOE＝90°，
∴∠OAE＝∠OCE，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，∠DAB＝90°，∠ABE＝90°，
∴∠OAF＝∠OCE，
∵AE平分∠BAC，∠AOE＝90°，∠ABE＝90°，
∴∠OAE＝∠BAE，BE＝EO＝2，
1
即∠BAE=∠EAC= ×90°=30°，
3
在Rt△EAO中，AE＝2EO＝4，EC＝AE＝4，
在Rt△EAO中，AB=❑√AE2−EB2 =2❑√3，
∴AB+BC=2❑√3+2+4=2❑√3+6，
∴长方形ABCD的周长为12+4❑√3．
故选：A．【例2】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD 交BC边于点E，点F是AE
的中点，连接OF，若AB＝OB＝1，则FO的长度为（ ）
❑√3 1 ❑√3−1
A． B．❑√3−1 C． D．
2 2 2
【分析】证明△AOB是等边三角形，而CD＝AB＝1，则OA＝OC＝CD＝1，所以AC＝2，由勾股定理
得BC=❑√AC2−AB2 =❑√3，由AE平分∠BAD交BC边于点E，得∠BAE＝∠DAE＝45°，则∠BEA＝
1 ❑√3−1
∠BAE＝45°，所以BE＝AB＝1，则EC=❑√3−1，由三角形的中位线定理得FO= EC= ，于是得
2 2
到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB，
∵AB＝OB＝1，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OC＝1，
∴AC＝2，
∴BC=❑√22−12 =❑√3，
∵AE平分∠BAD交BC边于点E，
1
∴∠BAE＝∠DAE= ∠BAD＝45°，
2
∴∠BEA＝∠BAE＝45°，
∴BE＝AB＝1，
∴EC＝BC﹣BE=❑√3−1，
∵点F是AE的中点，点O是AC的中点，
1 ❑√3−1
∴FO= EC= ，
2 2
故选：D．【变式1】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，过对角线的交点O作EF⊥AC，交AD于点E，交BC
于点F，则AE的长是（ ）
17 17 8
A．3 B． C． D．
5 10 5
【分析】连接CE，由矩形的性质得出∠ADC＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，OB＝OD，由线段垂直
平分线的性质得出DE＝BE，设AE＝x，则DE＝5﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得出方程，解方程
即可．
【解答】解：连接CE，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，OA＝OC，
∵EF⊥BD，
∴EF是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
设AE＝CE＝x，则DE＝AD﹣AE＝5﹣x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：x2＝32+（5﹣x）2，
17
解得：x= ，
5
17
即AE= ．
5
故选：B．
【变式2】如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD＝10，CD＝6，作AF⊥DE于点G，交CD于
F，则CF的长是（ ）10 8
A． B． C．3 D．2
3 3
【分析】由矩形的性质得BC＝AD＝10，AB＝CD＝6，∠B＝∠C＝90°，则BE=❑√AE2−AB2 =8，求得
CE＝BC﹣BE＝2，因为AF⊥DE，所以AF垂直平分DE，则EF＝DF＝6﹣CF，由勾股定理得22+CF2＝
8
（6﹣CF）2，求得CF= ，于是得到问题的答案．
3
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AE＝AD＝10，CD＝6，
∴BC＝AD＝10，AB＝CD＝6，∠B＝∠C＝90°，
∴BE=❑√AE2−AB2 =❑√102−62 =8，
∴CE＝BC﹣BE＝10﹣8＝2，
∵AF⊥DE于点G，交CD于F，
∴AF垂直平分DE，
∴EF＝DF＝6﹣CF，
∵CE2+CF2＝EF2，
∴22+CF2＝（6﹣CF）2，
8
解得CF= ，
3
故选：B．
【变式3】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，点F是边AD上的一点，且DF＝3，连接BF，BF的垂直平分
线交BC的延长线于点E，交AB于点P，连接EF交CD于点H，点H为边CD的中点，则AF的长为（
）A．8 B．7 C．4 D．3
【分析】根据线段中点的定义可得CH＝DH，然后利用“角边角”证明△DFH和△CEH全等，根据全
等三角形对应边相等可得DF＝CE，FH＝EH，根据勾股定理得到EF，再根据线段垂直平分线上的点到
两端点的距离相等可得BF＝EF，从而求出AD，于是得到结论．
【解答】解：矩形ABCD中，H是CD的中点，AB＝8，
1
∴CH＝DH= ×8＝4，
2
在△DFH和△CEH中，
{ ∠D=∠DCE )
CH=DH ，
∠DHF=∠CHE
∴△DFH≌△CEH（ASA），
∴DF＝CE＝3，FH＝EH，
在Rt△DEH中，FH=❑√DF2 +DH2 =5，
∴EF＝2FH＝10，
∵EH垂直平分BF，
∴BE＝EF＝10，
∴BC＝AD＝7．
∴AF＝AD﹣DF＝4，
故选：C．
【变式4】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作
PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F．若AB＝6，BC＝8，则PE+PF的值为（ ）
A．10 B．9.6 C．4.8 D．2.4
【分析】首先连接OP．由矩形ABCD的两边AB＝6，BC＝8，可求得OA＝OD＝5，然后由S△AOD ＝
S△AOP +S△DOP 求得答案．
【解答】解：连接OP，∵矩形ABCD的两边AB＝6，BC＝8，
∴S矩形ABCD ＝AB•BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC=❑√AB2 +BC2 =10，
1
∴S△AOD =
4
S矩形ABCD ＝12，OA＝OD＝5，
1 1 1 1
∴S△AOD ＝S△AOP +S△DOP =
2
OA•PE+
2
OD•PF=
2
OA（PE+PF）=
2
×5×（PE+PF）＝12，
24
∴PE+PF= =4.8．
5
故选：C．
【必考点3 利用矩形的性质求面积】
【例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AB，CD于点E，
F，若矩形面积为12，则阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【分析】首先结合矩形的性质证明△AOE≌△COF（ASA），得到S△AOE ＝S△COF ，从而S阴影 ＝S△AOB ，
进而即可解答．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB，OA＝OC，AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO，
