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第11 章 三角形（单元测试·培优卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，自行车的主要结构设计成三角形，其依据是（ ）
A．两点之间线段最短 B．三角形的内角和是180°
C．节省材料 D．三角形的稳定性
2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．3、3、7 B．4、5、9 C．7、12、17 D．5、8、15
3．如图， 的三边长均为整数，且周长为24， 是边 上的中线， 的周长比 的
周长大3，则 长的可能值有（ ）个．
A．7 B．5 C．6 D．4
4．如图，在 中， ， 为 的中点，连接 并延长，交 于点 ，过点 作
于点 ，延长 交 于点 .下面说法错误的是（ ）
A． 是 的角平分线 B． 是 的边 上的高线
C． 是 的角平分线和高线 D． 是 的边 上的中线
5．如图，在 中， 的三等分线 、 与 的三等分线 、 分别交于点D、E，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在 中， ， ， ， ，连接 ， ，则 的度数是
（ ）
A． B． C． D．
7．如图，长方形纸片 ，点 、 分别在边 、 上，连接 ，分别将 ， 对折，
使 、 分别落在直线 上的点 和 处，折痕分别为 、 ，若 ，则 的度数
为（ ）
A． B． C． D．
8．两个直角三角板如图摆放，其中 ， ， ．若 ，则
的度数为（ ）A． B． C． D．
9．如图，在 中， 平分 ，点E在 的延长线上，过点E作 于点F．若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图1，2，3． ， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如果一个正n多边形的内角和是它外角和的两倍，则n的值为 ．
12．已知 ， ， 为 的三边长， ， 满足 ，且 为方程 的解，则
的周长为 ．
13．如图， ， 平分 ， 平分 ，则 °.14．如图，在三角形 中，点D，H，E分别是边 ， ， 上的点，连接 ， ，F为
上一点，连接 ，若 ， ， ．则 的度数为 ．
15．如图，已知， ，点 为平面内一点， 于 ，过点 作 于点 ，点 、
点 在 上，连接 、 、 ， 平分 ， 平分 ，若 ，
，则 的度数为 ．
16．如图，在 中， 为中线，E为 上一点， ，连接 与 交于点O，若 的
面积为18，则 的面积为 ．
17．如图， 中， ，点F是边 上一点，点E在边 上运动，将 沿直线 翻折得
到 ，连接 ，当 时，则 ．18．如图，在 中， 为 的外角， 与 的平分线交于点
与 的平分线交于点 与 的平分线相交于点 ，当两条角平分线无交
点时，则 的值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）已知如图， ， ．
（1）试判断 与 的位置关系，并说明理由；
（2）若 于点 ，若 平分 ， ，求 的度数．
20．（8分）如图，在 中， 、 分别为 的中线和高， 为 的角平分线．
（1）若 的面积是24， 则 的长是 ；
（2）若 ， ，求 的度数．21．（10分）在 中， ，D为直线 上任意一点，连结 ， 于点E，
于点F．
【画图】（1）如图①，当点D在边 上时，请画出 中 边上的高 ；
【探究】（2）如图①，通过观察、测量，你猜想 之间的数量关系为__________；为了说明
之间的数关系，小明是这样做的：
证明：∵ __________ ，
∴ __________．
∵ ，∴__________．
【运用】（3）如图②，当点D为 中点时，试判断 与 的数量关系，并说明理由．
【拓展】（4）如图③，当点D在 的延长线上时，请直接写出 之间的数量关系．
22．（10分）如图，在四边形 中， ， ．（1）如图1，若 ，则 ________度；
（2）如图2，若 的平分线 交 于点 ，且 ，试求出 的度数；
（3）①如图3．若 和 的平分线交于点 ，试求出 的度数；
②如图4， 为五边形 内一点： ， 分别平分 ， ，请直接写出 与
的数量关系．
23．（10分）如图，在 中， ， ， ，点 是 的中点，动点 从 点
出发，先以每秒 的速度沿 运动，然后以 的速度沿 运动．若设点 运动的时间是
秒，那么当 取何值时， 的面积等于10？
24．（12分）综合与探究
【问题发现】
在延时服务课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题．
（1）数学课代表发现在图1中，若 与 的平分线交于点P，则 与 之间存在一定的数量关系，下面是不完整的探究过程，请补充完整．
， 分别是 和 的平分线，
， ．
，
，
……
【问题探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，作 的外角 ， 的平分线交于点Q，试说明
．
【问题拓展】
（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段 ， 交于点E，在 中．
①请说明 与 之间的数量关系．
②当 与 两锐角存在2倍的数量关系时，直接写出 的度数．参考答案：
