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专题 8.1 平方根【十大题型】
【人教版2024】
【题型1 平方根概念理解】......................................................................................................................................1
【题型2 求一个数的（算术）平方根】..................................................................................................................2
【题型3 求代数式的（算术）平方根】..................................................................................................................2
【题型4 由（算术）平方根求式子的值】..............................................................................................................3
【题型5 由平方根的概念解方程】..........................................................................................................................3
【题型6 由算术平方根的非负性求值】..................................................................................................................3
【题型7 估算算术平方根的取值范围】..................................................................................................................3
【题型8 求算术平方根的整数部分和小数部分】.................................................................................................4
【题型9 平方根与数轴的综合】..............................................................................................................................4
【题型10 算术平方根的规律探究】..........................................................................................................................5
知识点：平方根
平方根：
①定义：如果 ，那么 叫做 的平方根，也称为二次方根.
x2=a(a≥0) x a
②表示方法：正数a的正的平方根记作❑√a，负的平方根记作−❑√a，正数a的两个平方根记作±❑√a，读作
正、
负根号a，其中a叫做被开方数.
③性质：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
算术平方根：
(1)定义：正数a有两个平方根±❑√a，我们把正数a的正的平方根❑√a，叫做a的算术平方根．
(2)性质：①正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；
②负数没有算术平方根.当 时， ；
a≥0 ❑√a2=a
③算术平方根具有双重非负性：a≥0；❑√a≥0.
【题型1 平方根概念理解】
【例1】（23-24七年级·四川泸州·期末）若实数3m−6有平方根，则m的取值范围是（ ）
1
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学科网（北京）股份有限公司A．m≤2 B．m<2 C．m>2 D．m≥2
【变式1-1】（23-24七年级·河南信阳·期末）若a2=6，则下列说法正确的是（ ）
A．a是6的算术平方根 B．a是6的平方根
C．6是a的平方根 D．a=❑√6
【变式1-2】（23-24七年级·湖北武汉·期中）写一个平方根是它本身的数 ．
【变式1-3】（23-24七年级·全国·课后作业）下列各数中，不一定有平方根的是( )
A．x2＋1 B．|x|＋2 C．❑√a+1 D．|a|－1
【题型2 求一个数的（算术）平方根】
【例2】（23-24七年级·上海杨浦·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
−❑√(−6) 2=−6 (−❑√6) 2=36
√ 1 1
C．❑√16=±4 D．❑4 =2
4 2
【变式2-1】（23-24七年级·上海嘉定·期末）❑√36−5的平方根是 ．
【变式2-2】（23-24七年级·全国·假期作业）按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为3，则输出的值为
．
❑ ❑ ❑ ❑ ❑
输入→减去5→平方→加上3→开平方→输出
❑ ❑ ❑ ❑ ❑
【变式2-3】（23-24七年级·山东菏泽·期中）一个数的算术平方根是4，则比这个数多9的数的平方根是
．
【题型3 求代数式的（算术）平方根】
【例3】（23-24七年级·河南洛阳·阶段练习）已知2a−1的平方根是±3，3a+b−1的算术平方根是4，
则❑√a+2b= .
【变式3-1】（23-24春·湖北武汉·七年级校联考期中）关于x的多项式7x3−11mx2−15x+9与多项式
22x2−5nx−7相加后不含x的二次和一次项，则−(mn+n)平方根为（ ）
A．3 B．−3 C．±3 D．±❑√3
【变式3-2】（23-24七年级·湖北荆门·期中）如果自然数a的平方根是±m，那么a+1的平方根用m表示为
（ ）
A．±（m+1） B．（m2+1） C． D．
±❑√m+1 ±❑√m2+1
【变式3-3】（23-24七年级·山东德州·阶段练习）已知正数a的两个不同的平方根分别是3x−2和5x+10,
a+b−4的算术平方根是3.
