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第 09 章 不等式与不等式组 章节复习卷（14 个知识
点+50 题练习）
知识点
知识点1．不等式的定义
（1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号
表示不等关系的式子也是不等式．
（2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、
“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数．
知识点2．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不
变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或 ＞ ；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或 ＜ ；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向
不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向
才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一
定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字
母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
知识点3．不等式的解集
（1）不等式的解的定义：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
（2）不等式的解集：
能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集．
（3）解不等式的定义：
求不等式的解集的过程叫做解不等式．
（4）不等式的解和解集的区别和联系
不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等
号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内．
知识点4．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空
心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其
次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
知识点 5．一元一次不等式的定义
（1）一元一次不等式的定义：
含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
（2）概念解析
一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不
同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接．
另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未
知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式．
知识点6．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移
项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他
都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
知识点7．一元一次不等式的整数解
解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到
下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数
形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．
知识点8．由实际问题抽象出一元一次不等式
用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低
于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．
知识点9．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以
得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现
问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
知识点10．一元一次不等式组的定义
（1）一元一次不等式组的定义：
几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
（2）概念解析
形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组
但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等
式的个数可以是两个及以上的任意几个．
知识点11．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组
成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
知识点12．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集
的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再
根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
知识点13．由实际问题抽象出一元一次不等式组
由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等
关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不
大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类
题目．
知识点14．一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
练习卷
一．不等式的定义（共4小题）
1．（2023春•射阳县期中）有下列式子：① ；② ；③ ；④ ；
⑤ ．其中是不等式的有 3 个．
【分析】用“ ”或“ ”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“ ”号表示不等关
系的式子也是不等式．据此可得答案．【解答】解：不等式有：① ，② ，⑤ ，共有3个．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查不等式的定义，用“ ”或“ ”号表示大小关系的式子，叫做不
等式，用“ ”号表示不等关系的式子也是不等式．
2．（2023春•海口期中）数学表达式① ；② ；③ ；④ ；
⑤ 中不等式的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据不等式的定义（用符号“ ”或“ ”表示大小关系的式子，叫做不等式）
逐个判断即可得．
【解答】解：① ，② ；⑤ 都是不等式，共有3个，
故选： ．
【点评】本题考查了不等式的定义，熟记不等式的定义是解题关键．
3．（2023春•清江浦区校级期中）某饮料标签上标有“脂肪含量 ”，那么100克该
饮料中最多含有脂肪多少克？
A．0克 B．2克 C．1.6克 D．0.8克
【分析】由“脂肪含量 ”，可得最高含量的百分比，再列式计算即可．
【解答】解：由题意可得：100克该饮料中最多含有脂肪 （克 ，
故选： ．
【点评】本题考查的是不等式的含义，有理数的乘法运算，理解题意，列出正确的运算式
是解本题的关键．
4．（2023春•招远市期末）写出一个关于 的不等式，使 ，2都是它的解，这个不等式
可以为 （答案不唯一） ．
【分析】由 ，2均小于3可得 ，在此基础上求解即可．
【解答】解：由 ，2均小于2可得 ，
所以符合条件的不等式可以是 ，故答案为： （答案不唯一）．
【点评】本题主要考查不等式的解集，解题的关键是掌握使不等式成立的未知数的值叫
做不等式的解．
二．不等式的性质（共4小题）
5．（2023春•临淄区期末）若 ，则 ．
【分析】先判断出 的符号，进而判断出不等式的方向即可．
【解答】解： 何数的平方一定大于或等于0
时，
时，则
若 ，则 ．
【点评】不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；还要注意两边同乘以
0时的情况．
6．（2023•高明区二模）已知 ，下列不等式一定成立的是
A． B． C． D．
【分析】不等式的基本性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字
母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的
方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；由此即可
解决问题．
【解答】解： 、 ，则 ，故 不符合题意；
、 ，则 ，故 符合题意；
、 ，则 ，故 不符合题意；
、 ，则 ，故 不符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查不等式的性质，关键是掌握不等式的性质．7．（2023春•石狮市校级期中）若不等式 ，两边同除以 ，得 ，
则 的取值范围为 ．
【分析】运用不等式的性质解题即可．
【解答】解：由题可知： ，
解得： ．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，熟知不等式两边同时乘或除一个负数，不等式的
符号要改变，是解本题的关键．
8．（2023春•镇平县月考）阅读下列材料，并完成问题解答：
已知“ ，且 ， ，试确定 的取值范围”有如下解法：
解： ， ．又 ， ． ．又 ，
①，同理 ②，
由① ②得 ， 的取值范围是 ．
（1）【启发应用】请按照上述方法，完成下列问题：
已知 ，且 ， ，则 的取值范围是 ；
（2）【拓展推广】请仿照上述方法，深入思考后完成下列问题：
已知 ，且 ， ，试确定 的取值范围．
【分析】（1）根据给定的方法求解即可；
（2）仿照给定的方法求解即可．
【解答】解：（1） ，
，
，
，
，
，①，
同理， ②，
由① ②，得 ，
的取值范围是 ，
故答案为： ；
（2） ，
，
，
，
，
，
，
①，
同理，可得 ②，
由① ②，得 ，
的取值范围是 ．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
三．不等式的解集（共4小题）
