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2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优题典【人教版】
专题8.3实际问题与二元一次方程组专项提升训练（重难点培优）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2022春•东莞市期中）植树节，101班学生共种树80棵，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，男
生人数是女生的2倍．设男生有x人，女生有y人，根据题意，可列方程组为（ ）
{ x=2y { y=2x
A． B．
3x+2y=80 3x+2y=80
{x+ y=80 {x+ y=80
C． D．
x=2y 3x=2y
【分析】根据题意可得等量关系：①女生人数×2＝男生人数；②男生种树的总棵数+女生种树的总棵
数＝80棵，根据等量关系列出方程组即可．
{ x=2y
【解答】解：根据题意得： ．
3x+2y=80
故选：A．
2．（2022春•鹿城区校级期中）在学校组织的图书跳蚤市场上，小明先以 5元1本的价格买了x本书，后
来同学们进行促销活动，小明又以1元2本的价格买了y本书，最后小明发现自己买了15本书，共花去
43元，则可列方程组（ ）
{
x+ y=15
{ x+ y=15
A． 1 B．
5x+ y=43 5x+2y=43
2
{
x+ y=15
{
x+ y=15
C． 1 D． 1 1
x+2y=43 x+ y=43
5 5 2
【分析】根据“第一次购买数量+第二次购买数量＝15本、第一次购买花销+第二次购买花销＝43元”
列出方程组即可．
{
x+ y=15
【解答】解：根据题意，得 1 ．
5x+ y=43
2
故选：A．3．（2021秋•肥东县期末）现有57张铁皮盒子，每张铁皮做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底
配成一个盒子设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，则可列方程组为（ ）
{ x+ y=57 { x+ y=57
A． B．
2×8x=22y 2×22y=8x
{x+2y=57 { x+2y=57
C． D．
8x=22y 2×8x=22y
【分析】此题中的等量关系有：①共有57张铁皮；②做的盒底数等于盒身数的2倍时才能正好配套．
【解答】解：根据共有57张铁皮，得方程x+y＝57；
根据做的盒底数等于盒身数的2倍时才能正好配套，得方程2×8x＝22y．
{ x+ y=57
列方程组为 ．
2×8x=22y
故选：A．
4．（2021秋•包头期末）如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个
小长方形墙砖的长和宽分别为xcm和ycm，则依题意可列方程组为（ ）
{x+2y=25， {x+2y=25，
A． B．
y=3x； x=3 y；
{2x+ y=25 {2x+ y=25，
C． D．
x=3 y y=3x.
【分析】根据图示可得：矩形的宽可以表示为（x+2y）厘米，宽又是25厘米，故x+2y＝25，矩的长可
以表示为2x，或x+3y，故2x＝3y+x，整理得x＝3y，联立两个方程即可．
{x+2y=25
【解答】解：根据图示可得： ．
x=3 y
故选：B．
5．（2022春•鹿城区校级期中）《九章算术》中记载：“今有大器五、小器一容三斛：大器一、小器五容
二斛，问大小器各容几何？”译文：“今有大容器5个、小容器1个，总容量为3斛；大容器1个、小
容器5个，总容量为2斛．问大小容器的容器各是多少斛？”设1个大容器的容积为x斛，1个小容器
的容积y斛，则根据题意可列方程组（ ）{5x+ y=3 { x+3 y=3
A． B．
x=2+5 y 5x+2y=2
{5x+ y=3 {5x+ y=2
C． D．
x+5 y=2 x=3+5 y
【分析】根据“大容器5个、小容器1个，总容量为3斛；大容器1个、小容器5个，总容量为2斛”，
即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵大容器5个、小容器1个，总容量为3斛，
∴5x+y＝3；
∵大容器1个、小容器5个，总容量为2斛，
∴x+5y＝2．
{5x+ y=3
∴所列方程组为 ．
x+5 y=2
故选：C．
6．（2022•九龙坡区校级开学）《孙子算经》中有这样一个数学问题：今有木，不知长短，引绳度之，余
绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余 4.5尺；
将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？小明同学准备用二元一次方程组解决这个问题，
