文档内容
第 08 讲 不等式（4 个知识点+4 种题型+强化训练）
知识导图
知识清单
知识点1．不等式的定义
（1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号
表示不等关系的式子也是不等式．
（2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、
“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数．
知识点2．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不
变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或 ＞ ；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或 ＜ ；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向
不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一
定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字
母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
知识点3．不等式的解集
（1）不等式的解的定义：
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
（2）不等式的解集：
能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集．
（3）解不等式的定义：
求不等式的解集的过程叫做解不等式．
（4）不等式的解和解集的区别和联系
不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等
号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内．
知识点4．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空
心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在
x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立
知识复习
一．不等式的定义（共9小题）
1．（2023春•灌云县月考）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们
往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高 的范围可表
示为A． B． C． D．
2．（2022春•莱州市期末）有下列式子：① ；② ；③ ；④ ；
⑤ ．其中是不等式的有 个．
3．（2022春•滨海县月考）下列数学表达式中：① ．② ，③ ，④
，⑤ ，⑥ 中，不等式有
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
4．（2023春•阜新期中）“ 的3倍与2的差不大于 ”所对应的不等式是 ．
5．（2023春•商水县期末）某日我市最高气温是 ，最低气温是 ，则当天气温
的变化范围是 ．
6．（2022春•莱山区期末）（1）【阅读理解】“ ”的几何意义是：数 在数轴上对应
的点到原点的距离．所以，“ ” 可理解为：数 在数轴上对应的点到原点的距离不
大于2；则：
①“ ”可理解为 ．
②请列举3个不同的整数 ，使不等式 成立．列举的 的值是 、 、 ．
我们定义：形如“ ”、“ ”、“ ”、“ ” 为非负数）
的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对
值不等式的解集．（2）【理解运用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：
由上图可得出：绝对值不等式 的解集是 ；绝对值不等式 的解集是
或 ．
则，①不等式 的解集是 ；
②不等式 的解集是 ．
（3）【灵活运用】不等式 的解集是 ．
7．（2022春•灌南县校级月考）某种药品说明书上，贴有如图所示的标签，则一次服用这
种药品的剂量范围是 ，则 ， 的值分别为
用法用量：口服，
每天 ，分
次服用．
规格：
□□□□□□
贮藏：
□□□□□□
A． ， B． ， C． ， D． ，
8．（2021春•方城县期中）在数轴上有 ， 两点，其中点 所对应的数是 ，点 所对
应的数是1．已知 ， 两点的距离小于3，请你利用数轴．
（1）写出 所满足的不等式；
（2）数 ，0，4所对应的点到点 的距离小于3吗？
9．有理数 ， 在数轴上如图，用不等号填空．
（1） 0；（2） 0；（3） 0；（4） ；（5）
．
二．不等式的性质（共9小题）10．（2023春•嘉祥县期末）下列判断不正确的是
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
11．（2023春•万州区校级期中）由不等式 可以推出 ，那么 的取值范围是
．