9．（2023春•香坊区期末）若关于 的不等式 的解集为 ，则 的取值范围是A． B． C． D．
【分析】根据求不等式组解集的规律得出答案即可．
【解答】解： 关于 的不等式组 的解集为 ，
，
故选： ．
【点评】本题考查了不等式组的解集，能熟记求不等式组的解集的规律是解此题的关键．
10．（2023春•集美区校级期中）若不等式 的解集是 ，则 的取值范
围是 ．
【分析】根据不等式的性质，两边同时除以一个负数，不等号的方向改变判断 的取值范
围．
【解答】解：两边同时除以 得， ，
可见， ，
解得 ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了不等式的性质，解答此题学生一定要注意不等式两边同乘以（或除
以）同一个负数，不等号的方向改变．
11．（2023春•原阳县期中）已知不等式 与 同解，试求 的值．
【分析】先解不等式 ，根据题意可知 的解为 ，则得到方程
，解出 即可．
【解答】解： ，
，
，
，，
不等式 与 同解，
， ，
解得 ．
【点评】本题考查不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
12．（2023春•镇平县期中）已知关于 ， 的方程组 与 有
相同的解．
（1）求这个相同的解；
（2）小刚同学说：“ 是不等式 的一个解”这句话对吗？请说
明理由；
（3）小明同学说：“无论 取何值，（1）中的解都是关于 ， 的方程
的解．”这句话对吗？请说明理由．
【分析】（1）联立 ，解方程组，即可求解；
（2）将 代入不等式，解不等式，即可求解；
（3）将 代入原方程，可得恒等式，进而与 无关，即可求解．
【解答】解：（1）依题意， ，
解得： ．
（2）不对，理由如下，，
，即 ，
解得： ，
，不是不等式 的解，
（3）对，理由如下：
，即 ，
即 ，
，与 无关，
无论 取何值，（1）中的解都是关于 ， 的方程 的解．
【点评】本题考查了同解方程组，解一元一次不等式，求得 是解题的关键．
四．在数轴上表示不等式的解集（共4小题）
13．（2024春•西安期中）如图，数轴所表示的不等式的解集是
A． B． C． D．
【分析】根据不等式的解集在数轴上表示方法即可求出不等式的解集．
【解答】解：数轴所表示的不等式的解集是 ．
故选： ．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法
“ ”空心圆点向右画折线，“ ”实心圆点向右画折线，“ ”空心圆点向左画折线，
“ ”实心圆点向左画折线．
14．（2023春•望花区期末）一个关于 的不等式，它的解集在数轴上如图所示，这个不等式的解集为 ．
【分析】根据不等式的解集在数轴上的表示方法即可得出结论．
【解答】解： 处是实心圆点，且折线向左，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答
此题的关键．
15．（2023春•镇雄县期末）如图，数轴上表示的解集是下列哪个不等式的解集
A． B． C． D．
【分析】先解每一个选项不等式，再根据利用数轴表示不等式的解集的方法判断即可．
【解答】解： 的解集为 ，不符合题意；
的解集为 ，不符合题意；
的解集为 ，不符合题意；
的解集为 ，符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式并再数轴上表示出不等式的解集，熟练掌握利用
数轴表示不等式解集的方法是解题的关键．
16．（2023春•彭山区校级期中）请阅读求绝对值不等式 和 的解集过程．
对于绝对值不等式 ，从图1的数轴上看：大于 而小于3的绝对值是小于3的，所以 的解集为 ；
对于绝对值不等式 ，从图2的数轴上看：小于 而大于3的绝对值是是大于3的，
所以 的解集为 或 ．
（1）不等式 的解集为 ．
（2）不等式 的解集为 ．
（3）已知关于 、 的二元一次方程组 的解满足 其中 是非
负整数，求 的值．
【分析】（1）由 得 ，解此不等式组可得出答案；
（2）由 得 ，进而得 或 ，由此可得出答案；
（2）先解方程组得 ， ，进而得 ，再由 得
，即 ，由此解得 ，然后再根据 是非负整数可得
的值．
【解答】解：（1） ，
，
即 ，
不等式 的解集为： ，故答案为： ．
（2）
，
或 ，
由 ，解得： ，
由 ，解得： ，
不等式 的解集为： 或 ．
故答案为： 或 ．
（2）对于方程组
① ②，得： ，解得 ，
将 代入①，得： ，
，
，
即 ，
，
又 是非负整数，
的值为0，1，2．
【点评】此题主要考查了解不等式组，绝对值的意义，理解绝对值的意义，熟练掌握解不
等式组的方法与技巧是解决问题的关键．
五．一元一次不等式的定义（共3小题）
17．（2023春•沈丘县期中）在下列不等式中，是一元一次不等式的为A． B． C． D．
【分析】根据一元一次不等式的定义逐个判断即可．
【解答】解： ．不含未知数，是不等关系，不是一元一次不等式，不符合题意；
．不等式是一元二次不等式，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
．不等式是二元一次不等式，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
．不等式是一元一次不等式，故本选项符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查了一元一次不等式的定义，能熟练掌握一元一次不等式的定义（只含有
一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等号的两边都是整式，这样的不
等式叫一元一次不等式）是解此题的关键．
