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专题 7.3 平行线的性质【十大题型】
【人教版2024】
【题型1 利用平行线的性质导角】..........................................................................................................................1
【题型2 利用平行线的性质证明】..........................................................................................................................6
【题型3 平行线的性质的应用】..............................................................................................................................9
【题型4 平行线间的距离】....................................................................................................................................13
【题型5 阅读理解填理由】....................................................................................................................................16
【题型6 阅读理解和运用】....................................................................................................................................20
【题型7 利用同（等）角的余（补）角相等导角证平行】...............................................................................27
【题型8 利用等式的性质导角证平行】................................................................................................................31
【题型9 利用平行线的判定与性质导角证平行】...............................................................................................36
【题型10 动角旋转平行问题】................................................................................................................................39
知识点1：平行线的性质
1. 两条平行被第三条直线所截同位角相等.简单说成两直线平行同位角相等.
2. 两条平行线被第三条直线所截内错角相等.简单说成两直线平行内错角相等.
3. 两条平行线被第三条直线所截同旁内角互补.简单说成两直线平行同旁内角互补.
【题型1 利用平行线的性质导角】
【例1】（2024七年级·北京·专题练习）如图，在△ABC中，∠A=60°,∠ABC=50°,∠B、∠C的平
分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是（ ）
①∠ACB=70°；②∠BFC=115°；③∠BDF=130°；④∠CFE=40°．
A．①② B．③④ C．①③ D．①②③
【答案】C
1
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质．根据三角形内角和定理对①进行判断；根据角
1
平分线定义和三角形内角和定理得到∠BFC=90°+ ∠A=120°，则可对②进行判断；根据平行线的性
2
1
质对③进行判断；先根据角平分线的性质得到∠BCF= ∠ACB=35°，然后根据平行线的性质对④进行
2
判断．
【详解】∵∠A=60°,∠ABC=50°，
∴∠C=180°−∠A−∠ABC=70°，所以①正确；
∵∠B、∠C的平分线相交于F，∠ABC=50°,∠C=70°，
∴∠FBC=25°,∠FCB=35°
∴∠BFC=180°−25°−35°=120°，所以②错误；
∵DE∥BC，
∴∠BDF=180°−∠ABC=130°，所以③正确；
∵CF平分∠BCE，
1
∴∠BCF= ∠ACB=35°，
2
∵DE∥BC，
∴∠CFE=∠BCF=35°，所以④错误．
答案：C．
【变式1-1】（23-24七年级·福建泉州·期末）如图，∠C=90°，∠CAB=30°，AD∥BE，∠DAE=120°．给出以
下结论：①∠2=∠EAB；②CA平分∠DAB；③∠1+∠2=90°；④BC∥AE．其中正确的结论有 ．（写
出所有正确结论的序号）
【答案】 /
【分析】①先由③∠③BA①C=30°、∠C=90°得到∠ABC=60°，从而得到∠ABE+∠2=120°，再利用平行线的性质得到
∠2=∠EAB；再结合∠BAC=30°、∠DAE=120°得到∠EAB+∠1=90°，进而得到∠1+∠2=90°；由
∠1+∠EAB=90°得到∠1=90°-∠EAB，然后由∠EAB的度数不固定得到∠1不一定等于30°，即∠1=∠BAC不
2
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学科网（北京）股份有限公司一定成立，进而得到CA不一定平分∠DAB；同理可知∠2=60°不一定成立．
【详解】解：∵∠BAC=30°，∠C=90°，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABE+∠2=180°-∠ABC=180°-60°=120°，
∵AD∥BE，
∴∠ABE=∠BAD，
∵∠DAE=120°，
∴∠BAD+∠EAB=120°，即∠ABE+∠EAB=120°，
∴∠2=∠EAB，故①正确，符合题意；
∵∠BAC=30°，∠DAE=120°，
∴∠EAB+∠1=90°，
∵∠EAB=∠2，
∴∠1+∠2=90°，故③正确，符合题意；
∵∠1+∠EAB=90°，
∴∠1=90°-∠EAB，
∴∠1的大小随∠EAB的大小变化而变化，
∵∠EAB的度数不固定，
∴∠1=30°不一定成立，即∠1=∠BAC不一定成立，
∴AC不一定平分∠DAB，故②错误，不符合题意；
同理可知，∠2=60°不一定成立，
∴BC∥AE不一定成立，故④错误，不符合题意．
故答案为：①③．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟知平行线的性质．
【变式1-2】（23-24七年级·河北沧州·期中）如图，已知AD⊥BC，FG⊥BC，∠BAC=90°，
DE∥AC．则下列结论：①FG∥AD；②DE平分∠ADB；③∠B=∠CAD；④
∠CFG+∠BDE=90°．正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④
【答案】A
【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，同角（等角）的余角相等，平行线的判定等知识，根据
AD⊥BC,FG⊥BC,得到FG∥AD，判断①正确；根据∠CAD+∠DAB=90°，∠B+∠DAB=90°，
得到③正确；根据DE∥AC， 证明∠BDE=∠C，进行角的代换证明∠BDE+∠CFG=90°，得到④
正确；证明∠ADE+∠BDE=90°，判断②不正确．
【详解】解：∵ AD⊥BC,FG⊥BC,
∴∠FGB=∠ADB=90°，
∴ FG∥AD，∠ADE+∠BDE=90°，
故①正确；
∵AD⊥BC
∴∠B+∠DAB=90°
∵∠BAC=90°