他已列出一个方程是x﹣y＝4.5，则符合题意的另一个方程是（ ）
1 1
A． x+1＝y B．2x+1＝y C． x﹣1＝y D．2x﹣1＝y
2 2
1
【分析】本题的等量关系是：绳长﹣木长＝4.5； 绳长+1＝木长，据此可列方程组求解．
2
【解答】解：设绳长x尺，木长为y尺，
{x−y=4.5
依题意得： 1 ．
x+1= y
2
故选：A．
7．（2022•鼓楼区校级开学）三角形然幻方是锻炼思维的有趣数学问题，例：把数字1、2、3、…、9分别
填入如图所示的9个圆圈内，要求△ABC和△DEF的每条边上三个圆圈内数字之和都等于18，则x+y+z
的和是（ ）A．6 B．15 C．18 D．24
【分析】把填入A，B，C三处圈内的三个数之和记为a；D，E，F三处圈内的三个数之和记为b；其余
三个圈所填的数位之和为c．结合图形和已知条件得到方程组，进而求得a即可．
【解答】解：把填入A，B，C三处圈内的三个数之和记为a；
D，E，F三处圈内的三个数之和记为b；
其余三个圈所填的数位之和为c．
显然有a+b+c＝1+2+…+9＝45①，
图中六条边，每条边上三个圈中之数的和为18，所以有c+3b+2a＝6×18＝108②，
②﹣①，得a+2b＝108﹣45＝63③，
把AB，BC，CA每一边上三个圈中的数的和相加，则可得2a+b＝3×18＝54④，
联立③，④，解得a＝15，b＝24，
则x+y+z＝15．
故选：B．
8．（2022春•德化县期中）小青的爸爸到网上购买北京2022年冬奥会会徽和吉祥物冰墩墩徽章组合套装
奥运纪念品，第一次他购买了2件该奥运纪念品，加上快递费共付款213元；因为大家都很喜爱该纪念
品，于是第二次他购买了5件该奥运纪念品，且快递费与第一次购买时的相同，共付款 510元，则两次
的快递费一共为（ ）
A．15元 B．30元 C．45元 D．60元【分析】根据“快递费与第一次购买时的相同”可列出相应的一元一次方程组，分析计算即可．
【解答】解：设一件奥运纪念品为x元，快递费为y元，根据题意得：
{2x+ y=213
，
5x+ y=510
{x=99
解得： ，
y=15
则两次的快递费一共为2×15＝30（元）．
故选：B．
9．（2022•前进区校级开学）为了丰富学生的课余生活，某校开展了丰富多彩的体育活动．某班家长委员
会为学生购买跳绳30元/根和45元/根的两种跳绳，购买跳绳共花费450元钱，共有（ ）种购买方
案．
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】可设购买30元/根的跳绳x根，45元/根的跳绳y根，根据购买跳绳共花费450元钱，列出方程，
再根据整数的性质即可求解．
【解答】解：设购买30元/根的跳绳x根，45元/根的跳绳y根，依题意有：
30x+45y＝450，即2x+3y＝30，
∵x，y均为非负整数，
∴x＝0，y＝10或x＝3，y＝8或x＝6，y＝6或x＝9，y＝4或x＝12，y＝2或x＝15，y＝0，共有6种购
买方案．
故选：A．
10．（2022春•阜平县期末）如图，在长为30米，宽为20米的长方形花园里，原有两条面积相等的小路，
其余部分绿化．现在为了增加绿地面积，把公园里的一条小路改为绿地，只保留另一条小路，并且使得
绿地面积是小路面积的4倍，则x与y的值分别为（ ）
A．3，2 B．5，4 C．6，5 D．6，4
【分析】由题意：在长为30米，宽为20米的长方形花园里，原有两条面积相等的小路，把公园里的一
条小路改为绿地，只保留另一条小路，并且使得绿地面积是小路面积的4倍，列出二元一次方程组，解方程组即可．
{ 20x=30 y
【解答】解：由题意可知： ，
30×20−30 y=30 y×4
{x=6
解得： ，
y=4
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2022秋•武侯区校级期中）一个三位数，十位数字比个位数字大 1，百位数字是个位数字的2倍，把
百位数字与个位数字对调，得到的三位数比原来的三位数小297，则原三位数为 64 3 ．
【分析】设原三位数的个位数字为x，十位数字为y，则百位数字为2x，由题意：十位数字比个位数字
大1，把百位数字与个位数字对调，得到的三位数比原来的三位数小 297，列出二元一次方程组，解方
程组即可．
【解答】解：设原三位数的个位数字为x，十位数字为y，则百位数字为2x，
{ y=x+1
由题意得： ，
100×2x+10 y+x−(100x+10 y+2x)=297
{x=3
解得： ，
y=4
∴2x＝6，
即原三位数为643，
故答案为：643．
12．（2022秋•雁塔区校级期中）《九章算术》中记载了一个问题，“今有共买物，人出八，盈三；人出
七，不足四．问人数、物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出 8元，多3元；每