在△AOE和△COF中，
{∠AEO=∠CFO
)
OA=OC ，
∠AOE=∠COF
∴△AOE≌△COF（ASA），∴S△AOE ＝S△COF ，
1
∴S =S +S =S +S =S = S ，
阴影 △COF △BOE △BOE △AOE △AOB 4 矩 形ABCD
∵矩形面积为12，
1
∴S = ×12=3．
阴影 4
故选：A．
【变式1】如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，
连接PB、PD．若AE＝2，PF＝6，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
【分析】由矩形的性质可证明S△PEB ＝S△PFD ，即可求解．
【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC ＝S△ABC ，S△AMP ＝S△AEP ，S△PBE ＝S△PBN ，S△PFD ＝S△PDM ，S△PFC ＝S△PCN ，
∵MP＝AE＝2
1
∴S△DFP ＝S△PBE =
2
×2×6＝6，
∴S阴 ＝6+6＝12，
故选：B．
【变式2】如图所示，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、
F，AB＝3，BC＝5，则图中阴影部分的面积为 ．【分析】首先结合矩形的性质证明△AOE≌△COF，得△AOE、△COF的面积相等，从而将阴影部分的
面积转化为△BCD的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴OA＝OC，
∠OAE＝∠OCF（两直线平行内错角相等），
在△AOE与△COF中，
{∠OAE=∠OCF
)
OA=OC
∠ΑOE=∠COF
∴△AOE≌△COF（ASA）
∴S△AOE ＝S△COF
1 1 15
S =S = BC⋅CD= ×5×3= ．
阴影 △BCD 2 2 2
15
故答案为： ．
2
【变式3】已知：如图，在矩形内一些相交线把它分成8个部分，其中的3个部分面积分别为13，35，
49，则图中阴影部分的面积是 ．
【分析】如图，由于（35+x+49）+（13+y）＝长方形面积的一半＝x+S阴影+y，从而求解．
【解答】解：如图，由于（35+x+49）+（13+y）＝长方形面积的一半，1
又∵ ×长方形的面积＝x+S阴影+y，
2
∴S阴影 ＝35+49+13＝97．
故答案为：97．
【必考点4 利用矩形的性质解折叠问题】
【例1】数学老师要求学生用一张长方形的纸片ABCD折出一个45°的角，甲、乙两人的折法如下，下列说
法正确的是（ ）
甲：如图1，将纸片沿折痕AE折叠，使点
B落在AD上的点B'处，∠EAD即为所求．
乙：如图2，将纸片沿折痕AE，AF折叠，
使B，D两点分别落在点B'，D'处，且
AB'与AD'在同一直线上，∠EAF即为所
求．
A．甲和乙的折法都正确
B．只有甲的折法正确
C．只有乙的折法正确
D．甲和乙的折法都不正确
【分析】折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，根据对应角相等即可
得出结论．
1
【解答】解：甲：将纸片沿折痕AE折叠，使B点落在AD上的B'点，得到∠EAB= ∠EAD＝45°；
2
1
乙：将纸片沿折痕AE，AF折叠，使B，D两点落在AC上的点B'，D'，得到∠EAF＝∠EAB'+∠FAB'=
2
1
（∠DAC+∠BAC）= ×90°＝45°；
2
故选：A．
【变式1】如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连接AC，将纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，AD与y轴交于点E，若B（2，4），则OE的
长为 ．
【分析】由四边形OABC是矩形与折叠的性质，易证得△AEC是等腰三角形，然后在Rt△AEO中，利
用勾股定理求得AE，OE的长．
【解答】解：∵四边形OABC是矩形，
∴OC∥AB，
∴∠ECA＝∠CAB，
根据题意得：∠CAB＝∠CAD，∠CDA＝∠B＝90°，
∴∠ECA＝∠EAC，
∴EC＝EA，
∵B（2，4），
∴AD＝AB＝4，
设OE＝x，则AE＝EC＝OC﹣OE＝4﹣x，
在Rt△AOE中，AE2＝OE2+OA2，
即（4﹣x）2＝x2+4，
3
解得：x= ，
2
3
∴OE= ，
2
3
故答案为： ．
2
【变式2】如图所示，把一张长方形纸片ABCD沿CE折叠，得到线段B′E，折痕EC与BD相交于点M，
若B′E∥BD，∠ADB＝36°，则∠EMD＝ ．【分析】根据矩形的性质和翻折的性质可得：∠BEC＝∠B′EC＝63°，然后利用平行线的性质即可解
决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣36°＝54°，
∵B′E∥BD，
∴∠AEB′＝∠ABD＝54°，
1 1
由翻折可知：∠BEC＝∠B′EC= （180°﹣∠AEB′）= （180°﹣54°）＝63°，
2 2
∵B′E∥BD，
∴∠B′EC+∠EMD＝180°，
∴∠EMD＝180°﹣63°＝117°，
故答案为：117°．
【变式3】如图，矩形ABCD中，AD＝18，AB＝24．点E为边DC上的一个动点，△AD′E与△ADE关于
直线AE对称，当△CD′E为直角三角形时，DE的长为 ．
【分析】分两种情况分别求解，（1）当∠CED′＝90°时，如图1，根据轴对称的性质得∠AED＝
∠AED′＝45°，得DE＝AD＝18；（2）当∠ED′A＝90°时，如图2，根据轴对称的性质得∠AD′E＝
∠D，AD′＝AD，DE＝D′E，得A、D′、C在同一直线上，根据勾股定理得AC＝30，设DE＝D′E
＝x，则EC＝CD﹣DE＝24﹣x，根据勾股定理得，D′E2+D′C2＝EC2，代入相关的值，计算即可．
【解答】解：（1）当∠CED′＝90°时，如图（1），∵∠CED′＝90°，△AD′E与△ADE关于直线AE对称，
1
∴∠AED=∠AED′= ×90°=45°，
2
∵∠D＝90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AD＝18；
（2）当∠ED′A＝90°时，如图（2），
∵，△AD′E与△ADE关于直线AE对称，
∴∠AD′E＝∠D＝90°，AD′＝AD，DE＝D′E，
∵△CD′E为直角三角形，
即∠CD′E＝90°，
∴∠AD′E+∠CD′E＝180°，
∴A、D′、C在同一直线上，
∴AC=❑√AD2 +CD2 =30，
∴CD′＝30﹣18＝12，
设DE＝D′E＝x，则EC＝CD﹣DE＝24﹣x，
∵D′E2+D′C2＝EC2，
即x2+144＝（24﹣x）2，
解得x＝9，
即DE＝9；
综上所述：DE的长为9或18；
故答案为：9或18．【知识点2 直角三角形斜边上中线的性质】
性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。即如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中
1
点，则BD= AC=AD=DC.
