文档内容
专题 7.3 平行线的性质【十大题型】
【人教版2024】
【题型1 利用平行线的性质导角】..........................................................................................................................1
【题型2 利用平行线的性质证明】..........................................................................................................................2
【题型3 平行线的性质的应用】..............................................................................................................................3
【题型4 平行线间的距离】......................................................................................................................................4
【题型5 阅读理解填理由】......................................................................................................................................5
【题型6 阅读理解和运用】......................................................................................................................................8
【题型7 利用同（等）角的余（补）角相等导角证平行】...............................................................................11
【题型8 利用等式的性质导角证平行】................................................................................................................12
【题型9 利用平行线的判定与性质导角证平行】...............................................................................................14
【题型10 动角旋转平行问题】................................................................................................................................15
知识点1：平行线的性质
1. 两条平行被第三条直线所截同位角相等.简单说成两直线平行同位角相等.
2. 两条平行线被第三条直线所截内错角相等.简单说成两直线平行内错角相等.
3. 两条平行线被第三条直线所截同旁内角互补.简单说成两直线平行同旁内角互补.
【题型1 利用平行线的性质导角】
【例1】（2024七年级·北京·专题练习）如图，在△ABC中，∠A=60°,∠ABC=50°,∠B、∠C的平
分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是（ ）
①∠ACB=70°；②∠BFC=115°；③∠BDF=130°；④∠CFE=40°．
A．①② B．③④ C．①③ D．①②③
【变式1-1】（23-24七年级·福建泉州·期末）如图，∠C=90°，∠CAB=30°，AD∥BE，∠DAE=120°．给出以
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学科网（北京）股份有限公司下结论：①∠2=∠EAB；②CA平分∠DAB；③∠1+∠2=90°；④BC∥AE．其中正确的结论有 ．（写
出所有正确结论的序号）
【变式1-2】（23-24七年级·河北沧州·期中）如图，已知AD⊥BC，FG⊥BC，∠BAC=90°，
DE∥AC．则下列结论：①FG∥AD；②DE平分∠ADB；③∠B=∠CAD；④
∠CFG+∠BDE=90°．正确的是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④
【变式1-3】（23-24七年级·福建福州·阶段练习）如图，已知AF∥CD,CB平分∠ACD交AF于B，
BD⊥BC，点E在CD上，且∠DBE=∠DBF，那么，下列判断中①BC平分∠ABE；②AC//BE；