∴∠CAD+∠DAB=90°
∴ ∠B=∠CAD，
∴③正确；
∵ DE∥AC，
∴∠BDE=∠C，
∵∠FGC=90°，
∴∠C+∠CFG=90°，
∴∠BDE+∠CFG=90°，
∴④正确；
∵∠ADB=90°，
∴∠ADE+∠BDE=90°，不能判断DE平分∠ADB；
∴②不正确；
故正确的是①③④
故选：A．
【变式1-3】（23-24七年级·福建福州·阶段练习）如图，已知AF∥CD,CB平分∠ACD交AF于B，
BD⊥BC，点E在CD上，且∠DBE=∠DBF，那么，下列判断中①BC平分∠ABE；②AC//BE；
③∠BCD+∠D=90°；④∠DBF=2∠ABC，正确的是 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】①②③
1
【分析】利用BD⊥BC，∠DBE=∠DBF，可以推出∠CBE= ∠ABE；利用平行线性质和角平分线
2
的定义，可以推出∠ACB=∠CBE，可证AC//BE；利用三角形内角和定理和BD⊥BC可证
∠BCD+∠D=90°；现有条件无法推出∠DBF=2∠ABC．
【详解】解：∵BD⊥BC，
∴∠CBD=∠CBE+∠DBE=90°，
∵∠ABE+∠FBE=180°
1 1
∴ ∠ABE+ ∠FBE=90°，
2 2
∵∠DBE=∠DBF，
1
∴∠DBE= ∠FBE，
2
1
∴∠CBE= ∠ABE，
2
∴BC平分∠ABE，∠CBE=∠ABC，①正确；
∵BC平分∠ACD，
∴∠ACB=∠ECB，
∵AF∥CD，
∴∠ABC=∠ECB，
∴∠ACB=∠ABC=∠CBE，
∴AC∥BE，②正确；
∵∠CBD=90°，
∴∠BCD+∠D=90°，③正确；
根据已知条件无法推出∠DBF=2∠ABC，④错误；
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，垂直的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识点，根
据已知条件综合运用上述知识进行推理是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司【题型2 利用平行线的性质证明】
【例2】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知AB∥DE，∠B+∠E=180°．
(1)求证：BC∥EF；
(2)若∠BHE=60°，射线HG平分∠BHE，求∠HGE的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)30°
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义：
（1）先由两直线平行，同旁内角互补得到∠B+∠BHD=180°，再证明∠E=∠BHD，即可证明
BC∥EF；
1
（2）由角平分线的定义得到∠BHG= ∠BHE=30°，则由两直线平行，内错角相等即可得到
2
∠HGE=∠BHG=30°．
【详解】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠B+∠BHD=180°，
∵∠B+∠E=180°，
∴∠E=∠BHD，
∴BC∥EF；
（2）解：∵∠BHE=60°，射线HG平分∠BHE，
1
∴∠BHG= ∠BHE=30°，
2
∵BC∥EF，
∴∠HGE=∠BHG=30°．
【变式2-1】（23-24七年级·贵州遵义·阶段练习）如图，已知
∠1+∠CFE=180°，∠BAC=∠≝，∠B=75°，
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学科网（北京）股份有限公司(1)求证：AC∥EF；
(2)求∠EDF．
【答案】(1)见解析；
(2)∠EDF=75°．
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是关键；
（1）∠1+∠CFE=180°及∠1=∠ACF，得∠CFE+∠ACF=180°，由平行线的判定即可证明；
（2）由AC∥EF及已知得∠BAC=∠AGE，即可得AB∥DE，从而有∠B=∠EDF，由已知即可求解．
【详解】（1）证明：∵∠1+∠CFE=180°，∠1=∠ACF，
∴∠CFE+∠ACF=180°．
∴AC∥EF；
（2）解：∵AC∥EF，
∴∠AGE=∠≝¿，
∵∠BAC=∠≝¿，
∴∠BAC=∠AGE．
∴AB∥DE．
∴∠B=∠EDF．
∵∠B=75°，
∴∠EDF=75°．
【变式2-2】（23-24七年级·陕西咸阳·期末）如图，在四边形FEBO中，H为OF上一点，C为BO上一点，
连接BH，CH，若∠HCO=∠EBC，∠BHC+∠BEF=180°．
(1)求证：EF∥BH；
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学科网（北京）股份有限公司(2)若BH平分∠EBO，EF⊥OF，∠HCO=64°，求∠CHO的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)58°．
【分析】本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的性质等知识点，理解题意学会分析是解决此类问题
的关键．
（1）要证明EF∥BH，可通过∠E与∠EBH互补求得，利用平行线的性质说明∠EBH=∠CHB可得结
论；
（2）要求∠CHO的度数，可通过平角和∠FHC求得，利用（1）的结论及角平分线的性质求出∠FHB
及∠BHC的度数即可．
【详解】（1）证明：∵∠HCO=∠EBC，
∴EB∥HC，
∴∠EBH=∠CHB．
∵∠BHC+∠BEF=180°，
∴∠EBH+∠BEF=180°．
∴EF∥BH；
（2）解：∵∠HCO=∠EBC，
∴∠HCO=∠EBC=64°，
∵BH平分∠EBC，EB∥HC，
1
∴∠EBH=∠CHB= ∠EBC=32°．
2
∵EF⊥OF，EF∥BH，
∴∠BHA=180°−∠EFO=180°−90°=90°，
∴∠FHC=∠BHA+∠CHB=122°．
∴∠CHO=180°−∠FHC=180°−122°=58°．
【变式2-3】（24-25七年级·安徽合肥·期中）如图，已知直线a∥b，点A在直线a上，点B、C在直线b
上，点D在线段BC上，AB平分∠MAD，AC平分∠NAD，∠1=∠2．
(1)求证：AB∥DE；
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学科网（北京）股份有限公司(2)已知∠ACB=55°，求∠ADE的度数．
【答案】(1)见解析
(2)35°
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定
理是解题的关键．
（1）根据平行线的性质得到∠2=∠ABD，由角平分线的定义得到∠2=∠BAD，由∠1=∠2推出
∠ABD=∠1，根据同位角相等，两直线平行即可得到结论；
1 1
（2）根据角平分线的定义得到∠BAD= ∠MAD,∠CAD= ∠NAD，进而求出
2 2
1
∠BAD+∠CAD= (∠MAD+∠NAD)=90°，再根据（1）中AB∥DE，得到∠DEC=∠BAC=90°，
2
最后结合∠ACB=55°，利用三角形内角和定理即可求出∠1=35°，再根据平行线的性质即可解答．
【详解】（1）证明：∵直线a∥b，
∴∠2=∠ABD，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠ABD，
∴AB∥DE；
（2）解：∵AB平分∠MAD，AC平分∠NAD，
1 1
∴∠BAD= ∠MAD,∠CAD= ∠NAD，
2 2
1
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD= (∠MAD+∠NAD)=90°，
2
∵AB∥DE，
∴∠DEC=∠BAC=90°，∠ADE=∠BAD，
∴∠ADE=∠2，
∵∠ACB=55°，
∴∠1=180°−∠DEC−ACB=35°，
∴∠ADE=∠2=∠1=35°．
【题型3 平行线的性质的应用】
【例3】（2024下·福建厦门·七年级校考期中）一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向