18．（2023春•万州区校级期中）已知 是关于 的一元一次不等式，则
的值为 ．
【分析】根据一元一次不等式的定义进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
且 ，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关
键．
19．若不等式 是关于 的一元一次不等式，求 、 的取值．
【分析】根据一元一次不等式的定义，可得答案．
【解答】解：由不等式 是关于 的一元一次不等式，得
， ．
解得 ．
【点评】本题考查了一元一次不等式，二次项系数等于零且一次项系数不等于零是解题关
键．
六．解一元一次不等式（共4小题）20．（2022•永兴县期末）关于 的方程 解为负数，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】根据解方程，可得 的值，根据方程的解是负数，可得不等式，根据解不等式，
可得答案．
【解答】解：由 ，解得 ，
由关于 的方程 解为负数，得 ．
解得 ，
故选： ．
【点评】本题考查了解一元一次方程、一元一次方程的解、解一元一次不等式等知识点，
能得出关于 的不等式是解此题的关键．
21．（2024•姑苏区一模）不等式 的解集在数轴上表示正确的是
A． B．
C． D．
【分析】移项，合并同类项，系数化成1，最后在数轴上表示出来即可．
【解答】解：移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化成1得： ，
将解集在数轴上表示为：
，
故选： ．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，能求出不等式的解集是解此题的关键，难度
适中．22．（2023•肥城市校级模拟）已知关于 、 的二元一次方程组 的解满足
，则 的最大整数值为 ．
【分析】② ①，得 ，根据 得出关于 的不等式，求得最大整数解即
可求解．
【解答】解： ，
由② ①得： ，
，
，
，
的最大整数值为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，熟练掌握解一元一次不等
式的步骤是解题的关键．
23．（2023春•姜堰区校级期中）解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）先去括号，再移项、合并同类项，把 的系数化为1，再把不等式的解集在
数轴上表示出来即可；
（2）不等式两边都乘6去分母后，去括号，移项合并，将 系数化为1，求出解集，表示
在数轴上即可．
【解答】解：（1） ，
去括号，得 ，
移项，得 ，合并同类项，得 ，
系数化1，得 ，
将不等式的解集在数轴上表示为：
（2） ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
将不等式的解集在数轴上表示为：
．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题
的关键．
七．一元一次不等式的整数解（共4小题）
24．（2023春•鲤城区校级期中）对于不等式 且 ，当 时， ，
当 时， ．当关于 的不等式 ，其解集中无正整数解，则 的取
值范围 ．
【分析】先根据 ，结合题目中给出的信息得出 ，然后分
， 进行讨论，求出 的取值范围即可．
【解答】解： ， ，
，，
当 ，即 时，不等式 的解集为：
，
不等式 ，其解集中无正整数解，而 中一定存在正整数，
此种情况不符合题意；
当 ，即 时，不等式 的解集为：
，
不等式 ，其解集中无正整数解，
，
解得： ，
的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了不等式的应用，解题的关键是理解题意得出 ，并注
意分类讨论．
25．（2023春•仁寿县校级期中）如果关于 的不等式 只有4个正整数解，那
么 的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】求出不等式的解集，根据不等式只有4个正整数解即可求得 的取值范围．
【解答】解：解不等式 得： ，
又 不等式 只有4个正整数解，个正整数解是1、2、3、4，
，
解不等式组得： ，
故选： ．
【点评】本题考查了求不等式的解集．根据正整数解的个数确定关于 的不等式是解题的
关键．
26．（2023春•东城区校级期末）求不等式 的正整数解．
【分析】根据解一元一次不等式的步骤：去分母、去考号、移项、合并同类项、化系数为
1，依次计算求出 的解集，在解集中找出符合要求的正整数解即可．
【解答】解： ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
化系数为1得： ，
原不等式的正整数解为1，2，3．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式、一元一次不等式的整数解，解决此类问题的关
键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条
件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．
27．（2024•莲池区一模）观察下列式子，定义一种新运算： ；
； ．
（1）这种新运算是： （用含 ， 的代数式表示）；
（2）若 ，求 的最小整数值；（3）若 ， 均为整数，试判断 是否能被3整除，并说明理由．
【分析】（1）根据题中定义的新运算，用 ， 表示出 即可．
（2）根据题意，得出关于 的不等式即可解决问题．
（3）根据题意，用含 的代数式表示 ，再对所得代数式进行讨论即可解
决问题．