12．（2023春•靖西市期中）由不等式 得到 ，试化简 ．
13．（2024春•南山区校级期中）如图，数轴上的点 与点 所表示的数分别为 ， ，
则下列不等式成立的是
A． B． C． D．
14．（2023秋•莲都区期末）若 ， ，则下列不等式不成立的是
A． B． C． D．
15．（2023春•榆树市校级期中）若 ，则 ．（填“ ”或“ ”或
“ ” ．
16．（2023春•海淀区期末）对于两个关于 的不等式，若有且仅有一个整数使得这两个
不等式同时成立，则称这两个不等式是“互联“的，例如不等式 和不等式 是“互
联“的．
（1）请判断不等式 和 是否是“互联“的，并说明理由；
（2）若 和 是“互联”的，求 的最大值；
（3）若不等式 和 是“互联”的，直接写出 的取值范围．
17．（2022秋•长兴县期末）如果 ，那么 （用“ ”或“ ”填空）．18．（2023春•来凤县期末）【提出问题】已知 ，且 ， ，试确定
的取值范围．
【分析问题】先根据已知条件用一个量如 取表示另一个量如 ，然后根据题中已知量
的取值范围，构建另一量 的不等式，从而确定该量 的取值范围，同法再确定另一未
知量 的取值范围，最后利用不等式性质即可获解．
【解决问题】解： ， ．
又 ， ， ．
又 ， ， ①
同理得 ②
由① ②得 ．
的取值范围是 ．
【尝试应用】已知 ，且 ， ，求 的取值范围．
三．不等式的解集（共10小题）
19．（2023春•长春期末）如果 是某不等式的解，那么该不等式可以是
A． B． C． D．
20．（2022秋•渌口区期末）若不等式组 的解集为 ，则 的取值范围为
A． B． C． D．
21．（2023春•南岗区校级期末）不等式 的解集为 ，则 的取值
范围是 ．
22．（2023春•蓬莱区期末）若关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等
式 的解集是A． B． C． D．
23．（2023•罗定市二模）若关于 的一元一次不等式组 无解，则 的取值范
围是 ．
24．（2023春•沂水县期末）下列说法正确的是
A．由 ，得
B．由 ，得
C．若 ，则 为有理数）
D．不等式 的解一定是不等式 的解
25．（2023春•鹿邑县期末）已知题目：解关于 的不等式组 ，其中
“□”内的数字印刷不清，嘉淇看了标准答案后，说此不等式组无解，则“□”处数字
的取值范围是 ．
26．（2023春•荔城区校级月考）已知不等式 ．
（1）若它的解集是 ，求 的取值范围；
（2）若它的解集与不等式 的解集相同，求 的值．
27．（2023春•江汉区月考）关于 的两个不等式① 与②
（1）若两个不等式的解集相同，求 的值；
（2）若不等式①的解都是②的解，求 的取值范围．
28．（2023春•凤凰县期末）我们定义，关于同一个未知数的不等式 和 ，两个不等式
的解集相同，则称 与 为同解不等式．
（1）若关于 的不等式 ，不等式 是同解不等式，求 的值；
（2）若关于 的不等式 ，不等式 是同解不等式，其中 ， 是正
整数，求 ， 的值；（3）若关于 的不等式 ，不等式 是同解不等式，
试求关于 的不等式 的解集．
四．在数轴上表示不等式的解集（共9小题）
29．（2023春•武昌区期末）关于 的某个不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不
等式的解集是
A． B． C． D．
30．（2023春•海沧区期末）关于 的不等式的解集如图所示，则该不等式的解集为 ．
31．（2023春•原阳县期中）“不等式组中几个不等式的解集的公共部分，叫做这个不等
式组的解集”如果一个关于 的一元一次不等式组由三个一元一次不等式组成，它的解集
表示在数轴上如图所示，那么这个不等式组的解集为 ．
32．（2023春•文山州期末）将不等式组 的解集表示在数轴上，下列正确的是
A． B．
C． D．
33．（2022秋•垫江县校级期末）不等式 在数轴上表示正确的是A．
B．
C．
D．
34．（2023春•江门期末）在实数范围内规定新运算“▲”，其规则是： ▲ ．
已知关于 的不等式 ▲ 的解集在数轴上如图表示，则 的值是 ．
35．（2023春•大余县期末）解不等式组 并将它的解集在数轴上表示出来．
36．（2023春•宝应县期末）整式 的值为 ．
（1）当 时，求 的值；
（2）若 的取值范围如图所示，求 的非正整数值．
37．（2023春•罗庄区期末）计算．
（1） ；
（2）解不等式组 ，并将其解集在数轴上表示出来．强化训练
一、单选题
1．（22-23七年级下·吉林长春·期末）如果 是某不等式的解，那么该不等式可以是
（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23七年级下·辽宁抚顺·期末）下列数学式子：① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ；其中是不等式的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
3．（22-23七年级下·安徽安庆·阶段练习）某品牌酱油的包装上标注了“氨基酸态氮
克/100毫升”，它的含义是（ ）
A．每100毫升酱油所含氨基酸态氮1.2克
B．每100毫升酱油所含氨基酸态氮高于1.2克
C．每100毫升酱油所含氨基酸态氮不低于1.2克
D．每100毫升酱油所含氨基酸态氮不超过1.2克