2
【拓展】该性质的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角
形”仍然成立，它可以用来判断一个三角形是否为直角三角形.
【必考点5 直角三角形斜边上中线的性质】
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E是斜边AB的中点，
则∠ECD＝（ ）
A．35° B．30° C．45° D．50°
【分析】根据题意先求出∠ACD＝67.5°，∠BCD＝22.5°，利用直角三角形两锐角互余求得∠B＝67.5°，
再根据直角三角形斜边上中线性质得到BE＝CE，求得∠BCE的度数，进而得到答案．
【解答】解：∵∠ACD＝3∠BCD，∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝67.5°，∠BCD＝22.5°，
∵CD⊥AB，
∴∠B＝90°﹣∠BCD＝90°﹣22.5°＝67.5°，
又∵E是斜边AB的中点，
∴BE＝CE，
∴∠BCE＝∠B＝67.5°，
∴∠ECD＝∠BCE﹣∠BCD＝67.5°﹣22.5°＝45°．
故选：C．
【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝16，BC＝12，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，D为AB的中点，
M为EF的中点，则DM的长为（ ）A．7 B．8 C．❑√55 D．❑√73
【分析】连接DF，DE，由等腰三角形的性质推出F是BC中点，由直角三角形斜边中线的性质得到EF
1 1 1 1 1
= BC= ×12＝6，同理FD= AB＝8，DE= AB，由等腰三角形的性质推出DM⊥EF，FM= EF＝
2 2 2 2 2
3，由勾股定理即可求出DM=❑√DF2−FM2 =❑√82−32 =❑√55．
【解答】解：连接DF，DE，
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴F是BC中点，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
1 1
∴EF= BC= ×12＝6，
2 2
1 1 1
同理：FD= AB= ×16＝8，DE= AB，
2 2 2
∴DF＝DE，
∵M为EF的中点，
1
∴DM⊥EF，FM= EF＝3，
2
∴DM=❑√DF2−FM2 =❑√82−32 =❑√55．
故选：C．【变式1】如图，D，E分别是三角形ABF的边AB和AF的中点，点C是DE上的一点，∠ACB＝90°，
1
CE= CD，AB＝6，则BF的长是（ ）
3
A．6 B．7 C．8 D．10
【分析】根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出CD＝3，根据已知条件得出CE＝1，即可
得出DE＝4，进而根据三角形的中位线的性质，即可求解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，AB＝6，
1
∴CD= AB=3，
2
1
∵CE= CD，
3
1
∴CE= ×3=1，
3
∴DE＝CD+CE＝3+1＝4，
又∵D，E分别是三角形ABF的边AB和AF的中点，
∴BF＝2DE＝2×4＝8．
故选：C．
【变式2】如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E是CF的中点．
（1）求证：DE⊥CF；（2）求证：∠B＝2∠BCF．
1
【分析】（1）连接DF，根据直角三角形的性质得到DF= AB＝BF，进而证明DC＝DF，根据等腰三
2
角形的三线合一证明结论；
（2）根据三角形的外角性质得到∠FDB＝2∠DFC，根据等腰三角形的性质证明结论．
【解答】证明：（1）连接DF，
∵AD是边BC上的高，
∴∠ADB＝90°，
∵点F是AB的中点，
1
∴DF= AB＝BF，
2
∵DC＝BF，
∴DC＝DF，
∵点E是CF的中点．
∴DE⊥CF；
（2）∵DC＝DF，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴∠FDB＝∠DFC+∠DCF＝2∠DFC，
∵DF＝BF，
∴∠FDB＝∠B，
∴∠B＝2∠BCF．
【变式3】如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点．求证：MN⊥BD．1
【分析】连接BM、DM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM＝DM= AC，再根据
2
等腰三角形三线合一的性质证明即可．
【解答】证明：如图，连接BM、DM，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，
1
∴BM＝DM= AC，
2
∵点N是BD的中点，
∴MN⊥BD．
【知识点3 矩形的判定】
判定方法 数学语言 图形
在 中，
有一个角是直角的平行四
，
边形是矩形（定义）
是矩形.
角
在四边形 中，
有三个角是直角的四边形
，
是矩形
四边形 是矩形.
在 中，
对角线相等的平行四边形
对角线 ，
是矩形
是矩形【必考点6 矩形的判定条件】
【例1】如图，在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O，添加下列条件不能判定 ABCD为矩形的只有
（ ） ▱ ▱
A．AC＝BD B．AB＝6，BC＝8，AC＝10
C．AC⊥BD D．∠1＝∠2
【分析】根据矩形的判定方法即可一一判断．
【解答】解：A、正确．对角线相等的平行四边形是矩形．
B、正确．∵AB＝6，BC＝8，AC＝10，
∴AB2+BC2＝62+82＝102，
∴∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD为矩形．
C、错误．对角线垂直的平行四边形是菱形，
D、正确，∵∠1＝∠2，
∴AO＝BO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
故选：C．
【变式1】在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠B
C．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB∥CD且AC＝BD
【分析】由AD∥BC，AD＝BC可得四边形ABCD是平行四边形，再由AC＝BD可得平行四边形ABCD
是矩形，故选项A不符合题意；
由AD∥BC，AD＝BC推出四边形ABCD是平行四边形，进而推出∠A＝∠B＝90°，可证得平行四边形
ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
由AD∥BC推出∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，进而推出∠B＝∠D，得到四边形ABCD是平行四边形，推
出AB＝CD，不能判定四边形ABCD为矩形，故选项C符合题意；
由AD∥BC，AB∥CD推出四边形ABCD是平行四边形，再由AC＝BD，四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意
【解答】解：A．∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B．∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C．∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∴不能判定四边形ABCD为矩形，故选项C符合题意；
D、∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【变式 2】如图，四边形 ABCD 是平行四边形，下列条件① AC＝BD，② AC⊥BD，③ AB⊥BC，
