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专题 7.2 平行线的判定【八大题型】
【人教版2024】
【题型1 平行线】......................................................................................................................................................1
【题型2 平行公理及其推论】..................................................................................................................................3
【题型3 添加条件使两直线平行】..........................................................................................................................6
【题型4 补充过程使两直线平行】..........................................................................................................................8
【题型5 直接证明两直线平行】............................................................................................................................12
【题型6 旋转使两直线平行】................................................................................................................................14
【题型7 平行线的判定的应用】............................................................................................................................17
【题型8 作辅助线证平行】....................................................................................................................................20
知识点1：平行线
在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作“a∥b”
【题型1 平行线】
【例1】（23-24七年级·吉林延边·期中）如图，在6×4的方格纸中，每个小正方形的边长为1，A、B、C
均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺完成以下操作．
(1)过点A作BC的平行线．
(2)过点C作AB的平行线，与（1）中的平行线交于点D．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作平行线．熟练掌握作平行线是解题的关键．
（1）过A作水平线AE即可；
（2）格点C向上2个格点，向左2个格点为D，连接CD即可．
【详解】（1）解：过A作水平线AE，如图1，AE∥BC，AE即为所作；
1
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学科网（北京）股份有限公司图1
（2）解：如图2，格点C向上2个格点，向左2个格点为D，连接CD，CD∥AB，点D即为所作；
图2
【变式1-1】（2023七年级·浙江·专题练习）用数学的眼光看世界，常州地图上太湖东路和龙锦路的一段可
以抽象成两条 直线．
【答案】平行
【分析】根据平行线的定义，进行判断即可．
【详解】解：由平行线的定义可知，常州地图上太湖东路和龙锦路的一段可以抽象成两条平行直线，
故答案为：平行．
【点睛】本题考查平面内两条直线的位置关系．熟练掌握同一平面内，不相交的两条直线是平行线，是解
题的关键．
【变式1-2】（23-24七年级·广东深圳·期末）在同一平面内有三条不同的直线a,b,c，若a⊥c,b⊥c，则
a与b的位置关系为（ ）
A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题主要考查垂直的定义，熟练掌握垂直的定义是解题关键．根据在同一平面内，垂直于同一条
直线的两条直线平行，即可得出结果．
【详解】∵在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．
∴ a∥b，
故选：C．
【变式1-3】（23-24七年级·陕西咸阳·期末）在平面上有9条直线，无任何3条交于一点，则这9条直线的
位置关系如何？才能使它们的交点恰好是26个，画出所有可能的情况（要求用直尺画正确）．
2
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学科网（北京）股份有限公司【答案】见解析
【分析】本题主要考查了平行线和相交线．从平行线的角度考虑，先考虑二条直线都平行，再考虑三条、
四条、五条平行，
【详解】解∶这9条直线的位置关系为∶两两相交或平行，
有两种情况，分别如下∶
知识点2：平行公理及其推论
平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
平行公理的推论：如果两条直线平行于第三条直线,那么这两条直线也平行
【题型2 平行公理及其推论】
【方法技巧】（1）平行公理体现了平行线的存在性和唯一性,平行公理的推论体现了平行线的传递性,它们
都可以作为以后推理的依据.（2）平行公理中强调“经过直线外一点”,而垂线性质中只要求“经过一点”,
不限定点是否在直线上.
【例2】（23-24七年级·山东临沂·期末）按下列要求画图，只能画出一条直线的是（ ）
过点P画与直线l垂直的直线 过点P画与直线l相交的直线 过点P画与l平行的直线
① ② ③
A．①②③ B．②③ C．①② D．①③
【答案】D
【分析】本题考查平行公理和垂直，根据“在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂
直”和“在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行”即可解答．
【详解】在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直，故①只能画出一条直线；
在同一平面内，过直线外一点能作无数条直线与已知直线相交，故②能画出无数条直线；
在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，故③只能画出一条直线；
故选：D．
3
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学科网（北京）股份有限公司【变式2-1】（23-24七年级·全国·阶段练习）下列说法正确的是( )
A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b,b∥c，则a∥c
B．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b,b⊥c，则a⊥c
C．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b,b⊥c，则a∥c
D．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b,b∥c，则a⊥c
【答案】A
【分析】根据每个选项的描述，画出图形，进行判断即可．
【详解】解：根据每个选项的描述，画出图形，图形如下图所示：
根据所画图形可知A选项正确，符合题意，B、C、D选项错误，不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查平行线的判定．熟练掌握同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条
直线的两直线平行，是解题的关键．采用数形结合的思想可以快速解题.