③∠BCD+∠D=90°；④∠DBF=2∠ABC，正确的是 ．
【题型2 利用平行线的性质证明】
【例2】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知AB∥DE，∠B+∠E=180°．
(1)求证：BC∥EF；
(2)若∠BHE=60°，射线HG平分∠BHE，求∠HGE的度数．
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学科网（北京）股份有限公司【变式2-1】（23-24七年级·贵州遵义·阶段练习）如图，已知
∠1+∠CFE=180°，∠BAC=∠≝，∠B=75°，
(1)求证：AC∥EF；
(2)求∠EDF．
【变式2-2】（23-24七年级·陕西咸阳·期末）如图，在四边形FEBO中，H为OF上一点，C为BO上一点，
连接BH，CH，若∠HCO=∠EBC，∠BHC+∠BEF=180°．
(1)求证：EF∥BH；
(2)若BH平分∠EBO，EF⊥OF，∠HCO=64°，求∠CHO的度数．
【变式2-3】（24-25七年级·安徽合肥·期中）如图，已知直线a∥b，点A在直线a上，点B、C在直线b
上，点D在线段BC上，AB平分∠MAD，AC平分∠NAD，∠1=∠2．
(1)求证：AB∥DE；
(2)已知∠ACB=55°，求∠ADE的度数．
【题型3 平行线的性质的应用】
【例3】（2024下·福建厦门·七年级校考期中）一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向
与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次向左拐40°，第二次向右拐40°
B．第一次向右拐140°，第二次向左拐40°
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学科网（北京）股份有限公司C．第一次向右拐140°，第二次向右拐40°
D．第一次向左拐140°，第二次向左拐40°
【变式3-1】（23-24七年级·广东清远·期中）为增强学生身体素质、感受中国的优秀传统文化，学校将国
家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把
它抽象成如图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB=79°，∠ECD=108°．则∠E的度数为 ．
【变式3-2】（23-24七年级·江苏苏州·期中）图1中所示是学校操场边的路灯，图2为路灯的示意图，支架
AB、BC为固定支撑杆，灯体是CD，其中AB垂直地面于点A，过点C作射线CE与地面平行（即CE∥l
），已知两个支撑杆之间的夹角∠ABC=140°，灯体CD与支撑杆BC之间的夹角∠DCB=80°，则
∠DCE的度数为 ．
【变式3-3】（23-24七年级·山西晋中·期中）如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象
成如图2的数学平面图形，已知AB∥MN∥PQ，若∠2=100°，∠DBE=130°，求∠1的度数．
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学科网（北京）股份有限公司【题型4 平行线间的距离】
【例4】（23-24七年级·上海普陀·期末）如图，已知AB∥DE，AD∥EC，那么与△BDE的面积一定相
等的三角形是（ ）
A．△ADE，△ADC B．△CDE，△ADC
C．△AEC，△ADC D．△ADE，△CDE
【变式4-1】（2024七年级·全国·专题练习）已知直线a，b，c在同一平面内，且a∥b∥c，a与b之间的
距离为5cm，b与c之间的距离为3cm，则a与c之间的距离是（ ）
A．2cm B．8cm
C．2cm或8cm D．以上都不对
【变式4-2】（23-24七年级·福建厦门·阶段练习）如图，四边形ABCD是平行四边形，点M在边AB上，
AE⊥BC，MN⊥CD，垂足分别为E、N，则平行线AB与CD之间的距离是（ ）
A．AE的长 B．MN的长 C．AB的长 D．AC的长
【变式4-3】（24-25七年级·福建福州·开学考试）如图所示，平行四边形ABCD中，AB=10厘米，
BC=20厘米，BC边上的高是8厘米．EF是AD和BC的平行线，图中阴影部分的面积是（ ）平方厘米．
A．75 B．80 C．85 D．90
【题型5 阅读理解填理由】
【例5】（24-25七年级·全国·课后作业）补全下列解题过程．
如图，在△ABC中，点E、F分别在AB、AC上，点M、N均在BC上，连接EN、FM交于点O，已知
∠1+∠2=180°,∠3=∠C，试说明EF∥BC．
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学科网（北京）股份有限公司解：∵∠1+∠2=180°，
∠2=∠FON（①___________），
∴∠1+∠FON=180°（②___________），