④∠ABD＝∠CBD，⑤∠ODC＝∠OCD中能判定四边形ABCD是矩形的是 ．
【分析】根据给定的条件加上平行四边形条件，对每个选项进行分析证明，从而可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故①符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故②不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，AB⊥BC，
∴四边形ABCD是矩形，故③符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，故④不符合题意；
∵∠ODC＝∠OCD，
∴OD＝OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OB＝OC＝OD，AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，故⑤符合题意；
故答案为：①③⑤．
【变式3】如图，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平行线，分别交∠ABM
和∠ABN的平分线于点C，D，连接AC，AD．添加一个适当的条件：当 时，四边形ACBD为
矩形．
【分析】证∠OCB＝∠OBC，则OC＝OB，同理OD＝OB，再由OA＝OB，证出四边形ACBD是平行四
边形，然后证AB＝CD，即可得出结论．
【解答】解：添加条件为：O是AB的中点，理由如下：
∵CD∥MN，
∴∠OCB＝∠CBM，∵BC平分∠ABM，
∴∠OBC＝∠CBM，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴OC＝OB，
同理可证：OB＝OD，
∴OB＝OC＝OD，
∵O是AB的中点，
∴OA＝OB，
∴四边形ACBD是平行四边形，
∵CD＝OC+OD，AB＝OA+OB，
∴AB＝CD，
∴平行四边形ACBD是矩形，
故答案为：O是AB的中点．
【必考点7 证明一个四边形是矩形】
【例1】如图，在 ABCD中，点C是BE的中点．
（1）求证：四▱边形ACED是平行四边形；
（2）当△ABE满足 时，四边形ACED是矩形，并说明理由．
【分析】（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可；
（2）利用对角线相等的平行四边形是矩形进行判定即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD＝BC，
∵点C是BE的中点，
∴BC＝CE，
∴AD＝CE，
∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形；（2）解：当△ABE满足AB＝AE时，四边形ACED是矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，
∵AB＝AE，
∴DC＝AE，
由（1）可知，四边形ACED是平行四边形，
∴平行四边形ACED是矩形．
【变式1】已知：如图，在△ABC中，点E、F分别是边BC、AC的中点，过点A作BC的平行线，交射线
EF于点D．
（1）求证：四边形ABED是平行四边形；
（2）如果AB＝AC，联结AE、CD，求证：四边形AECD为矩形．
【分析】（1）证明EF是△ABC的中位线，得EF∥AB，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得AD＝BE，进而得AD＝CE，再证明四边形AECD是平行四边形，然后由等
腰三角形的性质得AE⊥BC，则∠AEC＝90°，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵点E、F分别是边BC、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形；
（2）如图，由（1）可知，AD∥BC，四边形ABED是平行四边形，
∴AD＝BE，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴AD＝CE，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AB＝AC，
∴AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，
∴平行四边形AECD为矩形．
【变式2】如图，将 ABCD的边AB延长至点E，使BE＝AB，连接DE，EC，BD，DE交BC于点O．
（1）求证：△AB▱D≌△BEC；
（2）若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
【分析】（1）根据平行四边形的判定与性质得到四边形 BECD为平行四边形，然后由SSS推出两三角
形全等即可；
（2）欲证明四边形BECD是矩形，只需推知BC＝ED．
【解答】证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，则BE∥CD．
又∵AB＝BE，
∴BE＝DC，
∴四边形BECD为平行四边形，
∴BD＝EC．
在△ABD与△BEC中，
{AB=BE
)
BD=EC ，
AD=BC
∴△ABD≌△BEC（SSS）；
（2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD＝OE，OC＝OB．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠BCD，
即∠A＝∠OCD．
又∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠OCD+∠ODC，∴∠OCD＝∠ODC，
∴OC＝OD，
∴OC+OB＝OD+OE，
即BC＝ED，
∴平行四边形BECD为矩形．
【变式3】如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长
线于点F，连接BF．
（1）求证：AF＝CD；
（2）若AF＝BD，当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
【分析】（1）根据平行线的性质得∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE，由中点的定义，得到AE＝DE，
证明△AFE≌△DCE（AAS），利用全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）当△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形，理由：先证明四边形AFBD为平行四边形，再
利用等腰三角形三线合一得到AD⊥BC，即可得证．
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AFE和△DCE中，
{∠AFE=∠DCE
)
AE=DE ，
∠FAE=∠CDE
∴△AFE≌△DCE（AAS），
∴AF＝CD；
（2）解：当△ABC满足：AB＝AC时，四边形AFBD是矩形，
理由如下：
∵AF＝BD，AF∥BC即AF∥BD，∴四边形AFBD是平行四边形，
由（1）知：AF＝CD，
∴BD＝CD，
又∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°，
∴平行四边形AFBD是矩形．
【变式4】如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于
点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
（3）连接AE，AF，当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由．