【变式2-2】（23-24七年级·浙江·课后作业）如图，在同一平面内，经过直线m外一点O的四条直线中，
与直线m相交的直线最少有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【分析】本题考查了平行公理及推论，注意：经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．
根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行得出即可．
【详解】解：根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，得出如果有和直线m平行的，只能
是一条，
图中共计4条直线，则与直线m相交的直线至少有3条．
故选：C．
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学科网（北京）股份有限公司【变式2-3】（23-24七年级·广东深圳·期末）如图1，杆秤是中国最古老也是现今人们仍然在使用的衡量工
具，它利用杠杆原理来称物体的质量，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤砣、提绳等组成．如图2，是杆
秤的示意图，AB∥CD，AB∥EO，经测量发现∠1=106°，则∠2的度数是 度．
【答案】74
【分析】本题考查邻补角的定义，平行公理的推论，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
先根据邻补角的定义求出∠OCD，再根据平行公理的推论得出EO∥CD，最后平行线的性质得到
∠2=∠OCD，即可求解．
【详解】解：∵∠1=106°，
∴∠OCD=180°−∠1=74°
∵AB∥CD，AB∥EO，
∴EO∥CD
∴∠2=∠OCD=74°
故答案为：74．
知识点3：平行线的判定
①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.（同位角相等，两直线平行）.
②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. （内错角相等，两直线平行.
③两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行.（同旁内角互补，两直线平行.）
【题型3 添加条件使两直线平行】
【例3】（23-24七年级·山东威海·期末）如图，已知AB∥HI，下列条件：①∠B+∠6=180°；②
∠B+∠4=180°；③∠B=∠7；④∠B=∠3．其中能判断BC∥EF的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【分析】本题考查了平行线的判定及性质，根据平行线的判定方法逐项分析即可．正确识别“三线八角”
中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，
只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
【详解】解：∵AB∥HI，
∴∠B=∠3=∠1，
①∵∠B+∠6=180°，则∠3+∠6=180°，
∴BC∥EF，故符合题意；
②∠B+∠4=180°，无法判断BC∥EF，故不符合题意；
③∵∠B=∠7，∠B=∠3，
∴∠3=∠7，
∴BC∥EF，故符合题意；
④∠B=∠3，无法判断BC∥EF，故不符合题意；
综上，①③都能判定BC∥EF，
故选：B．
【变式3-1】（23-24七年级·陕西咸阳·期末）如图，在四边形ABCD中，点E是AB延长线上一点，请添加
一个条件，使AB∥CD，那么可以添加的条件是 （写出一个即可）．
【答案】∠BCD=∠CBE（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了平行线的判定：内错角相等，两直线平行，根据内错角相等，两直线平行，即可
求解．
【详解】解：∵∠BCD=∠CBE，
∴AB∥DC．
故答案为：∠BCD=∠CBE（答案不唯一）．
【变式3-2】（23-24七年级·四川阿坝·期末）如图，下列条件中，能判断直线AB∥CD的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．∠2=∠3 B．∠1=∠4
C．∠BAD=∠BCD D．∠1+∠2=180°
【答案】B
【分析】此题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理依次分析并判断．
【详解】解：∵∠2=∠3，∴AD∥BC，故A选项不符合题意；
∵∠1=∠4，∴AB∥CD，故B选项符合题意；
由∠BAD=∠BCD，不能证明哪两条直线平行，故C选项不符合题意；
由∠1+∠2=180°不能证明哪两条直线平行，故D选项不符合题意；
故选：B．
【变式3-3】（23-24七年级·河北廊坊·期末）如图，下列条件．①∠1=∠3；②∠2=∠3；③∠4=∠5；
④∠2+∠4=180°中，能判断直线 l ∥l 的有 ．（填序号即可）
1 2
【答案】①③④
【分析】此题考查了平行线的判定，根据平行线的判定进行判断即可．
【详解】①∵∠1=∠3，