∴CF∥EN（③___________），
∴∠C=∠BNE（④___________）．
∵∠3=∠C，
∴∠3=∠BNE，
∴EF∥BC（⑤___________）．
【变式5-1】（24-25七年级·吉林长春·阶段练习）在下列解答中，填空并填写理由
如图，已知∠1=∠2 ， ∠3+∠4=180°，试说明：AB∥EF．
证明：∵∠1=∠2 （已知）
∴AB∥CD（ ）
又∵∠3+∠4=180°（已知）
∴ ∥EF（ ）
∴AB∥EF（ ）
【变式5-2】（24-25七年级·山东青岛·期中）如图，DB⊥BC于点B，EF⊥BC于点F，∠1=∠2，试
说明AB∥DC．请补充完整下面的说理过程：
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学科网（北京）股份有限公司解：AB∥DC，理由如下：因为DB⊥BC，EF⊥BC
所以∠DBC=∠EFB=90°（ ① ）
所以∠DBC+∠EFB=180°，
所以DB∥EF（ ② ）
所以∠BDC=∠2（ ③ ）
又因为∠1=∠2（已知）所以 ④ （等量代换）
所以AB∥DC（ ⑤ ）
【变式5-3】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）几何说理填空：如图，F是BC上一点，FG⊥AC于点
G，H是AB上一点，HE⊥AC于点E，∠1=∠2，求证：DE∥BC．
证明：连接EF
∵FG⊥AC，HE⊥AC
∴∠FGC=90°，∠HEC=90°（________）
∴∠FGC=∠HEC
∴________//________（________）
∴∠3=∠________（________）
又∵∠1=∠2
∴∠1+∠3=∠2+∠4
即∠≝=∠EFC
∴DE∥BC（________）
【题型6 阅读理解和运用】
【例6】（23-24七年级·河南南阳·期末）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解
决问题．
小明∶老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，
今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即
已知：如图，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到∠AEC．
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学科网（北京）股份有限公司求证：∠AEC=∠A+∠C
小明笔记上写出的证明过程如下：
证明：过点E作EF∥AB
则∠1=∠A
∵AB∥CD，EF∥AB
∴EF∥CD
∴∠2=∠C
∴∠AEC=∠1+∠2
∴∠AEC=∠A+∠C
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．
(1)如图，若AB∥CD，∠E=60∘，求∠B+∠C+∠F；
(2)如图，AB∥CD，若∠PAB=100°，∠PDC=110°，求∠P的度数．
【变式6-1】（23-24七年级·广西河池·阶段练习）阅读下列材料，并完成相应任务．
三角形的内角和
小学我们就知道三角形内角和是180°，学习了平行线之后，可以证明三角形内角和是180°，证明方法如
下：
如图1，已知：三角形ABC．求证：∠A+∠B+∠C=180°．
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学科网（北京）股份有限公司证法一：如图2，过点A作直线DE∥BC，
∵DE∥BC，
∴∠B=∠1,∠C=∠2（ ）
∵∠1+∠2+∠3=180°
∴∠A+∠B+∠C=180°，即三角形内角和是180°．
证法二：如图3，延长BC至M，过点C作CN∥AB…．
(1)证法一的思路是先用平行线的性质得到∠B=∠1,∠C=∠2，此处，括号内应填写的理由是（ ），
再将三角形内角和问题转化为一个平角，进而得到三角形内角和是180°，这种方法主要体现的数学思想是
（单选，将正确选项填入空格处）
A．数形结合思想 B．分类思想 C．转化思想
(2)将证法二补充完整．
【变式6-2】（23-24七年级·山西吕梁·期末）阅读下列材料，完成相应任务．
台球中的数学
如图1是台球桌面实物图，图2是抽象出的数学图形，已知长方形桌面ABCD中，AD∥BC，一个球在
桌面上的点E处滚向桌边AD，碰到AD上的点F后反弹，再碰到BC边上的点G后，再次反弹进入底袋点D．
在球碰到桌边反弹的过程中，击出线与桌边的夹角∠1等于反弹线与桌边的夹角∠2，同理∠3=∠4．
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学科网（北京）股份有限公司任务一：如图2，求证：EF∥GD；
任务二：如图3，若球在桌面的点E处，经过两次反弹后碰到AD边上的点H处，若∠CFG+∠CGF=90°，
请你判断EF与GH的位置关系，并说明理由．
【变式6-3】（23-24七年级·山东青岛·期中）【阅读探究】如图1，已知AB∥CD，E、F分别是AB、CD上