【解答】解：（1）由题知，
．
故答案为： ．
（2）由 得，
，
解得 ，
所以 的最小整数值为2．
（3）能被3整除．
因为 ，
所以 ，
因为 ， 均为整数，
所以 为整数，
所以 能被3整除，
故 能被3整除．
【点评】本题考查一元一次不等式的整数解及解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式
的步骤是解题的关键．
八．由实际问题抽象出一元一次不等式（共3小题）
28．（2023春•桐柏县校级月考）“ 的2倍与8的和不大于2与 的差”用不等式表示为 ．
【分析】 的2倍与8的和，2与 的和分别表示为： ， ，“不大于”用数学
符号表示为“ ”，由此可得不等式 ．
【解答】解：由题意可列不等式为： ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，
要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至
少”、“最多”等等，正确选择不等号．
29．（2023春•庐阳区校级期中）一件商品的成本价是50元，如果按原价的八五折销售，
至少可获得 的利润，若设该商品的原价是 元，则列式正确的是
A． B．
C． D．
【分析】根据原价乘以0.85减去本价等于利润列不等式即可得到答案．
【解答】解：商品获利为 元，
至少可获得 的利润，
，即 ，
故选： ．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确理解利润 售价减去进价是
解题的关键．
30．（2022春•安阳期末）请根据小明同学解不等式的过程，完成下面各项任务：
解不等式
解：去分母，得 第一步去括号，得 第二步
移项，得 第三步
合并同类项，得 第四步
系数化为1，得 第五步
所以不等式的解集为：
任务一：以上解题过程中，从第 一 步开始出现错误，错误的原因是 ；
任务二：请从出现错误的步骤开始，把正确的解答过程完整的写出来；
任务三：请你根据平时的学习经验，写出一条解不等式时需要注意的事项．
【分析】任务一：去分母时两边都乘12时右边1漏乘12，据此可得答案；
任务二：根据解一元一次不等式的步骤依次计算即可；
任务三：去括号、移项、系数化为1均有错误，逐一解答即可．
【解答】解：任务一：以上解题过程中，从第一步开始出现错误，错误的原因是两边都乘
以12时右边1漏乘12，
故答案为：一，两边都乘以12时右边1漏乘12；
任务二：正确过程如下：
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ；
任务三：去括号时括号内每项都要乘括号前的常数，移项要变号，系数化为 1时两边都乘
或除以负数时不等号的方向要改变．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关
键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
九．一元一次不等式的应用（共3小题）31．（2023春•溧阳市期末）某种服装的进价为200元，出售时标价为300元，由于换季，
商店准备打折销售，但要保持利润不低于 ，那么至多打
A．6折 B．7折 C．8折 D．9折
【分析】设该服装打 折销售，根据利润 售价 进价结合利润不低于 ，即可得出关
于 的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：设该服装打 折销售，
依题意，得： ，
解得： ．
故选： ．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次
不等式是解题的关键．
32．（2023春•南岗区校级期中）某种出租车的收费标准：起步价9元（即行驶距离不超
过3千米都需付9元车费），超过3千米以后，每增加1千米，扣收1.9元（不足1千米按
1千米计）．某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费18.5元，那么甲地到乙地路程的最
多是 8 千米．
【分析】设甲地到乙地的路程为 千米，根据题意列出一元一次不等式 ，
并求解即可获得答案．
【解答】解：设甲地到乙地的路程为 千米，
根据题意，可得 ，
解得 ，
所以，甲地到乙地路程的最多是8千米．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
33．（2024•历城区一模）2023年中国新能源汽车市场火爆．某汽车销售公司为抢占先机
计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，1辆 型新能源汽车、3辆 型新能源汽车的
进价共计55万元；4辆 型新能源汽车、2辆 型新能源汽车的进价共计120万元．
（1）求 ， 型新能源汽车每辆进价分别是多少万元．（2）公司决定购买以上两种新能源汽车共100辆，总费用不超过1180万元，该汽车销售
公司销售1辆 型新能源汽车可获利0.9万元，销售1辆 型新能源汽车可获利0.4万元，
若汽车全部销售完毕，那么销售 型新能源汽车多少辆时获利最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组解答即可；
（2）先确定购买 型新能源汽车的取值范围，再列出关于利润 的解析式，根据解析式
判断最值即可．
【解答】解：（1）设 型新能源汽车每辆进价 元， 型新能源汽车每辆进价 元，根据
题意得：
，
解得： ，
答： 型新能源汽车每辆进价25万元， 型新能源汽车每辆进价10万元．
（2）设购买 型新能源汽车 辆，则购买 型新能源汽车 辆，根据题意得：
，
解得 ，该公司最多购买 型车12辆，