【分析】（1）由角平分线的定义结合平行线的性质可证得∠ACE＝∠OEC，则OE＝OC，同理OC＝
OF，即可得出结论；
（2）利用勾股定理可求得EF的长，再结合（1）的结论可求得OC的长；
（3）只要保证四边形AECF是平行四边形即可，则可知O为AC的中点时，满足条件．
【解答】（1）证明：∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠ECB＝∠OEC，
∴∠ACE＝∠OEC，
∴OE＝OC，
同理可得OC＝OF，
∴OE＝OF；
（2）解：∵CE、CF分别平分∠ACB和∠ACD，
1 1
∴∠ACE= ∠ACB，∠ACF= ∠ACD，
2 2
1 1
∴∠ACE+∠ACF= ∠BCD= ×180°＝90°，
2 2∴EF=❑√CE2 +CF2 =❑√122 +52 =13，
1
∴OC= EF＝6.5，
2
即OC的长为6.5；
（3）解：当O在AC的中点时，四边形AECF是矩形，理由如下：
当O为AC中点时，则OA＝OC，
由（1）可知，OC＝OE＝OF，
∴OA＝OC＝OE＝OF，
∴四边形AECF为平行四边形，AC＝EF，
∵AC＝EF，
∴平行四边形AECF为矩形．
【必考点8 矩形的判定解动点问题】
【例1】如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停
止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度的速度都是1cm/s，连接
PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．当t＝ s时，四边形ABQP是矩形．
【分析】根据矩形的性质得出AD＝BC＝8cm，AD∥BC，∠B＝90°，当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩
形，得出方程8﹣t＝t，求出方程的解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8cm，AD∥BC，∠B＝90°，
当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形，
即8﹣t＝t，
解得t＝4．所以当t＝4s时，四边形ABQP是矩形．
故答案为：4．
【变式1】如图，在矩形ABCD中，AB＝20cm．动点P从点A开始沿AB边以4cm/s的速度运动，动点Q
从点C开始沿CD边以1cm/s的速度运动点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之
停止运动．设动点的运动时间为t s，当t＝ s时，四边形APQD是矩形．
【分析】根据题意和矩形的性质得到AP＝4t cm，DQ＝（20﹣t）cm，再由矩形的对边相等得到4t＝20
﹣t，解方程即可得到答案．
【解答】解：由题意得，AP＝4t cm，CQ＝t cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝20cm，
∴DQ＝（20﹣t）cm
∵四边形APQD是矩形，
∴AP＝DQ，
∴4t＝20﹣t，
解得t＝4，
故答案为：4．
【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒
的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个
点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作
DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：AE＝DF；
（2）四边形DEBF能够成为矩形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由．【分析】（1）利用30°的直角三角形进行证明即可；
（2）利用有三个角是直角的四边形是矩形进行计算即可．
【解答】（1）证明：∵Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，
∴∠C＝90°﹣∠A＝30°，
∵CD＝4t，AE＝2t，
又∵在Rt△CDF中，∠C＝30°，
1
∴DF= CD=2t，
2
∴DF＝AE；
（2）∵∠B＝90°，DF⊥BC，
∴当∠EDF＝90°时，四边形DEBF是矩形
∴DF＝BE
∵AC＝60cm，∠C＝30°，
∴AB＝30cm，
∵DF＝AE＝2t，
∴BE＝30﹣2t
即30﹣2t＝2t，
15
解得：t= ，
2
15
即当t= 时，四边形DEBF是矩形．
2
【变式3】在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相
向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5．
（1）若G，H分别是AB，DC中点，试说明：四边形EGFH为平行四边形；
（2）在（1）的条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形．
【分析】（1）证明△AFG≌△CEH（SAS），得GF＝HE，同理GE＝HF，即可得出结论；
（2）由“对角线相等的平行四边形是矩形”得 EF＝GH，再证四边形AGHD是平行四边形，得GH＝BC＝4，然后分两种情况分别求出t的值即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠GAF＝∠HCE，
∵G、H分别是AB、DC的中点，
∴AG＝BG，CH＝DH，
∴AG＝CH，
∵AE＝CF，
∴AF＝CE，
在△AFG与△CEH中，
{ AG=CH )
∠GAF=∠HCE
AF=CE
∴△AFG≌△CEH（SAS），
∴GF＝HE，
同理：GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴AC=❑√AB2 +BC2 =❑√32 +42 =5，
由（2）可知四边形EGFH是平行四边形，
连接GH，
∵点G、H分别是矩形ABCD的边AB、DC的中点，
∴AG＝DH，AG∥DH，
∴四边形AGHD是平行四边形，
∴GH＝BC＝4，
∴当EF＝GH＝4时，四边形EGFH是矩形，分两种情况：
①如图1，AE＝CF＝t，
则EF＝5﹣2t＝4，
解得：t＝0.5；
②AE＝CF＝t，EF＝5﹣2（5﹣t）＝4，解得：t＝4.5；
综上所述，当t为0.5或4.5时，四边形EGFH为矩形．
【必考点9 矩形的判定与性质综合】
【例1】如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF，AF与DE交于点
O． ▱
（1）求证：四边形AEFD为矩形；
（2）若AB＝3，OE＝2，BF＝5，求DF的长．
【分析】（1）先证四边形AEFD为平行四边形，再证∠AEF＝90°，即可得出结论；
（2）由矩形的性质得DF＝AE，AF＝DE＝4，再由勾股定理的逆定理得△BAF为直角三角形，∠BAF
＝90°，然后由面积法求出AE的长，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴AD＝BC＝EF，又∵AD∥EF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴平行四边形AEFD为矩形；
（2）解：由（1）知，四边形AEFD为矩形，
∴DF＝AE，AF＝DE＝2OE＝4，
∵AB＝3，DE＝4，BF＝5，
∴AB2+AF2＝BF2，
∴△BAF为直角三角形，∠BAF＝90°，
1 1
∴S△ABF =
2
AB×AF=
2
BF×AE，
∴AB×AF＝BF×AE，
即3×4＝5AE，
12
∴AE= ，
5
12
∴DF＝AE= ．
5
【变式1】如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO＝10，BO＝DO，且AB