人出7元，少4元，问有 7 人，该物品价值 5 3 元．
【分析】设有x人，该物品价值y元，根据“每人出8元，多3元；每人出7元，少4元”，即可得出
关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设有x人，该物品价值y元，
{8x−y=3
依题意得： ，
y−7x=4
{ x=7
解得： ，
y=53
∴有7人，该物品价值53元．
故答案为：7；53．
13．（2022秋•海淀区校级期中）如图所示为两个形状、大小一样的小长方形拼接而成的图形．已知 AB＝5，CD＝3，则小长方形的面积为 4 ．
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据各边之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，
解之即可得出x，y的值，再将其代入xy中即可求出结论．
【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，
{x+ y=5
依题意得： ，
x−y=3
{x=4
解得： ，
y=1
∴xy＝4×1＝4，
∴小长方形的面积为4．
故答案为：4．
14．（2022秋•杏花岭区校级月考）某工厂去年的总产值比总支出多500万元，而今年计划的总产值比总
支出多950万元，已知今年计划总产值比去年增加15%，而计划总支出比去年减少10%，求去年计划的
总产值和总支出各是多少万元？解：设去年计划的总产值、总支出分别是x万元、y万元，根据题意，
{ x−y=500
可列方程组 ．
(1+15%)x−(1−10%)y=950
【分析】设去年计划的总产值是x万元，总支出y万元．根据“去年的总产值比总支出多500万元，今
年的总产值比去年增加15%，总支出比去年节约10%，总产值比总支出多950万元”，列方程组即可．
【解答】解：根据题意得，
{ x−y=500
．
(1+15%)x−(1−10%)y=950
{ x−y=500
故答案为： ．
(1+15%)x−(1−10%)y=950
15．（2022春•重庆月考）小明今年五一节去逛水果超市，他分两次购进了A、B两种不同单价的水果．第
一次购买A种水果的数量比B种水果的数量多50%，第二次购买A种水果的数量比第一次购买A种水果
的数量少60%，结果第二次购买水果的总数量比第一次购买水果的总数量多20%，且第二次购买A、B
水果的总费用比第一次购买A、B水果的总费用少10%（两次购买中A、B两种水果的单价不变），则B1
种水果的单价与A种水果的单价的比值是 ．
2
【分析】设第一次购买B种水果数量为x千克，用x分别表示第一次购买A种水果的数量和第二次购买
两种水果的数量．再分别设两种水果的单价为a元和b元，然后由两次购买价钱的等量关系列方程，即
可解决问题．
【解答】解：设第一次购买B种水果数量为x千克，
3
∴第一次购买A种水果的数量为：（1+50%）x= x（千克），
2
3 3 2 3
∴第二次购买A种水果数量为： x（1﹣60%）= x• = x（千克），
2 2 5 5
3 5 6
∴第二次购买水果的总数量为：（ x+x）（1+20%）= x• =3x（千克），
2 2 5
3 12
∴第二次购买B种水果数量为：3x− x= x（千克），
5 5
设A种水果单价为a元，B种水果单价为b元，
3 3 12
依题意得：（a• x+bx）（1﹣10%）＝a• x+b• x，
2 5 5
整理得：a＝2b，
b 1
∴ = ，
a 2
1
即B水果的单价与A水果的单价的比值是 ，
2
1
故答案为： ．
2
16．（2022秋•锡山区校级月考）1瓶水倒满7个大杯和6个小杯后，还余30克的水；或倒满9个大杯和4
个小杯后，还余10克的水，这瓶水可以倒满 1 0 个大杯和 3 个小杯后，没有剩余．
【分析】设每个大杯可装水x克，每个小杯可装水y克，根据这瓶水的总量没变，即可得出关于x，y的
二元一次方程，变形可可得出x＝y+10，进而可得出这瓶水可以倒满10个大杯和3个小杯后，没有剩余．
【解答】解：设每个大杯可装水x克，每个小杯可装水y克，
依题意得：7x+6y+30＝9x+4y+10，
∴x＝y+10，
∴增加1个大杯减少1个小杯时，剩余的水减少10克，
∴这瓶水可以倒满10个大杯和3个小杯后，没有剩余．
17．（2022•巴南区自主招生）某公司需要到指定超市采购矿泉水和功能饮料，3月采购24箱矿泉水和32箱功能饮料花费3480元，4月采购32箱矿泉水和24箱功能饮料花费3240元，5月份该指定超市中该款
矿泉水和功能饮料有部分因保质期临近进行打六折促销，公司根据实际购买了原价或打折矿泉水和功能
1
饮料，共花费2850元，其中打折的矿泉水箱数是5月份购买所有矿泉水和功能饮料总箱数的 ，5月份
4
购买所有矿泉水和功能饮料共 6 0 箱．