∴l ∥l （内错角相等，两直线平行），
1 2
②∠2=∠3不能判断l ∥l ；
1 2
③∵∠4=∠5，
∴l ∥l （同位角相等，两直线平行），
1 2
④∵∠2+∠4=180°，
∴l ∥l （同旁内角互补，两直线平行），
1 2
故答案为：①③④
【题型4 补充过程使两直线平行】
【例4】（23-24七年级·广东清远·期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据：
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学科网（北京）股份有限公司如图，∠E=∠1，∠3+∠ABC=180°，BE平分∠ABC，试说明：DF∥AB．
解：因为BE平分∠ABC，
所以 （ ）
又因为∠E=∠1（ 已 知 ） ，
所以∠E=∠2（等量代换） ．
所以 （ ），
所以∠A+∠ABC=180°（ ）．
又因为∠3+∠ABC=180°（ 已 知 ） ，
所以 （ ），
所以DF∥AB（ ）
【答案】∠1=∠2，角平分线的定义；AE∥BC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互
补；∠3=∠A；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行
【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，根据题意、结合图形，根据平行线的判定定理和性质定理解
答即可．
【详解】解：因为BE平分∠ABC，
所以∠1=∠2（角平分线的定义），
又因为∠E=∠1（ 已 知 ） ，
所以∠E=∠2（等量代换） ．
所以AE∥BC（内错角相等，两直线平行），
所以∠A+∠ABC=180°（ 两直线平行，同旁内角互补）．
又因为∠3+∠ABC=180°（ 已 知 ） ，
所以∠3=∠A（同角的补角相等），
所以DF∥AB（ 同位角相等，两直线平行），
故答案为：∠1=∠2，角平分线的定义；AE∥BC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角
互补；∠3=∠A；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行．
【变式4-1】（23-24七年级·四川泸州·期末）已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．
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学科网（北京）股份有限公司求证：AB∥CD
请将下面的推理过程补充完整．
证明：∵BE⊥FD（已知），
∴∠EGD=90°（ ），
∴∠1+ =90°，
又∵∠2和∠D互余（已知），
∴∠2+∠D= ，
∴∠1= （ ），
∵∠C=∠1（已知），
∴∠C=∠2，
∴AB∥CD（ ，两直线平行）．
【答案】垂直的定义；∠D；90°；∠2；同角的余角相等；内错角相等
【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．两条直线被第三条所截，
如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．由BE⊥FD，∠2和∠D
互余，利用垂直的定义和同角的余角相等得到∠1=∠2，再由∠C=∠1，可得∠C=∠2，利用内错角相
等两直线平行即可得证．
【详解】证明：∵BE⊥FD（已知），
∴∠EGD=90°（垂直的定义），
∴∠1+∠D=90°，
又∵∠2和∠D互余（已知），
∴∠2+∠D=90°，
∴∠1=∠2（同角的余角相等），
∵∠C=∠1（已知），
∴∠C=∠2，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；∠D；90°；∠2；同角的余角相等；内错角相等．
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学科网（北京）股份有限公司【变式4-2】（23-24七年级·河北石家庄·阶段练习）把下面的说理过程补充完整：
已知，如图，直线AB，CD被直线EF所截，点H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2＝30°，∠1＝
60°．试说明：AB∥CD．
解：∵GH⊥CD（ ），
∴∠CHG＝90°（ ）．
又∵∠2＝30°（ ），
∴∠3＝（ ）．
∴∠4＝60°（ ）．
又∵∠1＝60°（ ），
∴∠1＝∠4（ ）．
∴AB∥CD（ ）．
【答案】已知；垂直定义；已知；60°；对顶角相等；已知；等量代换；同位角相等，两直线平行．
【分析】要证AB∥CD，只需证∠1＝∠4，由已知条件结合垂线定义和对顶角性质，易得∠4＝60°，故本题
得证．
【详解】解：∵GH⊥CD（已知），
∴∠CHG＝90°（垂直定义）．
又∵∠2＝30°（已知），
∴∠3＝60°．
∴∠4＝60°（对顶角相等）．
又∵∠1＝60°（已知），
∴∠1＝∠4（等量代换）．
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记“同位角相等，两直线平行”是解题的关键．