的点，点M在AB、CD两平行线之间，∠AEM＝45°，∠CFM＝25°，求∠EVF的度数．
解：过点M作MN∥AB
∵AB∥CD
∴MN∥CD
∴∠EMN＝∠AEM＝45°
∠FMN＝∠CFM＝25°
∴∠EMF＝∠EMN+∠FMN
＝45°+25°＝70°
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学科网（北京）股份有限公司从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将么∠AEM和DCFM“凑”在一起，得
出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】如图2，已知直线m∥n，AB是一个平面镜，光线从直线m上的点O射出，在平面镜AB上经
点P反射后，到达直线n上的点Q．我们称OP为入射光线，PQ为反射光线，镜面反射有如下性质：入射
光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即∠OPA＝∠QPB．
（1）由图2写出∠AOP、∠BQP、∠OPQ之间的数量关系，并说明理由．
（2）如图3，再放置3块平面镜，其中两块平面镜在直线m和n上，另一块在两直线之间四块平面镜构成
四边形ABCD光线从点O以适当的角度射出后，其传播路径为O→P→Q→R→O→P→…直接写出∠OPQ和
∠ORQ的数量关系．
【应用拓展】
问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界．数学活
动课上，老师把山路抽象成图1所示的样子，并提出了一个问题：
在图4中，AB∥CD，∠B＝125°，∠PQC＝65°，∠C＝145°，求∠BPQ的度数．
【题型7 利用同（等）角的余（补）角相等导角证平行】
【例7】（23-24七年级·贵州遵义·期中）如图，CD⊥AB，垂足为D，FE⊥AB，垂足为E，
∠ACD+∠F=180°．
(1)求证：AC∥FG；
(2)若∠F=3∠G，∠BCD:∠ACD=2:3，求∠BCD的度数．
【变式7-1】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三角形ABC中，点E、点G分别是边AB、AC
上的点，点F、点D是边BC上的点，连接EF、AD和DG，DG是∠ADC的角平分线，若
∠1+∠2=180°，AB∥DG，∠2=145°，求∠EFC的度数．
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学科网（北京）股份有限公司【变式7-2】（23-24七年级·广东汕头·期末）如图，点B，C在线段AD的异侧，点E，F分别是线段
AB，CD上的点，已知∠1=∠2，∠3=∠C．
(1)求证：AB∥CD；
(2)若∠2+∠4=180°，且∠BFC−30°=2∠1，求∠B的度数．
【变式7-3】（24-25七年级·山东德州·阶段练习）如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE，DF分
别是∠ABC，∠ADC的平分线．
(1)∠1与∠2有什么关系，为什么？
(2)BE与DF有什么关系？请说明理由．
【题型8 利用等式的性质导角证平行】
【例8】（24-25七年级·全国·期末）如图，直线l ，l 相交于点O，点A，B在l 上，点 D，E 在l 上，
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BC∥EF，∠BCA=∠EFD．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求证∶AC∥FD．
(2)若∠1=20°，∠2=15°，求∠EDF的度数．
【变式8-1】（23-24七年级·福建泉州·期中）请把下列证明过程补充完整．
已知：如图，B、C、E三点在同一直线上，A、F、E三点在同一直线上，∠1=∠2=∠E，∠3=∠4．
求证：AB∥CD．
证明：∵ ∠2=∠E，（已知）
∴________∥________（________），
∴ ∠3= ∠________（________）
∵ ∠3=∠4（已知）
∴ ∠4=∠________（等量代换）．
∵ ∠1=∠2（已知）
∴ ∠1+∠CAF=∠2+∠CAF，
即∠________= ∠________
∴ ∠4=∠________（等量代换），
∴ AB∥CD（________）．
【变式8-2】（2024七年级·全国·专题练习）如图，已知∠1=48°,∠2=132°,∠C=∠D．
如
(1)求证：BD∥CE；
(2)若∠F=35°，求∠A的度数．
【变式8-3】（23-24七年级·江苏盐城·阶段练习）如图，∠1=∠2，∠DEH+∠EHG=180°，
∠C=∠A．
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学科网（北京）股份有限公司(1)试说明：∠AEH=∠F；
(2)若∠B=40°，∠F=25°，求∠≝¿的度数．