与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次向左拐40°，第二次向右拐40°
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学科网（北京）股份有限公司B．第一次向右拐140°，第二次向左拐40°
C．第一次向右拐140°，第二次向右拐40°
D．第一次向左拐140°，第二次向左拐40°
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线的判定，难度不大，熟练掌握平行线的判定是解题关键．首先根据作出图
形，利用平行线的判定性质求出答案，注意排除法在选择题中的应用．
【详解】解：A、第一次向左拐40°，第二次向右拐40°，如图所示：
行驶方向与原方向相同，故本选项正确，符合题意；
B、第一次向右拐140°，第二次向左拐40°，如图所示，
行驶方向与原方向不同，故本选项错误，不符合题意；
C、第一次向右拐140°，第二次向右拐40°，如图所示：
行驶方向与原方向相反，故本选项错误，不符合题意；
D、第一次向左拐140°，第二次向左拐40°，如图所示：
行驶方向与原方向相反，故本选项错误，不符合题意．
故选：A．
【变式3-1】（23-24七年级·广东清远·期中）为增强学生身体素质、感受中国的优秀传统文化，学校将国
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学科网（北京）股份有限公司家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把
它抽象成如图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB=79°，∠ECD=108°．则∠E的度数为 ．
【答案】29°/29度
【分析】本题主要考查了平行线的性质应用，三角形的外角的性质；直接利用平行线的性质得出
∠EAB=∠EFC=79°，进而利用三角形的外角得出答案；
【详解】如图所示：延长DC交AE于点F，
∵ AB∥CD，∠EAB=79°，
∴∠EAB=∠EFC=79°，
∵∠ECD=∠E+∠EFC，
∴∠E=∠ECD−∠EFC，
∵∠ECD=108°，
∴∠E=108°−79°=29°．
故答案为：29°．
【变式3-2】（23-24七年级·江苏苏州·期中）图1中所示是学校操场边的路灯，图2为路灯的示意图，支架
AB、BC为固定支撑杆，灯体是CD，其中AB垂直地面于点A，过点C作射线CE与地面平行（即CE∥l
），已知两个支撑杆之间的夹角∠ABC=140°，灯体CD与支撑杆BC之间的夹角∠DCB=80°，则
∠DCE的度数为 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】30°/30度
【分析】过点B作BF∥CE．先利用平行线的性质和垂直的定义、角的和差关系求出∠CBF，再利用平
行线的性质和角的和差关系求得结论．
【详解】解：过点B作BF∥CE．
∵CE∥l，
∴BF∥l．
∴∠ABF=∠1=90°．
∵∠ABC=140°，
∴∠CBF=140°−90°=50°．
∵BF∥CE，
∴∠ECB=∠CBF=50°．
∴∠DCE=∠DCB−∠BCE
=80°−50°
=30°．
故答案为：30°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线的性质和角的和差关系是解决本题的关键．
【变式3-3】（23-24七年级·山西晋中·期中）如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象
成如图2的数学平面图形，已知AB∥MN∥PQ，若∠2=100°，∠DBE=130°，求∠1的度数．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】∠1=50°
【分析】本题考查了平行线的性质，延长AB到点C，根据AB∥MN求出∠CBD=80°，得到
∠CBE=50°，再根据AB∥PQ得到∠1=∠CBE=50°．
【详解】解：如图：延长AB到点C，
∵AB∥MN，
∴∠2+∠CBD=180°，
∵∠2=100°，
∴∠CBD=180°−100°=80°，
∵∠DBE=130°，
∴∠CBE=130°−80°=50°，
∵AB∥PQ，
∴∠1=∠CBE=50°．
【题型4 平行线间的距离】
【例4】（23-24七年级·上海普陀·期末）如图，已知AB∥DE，AD∥EC，那么与△BDE的面积一定相
等的三角形是（ ）
A．△ADE，△ADC B．△CDE，△ADC
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学科网（北京）股份有限公司C．△AEC，△ADC D．△ADE，△CDE
【答案】A
【分析】该题主要考查了两平行线间距离处处相等，以及三角形的面积，解题的关键是掌握两平行线间距
离处处相等．
【详解】解：如图，作△BDE中DE上的高ℎ，△ADE中AD上的高ℎ，
1 2
∵AB∥DE，
1
∴S = DE⋅ℎ =S ，
△BDE 2 1 △ADE
∵AD∥EC，
1
∴S = AD⋅ℎ =S ，
△ADE 2 2 △ADC
∴S =S =S ，
△ADE △ADC △BDE
故选：A．
【变式4-1】（2024七年级·全国·专题练习）已知直线a，b，c在同一平面内，且a∥b∥c，a与b之间的
距离为5cm，b与c之间的距离为3cm，则a与c之间的距离是（ ）
A．2cm B．8cm
C．2cm或8cm D．以上都不对
【答案】C
【分析】本题主要考查平行线之间距离的关系，掌握平行线的性质，图形结合分析是解题的关键．根据题
意，图形结合，分类讨论，结合平行线之间距离的计算方法即可求解．
【详解】解：如图①，a与c之间的距离为5+3=8(cm)；
如图②，a与c之间的距离为5−3=2(cm)．
∴a与c之间的距离为2cm或8cm．
故选：C．
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学科网（北京）股份有限公司【变式4-2】（23-24七年级·福建厦门·阶段练习）如图，四边形ABCD是平行四边形，点M在边AB上，
AE⊥BC，MN⊥CD，垂足分别为E、N，则平行线AB与CD之间的距离是（ ）
A．AE的长 B．MN的长 C．AB的长 D．AC的长
【答案】B
【分析】本题考查了两条平行线之间的距离的定义，掌握定义是解题的关键．从一条平行线上的任意一点
到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此判断即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，MN⊥CD，
∴MN的长为平行线AB与CD之间的距离．
故选：B．
【变式4-3】（24-25七年级·福建福州·开学考试）如图所示，平行四边形ABCD中，AB=10厘米，
BC=20厘米，BC边上的高是8厘米．EF是AD和BC的平行线，图中阴影部分的面积是（ ）平方厘米．
A．75 B．80 C．85 D．90
【答案】B
【分析】本题考查了平行线间的距离，平行四边形的性质，根据图形可知推出图中阴影部分的面积=平行
四边形ABCD的面积的一半即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意可知，四边形AEFD、四边形EBCF都是平行四边形，
设平行四边形AEFD边AD，平行四边形EBCF的边BC边上的高分别为ℎ，ℎ，
1 2
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学科网（北京）股份有限公司1 1
则图中阴影部分的面积= AD·ℎ + BC·ℎ，
2 1 2 2
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
1
∴图中阴影部分的面积= BC(ℎ + ℎ )，
2 1 2
∵ℎ + ℎ =8厘米，
1 2
1
∴图中阴影部分的面积= ×20×8=80（平方厘米），
2
故选：B．
【题型5 阅读理解填理由】
【例5】（24-25七年级·全国·课后作业）补全下列解题过程．