【变式4-3】（23-24七年级·重庆九龙坡·阶段练习）如图，∠ABC=∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分
∠ACB，∠DBF=∠F．
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学科网（北京）股份有限公司求证：CE∥DF．
证明：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB（已知）
1 1
∴∠DBC= ∠__________，∠ECB= ∠__________．（ ）
2 2
又∵∠ABC=∠ACB，（已知）
∴∠__________=∠__________．（等量代换）
又∵∠DBF=∠F，（已知）
∴∠__________=∠__________．（等量代换）
∴CE∥DF．（__________）
【答案】ABC；ACB；角平分线的定义；DBC；ECB；ECB；F；同位角相等，两直线平行
1
【分析】本题考查了角平分线的定义及平行线的判定，根据角平分线的定义得∠DBC= ∠ABC，
2
1
∠ECB= ∠ACB，进而可证∠DBC=∠ECB，再根据平行线的判定即可求证结论，熟练掌握相关判定
2
及性质是解题的关键．
【详解】证明：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
1 1
∴∠DBC= ∠ABC，∠ECB= ∠ACB（角平分线的定义），
2 2
又∵∠ABC=∠ACB，
∴∠DBC=∠ECB（等量代换），
又∵∠DBF=∠F，
∴∠ECB=∠F（等量代换），
∴CE∥DF（同位角相等，两直线平行）．
故答案为： ABC；ACB；角平分线的定义；DBC；ECB；ECB；F；同位角相等，两直线平行．
【题型5 直接证明两直线平行】
【方法技巧】（1）已知角相等导角证平行.（2）通过角的数量关系证平行.（3）通过同角(等角)的余角相
等,对顶角相等,角平分线得等角,再证平行.
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学科网（北京）股份有限公司【例5】（23-24七年级·陕西延安·期末）如图，已知∠B=46°，EF交AB于点D，DG平分∠ADE，
∠ADG=67°，求证：BC∥EF．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，先由角平分线的定义得到
∠ADE=2∠ADG=134°，再由平角的定义得到∠ADF=∠B=46°，则可由同位角相等，两直线平行
证明BC∥EF．
【详解】证明：∵DG平分∠ADE，∠ADG=67°，
∴∠ADE=2∠ADG=134°，
∴∠ADF=180°−∠ADE=46°，
∵∠B=46°，
∴∠ADF=∠B=46°，
∴BC∥EF．
【变式5-1】（23-24七年级·全国·期末）如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠2，试确定直线DF
与AE的位置关系，并说明理由．
【答案】DF∥AE，理由见解析
【分析】本题考查垂直的定义、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．先通过垂直和
已知条件得到∠3=∠4，即可判定得出两直线平行．
【详解】解：DF∥AE，理由如下：
∵CD⊥DA，DA⊥AB，
∴∠CDA=∠DAB=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠CDA−∠2=∠DAB−∠1，
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学科网（北京）股份有限公司即∠3=∠4，
∴DF∥AE．
【变式5-2】（23-24七年级·江苏常州·期末）已知：如图，∠A=∠C,∠BED+∠EBC=180°，求证：
AB∥CD．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先根据已知得DE∥BC，从而利用平行线的性质可得
∠C+∠D=180°，然后利用等量代换可得∠A+∠D=180°，从而利用同旁内角互补，两直线平行可得
ABCD，即可解答．
【详解】证明：∵∠BED+∠EBC=180°，
∴DE∥BC，
∴∠C+∠D=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠A+∠D=180°，
∴AB∥CD．
【变式5-3】（23-24七年级·甘肃武威·期末）如图，点O在直线AB上，OC平分∠AOF，OD平分
∠BOF，F是DE上一点，连接OF．
(1)求证：OC⊥OD；
(2)若∠D与∠1互余，求证：ED∥AB．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查与角平分线有关的计算，互余，平行线的判定：
（1）根据角平分线的定义和平角的定义，即可得证；
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学科网（北京）股份有限公司（2）根据同角的余角相等，得到∠D=∠DOB，即可得证．