设销售 型新能源汽车 辆，所获得利润为 万元，则：
， ，
，
随 的增大而增大，
当 时， 有最大值，即当销售 型新能源汽车12辆时获利最大，最大利润为
万元．
答：当销售 型新能源汽车12辆时获利最大，最大利润为46万元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握一次函数的增减性是解答本题的关
键．
一十．一元一次不等式组的定义（共3小题）
34．下列各式中，是一元一次不等式组的是A． B． C． D．
【分析】根据一元一次不等式组的定义进行判断．
【解答】解： 、分母中含有未知数，不是一元一次不等式组，故本选项错误；
、含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项错误；
、第一个不等式不含未知数，不是一元一次不等式组，故本选项错误；
、符合一元一次不等式组的定义，是一元一次不等式组，故本选项正确．
故选： ．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的定义，不等式组中的两个不等式均为一元一次不
等式．
35．有解集 的不等式组是 （写出一个即可）．
【分析】本题为开放性题，按照口诀大小小大中间找列不等式组即可．
【解答】解：当解集为 时，
构造的不等式组为 ．
答案不唯一．
【点评】本题考查了一元一次不等式解集与不等式组之间的关系，本题为开放性题，按照
口诀列不等式组即可．解不等式组的简便求法就是用口诀求解，构造已知解集的不等式
是它的逆向运用．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大
大小小找不到（无解）．
36．判断下列式子中，哪些是一元一次不等式组？
（1） （2） （3） （4） （5）
【分析】根据一元一次不等式组的定义作答．
【解答】解：（1）中 是方程，不是不等式，故不是一元一次不等式组；
（2）中 是一元二次不等式，故不是一元一次不等式组；
（3）符合一元一次不等式组的定义，是一元一次不等式组；（4）含有两个未知数，是二元一次不等式组，故不是一元一次不等式组；
（5）符合一元一次不等式组的定义，是一元一次不等式组．
综上，可知（3）（5）是一元一次不等式组．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的定义：把几个含有相同未知数的一元一次不等式
合起来组成的不等式组叫做一元一次不等式组．
一十一．解一元一次不等式组（共4小题）
37．（2023春•安陆市期末）不等式组 的解集为
A． B． C． D．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解： ，
由①得： ，
由②得： ，
不等式组的解集为 ．
故选： ．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
38．（2023•鄂伦春自治旗二模）已知不等式组 ，其解集在数轴上表示正确的是
A． B．
C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间
找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由 得： ，
由 ，得： ，则不等式组的解集为 ，
故选： ．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
39．（2023春•正定县期末）若关于 的不等式组 无解，则 的取值范围
是 ．
【分析】首先解每个不等式，然后根据不等式无解，即两个不等式的解集没有公共解即可
求得．
【解答】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
不等式组无解，
，
解得： ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可
以观察不等式的解，若 较小的数、 较大的数，那么解集为 介于两数之间．
40．（2024春•昌乐县期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围
内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．
（1）判定方程 是不是不等式组 的关联方程，并说明理由；（2）若方程 ， 都是关于 的不等式组 的关联方程，
求 的取值范围．
【分析】（1）分别解不等式组和解一元一次方程，再根据“关联方程”的定义即可判断；
（2）解不等式组得出 ，再解一元一次方程得出方程的解，根据不等式组整数
解的确定可得答案．
【解答】解：（1）是关联方程，理由：
解不等式组 ，得： ，方程 的解为 ，
，
是关联方程；
（2）解不等式组得解集为 ，方程 的解为 ，方程
的解为 ，
， 都在不等式组的解集内，
，
．
所以 的取值范围是 ．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式和一元一次方程，解题的关键是理解并掌握“关
联方程”的定义和解一元一次不等式、一元一次方程的能力．
一十二．一元一次不等式组的整数解（共3小题）
41．（2023春•祁东县校级期中）若关于 的不等式组 ，有且仅有五个整数解，则所有满足条件的整数 的值之和为
A．0 B． C． D．
【分析】根据不等式组求出 的范围，然后再根据分式方程求出 的范围，从而确定的
的可能值．
【解答】解：由不等式组可知： 且 ，
有且只有5个整数解，
，
，
是整数，
， ， ， ，1，2．
所有满足条件的整数 之和为 ．
故选： ．
【点评】本题考查学生的计算能力以及推理能，解题的关键是根据不等式组以及分式方程