＝12，BC＝16．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC于点E，求∠BDF的度数．
【分析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，利用勾股定理逆定理，得到∠ABC＝90°，即可得
证；
（2）求出∠FDC的度数，根据三角形的内角和，求出∠DCO，然后根据OD＝OC，得到∠CDO，即可
求出∠BDF的度数．
【解答】（1）证明：∵在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO＝10，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，AC＝AO+CO＝20，
∵AB＝12，BC＝16，
∴AB2+BC＝122+162＝202＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）∵四边形ABCD是矩形
∴∠ADC＝90°，
∵∠ADF：∠FDC＝3：2，∠ADF+∠FDC＝∠ADC，
2
∴∠FDC= ∠ADC=36°，
5
∵DF⊥AC，
∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CO＝OD，
∴∠ODC＝∠DCO＝54°，
∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°．
【变式2】如图，在 ABCD中，O为AD的中点，延长BO交CD的延长线于点E，连接AE，BD，∠BDC
＝90°． ▱
（1）求证：四边形ABDE是矩形；
（2）连接OC，若AB＝4，BD＝8，求OC的长．
【分析】（1）先证明四边形ABDE是平行四边形，再证明∠BDE＝90°，然后根据“有一个角是直角的
平行四边形是矩形”即可得四边形ABDE是矩形．
（2）过点O作OF⊥DE于点F．根据矩形的性质可得OD＝OE，根据“等腰三角形三线合一”可得1 1
DF=EF= DE=2．再证明OF为△BDE的中位线，则可得OF= BD=4．再根据平行四边形的性
2 2
质可得CD＝AB＝4，则可得CF＝6，在Rt△OCF中，根据勾股定理即可求出OC的长．
【解答】（1）证明：∵O为AD的中点，
∴AO＝DO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAO＝∠EDO，
又∵∠AOB＝∠DOE，
∴△AOB≌△DOE（ASA），
∴AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BDC＝90°，
∴∠BDE＝90°，
∴四边形ABDE是矩形；
（2）解：如图，过点O作OF⊥DE于点F，
∵四边形ABDE是矩形，
1 1
∴DE＝AB＝4，OD= AD，OB=OE= BE，AD＝BE，
2 2
∴OD＝OE，
∵OF⊥DE，
1
∴DF=EF= DE=2，
2
∴OF为△BDE的中位线，1
∴OF= BD=4，
2
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝4，
∴CF＝CD+DF＝6，
在Rt△OCF中，由勾股定理，得OC=❑√OF2 +CF2 =❑√42 +62 =2❑√13，
即OC的长为2❑√13．
【变式3】如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E为BC的中点，EF⊥CD于点F，
点G在为CD上一点，连接OG，OE，且OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG为矩形；
（2）若AD＝13，OG＝6，∠ABD＝45°，求AB的长．
【分析】（1）证OE是△BCD的中位线，得 OE∥CD，再证四边形 OEFG是平行四边形，然后证
∠EFG＝90°，即可得出结论；
（2）证△ODG是等腰直角三角形，得OD=6❑√2，则BD=2OD=12❑√2，过D作DM⊥AB于点M，
则△BDM是等腰直角三角形，得DM＝BM＝12，然后由勾股定理得AM＝5，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵点E为BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE∥CD，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥CD，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG为矩形；
（2）解：如图，过D点作DM⊥AB，交AB于M，∵∠ABD＝45°，
∴△BDM是等腰直角三角形，
∴BD=❑√2DM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OB＝OD，
∴∠ODG＝∠ABD＝45°，
∴△ODG是等腰直角三角形，
∴OD=❑√2OG=6❑√2，
∴BD＝2OD＝12❑√2，
∴12❑√2=❑√2DM，
∴MB＝DM＝12，
∴AM=❑√AD2−DM2 =❑√132−122 =5，
∴AB＝AM+MB＝5+12＝17．
【必考点10 矩形中求最值问题】
【例1】如图，AB＝40❑√2，点D在AB上，△ACD是边长为10的等边三角形，过点D作与CD垂直的射
线，DP，过射线DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连
接OB，则线段BO的最小值为（ ）
A．20❑√2 B．20 C．40❑√2 D．40
【分析】根据矩形对角线相等且互相平分得：OC＝OD，再证明△ACO≌△ADO，则∠OAB＝30°；点
O一定在∠CAB的平分线上运动，根据垂线段最短得：当OB⊥AO时，OB的长最小，根据直角三角形
30度角所对的直角边是斜边的一半得出结论．
【解答】解，∵四边形CDGH是矩形，1 1
∴CG＝DH，OC= CG，OD= DH，
2 2
∴OC＝OD，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD，∠CAD＝60°，
∵OA＝OA，
∴△ACO≌△ADO，
1
∴∠OAB＝∠CAO= ×60°＝30°，
2
∴点O一定在∠CAB的平分线上运动，所以当OB⊥AO时，OB的长最小，
∵∠OAB＝30°，∠AOB＝90°，
1 1
∴OB= AB= ×40❑√2=20❑√2，
2 2
即OB的最小值为20❑√2，
故选：A．
【例2】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连
接PB，则PB的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．❑√2 D．2❑√2
【分析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P P ，再根据垂线段最短可得当BP⊥P P
1 2 1 2
时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP ⊥P P ，故BP的最小值为BP 的长，由
1 1 2 1
勾股定理求解即可．
【解答】解：如图：
当点F与点C重合时，点P在P 处，CP ＝DP ，
1 1 1当点F与点E重合时，点P在P 处，EP ＝DP ，
2 2 2
1
∴P P ∥CE且P P = CE．
1 2 1 2 2
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．
1
由中位线定理可知：P P∥CE且P P= CF．
1 1 2
∴点P的运动轨迹是线段P P ，
1 2
∴当BP⊥P P 时，PB取得最小值．
1 2
∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP 为等腰直角三角形，CP ＝1．
1 1
∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP B＝45°，∠DEC＝90°．