【详解】（1）证明：∵OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，
1 1
∴∠COF= ∠AOF,∠DOF= ∠BOF，
2 2
∵∠AOF+∠BOF=180°，
1 1
∴∠COF+∠DOF= ∠AOF+ ∠BOF=90°，
2 2
即：∠COD=90°，
∴OC⊥OD；
（2）证明：∵∠COD=90°，
∴∠1+∠DOB=90°，
又∵∠D+∠1=90°，
∴∠D=∠DOB，
∴ED∥AB．
【题型6 旋转使两直线平行】
【例6】（24-25七年级·全国·课后作业）如图，a,b,c三根木棒钉在一起，交点分别为
A,B,∠1=70°，∠2=100°．现将木棒a,b分别绕点A,B顺时针旋转，同时开始，速度分别为12°/s
和2°/s，当两根木棒都转满了一周时，它们同时停止转动．转动 s时，木棒a,b平行．
【答案】3s或21s或75s或165
【分析】本题主要考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想，准确找出角度之间
的数量关系是解题关键．
25 25
设经过t秒时木棒a，b平行，分情况讨论：当0<t≤ 秒时；当 <t≤30秒时；当30<t≤35时；当
3 3
35<t≤180时，利用同位角相等两直线平行，列方程求解即可得到答案
【详解】解：设经过t秒时木棒a，b平行，根据题意得：
25
当0<t≤ 秒时，100−12t=70−2t，解得：t=3；
3
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学科网（北京）股份有限公司25
当 <t≤30秒时，180−(12t−100)=70−2t，解得：t=21；
3
当t>30秒时，木棒a停止运动，
当30<t≤35时，70−2t=100，解得：t=−15，不符合题意；
当35<t≤180时，2t−70=180−100，解得：t=75；
2t−70−180=180−100，解得：t=165，
当t>180时，木棒b停止运动，
综上所述，经过3或21或75或165秒时木棒a，b平行，
故答案为：3s或21s或75s或165．
【变式6-1】（23-24七年级·山西运城·期末）如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆
住，∠EGB=100°，∠EHD=80°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋
转（ ）．
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】B
【分析】由平行线的判定“同位角相等，两直线平行”可知，∠EGB＝∠EHD时，AB∥CD，即∠EGB需
要变小20°，即将木棒AB绕点G逆时针旋转20°即可．
【详解】解：当∠EGB＝∠EHD时，AB∥CD，
∵∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，
∴∠EGB需要变小20°，即将木棒AB绕点G逆时针旋转20°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，熟知相关定理是解题基础．
【变式6-2】（2024·河北秦皇岛·一模）如图，直线a∥b，a与c交于点P．若∠1=50°，则∠2= ．
将直线a能点P逆时针旋转 °（旋转角度小于180°）后可使直线a⊥b．
15
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 50° 90
【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义；根据两直线平行，同位角相等可得∠2的度数，再根据
垂直的定义即可解决问题．
【详解】解：∵a∥b
∴∠2=∠1=50°；
∵a∥b
∴直线a能点P逆时针旋转90°后可使直线a⊥b
故答案为：50°，90．
【变式6-3】（23-24七年级·安徽六安·期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC边与A′C边重合，
∠BAC=45°,∠DA′C=30°，接着如图2保持三角板ABC不动，将三角板A′CD绕着点C（点C不动）
按顺时针（如图标示方向）旋转，在旋转的过程中，∠AC A′逐渐增大，当∠AC A′第一次等于90°时，
停止旋转，在此旋转过程中，∠AC A′= °时，三角板A′CD有一条边与三角板ABC的一条边恰好
平行．
【答案】30°或45°
【分析】分C A′∥AB和A′D∥AC两种情况求解．
【详解】当C A′∥AB时，
∵∠ABC=90°，
∴∠BC A′=90°，
∵∠ACB=45°，
∠AC A′=45°；
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学科网（北京）股份有限公司当A′D∥AC时，
∵∠C A′D=30°，
∠AC A′=30°；
故答案为：30°或45°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角板中的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【题型7 平行线的判定的应用】