求出 的范围，本题属于中等题型．
42．（2023春•抚顺期末）若关于 的一元一次不等式组 恰有3个整数解，则
实数 的取值范围是 ．
【分析】分别对于不等式组进行求解，然后根据题意确定实数 所满足的条件，求解即可．
【解答】解： ，
由①得： ，
由②得： ，
原不等式组恰有3个整数解，
，解得： ，
故答案为： ．【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，
根据不等式组的整数解得出关于 的不等式组是解答此题的关键．
43．（2024春•兰州期中）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一
元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程 的解为 ，不等式组
的解集为 ，因为 ，所以，方程 为不等式组 的
关联方程．
（1）在方程① ，② ，③ 中，不等式组 的关联方程是
① ；（填序号）
（2）若不等式组 的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是
；（写出一个即可）
（3）若方程 ， 都是关于 的不等式组 的关联方程，求 得取值
范围．
【分析】（1）分别解不等式组和解一元一次方程，再根据“关联方程”的定义即可判断；
（2）解不等式组得出其整数解，再写出以此整数解为解得一元一次方程即可得；
（3）解不等式组得出 ，再解一元一次方程得出方程的解，根据不等式组整数
解的确定可得答案．
【解答】解：（1）解不等式组 得： ，
方程① 的解为 ；方程② 的解为 ；方程③ 的解为
，
不等式组的关联方程是①，故答案为：①；
（2）解不等式组 得： ，
所以不等式组的整数解为 ，
则该不等式组的关联方程为 ，
故答案为： ，答案不唯一；
（3） ，
解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，
所以不等式组的解集为 ．
方程 的解为 ，
方程 的解为 ，
所以 的取值范围是 ．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式和一元一次方程，解题的关键是理解并掌握“关
联方程”的定义和解一元一次不等式、一元一次方程的能力．
一十三．由实际问题抽象出一元一次不等式组（共3小题）
44．（2022春•突泉县期末）研究表明，运动时将心率 （次 控制在最佳燃脂心率范围内，
能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值不应该超过 年龄）
， 最 低 值 不 低 于 年 龄 ） ． 以 40 岁 为 例 计 算 ， ，
， ，所以40岁的年龄最佳燃脂心率的范围用不等式可表示为A． B． C． D．
【分析】根据“最佳燃脂心率最高值不应该超过 年龄） ，最低值不低于
年龄） ”列出不等式．
【解答】解：根据题意知： 年龄） 年龄） ，
由 ， ， ，知 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出由实际问题抽象出一元一次不等式，实际问题
列一元一次不等式时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，
根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不
超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目．
45．某公司从超市购买了墨水笔和圆珠笔共15盒，所付金额超过570元，但不到580元．
已知墨水笔的单价为每盒34.90元，圆珠笔的单价为每盒44.90元．设购买圆珠笔 盒，
可列不等式组为 ．
【分析】关系式为：墨水笔的总价 圆珠笔的总价 ；墨水笔的总价 圆珠笔的总价
，把相关数值代入即可得所列不等式组．
【解答】解：圆珠笔 盒，单价为每盒44.90元，共需付费 元；
墨水笔 盒，单价为每盒34.90元，共需付费 元；
可列不等式组为： ．
【点评】解决本题的关键是根据总花费找到相应的不等关系，易错点是得到相对应的单价
与数量之间的对应关系．
46．（2023春•淄博期末）将一箱书分给学生，若每位学生分6本书，则还剩10本书；若
每位学生分8本书，则有一个学生分到书但不到4本．求这一箱书的本数与学生的人数．若设有学生 人，则列出的不等式组为 ．
【分析】设有 人，由于每位学生分6本书，则还剩10本书，则书有 本；若每位
学生分8本书，则有一个学生分到书但不到4本，就是书的本数 大于0，
并且小于4，根据不等关系就可以列出不等式组．
【解答】解：设有 人，则书有 本，
由题意得： ，
故答案为： ．
【点评】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出
题目中的不等关系．
一十四．一元一次不等式组的应用（共4小题）
47．（2023春•沈丘县月考）有不足30个苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分3个，
则剩下2个苹果；若每个小朋友分4个，则有1个小朋友没分到苹果，且最后一个分到苹
果的小朋友分得的苹果数不足3个，已知小朋友的人数为偶数且多于7个，则苹果的个数
为
A．25 B．26 C．28 D．29
【分析】设小朋友的人数为 人，则苹果的个数为 个，根据“若每个小朋友分4个，
则有一个小朋友没分到苹果，且最后一个分到苹果的小朋友分得的苹果数不足 3个”，即
可得出关于 的一元一次不等式组，解之即可得出 的取值范围，结合 为偶数即可得出