如图，在△ABC中，点E、F分别在AB、AC上，点M、N均在BC上，连接EN、FM交于点O，已知
∠1+∠2=180°,∠3=∠C，试说明EF∥BC．
解：∵∠1+∠2=180°，
∠2=∠FON（①___________），
∴∠1+∠FON=180°（②___________），
∴CF∥EN（③___________），
∴∠C=∠BNE（④___________）．
∵∠3=∠C，
∴∠3=∠BNE，
∴EF∥BC（⑤___________）．
【答案】①对顶角相等；②等量代换；③同旁内角互补，两直线平行；④两直线平行，同位角相等；⑤内
错角相等，两直线平行
【分析】此题考查了平行线的判定与性质及三角形的外角性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题
的关键．根据对顶角相等结合题意推出∠1+∠FDN=180°，即可判定CF∥EN；根据平行线的性质等
16
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学科网（北京）股份有限公司量代换得出∠3=∠BNE，据此即可判定EF∥BC．
【详解】解：∵∠1+∠2=180°，
∠2=∠FON（①对顶角相等），
∴∠1+∠FON=180°（②等量代换），
∴CF∥EN（③同旁内角互补，两直线平行），
∴∠C=∠BNE（④两直线平行，同位角相等；）．
∵∠3=∠C，
∴∠3=∠BNE，
∴EF∥BC（⑤内错角相等，两直线平行）．
故答案为：①对顶角相等；②等量代换；③同旁内角互补，两直线平行；④两直线平行，同位角相等；⑤
内错角相等，两直线平行．
【变式5-1】（24-25七年级·吉林长春·阶段练习）在下列解答中，填空并填写理由
如图，已知∠1=∠2 ， ∠3+∠4=180°，试说明：AB∥EF．
证明：∵∠1=∠2 （已知）
∴AB∥CD（ ）
又∵∠3+∠4=180°（已知）
∴ ∥EF（ ）
∴AB∥EF（ ）
【答案】同位角相等，两直线平行；CD；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平
行
【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定定理，结合已知证明过程逐步推导即可．
【详解】解：补全的证明过程如下：
证明：∵∠1=∠2 （已知）
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
又∵∠3+∠4=180°（已知）
∴CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行）
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学科网（北京）股份有限公司∴AB∥EF（平行于同一条直线的两条直线平行）
【变式5-2】（24-25七年级·山东青岛·期中）如图，DB⊥BC于点B，EF⊥BC于点F，∠1=∠2，试
说明AB∥DC．请补充完整下面的说理过程：
解：AB∥DC，理由如下：因为DB⊥BC，EF⊥BC
所以∠DBC=∠EFB=90°（ ① ）
所以∠DBC+∠EFB=180°，
所以DB∥EF（ ② ）
所以∠BDC=∠2（ ③ ）
又因为∠1=∠2（已知）所以 ④ （等量代换）
所以AB∥DC（ ⑤ ）
【答案】垂直定义；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；∠BDC=∠1；内错角相等，
两直线平行
【分析】本题考查了垂直的意义，平行线的判定和性质，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握平行
线的判定方法．根据垂直的定义，平行线的判定方法判断出DB∥EF，再利用平行线的性质找到相等的角，
最后等量代换利用平行线的判定方法证明即可．
【详解】解：AB∥DC，理由如下：因为DB⊥BC，EF⊥BC
所以∠DBC=∠EFB=90°（垂直定义）
所以∠DBC+∠EFB=180°，
所以DB∥EF（同旁内角互补，两直线平行）
所以∠BDC=∠2（两直线平行，同位角相等）
又因为∠1=∠2（已知）
所以∠BDC=∠1（等量代换）
所以AB∥DC（内错角相等，两直线平行）
故答案为：垂直定义；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；∠BDC=∠1；内错角相
等，两直线平行．
【变式5-3】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）几何说理填空：如图，F是BC上一点，FG⊥AC于点
G，H是AB上一点，HE⊥AC于点E，∠1=∠2，求证：DE∥BC．
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学科网（北京）股份有限公司证明：连接EF
∵FG⊥AC，HE⊥AC
∴∠FGC=90°，∠HEC=90°（________）
∴∠FGC=∠HEC
∴________//________（________）
∴∠3=∠________（________）
又∵∠1=∠2
∴∠1+∠3=∠2+∠4
即∠≝=∠EFC
∴DE∥BC（________）
【答案】垂线定义；FG,HE；同位角相等，两直线平行；4；两直线平行，内错角相等；内错角相等，两
直线平行
【分析】本题考查利用平行线的判定与性质证明．掌握相关定理内容是解题关键．根据垂线的定义，平行
线的判定与性质即可求证．
【详解】证明：连接EF
∵FG⊥AC，HE⊥AC
∴∠FGC=90°，∠HEC=90°（垂线定义）
∴∠FGC=∠HEC
∴FG∥HE（同位角相等，两直线平行）
∴∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）
又∵∠1=∠2
∴∠1+∠3=∠2+∠4
即∠≝=∠EFC
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）
故答案为：垂线定义；FG,HE；同位角相等，两直线平行；4；两直线平行，内错角相等；内错角相等，
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学科网（北京）股份有限公司两直线平行．
【题型6 阅读理解和运用】
【例6】（23-24七年级·河南南阳·期末）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解
决问题．
小明∶老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，
今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即
已知：如图，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到∠AEC．
求证：∠AEC=∠A+∠C
小明笔记上写出的证明过程如下：
证明：过点E作EF∥AB
则∠1=∠A
∵AB∥CD，EF∥AB
∴EF∥CD
∴∠2=∠C
∴∠AEC=∠1+∠2
∴∠AEC=∠A+∠C
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．
(1)如图，若AB∥CD，∠E=60∘，求∠B+∠C+∠F；
(2)如图，AB∥CD，若∠PAB=100°，∠PDC=110°，求∠P的度数．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)240°
(2)30°
【分析】（1）如图所示，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥CD， 则EM∥AB∥FN∥CD，由平行
线的性质得到∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=180°，进而推出∠B+∠CFE+∠C=∠BEF+180°，
由此即可得到答案；
（2）如图所示，过点P作PE∥AB，则AB∥PE∥CD，由平行线的性质得到∠DPE=∠CDP，
∠APE+∠PAB=180°，推出∠DPE=∠DPA+80°，再由∠CDP=∠DPE=∠DPA+∠APE即可得