1．D
【分析】本题考查生活中数学知识的应用，熟记三角形的稳定性是解决问题的关键．
【详解】解：自行车的主要结构设计成三角形，其依据是三角形的稳定性，
故选：D．
2．C
【分析】根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，判断即可．
【详解】解：A、 ，不满足三角形的三边的基本关系，故该选项错误；
B、 ，不满足三角形的三边的基本关系，故该选项错误；
C、 ，满足三角形的三边的基本关系，故该选项正确；
D、 ，不满足三角形的三边的基本关系，故该选项错误；
故选：C．
【点拨】本题考查对三角形的三边的基本关系的理解和运用，熟记知识点是关键．
3．D
【分析】依据 的周长为24， 的周长比 的周长大3，可得 ，再根据 的
三边长均为整数，即可得到 整数值．
【详解】解： 是边 上的中线，
，
的周长为24， 的周长比 的周长大3，
，
解得 ，
又 的三边长均为整数， 的周长比 的周长大3，
为整数，
边长为奇数，
，7，9，11，
即 的长可能值有4个，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两
边之差小于第三边．
4．D【分析】根据三角形的中线、角平分线、高的定义进行判断即可．
【详解】解：A． ，则 是 的角平分线，故选项正确，不符合题意；
B． 于点 ，则 是 的边 上的高线，故选项正确，不符合题意；
C． ， 于点 ，则 是 的角平分线和高线，故选项正确，不符合题意；
D．无法判断 是 的边 上的中线，故选项错误，符合题意．
故选：D．
【点拨】此题考查了三角形的中线、角平分线、高，熟练掌握三角形的中线、角平分线、高的定义是解题
的关键．
5．B
【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形的内角和定理，角平
分线的定义；
根据三角形内角和定理求出 ，再根据三等分线求出 可解答．
【详解】解：∵ ，
的三等分线 、 与 的三等分线 、 分别交于点D、E，，
， ，
∴
∵在 中， °，
∴ ，
故选：B．
6．A
【分析】延长 交 于点 ，根据 ， 利用三角形和为 ，求得 ，再根据
，可得出 ，再根据 求得 ．
【详解】解：如图，延长 交 于点 ，， ，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点拨】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，作出辅助线是解决本题的关键．
7．C
【分析】此题主要考查了图形的折叠变换及性质，设 ，由折叠的性质得： ，
，则 ， ，再由平角的定义得 ，则
，由此解出 即可得出 的度数．
【详解】解：设 ，
由折叠的性质得： ， ，
， ，
，
，
解得： ，
．
故选：C．
8．B
【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形中两锐角互余的性质，熟练掌握其内容是解题的关键．由
， 可得 ，根据 ，可得 ，而 ，由此可
求出 ．【详解】解： ， ，
，
，
，
，
．
故选：B．
9．C
【分析】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，熟练掌握以上知识是
解题的关键．根据垂直的定义得出 ，再根据外角的性质得出
，根据角平分线的性质得出 ，最后根据三角形的外角
的性质得出结果．
【详解】解： ，
，
，
，
，
平分 ，
，
故选：C
10．C
【分析】本题考查三角形内角和定理以及三角形的外角性质，
图1：根据三角形内角和定理求出 的度数，继而得出 的度数，再根据三角形内角和
定理即可求出 的度数；图2：利用三角形的外角性质并结合 ， ，得出
及 ，即可求出 的度数；图3：利用三角形外角的性质并结合 ，
，得出 的度数，根据三角形内角和定理即可求出 的度数，即可求出结论．利用三角形
内角和定理及三角形的外角性质求出 ， ， 的度数是解题的关键．
【详解】解：图1：
∵在 中， ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
图2：
∵ 是 的外角， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 的外角，
∴ ，
∴ ；
图3：
∵ 是 的外角， 是 的外角， ，
∴ ， ，
∴
，
又∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．11．6
【分析】此题考查了多边形内角和与外角和，根据多边形内角和公式 和多边形外角和为 ，
可列方程，再解方程即可．
【详解】解：依题意， ，
解得： ，
故答案为：6．
12．9
【分析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出 、 的值，再解绝对值方程可得 或 ，
进而利用三角形三边关系得出a的值，进而求出 的周长．
【详解】解：∵ ，
∴ 且 ，
∴ 、 ，
∵a为方程 的解，
∴ 或 ，
又 ，
∴ ，
则 的周长为 ，
故答案为：9．
【点拨】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出a的值是解题关键．
13．90
【分析】先根据平行线性质得出 ，再根据角平分线定义进行求解即可.