2
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学科网（北京）股份有限公司(1)求a、b的值；
(2)求a−2b的平方根．
【题型4 由（算术）平方根求式子的值】
【例4】（23-24七年级·全国·专题练习）已知一个数的算术平方根为3m−4，它的平方根为±(m−1)，则
这个数是 ．
【变式4-1】（23-24七年级·云南保山·期中）已知x=❑√25，y是4的算术平方根，则3x−2y的值为
．
【变式4-2】（23-24七年级·河南新乡·期中）已知❑√1−3b与 ❑√2a+1互为相反数，求−3b+2a+6的平方
根．
【变式4-3】（23-24七年级·湖南永州·期末）若xm= y，则记(x,y)=m，例如32=9，于是(3,9)=2．若
(−2,a)=2，(b,8)=3，(c,a)=b，则c的值为（ ）
A．16 B．−2 C．2或−2 D．16或−16
【题型5 由平方根的概念解方程】
【例5】（23-24七年级·上海徐汇·期中）解方程：12x=−x2−36．
【变式5-1】（23-24七年级·广西钦州·阶段练习）解方程：
(1)4x2=16；
(2)9x2−121=0．
【变式5-2】（23-24七年级·贵州黔南·期中）【变式1】 解方程：
(1)25x2−49=0；
(2) ．
2(x+1) 2−49=1
【变式5-3】（23-24七年级·上海徐汇·期中）解方程： ．
9(2x+1) 2−16(x−2) 2=0
【题型6 由算术平方根的非负性求值】
【例6】（23-24七年级·江西南昌·阶段练习）已知y=❑√x−3+❑√3−x+1，则x+ y的平方根是 ．
【变式6-1】（23-24七年级·湖南长沙·期中）若 为实数，且 ，则 的值为
x,y |x−3)+❑√y+4=0 (x+ y) 2024
（ ）
A．1 B．2024 C．−1 D．−2024
【变式6-2】（23-24七年级·江西新余·期中）（1）已知❑√2x−4 y−5+|2x−3)=0，求x+ y的平方根．
（2）已知a、b满足 ，解关于x的方程 ．
❑√2a+8+|b−❑√3)=0 (a+2)x2−b2=a−1
3
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学科网（北京）股份有限公司【变式6-3】（23-24七年级·浙江杭州·期中）若❑√a−2023+|b+2023)−1=0，其中a，b均为整数，则
a+b= ．
【题型7 估算算术平方根的取值范围】
【例7】（23-24七年级·新疆和田·期中）已知a， b为两个连续的整数，且12的负平方根介于a，b之
间，则a+b=
【变式7-1】（23-24七年级·福建莆田·期末）面积为10的正方形的边长为a，则a的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【变式7-2】（23-24七年级·北京朝阳·期末）将边长分别1和2的长方形如图剪开，拼成一个与长方形面积
相等的正方形，则该正方形的边长最接近整数（ ）
A．4
B．3
C．1
D．0
【变式7-3】（23-24七年级·广东汕头·单元测试）满足−❑√2<x<❑√5的所有整数的和是 ．
【题型8 求算术平方根的整数部分和小数部分】
【例8】（23-24七年级·山东威海·期末）已知❑√17－2的整数部分为a，❑√17+2的整数部分为b，那么b－
a的平方根是 ．
【变式8-1】（23-24七年级·安徽黄山·期中）已知a是❑√13的整数部分，❑√b=3，则❑√ab+54的平方根是
．
【变式8-2】（23-24七年级·广西河池·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题．
例如：∵❑√4<❑√7<❑√9，即2<❑√7<3，∴❑√7的整数部分为2，小数部分为❑√7−2，请解答：
(1)❑√15的整数部分是 ，小数部分是 ；
(2)已知： 小数部分是 ， 小数部分是 ，且 ，请求出满足条件的 的值．
8−❑√15 m 8+❑√15 n (x−1) 2=m+n x
【变式8-3】（23-24七年级·浙江·阶段练习）6−❑√11的小数部分为a，7+❑√11的小数部分为b，则
.
(a+b) 2018=
4
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学科网（北京）股份有限公司【题型9 平方根与数轴的综合】
【例9】（23-24七年级·全国·假期作业）实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简
= ．
|a+b|−❑√b2−❑√(a−b) 2
【变式9-1】（23-24七年级·陕西咸阳·期中）已知a是5的算术平方根，则实数a在如图所示的数轴上的对
应点可能为点 ．（填“A”或“B”或“C”或“D”）
【变式9-2】（23-24七年级·北京·期中）图，面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为
1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且AB＝AE，则点E所表示的数为（ ）
2+❑√7
A．❑√7 B． C．1+❑√7 D．❑√7+2
2
【变式9-3】（23-24七年级·江西南昌·期中）图1是由16个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图
的虚线AB，BC，CD，DA裁剪，剪成一个小正方形ABCD．
(1)在图1中，剪成的小正方形ABCD的面积为________，边AB的长为________；
(2)现将图1水平放置在如图2所示的数轴上，使得小正方形的顶点D与数轴上表示1的点重合，若以点D
为圆心，DA边的长为半径画圆，与数轴交于点E，求点E表示的数．
5
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学科网（北京）股份有限公司【题型10 算术平方根的规律探究】
【例10】（23-24七年级·四川德阳·阶段练习）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：
⋅⋅⋅❑√0.0625❑√0.625 ❑√6.25❑√62.5 ❑√625❑√6250 ❑√62500⋅⋅⋅
⋅⋅⋅0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 ⋅⋅⋅
根据以上规律，若❑√14.4≈3.79,❑√1.44=1.2，则❑√1440=（ ）
A．37.9 B．379 C．12 D．120
❑√2 ❑√3 1 ❑√5
【变式10-1】（23-24七年级·安徽蚌埠·阶段练习）有一列数按如下规律排列：− ， ，− ， ，
2 4 4 16
❑√6 ❑√7
− ， ，…则第10个数是 ，第n个数是 ．
32 64
√ 2 √2 √ 3 √3
【变式10-2】（23-24七年级·广东惠州·阶段练习）观察下列各式：①❑2+ =2❑ ，②❑3+ =3❑ ，
3 3 8 8
√ 4 √ 4
③❑4+ =4❑ ，……，根据以上规律，写出第10个等式： ．
15 15
【变式10-3】（23-24七年级·安徽安庆·期末）观察下列各式：
√ 1 1 1 ①
❑1+ + =1+ …
12 22 1×2
√ 1 1 1 ②
❑1+ + =1+ …
22 32 2×3
√ 1 1 1 ③
❑1+ + =1+ …
32 42 3×4
请利用你所发现的规律，解决下列问题：
(1)发现规律√ 1 1 = ；
❑1+ +
42 52
(2)计算√ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 ．
❑1+ + +❑1+ + +❑1+ + +…+❑1+ +
12 22 22 32 32 42 20232 20242
6
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