到∠DPA=∠CDP−∠APE=30°．
【详解】（1）解：如图所示，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥CD，
∵AB∥CD，
∴EM∥AB∥FN∥CD，
∴∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=180°，
∴∠B+∠CFE+∠C=∠1+∠3+∠4+∠C
=∠BEF+∠4+∠C
=∠BEF+180°
∵∠BEF=60°，
∴∠B+∠CFE+∠C=240°；
（2）解：如图所示，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，PE∥AB，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠DPE=∠CDP，
又∵∠APE+∠PAB=180°，
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学科网（北京）股份有限公司∴∠APE=180°−∠PAB=80°，
∵∠DPE=∠DPA+∠APE=∠DPA+80°，
∵∠CDP=∠DPE=∠DPA+∠APE
∴∠DPA=∠CDP−∠APE=30°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【变式6-1】（23-24七年级·广西河池·阶段练习）阅读下列材料，并完成相应任务．
三角形的内角和
小学我们就知道三角形内角和是180°，学习了平行线之后，可以证明三角形内角和是180°，证明方法如
下：
如图1，已知：三角形ABC．求证：∠A+∠B+∠C=180°．
证法一：如图2，过点A作直线DE∥BC，
∵DE∥BC，
∴∠B=∠1,∠C=∠2（ ）
∵∠1+∠2+∠3=180°
∴∠A+∠B+∠C=180°，即三角形内角和是180°．
证法二：如图3，延长BC至M，过点C作CN∥AB…．
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学科网（北京）股份有限公司(1)证法一的思路是先用平行线的性质得到∠B=∠1,∠C=∠2，此处，括号内应填写的理由是（ ），
再将三角形内角和问题转化为一个平角，进而得到三角形内角和是180°，这种方法主要体现的数学思想是
（单选，将正确选项填入空格处）
A．数形结合思想 B．分类思想 C．转化思想
(2)将证法二补充完整．
【答案】(1)两直线平行，内错角相等；C
(2)证明见解析
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，即可；
（2）延长BC至M，过点C作CN∥AB，根据平行线的性质可得∠B=∠2,∠A=∠1，再由
∠1+∠2+∠ACB=180°，即可求证．
【详解】（1）证法一：如图2，过点A作直线DE∥BC，
∵DE∥BC，
∴∠B=∠1,∠C=∠2（两直线平行，内错角相等）
∵∠1+∠2+∠3=180°
∴∠A+∠B+∠C=180°，即三角形内角和是180°．
这种方法主要体现的数学思想是转化思想；
故答案为：两直线平行，内错角相等；C
（2）证明：延长BC至M，过点C作CN∥AB，
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学科网（北京）股份有限公司∴∠B=∠2,∠A=∠1，
∵∠1+∠2+∠ACB=180°
∴∠A+∠B+∠C=180°，即三角形内角和是180°．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，通过作适当的辅助线把三角形的三个
内角和转化为一个平角是解题的关键．
【变式6-2】（23-24七年级·山西吕梁·期末）阅读下列材料，完成相应任务．
台球中的数学
如图1是台球桌面实物图，图2是抽象出的数学图形，已知长方形桌面ABCD中，AD∥BC，一个球在
桌面上的点E处滚向桌边AD，碰到AD上的点F后反弹，再碰到BC边上的点G后，再次反弹进入底袋点D．
在球碰到桌边反弹的过程中，击出线与桌边的夹角∠1等于反弹线与桌边的夹角∠2，同理∠3=∠4．
任务一：如图2，求证：EF∥GD；
任务二：如图3，若球在桌面的点E处，经过两次反弹后碰到AD边上的点H处，若∠CFG+∠CGF=90°，
请你判断EF与GH的位置关系，并说明理由．
【答案】任务一：见解析，任务二：EF∥GH，理由见解析
【分析】任务一：由AD∥BC，可得∠2=∠3，再利用平角的定义可得∠EFG=∠FGD，则EF∥GD；
任务二：由任务一同理可说明结论．
【详解】任务一：
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学科网（北京）股份有限公司证明：∵AD∥BC，
∴∠2=∠3，
又∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1=∠2=∠3=∠4，
∵∠EFG=180°−(∠1+∠2)，∠FGD=180°−(∠3+∠4)，
∴∠EFG=∠FGD，
∴EF∥DG．
任务二：由题意可知∠EFB=∠GFC，∠FGC=∠HGD，
∵∠CFG+∠CGF=90°，
∴∠EFB+∠GFC+∠FGC+∠HGD=180°，
∵∠HGF=180°−(∠DGF+∠CGF)，∠EFG=180°−(∠EFB+∠GFC)，
∴∠HGF+∠EFG=180°−(∠DGF+∠CGF)+180°−(∠EFB+∠GFC)
=360°−(∠DGF+∠CGF+∠EFB+∠GFC)=180°，
∴EF∥GH．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，生活中的轴对称现象等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是
解题的关键．
【变式6-3】（23-24七年级·山东青岛·期中）【阅读探究】如图1，已知AB∥CD，E、F分别是AB、CD上
的点，点M在AB、CD两平行线之间，∠AEM＝45°，∠CFM＝25°，求∠EVF的度数．
解：过点M作MN∥AB
∵AB∥CD
∴MN∥CD
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学科网（北京）股份有限公司∴∠EMN＝∠AEM＝45°
∠FMN＝∠CFM＝25°
∴∠EMF＝∠EMN+∠FMN
＝45°+25°＝70°
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将么∠AEM和DCFM“凑”在一起，得
出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】如图2，已知直线m∥n，AB是一个平面镜，光线从直线m上的点O射出，在平面镜AB上经
点P反射后，到达直线n上的点Q．我们称OP为入射光线，PQ为反射光线，镜面反射有如下性质：入射
光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即∠OPA＝∠QPB．
（1）由图2写出∠AOP、∠BQP、∠OPQ之间的数量关系，并说明理由．
（2）如图3，再放置3块平面镜，其中两块平面镜在直线m和n上，另一块在两直线之间四块平面镜构成
四边形ABCD光线从点O以适当的角度射出后，其传播路径为O→P→Q→R→O→P→…直接写出∠OPQ和
∠ORQ的数量关系．
【应用拓展】
问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界．数学活
动课上，老师把山路抽象成图1所示的样子，并提出了一个问题：
在图4中，AB∥CD，∠B＝125°，∠PQC＝65°，∠C＝145°，求∠BPQ的度数．
【答案】（1）∠OPQ=∠AOP+∠BQP，理由见解析；（2）∠OPQ=∠ORQ；【应用拓展】85°
【分析】方法运用：（1）过点P作PE∥OA，则PE∥BQ，利用平行线的性质及各角之间的关系即可得出
结果；
（2）同（1）方法类似，结合图形找出各角之间的关系求解即可；
应用拓展：过点P作PM∥AB：过点Q作QN∥AB，利用平行线的性质找出各角之间的关系求解即可．
【详解】方法运用，解：（1）∠OPQ=∠AOP+∠BQP，理由如下，
如图所示，过点P作PE∥OA，则PE∥BQ.