【分析】先求出矿泉水每箱45元，功能饮料每箱75元；再设矿泉水与功能饮料总箱数为a箱，则打折
1 3
的矿泉水箱数为 a箱，设原价功能饮料为b箱，则打折功能饮料与原价矿泉水共有（ a﹣b）箱，由
4 4
题意列出方程，求出正整数解，进而求解即可．
【解答】解：设矿泉水一箱x元，功能饮料一箱y元，
{24x+32y=3480
由题意得： ，
32x+24 y=3240
{x=45
解得： ，
y=75
矿泉水每箱45元，功能饮料每箱75元，
1
设矿泉水与功能饮料总箱数为a箱，则打折的矿泉水箱数为 a箱，
4
打折矿泉水价格为：45×0.6＝27（元），打折功能饮料价格为：75×0.6＝45（元），
即打折功能饮料价格与矿泉水原价相同，
3
设原价功能饮料为b箱，则打折功能饮料与原价矿泉水共有（ a﹣b）箱，
4
1 3
由题意得：27× a+45×（ a﹣b）+75b＝2850，
4 4
整理得：27a+20b＝1900，
∵a、b均为正整数，
{a=20 {a=40 {a=60
∴ 或 或 ，
b=68 b=41 b=14
当b＝68时，75×68＝5100＞2850，不合题意舍去；
当b＝41时，75×41＝3075＞2850，不合题意舍去；
当b＝14时，75×14＝1050＜2850，符合题意；
5月份购买所有矿泉水和功能饮料共60箱．
故答案为：60．
18．（2022•宁夏）《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”题目大意是：今有人合伙购物，每人出八钱，余三钱；每人出七钱，差四钱．问：人数、
{8x−y=3
物价各多少？设有x人，物价为y钱，则可列方程组为 ．
y−7x=4
【分析】根据“每人出八钱，余三钱；每人出七钱，差四钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组
此题得解．
【解答】解：∵每人出八钱，余三钱，
∴8x﹣y＝3；
∵每人出七钱，差四钱，
∴y﹣7x＝4．
{8x−y=3
∴可列方程组为 ．
y−7x=4
{8x−y=3
故答案为： ．
y−7x=4
三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022秋•东莞市校级期中）某校三年共购买计算机210台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买
数量又是去年的2倍，前年这个学校买了多少台计算机？（列方程求解）
【分析】设前年这个学校前年买了x台计算机，由前年购买计算机台数+去年购买计算机台数+今年购买
计算机台数＝210．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设前年这个学校前年购买x台计算机，去年购买了y台计算机，则今年购买2y台计算机，
{ y=2x
根据题意得： ，
x+ y+2y=210
{x=30
解得： ，
y=60
答：前年这个学校购买30台计算机．
20．（2022春•龙马潭区月考）在某超市买6件A商品和3件B商品需要54元，买3件A商品和4件B商
品需要32元．为了促销，此超市决定对A、B两种商品打折出售，A、B两种商品均打8折出售，此时
小明买50件A商品和40件B商品，需要付多少钱？
【分析】设A商品的售价为x元，B商品的售价为y元，由题意：买6件A商品和3件B商品需要54元，
买3件A商品和4件B商品需要32元．列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题．
【解答】解：设A商品的售价为x元，B商品的售价为y元，
{6x+3 y=54
根据题意得： ，
3x+4 y=32{x=8
解得： ，
y=2
则0.8×（8×50+2×40）＝384，
答：打折后，小明买50件A商品和40件B商品，需要付384元钱．
21．（2022春•龙华区校级月考）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥
梁和隧道全长共55km，其中桥梁长度比隧道长度的9倍少5km，求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．
【分析】设港珠澳大桥隧道长度为xkm，桥梁长度为ykm．由题意：桥梁和隧道全长共55km，其中桥梁
长度比隧道长度的9倍少5km，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设港珠澳大桥隧道长度为xkm，桥梁长度为ykm．
{x+ y=55
由题意列方程组得： ，
y=9x−5
{ x=6
解得： ，
y=49
答：港珠澳大桥隧道长度为6km，桥梁长度为49km．
22．（2022春•鼓楼区校级期中）某商场上周购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融两