4．（22-23七年级下·广西贺州·期中）x与y的差为负数，用不等式表示为（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23七年级下·山东烟台·阶段练习）实数a，b，c满足 ，则下列式子中
正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（22-23七年级下·江苏南通·阶段练习）下列命题中：（1）若 ， ，则 ；
（2）若 ，则 ；（3）若 ，则 ；（4）若 ，则 ，正确
的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
7．（22-23七年级下·湖南衡阳·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．不等式 的解集是 B． 是不等式 的一个解C．不等式 的整数解有无数个 D．不等式 的正整数解有4个
8．（22-23七年级下·山东淄博·期末）在下列数学表达式中，不等式的个数是（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．（22-23七年级下·四川凉山·期末）已知 ，下列变形一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（22-23七年级下·北京昌平·期中）定义新运算“ ”，规定： ．若关于
的不等式 的解集为 ，则 的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
二、填空题
11．（22-23七年级下·福建泉州·期中）若不等式 ，两边同除以 ，
得 ，则 的取值范围为 ．
12．（22-23七年级下·河南周口·期中）据气象台报道．2023年2月14日郑州市的最高气
温为 ，最低气温为 ，则当天气温 的变化范围是 ．
13．（21-22七年级下·全国·课前预习）像156＞155，155＜156，x＞50，这样，我们把用
符号“＞”或“＜”连接而成的式子叫做 ．像a≠2这样的式子也叫做不等式．
使不等式成立的未知数的值叫做 ．
14．（22-23七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）用不等式表示“x与1的和是负数” ．
15．（22-23七年级下·河南周口·期中）比较大小： （填“ ”、“ ”或
“ ”）．
16．（七年级下·安徽六安·期末）已知关于 的不等式 的解集为 ，化
简 ．
17．（22-23七年级下·山东烟台·期末）写出一个关于x的不等式，使 ，2都是它的解，
这个不等式可以为
18．（22-23七年级下·全国·课后作业）已知 ，下列结论：① ；② ；③若 ，则 ；④若 ，则 ．其中正确的结论是 （填序号）．
三、解答题
19．（22-23八年级上·全国·课后作业）根据下列数量关系列不等式：
(1)a是正数．
(2)y的2倍与6的和比1小．
(3) 减去10不大于10．
(4)设a，b，c为一个三角形的三条边长，两边之和大于第三边．
20．（22-23七年级下·安徽安庆·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组
的解满足 ．
(1)求a的取值范围．
(2)化简： ．
(3)关于k的不等式 的解集为______．
21．（22-23七年级下·山东烟台·阶段练习）（1）比较 与 的大小关系：
①当 时， __________ ；
②当 时， __________ ；
③当 时， __________ ．
（2）根据上述结果请你猜想 与 的大小关系：__________，并进行验证．22．（2023七年级下·江苏·专题练习）用适当的符号表示下列关系：
(1)x的 与x的2倍的和是非正数；
(2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；
(3)三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；
(4)明天下雨的可能性不小于 ；
(5)小明的体重不比小刚轻．
23．（20-21七年级下·全国·课后作业） （ 为定值）是关 一元一次不等
式，求关于 的方程 的解．24．（七年级下·全国·课后作业）不等式的解集中是否一定有无限多个数？
不等式|x|≤0、x2＜0的解集是什么？
不等式x2＞0和x2+4＞0的解集分别又是什么？
25．（22-23七年级·全国·假期作业）阅读下列解题过程，再解题．
已知 ，试比较 与 的大小．
解：因为 ，①
所以 ，②
故 ．③
(1)上述解题过程中，从第 步开始出现错误；
(2)错误的原因是什么？
(3)请写出正确的解题过程．
26．（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）新定义：若无理数 的被开方数 （ 为正
整数）满足 （其中 为正整数），则称无理数 的“青一区间”为 ；
同理规定无理数 的“青一区间”为 ．例如：因为 ，所以 ，
所以 的“青一区间”为 ， 的“青一区间”为 ．请解答下列问题：
(1) 的“青一区间”是 ； 的“青一区间”是 ；(2)若无理数 （ 为正整数）的“青一区间”为 ， 的“青一区间”为
，求 的值；
(3)实数x，y，m满足关系式： ，求
的算术平方根的“青一区间”．