∴∠AOP=∠OPE，∠BQP=∠QPE.
∵∠OPQ=∠OPE+∠QPE
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学科网（北京）股份有限公司∴∠OPQ=∠AOP+∠BQP；
（2）解：∠OPQ=∠ORQ，
理由如下，由（1）得，∠AOP+∠BQP=∠OPQ，
同理可得，∠DOR+∠CQR=∠ORQ，
∵入射角等于反射角：
∴∠AOP=∠DOR，∠BQP=∠CQR，
∴∠OPQ=∠ORQ；
【应用拓展】如图，过点P作PM∥AB：过点Q作QN∥AB，
则AB∥PM∥QN∥CD.
∴∠ABP+∠BPM=180，∠MPQ=∠PQN，∠DCQ+∠CQN=180°
∵∠B=125°，∠C=145°，
∴∠BPM=180°-125°=55°，∠CQN=180°-145°=35°，
∵∠PQC=65°，
∴∠PQN=∠PQC-∠CQN=65°-35°=30°，
∴∠QPM=∠PQN=30°，
∴∠BPQ=∠BPM+∠QPM=30°+55°=85°．
【点睛】题目主要考查平行性质的性质及辅助线的作法，解决本是的关键是理解题意，作出相应的辅助线．
【题型7 利用同（等）角的余（补）角相等导角证平行】
【例7】（23-24七年级·贵州遵义·期中）如图，CD⊥AB，垂足为D，FE⊥AB，垂足为E，
∠ACD+∠F=180°．
(1)求证：AC∥FG；
(2)若∠F=3∠G，∠BCD:∠ACD=2:3，求∠BCD的度数．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)见解析
(2)20°
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是区分平行线的判定与性质，平行线的判定是
由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（1）根据CD⊥AB，FE⊥AB，可得EF∥DC，得∠AHE=∠ACD，进而得∠EHC=∠F，可得结
论；
（2）根据∠BCD:∠ACD=2:3，可以设∠BCD=2x,∠ACD=3x，根据AC∥FG，可得
∠G=∠ACB=∠BCD+∠ACD=5x，由∠F=3∠G得到∠F=15x，根据∠ACD+∠F=180°，求
出x的值，进而可得∠BCD的度数．
【详解】（1）证明：∵CD⊥AB，FE⊥AB，
∴∠AEH=∠ADC=90°，
∴EF∥DC，
∴∠AHE=∠ACD，
∵∠ACD+∠F=180°．
∴∠AHE+∠F=180°，
∵∠AHE+∠EHC=180°，
∴∠EHC=∠F，
∴AC∥FG；
（2）解：∵ ∠BCD:∠ACD=2:3，
设∠BCD=2x,∠ACD=3x，
∵ AC∥FG，
∴ ∠G=∠ACB=∠BCD+∠ACD=5x，
∵ ∠F=3∠G，
∴ ∠F=15x，
∵ ∠ACD+∠F=180°，
∴3x+15x=180°，即x=10°
∴ ∠BCD=2x=20°．
【变式7-1】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三角形ABC中，点E、点G分别是边AB、AC
上的点，点F、点D是边BC上的点，连接EF、AD和DG，DG是∠ADC的角平分线，若
∠1+∠2=180°，AB∥DG，∠2=145°，求∠EFC的度数．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】70°
【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握同旁内角互补，两直线
平行，两直线平行，内错角相等和两直线平行，同位角相等．
由两直线平行，内错角相等得出∠1=∠BAD，再根据题意可得出∠BAD+∠2=180°，最后根据同旁内
角互补，两直线平行，即可得出AD∥EF，根据题意可求出∠1的大小，再根据角平分线的定义，得出
∠ADC=2∠1，最后根据两直线平行，同位角相等，即可求出∠EFC的大小．
【详解】解：∵∠1+∠2=180°，∠2=145°，
∴∠1=180−145°=35°，
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠ADC=2∠1=70°，
∵AB∥DG，
∴∠1=∠BAD，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠BAD+∠2=180°，
∴AD∥EF，
∴∠EFC=∠ADC=70°．
【变式7-2】（23-24七年级·广东汕头·期末）如图，点B，C在线段AD的异侧，点E，F分别是线段
AB，CD上的点，已知∠1=∠2，∠3=∠C．
(1)求证：AB∥CD；
(2)若∠2+∠4=180°，且∠BFC−30°=2∠1，求∠B的度数．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)见解析
(2)∠B=50°
【分析】本题主要考查了平行线的判定、平行线的性质，灵活运用平行线的判定定理和性质定理是解答本
题的关键．
（1）由已知条件结合对顶角相等可得∠1=∠C，然后根据内错角相等、两直线平行即可证明结论；
（2）先证明∠1=∠2=∠3=∠C，再结合∠2+∠4=180°可得∠3+∠4=180°，进而证得BF∥EC，
由平行线的性质可得∠BFC+∠C=180°，即∠BFC+∠1=180°，再结合∠BFC−30°=2∠1求解即
可解答．
【详解】（1）证明：∵∠1=∠2，∠3=∠C，∠2=∠3，
∴∠1=∠C，
∴AB∥CD．
（2）解：∵∠1=∠2，∠3=∠C，∠2=∠3，
∴∠1=∠2=∠3=∠C，
∵∠2+∠4=180°，
∴∠3+∠4=180°，
∴BF∥EC，
∴∠BFC+∠C=180°，∠B=∠1，
∴∠BFC+∠1=180°①，
又∵∠BFC−30°=2∠1②，
∴①②联立可得∠1=50°，
∴∠B=∠1=50°．
【变式7-3】（24-25七年级·山东德州·阶段练习）如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE，DF分
别是∠ABC，∠ADC的平分线．
(1)∠1与∠2有什么关系，为什么？
(2)BE与DF有什么关系？请说明理由．
【答案】(1)∠1+∠2=90°；理由见解析
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学科网（北京）股份有限公司(2)BE∥DF，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的判定，多边形的内角和，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握四边形
内角和为360°、同位角相等，两直线平行．