种毛绒玩具共100个，共花去12000元，这两种吉祥物毛绒玩具的进价、售价如下表：
（1）求冰墩墩、雪容融这两种毛绒玩具分别购进了多少个？
（2）上周五售出这两种吉祥物毛绒玩具，共获得利210元．那么这一天售出的冰墩墩、雪容融这两种
毛绒玩具分别是多少个？
进价（元/个） 售价（元/个）
冰墩墩 150 195
雪容融 75 105
【分析】（1）设购进冰墩墩毛绒玩具x个，雪容融毛绒玩具y个，利用总价＝单价×数量，结合购进两
种毛绒玩具共100个且共花去12000元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设售出冰墩墩毛绒玩具m个，雪容融毛绒玩具n个，利用总利润＝每个的销售利润×销售数量，即
可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论．
【解答】解：（1）设购进冰墩墩毛绒玩具x个，雪容融毛绒玩具y个，
{ x+ y=100
依题意得： ，
150x+75 y=12000
{x=60
解得： ．
y=40
答：购进冰墩墩毛绒玩具60个，雪容融毛绒玩具40个．（2）设售出冰墩墩毛绒玩具m个，雪容融毛绒玩具n个，
依题意得：（195﹣150）m+（105﹣75）n＝210，
3
∴n＝7− m．
2
又∵m，n均为正整数，
{m=2 {m=4
∴ 或 ．
n=4 n=1
答：售出冰墩墩毛绒玩具2个，雪容融毛绒玩具4个或售出冰墩墩毛绒玩具4个，雪容融毛绒玩具1个．
23．（2022春•东莞市期中）学校6名教师和234名学生集体外出活动，准备租用45座大客车或30座小客
车，若租用1辆大客车、2辆小客车共需租车费1000元；若租用2辆大客车、1辆小客车共需租车费
1100元．
（1）求每辆大、小客车的租车费各是多少元？
（2）怎样租车，正好坐满？写出所有的可能性．（请列方程解答）．
【分析】（1）设大车每辆的租车费是x元，小车每辆的租车费是y元．由题意：若租用1辆大客车、2
辆小客车共需租车费1000元；若租用2辆大客车、1辆小客车共需租车费1100元．列出二元一次方程
组，解方程组即可；
（2）设租用45座大客车m辆，30座小客车n辆，由题意：正好坐满学校6名教师和234名学生集体外
出活动，列出二元一次方程，求出非负整数解，即可解决问题．
【解答】解：（1）设大车每辆的租车费是x元，小车每辆的租车费是y元．
{x+2y=1000
由题意得： ，
2x+ y=1100
{x=400
解得： ，
y=300
答：每辆大车的租车费是400元，每辆小车的租车费是300元；
（2）设租用45座大客车m辆，30座小客车n辆，
由题意得：45m+30n＝234+6，
3
整理得：n＝8− m，
2
∵m、n为非负整数，
{m=0 {m=2 {m=4
∴ 或 或 ，
n=8 n=5 n=2
∴共有三种租车方案：①租用30座小客车8辆；②租用45座大客车2辆，30座小客车5辆；③租用
45座大客车4辆，30座小客车2辆．24．（2022春•永春县期中）如图甲所示的A型（1×1）正方形板材和B型（3×1）长方形板材，可用于制
作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．已知板材每平方米20元．
（1）若用7800元的资金去购买A、B两种型号板材，并全部制作竖式箱子，问可以制作竖式箱子多少
只？
（2）若有A型板材67张、B型板材135张，用这批板材制作两种类型的箱子共40只，问有哪几种制作
方案？
【分析】（1）设购买A型板材x张，购买B型板材y张，则可制作竖式无盖箱子x只，由题意：用
7800元的资金去购买A、B两种型号板材，并全部制作竖式箱子，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设制作竖式箱子a只，横式箱子b只，由题意：有A型板材67张、B型板材135张，用这批板材
制作两种类型的箱子共40只，列出一元一次不等式组，解得13≤a≤15，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵板材每平方米20元，
∴A型板材每张20元，B型板材每张20×3＝60（元），
设购买A型板材x张，购买B型板材y张，则可制作竖式无盖箱子x只，
{ y=4x
由题意得： ，
20x+60 y=7800
{ x=30
解答： ，
y=120
答：可以制作竖式箱子30只；
（2）设制作竖式箱子a只，横式箱子b只，
则a+b＝40，
由题意得：{ a+2(40−a)≤67 ，
4a+3(40−a)≤135
解得：13≤a≤15，
∵a为正整数，
∴a＝13或a＝14或a＝15，则b＝27或a＝26或a＝25，
∴有3种制作方案：
①制作竖式箱子13只，横式箱子27只；
②制作竖式箱子14只，横式箱子26只；
③制作竖式箱子15只，横式箱子25只．