【例7】（2024七年级·全国·专题练习）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气
中也会产生折射现象，如图，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知
识有∠1=∠2，∠3=∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．
【答案】平行，理由见解析
【分析】根据等角的补角相等求出∠1与∠2的补角相等，再根据∠3=∠4，结合内错角相等，两直线平
行即可判定a∥b．
【详解】解：平行，理由如下：
如图，∵∠1=∠2，
∴∠5=∠6，
∵∠3=∠4，
∴∠3+∠5=∠4+∠6，
∴a∥b．
【点睛】本题考查了平行线的判定，解决本题的关键是掌握平行线的判定．
【变式7-1】（23-24七年级·全国·课后作业）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的．如图，已经知
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学科网（北京）股份有限公司道∠2是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，就可以判断两条直轨是否平行？为什么？
【答案】∠4或∠5或∠3；理由见解析
【分析】因为∠2是直角，只要找出与∠2互为同位角、内错角、同旁内角的其他角，根据判定定理判定即
可得到正确答案．
【详解】因为∠2是直角，∠4和∠2是同位角，如果度量出∠4=90°，根据“同位角相等，两直线平
行”，就可以判断两条直轨平行．类似地，∠5和∠2是内错角，∠3和∠2是同旁内角，如果度量出它们
是直角，也可以判断两条直轨平行．
【点睛】本题考查两直线平行的判定定理，根据定理内容解题是关键．
【变式7-2】（23-24七年级·福建三明·期末）如图，为判断一段纸带的两边a，b是否平行，小亮在纸带两
边a，b上分别取点A，B，并连接AB．下列条件中能判断a∥b的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠1=∠3 C．∠2+∠4=180° D．∠3+∠4=180°
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟知：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同
旁内角互补，两直线平行；是解本题的关键．根据平行线的判定定理进行判断即可．
【详解】解：A、∠1=∠2，∠1和∠2邻补角，不能证明a∥b；
B、∠1=∠3，∠1和∠3是同旁内角，同旁内角相等不能证明a∥b；
C、∠2+∠4=180°，根据同旁内角互补，能证明a∥b；
D、∠3+∠4=180°，∠3与∠4邻补角，不能证明a∥b．
故选：C．
【变式7-3】（23-24七年级·山西太原·期中）在后稷故里稷山县，有个流传三千多年的独特年俗，就是除
夕日农民在自家院子地面上绘“麦囤”图案，以期风调雨顺，四时平安，五谷丰登．如图1是“麦囤”示
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学科网（北京）股份有限公司意图，乐乐为了验证“麦囤”图案中一组线段是否平行，测量了其中一些角的度数，如图2，其中能说明
a∥b的是（ ）
A．∠1=85°，∠4=85° B．∠3=95°，∠4=85°
C．∠1=85°，∠3=95° D．∠2=85°，∠4=85°
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等或内错角相等或同旁内角互补等方式，都能判定两直
线平行，据此逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、∵∠1=85°，∠4=85°且∠1与∠4不是同位角、内错角、同旁内角这类关系，∴不能
说明a∥b，故该选项是错误的；
B、∵∠3=95°，∠4=85°，∴∠3+∠4=180°（同旁内角互补，两直线平行），说明a∥b，故该选项
是正确的；
C、∵∠1=85°，∠3=95°，且∠1与∠3是内错角，但不相等，∴不能说明a∥b，故该选项是错误的；
D、∵∠2=85°，∠4=85°，且∠2与∠4是同旁内角，但不互补，∴不能说明a∥b，故该选项是错误的；
故选：B．
【题型8 作辅助线证平行】
【方法技巧】有些平行线的证明,无法直接导出相等角,此时考虑连线或作平行线转化角.
【例8】（23-24七年级·湖北武汉·期中）如图、已知∠BDC=40°，∠ABC=100°，且线段DB的延长线
BF平分∠ABC的邻补角∠ABE．
(1)求证：AB∥CD；
(2)若射线DB绕点D以每秒1°的速度逆时针方向旋转得DB′，同时，射线BA绕点B以每秒2°的速度逆时
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学科网（北京）股份有限公司针方向旋转得BA′，DB′和BA′交于点G，设旋转时间为t秒．
①当50<t<70，且∠BGD=100°时，求t的值；