（1）由角平分线的定义得∠1=∠ABE，∠2=∠ADF，根据四边形的内角和可得
∠ABC+∠ADC=180°，进而可求出结论；
（2）由互余的性质可得∠1=∠DFC，根据平行线的判定即可得出．
【详解】（1）解：∠1+∠2=90°，理由：
∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，
∴∠1=∠ABE，∠2=∠ADF，
∵∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=360°−90°−90°=180°，
∴2(∠1+∠2)=180°，
∴∠1+∠2=90°；
（2）解：BE∥DF，理由如下：
在△FCD中，∵∠C=90°，
∴∠DFC+∠2=90°，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠DFC，
∴BE∥DF．
【题型8 利用等式的性质导角证平行】
【例8】（24-25七年级·全国·期末）如图，直线l ，l 相交于点O，点A，B在l 上，点 D，E 在l 上，
1 2 1 2
BC∥EF，∠BCA=∠EFD．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求证∶AC∥FD．
(2)若∠1=20°，∠2=15°，求∠EDF的度数．
【答案】(1)见解析
(2)35°
【分析】本题主要考查平行线的判定及性质，三角形的内角和定理及外角的性质，掌握平行线的判定方法
及性质是解题的关键．
（1）延长CB交l 于点M，延长CA交l 于点N，利用BC∥EF得出∠CMN=∠FED，然后根据三角形内
2 2
角和定理得出∠CNM=∠FDE，最后利用同位角相等，两直线平行即可证明；
（2）根据三角形外角的性质得出∠CNM=∠OAN+∠1=∠2+∠1，再利用∠CNM=∠FDE即可得出
答案．
【详解】（1）解：延长CB交l 于点M，延长CA交l 于点N，
2 2
∵BC∥EF，
∴∠CMN=∠FED，
∵∠BCA=∠EFD，
∴∠BCA+∠CMN=∠EFD+∠FED，
∵∠CNM=180°−(∠BCA+∠CMN)，
∠FDE=180°−(∠EFD+∠FED)
∴∠CNM=∠FDE，
∴AC∥FD；
（2）∵∠2=∠OAN，
∴∠CNM=∠OAN+∠1=∠2+∠1，
∵∠1=20°，∠2=15°，
∴∠CNM=35°，
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学科网（北京）股份有限公司∵AC∥FD，
∴∠EDF=∠CNM=35°．
【变式8-1】（23-24七年级·福建泉州·期中）请把下列证明过程补充完整．
已知：如图，B、C、E三点在同一直线上，A、F、E三点在同一直线上，∠1=∠2=∠E，∠3=∠4．
求证：AB∥CD．
证明：∵ ∠2=∠E，（已知）
∴________∥________（________），
∴ ∠3= ∠________（________）
∵ ∠3=∠4（已知）
∴ ∠4=∠________（等量代换）．
∵ ∠1=∠2（已知）
∴ ∠1+∠CAF=∠2+∠CAF，
即∠________= ∠________
∴ ∠4=∠________（等量代换），
∴ AB∥CD（________）．
【答案】AD；BE；内错角相等，两直线平行；CAD；两直线平行，内错角相等；CAD；BAE；CAD；
BAE；同位角相等，两直线平行．
【分析】本题考查了平行线的判定和性质．先证明AD∥BE，得到∠3=∠CAD，进而得到
∠4=∠CAD，再根据∠1=∠2，得到∠BAE=∠CAD，从而得出∠4=∠BAE，即可证明结论．熟练
掌握平行线的判定和性质是解题关键．
【详解】证明：∵ ∠2=∠E，（已知）
∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行），
∴∠3=∠CAD（两直线平行，内错角相等），
∵∠3=∠4（已知）
∴ ∠4=∠CAD（等量代换）．
∵ ∠1=∠2（已知）
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学科网（北京）股份有限公司∴ ∠1+∠CAF=∠2+∠CAF，
即∠BAE=∠CAD，
∴ ∠4=∠BAE（等量代换），
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
故答案为：AD；BE；内错角相等，两直线平行；CAD；两直线平行，内错角相等；CAD；BAE；CAD；
BAE；同位角相等，两直线平行．
【变式8-2】（2024七年级·全国·专题练习）如图，已知∠1=48°,∠2=132°,∠C=∠D．
如
(1)求证：BD∥CE；
(2)若∠F=35°，求∠A的度数．
【答案】(1)见解析
(2)35°
【分析】此题考查了平行线的判定和性质．
（1）根据同旁内角互补两直线平行即可证明结论成立；
（2）根据平行线的性质得到∠C=∠ABD，由等量代换得到∠ABD=∠D，即可证明AC∥DF，再根
据平行线的性质即可得到∠A的度数．
【详解】（1）解：证明：∵∠1=48°,∠2=132°，
∴∠1+∠2=180°，
∴BD∥CE．
（2）∵BD∥CE，
∴∠C=∠ABD．
又∵∠C=∠D，
∴∠ABD=∠D，
∴AC∥DF，
∴∠A=∠F=35°．
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学科网（北京）股份有限公司【变式8-3】（23-24七年级·江苏盐城·阶段练习）如图，∠1=∠2，∠DEH+∠EHG=180°，
∠C=∠A．
(1)试说明：∠AEH=∠F；
(2)若∠B=40°，∠F=25°，求∠≝¿的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠≝=85°
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的内角和定理；
（1）根据平行线的判定和性质定理即可得到结论；
（2）由平行线的性质及平角的定义可求解∠2的度数，再利用三角形的内角和定理可求解．
【详解】（1）∵∠DEH+∠EHG=180°，
∴ED∥AC（同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠1=∠C（两直线平行，同位角相等）．∠2=∠DGC（两直线平行，内错角相等）．
∵∠1=∠2，∠C=∠A，
∴∠A=∠DGC．
∴AB∥DF（同位角相等，两直线平行）．
∴∠AEH=∠F（两直线平行，内错角相等）．
（2）∵AB∥DF，
∴∠CDF=∠B=40°，
∵∠1+∠2+∠CDF=180°，∠1=∠2，
∴∠1=∠2=70°，