1
∴∠DP P ＝90°．
2 1
∴∠DP P ＝45°．
1 2
∴∠P P B＝90°，即BP ⊥P P ，
2 1 1 1 2
∴BP的最小值为BP 的长．
1
在等腰直角BCP 中，CP ＝BC＝1．
1 1
∴BP =❑√2．
1
∴PB的最小值是❑√2．
故选：C．
【变式1】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2❑√3，E是边BC上一动点，F是对角线BD上一动点，
且BE＝DF，则DE+CF的最小值为（ ）
A．2 B．2❑√3 C．4 D．2❑√5
【分析】依据题意，延长 DA 到 G，使 DG＝DB，连接 FG，CG，由四边形 ABCD 是矩形，从而
AD∥BC，AD=BC=2❑√3，DC＝AB＝2，∠BAD＝∠GDC＝90°，先证△DGF≌△BDE，进而FG＝
DE，故DE+CF＝FG+CF，所以当点G、F、C共线时，FG+CF最小，最小值为CG，最后利用勾股定
理进行计算可以得解．
【解答】解：延长DA到G，使DG＝DB，连接FG，CG，∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC=2❑√3，DC＝AB＝2，∠BAD＝∠GDC＝90°．
∴∠GDF＝∠DBE．
∵DF＝BE，DG＝BD，
∴△DGF≌△BDE（SAS）．
∴FG＝DE，
∴DE+CF＝FG+CF，
∴当点G、F、C共线时，FG+CF最小，最小值为CG．
∴DE+CF最小值为CG．
∵∠BAD＝90°，
∴BD=❑√AB2 +AD2 =❑√22 +(2❑√3) 2 =4．
在Rt△GDC中，GD＝BD＝4，∠GDC＝90°，
∴GC=❑√GD2 +CD2 =❑√42 +22 =2❑√5．
∴DE+CF最小值为2❑√5，
故选：D．
【变式2】如图，四边形ABCD为矩形，AB＝8，AD＝12．点P是线段AD上一动点，点E为线段BP上一
点，∠BCE＝∠ABP，则AE的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【分析】先根据矩形的性质，证明∠BEC＝90°，故可得E在以BC的中点O为圆心，OB为半径的圆弧上运动，连接OA交弧于点E，此时AE取最小值，利用勾股定理算出AO=❑√AB2 +BO2 =❑√82 +62 =10
，即可算出AE＝AO﹣OE＝10﹣6＝4．
【解答】解：∵∠BCE＝∠ABP，四边形ABCD为矩形，
∴∠ABP+∠CBP＝∠ABC＝90°，
∴∠BCE+∠CBP＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴E在以BC的中点O为圆心，OB为半径的圆弧上运动，
如图所示，连接OA交弧于点E，此时AE取最小值，
∵AB＝8，AD＝BC＝12，
1
∴BO=OE= BC=6，
2
∴AO=❑√AB2 +BO2 =❑√82 +62 =10，
∴AE＝AO﹣OE＝10﹣6＝4，即AE的最小值为4，
故选：A．
【变式3】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，点E为CD中点，P、Q为BC边上两个动点，且PQ
＝2，则四边形APQE周长的最小值为（ ）
A．10+2❑√26 B．10+2❑√13 C．12+2❑√26 D．2❑√26
【分析】过点P作PM∥QE，过点E作EF∥BC交AB于N，PM于M，作A点关于BC的对称点A'，当
A'、P、M三点共线时，AP+QE的最小值为A'M，于是得到结论．
【解答】解：过点P作PM∥QE，过点E作EF∥BC交AB于N，PM于M，作A点关于BC的对称点
A'，当A'、P、M三点共线时，四边形APQE的周长最小，
由对称性可知，AP＝A'P，
∵四边形PMEQ为平行四边形，
∴PM＝QE，
∵四边形APQE的周长＝AP+PQ+QE+AE＝AE+PQ+A'P+PM＝AE+PQ+A'M，
此时四边形APQE的周长最小值为AE+PQ+A'M，
∵AB＝4，BC＝10，E为CD边的中点，
∴CE＝BN＝2，NE＝BC＝10，A'B＝4，
∵PQ＝2，
∴ME＝2，
∴MN＝8，
∴A'N＝6，
∴AE=❑√AD2 +DE2 =2❑√26，
在Rt△A'MN中，A'M=❑√A′N2 +M N2 =10，
∴四边形APQE周长的最小值为10+2+2❑√26=12+2❑√26，
故选：C．
【必考点11 矩形中多结论问题】
【例1】如图，在矩形ABCD中，AD=❑√2AB，∠BAD 的平分线交BC于点E，DH⊥AE 于点H，连接BH
1
并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，有下列结论：①ED平分∠AEC；②OE= DE；③HE
2
＝DF；④BC﹣CF＝2EH；⑤AB＝FH．其中正确的结论有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据角平分线的定义可得∠BAE＝∠DAE＝45°，可得出△ABE是等腰直角三角形，证出AE＝
AD，证明△ABE≌△AHD，可得BE＝DH，求出∠ADE＝∠AED＝∠CED＝67.5°，从而判断出①正
确；求出∠AHB＝67.5°，∠DHO＝∠ODH＝22.5°，然后根据等角对等边可得OE＝OD＝OH，判断出
②正确；求出∠EBH＝∠OHD＝22.5°，∠AEB＝∠HDF＝45°，证明△BEH≌△HDF，可得BH＝HF，
判断出③正确；根据全等三角形对应边相等可得DF＝HE，根据HE＝AE﹣AH＝BC﹣CD，BC﹣CF＝
BC﹣（CD﹣DF）＝2HE，判断出④正确；判断出△ABH不是等边三角形，从而得到 AB≠BH，即
AB≠HF，得到⑤错误．
【解答】解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=❑√2AB，
∵AD=❑√2AB，
∴AE＝AD，
在△ABE和△AHD中，
{ ∠BAE=∠DAE )
∠ABE=∠AHD=90° ，
AE=AD
∴△ABE≌△AHD（AAS），
∴BE＝DH，
∴AB＝BE＝AH＝HD，
∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠CED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠AED＝∠CED，
∴ED平分∠AEC，故①正确；
∵∠AHB＝（180°﹣45°）＝67.5°，∠OHE＝∠AHB，
∴∠OHE＝∠AED，∴OE＝OH，
∵∠OHD＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠ODH＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∴∠OHD＝∠ODH，
∴OH＝OD，
∴OE＝OD＝OH，
1
OE= DE，故②正确；
2
∵∠EBH＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠EBH＝∠OHD，
又∵BE＝DH，∠AEB＝∠HDF＝45°，
在△BEH和△HDF中，
{∠EBH=∠OHD
)
BE=DH ，
∠AEB=∠HDF
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH＝HF，HE＝DF，故③正确；
由上述①、⑤、③可得CD＝BE、DF＝EH＝CE，CF＝CD﹣DF，
∴BC﹣CF＝（CD+HE）﹣（CD﹣HE）＝2HE，故④正确；
∵AB＝AH，∠BAE＝45°，
∴△ABH不是等边三角形，
∴AB≠BH，
∴即AB≠HF，故⑤错误；
故选：C．
【变式1】在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE＝15°，连
接OE，则下面的结论中正确的有（ ）
①△DOC是等边三角形；
②△BOE是等腰三角形；
③BC=❑√3AB；
④∠AOE＝135°；