②当0<t<70，∠BGD=9∠CDG，则t的值是___________．
【答案】(1)见解析
(2)①t=60；②32或50
【分析】（1）先求出∠ABE=80°，再由角平分线的定义得到∠ABF=40°，则∠BDC=∠ABF，由此
即可证明AB∥CD；
（2）①如图所示，过点G作GM∥CD，则AB∥CD∥GM，由平行线的性质得到∠BGM=2t°，
∠DGM=∠CDG=(t−40)°，则∠BGD=(t+40)°，再由
∠BGD=100°， 得到t+40=100，解方程即可；②分图2-1和图2-2，过点G作GM∥CD，则
AB∥CD∥GM，利用平行线的性质求出∠CDG，∠BGD的度数，然后根据∠BGD=9∠CDG建立方
程求解即可．
【详解】（1）证明：∵∠ABE是∠ABC的邻补角，∠ABC=100∘，
∴∠ABE=180°−∠ABC=80°，
又∵BF平分∠ABE．
1
∴∠ABF= ∠ABE=40°，
2
又∵∠BDC=40°，
∴∠BDC=∠ABF，
∴AB∥CD；
（2）解：①∵50<t<70
∴100°<∠ABG<140°，50°<∠BDG<70°，
如图所示，过点G作GM∥CD，
又∵AB∥CD
∴AB∥CD∥GM，
∴∠BGM=∠ABG=2t°，∠DGM=∠CDG=(t−40)°，
∴∠BGD=∠BGM−∠DGM=(t+40)°
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学科网（北京）股份有限公司又∵∠BGD=100°，
∴t+40=100，
∴t=60；
②如图2-1所示，当0<t≤40时，过点G作GM∥CD，
又∵AB∥CD
∴AB∥CD∥GM，
∴∠BGM=∠ABG=2t°，∠DGM=∠CDG=(40−t)°，
∴∠BGD=∠BGM−∠DGM=(t+40)°，
∵∠BGD=9∠CDG，
∴t+40=9(40−t)，
解得t=32；
如图2-2所示，
由（2）①∠CDG=(t−40)°，
∴∠BGD=(t+40)°，
∵∠BGD=9∠CDG，
∴t+40=9(t−40)
解得t=50；
综上所述，t的值为32或50．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线定义，利用分类讨论的思想是解题的关键．
【变式8-1】（23-24七年级·重庆北碚·期中）如图，在四边形ABCD中，点F在AB上，DF平分∠ADB，
DF⊥DC，∠BDC=∠BCD．
(1)求证：AD∥BC；
(2)若BE平分∠ABD交CD的延长线于点E，交DF于点H，交AD于点G，∠BAD=128°，
∠DBC=32°，求∠E的度数．
【答案】(1)见解析
(2)64°
【分析】本题考查了角平分线，平行线的判定与性质．熟练掌握角平分线，平行线的判定与性质是解题的
关键．
（1）由DF⊥DC，可得∠FDA+∠ADE=90°=∠FDB+∠BDC，由DF平分∠ADB，可得
∠FDA=∠FDB，则∠ADE=∠BDC，∠ADE=∠BCD，进而可证AD∥BC；
（2）由（1）知AD∥BC，则∠ABD=20°，由BE平分∠ABD，可得∠DBE=10°，由AD∥BC，
180°−∠ADB
∠DBC=32°，可得∠ADB=∠DBC=32°，∠BDC=∠BCD= =74°，如图，过E作
2
EM∥BC，则∠BEM=42°，∠CEM=106°，根据∠BEC=∠CEM−∠BEM，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵DF⊥DC，
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学科网（北京）股份有限公司∴∠FDA+∠ADE=90°=∠FDB+∠BDC，
∵DF平分∠ADB，
∴∠FDA=∠FDB，
∴∠ADE=∠BDC，
∵∠BDC=∠BCD，
∴∠ADE=∠BCD，
∴AD∥BC；
（2）解：由（1）知AD∥BC，
∴∠ABD=180°−∠BAD−∠DBC=20°，
∵BE平分∠ABD，
1
∴∠DBE= ∠ABD=10°，
2
∵AD∥BC，∠DBC=32°，
180°−∠ADB
∴∠ADB=∠DBC=32°，∠BDC=∠BCD= =74°，
2
如图，过E作EM∥BC，
∴∠BEM=∠DBE+∠DBC=42°，∠CEM=180°−∠BCD=106°，
∴∠BEC=∠CEM−∠BEM=64°，
∴∠E的度数为64°．
【变式8-2】（23-24七年级·浙江温州·期中）已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点,
∠1=∠2
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学科网（北京）股份有限公司(1)如图1，求证：EF∥GH；
(2)如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M，作∠BEF、∠DFM的角平分线交于点N，求∠N
的度数；
(3)如图3，在（2）的条件下，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若3∠FEN=4∠HFM，则
∠GQH
= ．
∠MPN
【答案】(1)见解析
(2)45°
1