∵∠F=25°，∠F+∠2+∠≝=180°，
∴∠≝=180°−25°−70°=85°．
【题型9 利用平行线的判定与性质导角证平行】
【例9】（2024下·陕西西安·七年级校考期末）如图，AD平分∠BAC交BC于点D，点F在BA的延长线
上，点E在线段CD上，EF与AC相交于点G，∠BDA+∠CEG=180°．
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学科网（北京）股份有限公司(1)AD与EF平行吗？请说明理由；
(2)若点H在FE的延长线上，且∠EDH=∠C，且∠F=42°，求∠H．
【答案】(1)AD∥EF，理由见解析
(2)42°
【分析】（1）求出∠ADE+∠FEB=180°，根据平行线的判定推出即可；
（2）根据角平分线定义得出∠BAD=∠CAD，推出HD∥AC，根据平行线的性质得出∠H=∠CGH，
∠CAD=∠CGH，推出∠BAD=∠F即可．
【详解】（1）解：AD∥EF．理由如下：
∵∠BDA+∠CEG=180°，∠ADB+∠ADE=180°，∠FEB+∠CEF=180°，
∴∠ADE+∠FEB=180°，
∴AD∥EF．
（2）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠EDH=∠C，
∴HD∥AC，
∴∠H=∠CGH，
∵AD∥EF，
∴∠CAD=∠CGH，
∴∠BAD=∠F，
∴∠H=∠F，
∵∠F=42°，
∴∠H=42°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【变式9-1】（2024下·福建厦门·七年级校考期中）如图，已知∠1=∠2,∠1+∠3=180°，则直线a，
b，c的位置关系如何?请说明理由．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】a∥b∥c．理由见解析
【详解】a∥b∥c．理由如下：
因为∠1=∠2,∠2=∠4，所以∠1=∠4，所以a∥c，
因为∠1+∠3=180°,∠1=∠5，
所以∠3+∠5=180°，
所以a∥b，所以a∥b∥c．
【变式9-2】（23-24七年级·山东青岛·阶段练习）如图，已知∠1=100°，∠2=100°，∠3=60°，
∠4=120°，请说明AB∥EF的理由．
【答案】见解析
【分析】根据同位角相等，两直线平行，得到AB∥CD，同旁内角互补，两直线平行，得到CD∥EF，
即可得证．
【详解】解：因为∠1=100°，∠2=100°，
所以∠1=∠2，
所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
因为∠3=60°，∠4=120°，
所以∠3+∠4=180°，
所以CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行）．
所以AB∥EF（平行于同一条直线的两条直线平行）．
【点睛】本题考查平行线的判定和平行公理的应用，解题的关键是掌握平行线的判定定理：同位角相等，
两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，以及平行于同一条直线的两条直线平行．
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学科网（北京）股份有限公司【变式9-3】（23-24七年级·湖南湘西·期末）问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，
如图（1）是一个“互”字，如图（2）是由图（1）抽象的几何图形，其中AB∥CD,MG∥FN．点
E,M,F在同一直线上，点G,N,H在同一直线上，且∠EFN=∠G．
(1)EF与GH平行吗？理由是什么？
(2)求证：∠AEF=∠GHD （提示：延长EF交CD于点P）
【答案】(1)平行；理由见详解
(2)证明见详解
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键，
（1）根据平行线的判定即可证明；
（2）根据平行线的性质即可证明．
【详解】（1）答：平行；
∵MG∥FN，
∴∠EFN=∠EMG，
∵∠EFN=∠G，
∴∠G=∠EMG，
∴EF∥GH；
（2）延长EF交CD于点P，
∵AB∥CD
，
∴∠BEF+∠MPH=180°，
∵EP∥GH，
∴∠GHP+∠MPH=180°，
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学科网（北京）股份有限公司∴∠BEF=∠GHP，
∵∠BEF=180°−∠AEF,∠GHP=180°−∠GHD，
∴∠AEF=∠GHD．
【题型10 动角旋转平行问题】
【例10】（23-24七年级·全国·单元测试）如图，已知直线PQ∥MN，点A在直线MN上，点B、C在直
线PQ上，射线AD是∠CAN的三等分线，即∠CAN=3∠DAN，AC平分∠BAE，∠BAC=40°．
(1)如图1，若∠BAD=30°，求∠AEC的度数；
(2)如图2，在AE上有一点F，满足CF∥AD，且FG平分∠AFC交AB于点G，试探究∠AGF与∠ACB
的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，若∠ABC=80°，∠BAC绕点A顺时针旋转，速度为6°每秒，记旋转中的∠BAC为∠B′ AC′，
∠C′ AN的三等分线为AD′，即∠C′ AN=3∠D′ AN，同时BA绕点B逆时针旋转至BA′，速度始终为
4°每秒，当AC′与射线AM重合时，∠B′ AC′立即以原来速度的一半逆时针旋转，当AC′运动到与射线
AN重合时，整个运动停止，设旋转时间为t秒，在旋转过程中，当AD′∥BA′时，请直接写出t的值．
【答案】(1)35°
(2)270°
10 190
(3)t的值为 或
3 3
【分析】（1）利用角平分线定义求出∠CAE，进而求出∠CAD，结合∠CAN=3∠DAN，则可求
∠CAN，∠EAN，然后根据平行线的性质求解即可；
（2）设∠BAD=2y，则∠CAD=40°+2y，∠CAN=60°+3 y，∠DAN=20°+ y，
∠EAN=100°+3 y，由平行线的性质求出∠AEC=80°−3 y，∠ADC=20°+ y，∠AFC=100°−2y，
1
∠ACB=120°−3 y，根据角平分线的定义求出∠AFG= ∠AFC=50°−y，则
2
∠AGF=180°−∠AFG−∠FAG=50°+ y，即可得出结论；
（3）当AC′与射线AM重合时，t=60°÷6°=10，返回时，当AC′与AC重合，t=10+60°÷3°=30，
当AC′与射线AN重合时，t=10+180°÷3°=70，当A′B在AB的延长线时，t=180°÷4°=45，分
0≤t≤10；10