的值，再将其代入 中即可求出结论．
【解答】解：设小朋友的人数为 人，则苹果的个数为 个，依题意，得： ，
解得： ．
又 为偶数，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一
次不等式组是解题的关键．
48．（2023春•南岗区校级期中）把一批书分给小朋友，每人3本，则余8本；每人5本，
则最后一个小朋友得到书且不足3本，这批书有 2 6 本．
【分析】设共有 名小朋友，则共有 本书，根据“每人5本，则最后一个小朋友得
到书且不足3本”，即可得出关于 的一元一次不等式组，解之即可得出 的取值范围，
再结合 为正整数即可得出 的值，再将其代入 中即可求出结论．
【解答】解：设共有 名小朋友，则共有 本书，
依题意得： ，
解得： ，
又 为正整数，
，
．
故答案为：26．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一
次不等式组是解题的关键．
49．（2023春•东营期末）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，
文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活
动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵 40元，买5套甲型号和10套乙型号
共用1100元．
（1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？
（2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且
根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的
3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？
【分析】（1）根据每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套
甲型号和10套乙型号共用1100元，得出方程，解方程即可；
（2）设需购进乙种型号“文房四宝” 套，则需购进甲种型号“文房四宝”
套，根据题意得到不等式组，解不等式组即可得到结论．
【解答】解：（1）设每套甲型号“文房四宝”的价格是 元，则每套乙型号“文房四宝”
的价格是 元，
由题意可得 ，
解得 ，
．
答：每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元；
（2）设需购进乙种型号“文房四宝” 套，则需购进甲种型号“文房四宝”
套，
由题意可得： ，
解得 ，
又 为正整数，
可以取85，86，87，88，89；
共有5种购买方案，
方案1：购进35套甲型号“文房四宝”，85套乙型号“文房四宝”；
方案2：购进34套甲型号“文房四宝”，86套乙型号“文房四宝”；
方案3：购进33套甲型号“文房四宝”，87套乙型号“文房四宝”；方案4：购进32套甲型号“文房四宝”，88套乙型号“文房四宝”；
方案5：购进31套甲型号“文房四宝”，89套乙型号“文房四宝”；
每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，
甲型号“文房四宝”的套数越少，总费用就越低，
最低费用是 （元 ．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，正确地列出一元一次
方程和一元一次不等式是解题的关键．
50．（2023春•蓬安县校级期末）星光橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其
进价与售价如表：
进价（元 个） 售价（元 个）
电饭煲 200 250
电压锅 160 200
（1）一季度，橱具店购进这两种电器共30台，用去了5600元，并且全部售完，问橱具店
在该买卖中赚了多少钱？
（2）为了满足市场需求，二季度橱具店决定用不超过 9000元的资金采购电饭煲和电压锅
共50个，且电饭煲的数量不少于23个，问橱具店有哪几种进货方案？并说明理由；
（3）在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案橱具店赚钱最多？
【分析】（1）设橱具店购进电饭煲 台，电压锅 台，根据橱具店购进这两种电器共30
台且用去了5600元，即可得出关于 、 的二元一次方程组，解之即可得出 、 的值，
再根据总利润 单个利润 购进数量即可得出结论；
（2）设购买电饭煲 台，则购买电压锅 台，根据橱具店决定用不超过9000元的资
金采购电饭煲和电压锅共50个且电饭煲的数量不少于23个，即可得出关于 的一元一次
不等式组，解之即可得出 的取值范围，由此即可得出各进货方案；
（3）根据总利润 单个利润 购进数量分别求出各进货方案的利润，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设橱具店购进电饭煲 台，电压锅 台，
根据题意得： ，
解得： ，（元 ．
答：橱具店在该买卖中赚了1400元．
（2）设购买电饭煲 台，则购买电压锅 台，
根据题意得： ，
解得： ．
又 为正整数，
可取23，24，25．
故有三种方案：①购买电饭煲23台，购买电压锅27台；②购买电饭煲24台，购买电压锅
26台；③购买电饭煲25台，购买电压锅25台．
（3）设橱具店赚钱数额为 元，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
综上所述，当 时， 最大，
即购进电饭煲、电压锅各25台时，橱具店赚钱最多．