⑤S△AOE ＝S△BOE ．A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①②③④⑤
【分析】判断出△ABE是等腰直角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出
∠ACB＝30°，再判断出△ABO，△DOC是等边三角形，可判断①；根据等边三角形的性质求出OB＝
AB，再求出OB＝BE，可判断②，由直角三角形的性质可得BC=❑√3AB，可判断③，由等腰三角形
性质求出∠BOE＝75°，再根据∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝135°，可判断④；由面积公式可得S△AOE ＝
S△COE 可判断⑤；即可求解．
【解答】解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴∠AEB＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE，
∵∠CAE＝15°，
∴∠ACE＝∠AEB﹣∠CAE＝45°﹣15°＝30°，
∴∠BAO＝90°﹣30°＝60°，
∵矩形ABCD中：OA＝OB＝OC＝OD，
∴△ABO是等边三角形，△COD是等边三角形，故①正确；
∴OB＝AB，∠ABO＝∠AOB＝60°，
∴OB＝BE，
∴△BOE是等腰三角形，故②正确；
∵∠OBE＝∠ABC﹣∠ABO＝90°﹣60°＝30°＝∠ACB，
1
∴∠BOE= (180°−30°)=75°，BC=❑√3AB，故③正确；
2
∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝60°+75°＝135°，故④正确；
∵AO＝CO，
∴由面积公式可得S△AOE ＝S△COE ，
∵∠BOE＝75°，∠COE＝180°﹣135°＝45°，OB＝OC，∴∠BOE≠∠COE，
即BE≠CE，
∴S△BOE ≠S△COE ，
∴S△AOE ≠S△BOE ，故⑤错误；
综上，①②③④正确；
故选：B．
【变式2】如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，E，F分别是边AD，BC的中点，CP⊥BE于P，DP的
25
延长线交AB于G．下列结论：①PF＝2.5；②PF⊥DG；③PG= ．其中结论正确的有（ ）
12
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【分析】连接GF，由矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，E，F分别是边AD，BC的中点，CP⊥BE于P，
得PF＝BF＝CF＝2.5，故①对；由DE＝BF，DE∥BF，得四边形BEDF是平行四边形，得BE∥DF，
得CP⊥DF由PF＝CF，得CP垂直平分DF，得PD＝CD＝3，得△DPF≌△DCF（SSS），得∠DPF＝
∠DCF＝90°，即PF⊥DG，故②对；由∠GPF＝∠GBF＝90°，PF＝BF，GF＝GF，得△GPF≌△GBF
（HL），得BG＝PG＝x，得PG的长，故③对．
【解答】解：连接GF，由矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，E，F分别是边AD，BC的中点，CP⊥BE
于P，
得PF＝BF＝CF＝2.5，故①对；
1 1
由DE= AD= BC＝BF，DE∥BF，
2 2
得四边形BEDF是平行四边形，
得BE∥DF，
得CP⊥DF，
由PF＝CF，
得CP垂直平分DF，
得PD＝CD＝3，
得△DPF≌△DCF（SSS），得∠DPF＝∠DCF＝90°，即PF⊥DG，故②对；
由∠GPF＝∠GBF＝90°，PF＝BF，GF＝GF，
得△GPF≌△GBF（HL），
得BG＝PG＝x，
由AG2+AD2＝GD2，
得（3﹣x）2+52＝（3+x）2，
25
得PG＝x= ，故③对．
12
故选：D．
1
【变式3】如图，矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝BE＝12，F为BE上一点，且BF= EF，连接DE、
2
CE、CF．以下说法中：①BF＝4；②当点E在AD边上时，则∠DCE＝15°；③当∠EBC＝60°时，则
∠ADE＝30°；④DE+CF的最小值为10．其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
1
【分析】①根据BF= EF，BE＝12可求出BF的长，进而可对①进行判断；
2
②当点E在AD边上时，设BE的中点为H，连接AH，证△ABH为等边三角形，得∠ABH＝60°，进而
得∠EBC＝30°，则∠BCE＝∠BEC＝75°，由此可求出∠DCE的度数即可对②进行判断；
③当∠EBC＝60°时，设AD交CE于H，交BE于G，证△BCE和△EGH均为等边三角形，然后再
Rt△ABG中求出AG=2❑√3，同理DH=2❑√3，则GH=12−4❑√3≠DH，进而得∠ADE≠∠DEH，然后根
据∠ADE+∠DEH＝∠EHG＝60°可对③进行判断；
④在BC上取一点M，使BM＝BF＝4，连接ME，MD，先求出DM＝10，证△BME和△BFC全等得
ME＝CF，则DE+CF＝DE+ME，根据“两点之间线段最短”得 DE+ME≥DM，由此可得出DE+ME的最小值，进而可对④进行判断，综上所述即可得出答案．
1
【解答】解：①∵BF= EF，
2
∴EF＝2BE，
∴BE＝BF+EF＝3BF，
∵BE＝12，
∴BF＝4，
故①正确；
②当点E在AD边上时，设BE的中点为H，连接AH，如图1所示：
∵四边形ABCD为矩形，AB＝6，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝CD＝6，
在Rt△ABE中，点H为斜边BE的中点，BE＝12，
1
∴AH＝BH＝EH= BE＝6，
2
∴∠AB＝BH＝AH＝6，
∴△ABH为等边三角形，
∴∠ABH＝60°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABH＝90°﹣60°＝30°，
∵BC＝BE＝12，
1 1
∴∠BCE＝∠BEC= （180°﹣∠EBC）= ×（180°﹣30°）＝75°，
2 2
∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE＝90°﹣75°＝15°，
故②正确；
③当∠EBC＝60°时，设AD交CE于H，交BE于G，如图2所示：∵∠EBC＝60°，BC＝BE＝12，
∴△BCE为等边三角形，
∴∠EBC＝∠ECB＝60°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，AD＝BC＝12，
∴∠EGH＝∠EBC＝60°，∠EHG＝∠ECB＝60°，
∴△EGH为等边三角形，
∴EG＝GH＝EH，
∴∠ABG＝∠ABC﹣∠EBC＝30°，∠DCH＝∠BCD﹣∠ECB＝30°，
在Rt△ABG中，∠ABG＝30°，AB＝6，
∴BG＝2AG，
由勾股定理得：BG2﹣AG2＝AB2，
即（2AG）2﹣AG2＝62，
∴AG=2❑√3，
同理DH=2❑√3，
∴GH＝AD﹣AG﹣DH=12−4❑√3≠DH，
∴∠ADE≠∠DEH，
∴∠ADE+∠DEH＝∠EHG＝60°，
∴∠ADE≠30°，
故③不正确；
④在BC上取一点M，使BM＝BF＝4，连接ME，MD，如图3所示：则CM＝BC﹣BM＝12﹣4＝8，
在Rt△DCM中，由勾股定理得：DM=❑√CM2 +CD2 =10，
在△BME和△BFC中，
{ BN=BF )
∠EBM=∠CBF ，
BC=BE
∴△BME≌△BFC（SAS），
∴ME＝CF，
∴DE+CF＝DE+ME，
根据“两点之间线段最短”得：DE+ME≥DM，
∴当点D，M，E在同一条直线上时，DE+ME为最小，最小值为线段DM的长，
即DE+ME的最小值为10，
∴DE+CF的最小值为10．
综上所述：正确有①②④，共3个．
故选：C．