【题型9 利用平行线的判定与性质导角证平行】
【例9】（2024下·陕西西安·七年级校考期末）如图，AD平分∠BAC交BC于点D，点F在BA的延长线
上，点E在线段CD上，EF与AC相交于点G，∠BDA+∠CEG=180°．
(1)AD与EF平行吗？请说明理由；
(2)若点H在FE的延长线上，且∠EDH=∠C，且∠F=42°，求∠H．
【变式9-1】（2024下·福建厦门·七年级校考期中）如图，已知∠1=∠2,∠1+∠3=180°，则直线a，
b，c的位置关系如何?请说明理由．
【变式9-2】（23-24七年级·山东青岛·阶段练习）如图，已知∠1=100°，∠2=100°，∠3=60°，
∠4=120°，请说明AB∥EF的理由．
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学科网（北京）股份有限公司【变式9-3】（23-24七年级·湖南湘西·期末）问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，
如图（1）是一个“互”字，如图（2）是由图（1）抽象的几何图形，其中AB∥CD,MG∥FN．点
E,M,F在同一直线上，点G,N,H在同一直线上，且∠EFN=∠G．
(1)EF与GH平行吗？理由是什么？
(2)求证：∠AEF=∠GHD （提示：延长EF交CD于点P）
【题型10 动角旋转平行问题】
【例10】（23-24七年级·全国·单元测试）如图，已知直线PQ∥MN，点A在直线MN上，点B、C在直
线PQ上，射线AD是∠CAN的三等分线，即∠CAN=3∠DAN，AC平分∠BAE，∠BAC=40°．
(1)如图1，若∠BAD=30°，求∠AEC的度数；
(2)如图2，在AE上有一点F，满足CF∥AD，且FG平分∠AFC交AB于点G，试探究∠AGF与∠ACB
的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，若∠ABC=80°，∠BAC绕点A顺时针旋转，速度为6°每秒，记旋转中的∠BAC为∠B′ AC′，
∠C′ AN的三等分线为AD′，即∠C′ AN=3∠D′ AN，同时BA绕点B逆时针旋转至BA′，速度始终为
4°每秒，当AC′与射线AM重合时，∠B′ AC′立即以原来速度的一半逆时针旋转，当AC′运动到与射线
AN重合时，整个运动停止，设旋转时间为t秒，在旋转过程中，当AD′∥BA′时，请直接写出t的值．
【变式10-1】（23-24七年级·全国·单元测试）将一副三角尺按如图1所示的方式摆放，直线GH∥MN，
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学科网（北京）股份有限公司现将三角尺ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角尺DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，
设旋转时间为t秒，如图2，易知∠BAH=t°，∠FDM=2t°．若0≤t≤150，边BC与边DE平行，求满
足条件的t的值．
【变式10-2】（23-24七年级·吉林长春·期末）如图，在△ABC中，∠A、∠ABC、∠ACB的度数之比为
2:1:6，CD平分∠ACB交AB于点D．在△≝¿中，∠E=90°，∠F=60°．如图①，△≝¿的边DF在直
线AB上，将△≝¿绕点D逆时针方向旋转，记旋转角为α(0°<α<180°)．
(1)求∠A、∠ABC、∠ACB的度数；
(2)在旋转过程中，如图②，当DE ∥ AC时，求α的度数；
(3)如图③，当点C在△≝¿内部时，边DE、DF分别交BC、AC的延长线于N、M两点．
①α的取值范围是______；
②∠CMD与∠CND之间有一种始终保持不变的数量关系，请直接写出该数量关系．
【变式10-3】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：AB∥CD，点E在CD上，点G、F在AB上，
点H在AB、CD之间，连接FE、EH、HG，∠AGH=∠FED，FE⊥HE，垂足为点E．
(1)如图1，求∠EHG的度数；
(2)如图2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM、EM交于点M，求∠M的度数；
(3)如图3，在（2）的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K，若∠KFE：∠MGH=23：13，FK与
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学科网（北京）股份有限公司ME所在直线交于点Q，若射线QP从射线QF的位置开始绕着点Q逆时针以每秒5°的速度进行旋转，射线
QP交直线CD于点P，旋转时间为t秒，当t为何值时，QP第一次与GH平行？并求此时∠FQE的度数．
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