(3)
4
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、垂直的定义、角平分线定义等知识．
（1）由平行线的性质得∠1=∠3，再由内错角相等得出EF∥GH；
（2）过点N作NK∥CD，设角度，由平行线的性质和角平分线的性质即可得出结论；
∠GQH 1
（3）由3∠FEN=4∠HFM结合前面（2）的结论，求出角度可得 = ．
∠MFN 4
【详解】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠2=∠3，
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴EF∥GH；
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学科网（北京）股份有限公司（2）解：如图2，过点N作NK∥CD，
∴KN∥CD∥AB，
∴∠KNE=∠4，∠6=∠7，
设∠4=x,∠7= y，
∵EN、FN分别平分∠BEF、∠DFM，
∴∠ENK=∠5=∠4=x,∠6=∠8=∠7= y，
又∵AB∥CD，
∴∠EFD=180°−(∠4+∠5)=180°−2x,
又∵FM⊥GH，
∴∠EFM=90°，
∴180°−2x+2y=90°，
∴x−y=45°，
∴∠ENF=∠ENK−∠6=x−y=45°，
∠GQH 1
（3）解： = ，
∠MPN 4
∵3∠FEN=4∠HFM，即3x=4×2y,
8
∴x= y
3
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学科网（北京）股份有限公司8
∴x−y= y−y=45°，
3
∴y=27°，x=72°，
又∵EN和GQ是角平分线，
∴GQ⊥EN，
∴∠GQH=∠EGQ=180°−90°−72°=18°，
又∵∠MPN=∠FEN=x=72°，
∠GQH 1
∴ = ．
∠MPN 4
1
故答案为： ．
4
【变式8-3】（23-24七年级·广东韶关·期中）如图直线AB，CD与直线MN分别交于E，F，且∠AEM与
∠CFN互补，O为线段EF上一点．
(1)求证：AB∥CD．
(2)如图1，已知PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，求∠EPF的大小．
(3)将图1中的射线ON绕O点顺时针转一个角度α（0<α<90°）至ON′与CD交于F′，其它图线保持不变，
如图2所示，作∠OF′D的平分线与∠BEO的平分线交于P′，求∠EP′F′的大小（用含α的代数式表
示）．
【答案】(1)见解析
(2)90°
α
(3)90°−
2
【分析】（1）∠AEM与∠CFN互补，则∠AEM+∠CFN=180°，而∠AEM+∠AEN=180°，可得
∠CFN=∠AEN，进而判定AB∥CD．
（2）由AB∥CD得∠BEO+∠DFO=180°，由PE平分∠BEO，PF平分∠DFO得，
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学科网（北京）股份有限公司1
∠PEO+∠PFO= (∠BEO+∠DFO)=90°，由三角形内角和定理可得结果．
2
（3）过点O作OH∥AB，过点P′作P′Q∥AB，得到∠EON′=∠BEO+∠DF′O=180°−α，
∠EP′F′=∠BEP′+∠DF′P′，又由EP′平分∠BEO，F′P′平分∠DF′O，得到
1
∠EP′F′= (∠BEO+∠DF′O)，从而得到结果．
2
【详解】（1）∵∠AEM与∠CFN互补，
∴∠AEM+∠CFN=180°，
又∵∠AEM+∠AEN=180°，
∴∠CFN=∠AEN，
∴AB∥CD．
（2）由（1）得，AB∥CD，
∴∠BEO+∠DFO=180°，
∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，
1 1
∴∠PEO= ∠BEO，∠PFO= ∠DFO，
2 2
1 1
∴∠PEO+∠PFO= (∠BEO+∠DFO)= ×180°=90°，
2 2
∴∠EPF=180°−(∠PEO+∠PFO)=180°−90°=90°；
（3）如图，过点O作OH∥AB，过点P′作P′Q∥AB，
∵AB∥CD，P′Q∥AB，
∴OH∥AB∥CD，P′Q∥AB∥CD，
∴∠EOH=∠BEO，∠N′OH=∠DF′O，∠EP′Q=∠BEP′，∠F′P′Q=∠DF′P′，
∴∠EON′=∠BEO+∠DF′O=180°-α，∠EP′F′=∠BEP′+∠DF′P′，
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学科网（北京）股份有限公司∵EP′平分∠BEO，F′P′平分∠DF′O，
1 1
∴∠BEP′= ∠BEO，∠DF′P′= ∠DF′O，
2 2
1 1 α
∴∠EP′F′= (∠BEO+∠DF′O)= (180°−α)=90°−
．
2 2 2
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，余角和补角，正确添加平行线，熟练运用平行线的判定与性质
是解题的关键．
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