【详解】∵
∴
∵ 平分 ， 平分
∴
∴
故填：90.
【点拨】本题考查平行线性质和角平分线定义，熟练掌握性质是关键.14．
【分析】由 ， ，得到 ，根据平行线的判定，得到 ，
根据平行线的性质，得到 ，根据三角形内角和定理，求出 的度数，即可求解，
本题考查了，平行线的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
15． /81度
【分析】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角
（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程
思想的运用．先过点B作 ，根据角平分线的定义，得出 ，再设
，根据 ，可得 ，根据
，可得 ，最后解方程组即可得到 ， ，进而得出结论．
【详解】解：过点B作 ，如图：
∵ ，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，∴ ，
设 ，
则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
中，由 ，
可得 ①，
由 ，
可得 ②，
由①②联立方程组，
解得 ，
∴ ．
故答案为： ．
16．
【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，面积与等积变换，等底等高的三角形面积相等，正确分析三
角形各部分之间的关系是解题的关键．
首先根据三角形中线的性质和 得到 ， ，设 ，
然后表示出 ， ，然后根据 列方程求解即可．
【详解】连接
∵在 中， 为中线， 的面积为18，
∴
∵∴ ，
设 ，则 ， ，
∴ ，
∵ 为中线，
∴
∴
解得
∴ ．
故答案为： ．
17． 或
【分析】本题主要考查了图形的翻折，三角形内角和定理，解题关键是分情况讨论．
如图1，由 ， ，得 ， ，得 ，
即可得 ；如图2，同理得 ．
【详解】解：如图1，由 ， ，
得 ， ，
得 ，
得 ；
如图2，同理 ， ，得 ，
得 ；
故答案为： 或 ．
18．3
【分析】本题考查图形变化的规律，三角形内角和定理及整体思想的运用是解题的关键.利用整体思想结合
三角形的内角和定理即可依次求出 的度数，根据发现的规律即可解决问题.
【详解】 ，
，
，
又 和 分别平分 和 ,
, ,
，
，
和 分别平分 和
，
，
，
，同理可得，
，
，
，
∴无法组成三角形，即两条角平分线无交点，
故 的值为 .
故答案为: .
19．(1) ，理由见解析
(2)
【分析】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的概念，直角三角形两锐角互余，
（1）根据平行线的性质和判定求解即可；
（2）首先根据平行线的性质得到 ，然后由角平分线的概念得到
，然后利用直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】（1） ，理由如下：
∵
∴
∵
∴
∴ ；
（2）∵ ，
∴
∵ 平分 ，
∴
∵
∴ ．
20．(1)12(2)
【分析】此题主要考查了三角形的中线、高和角平分线，三角形的内角定理和外角定理，理解三角形的中
线、高和角平分线，熟练掌握三角形的内角定理和外角定理是解决问题的关键．
（1）根据 的面积是24得 ，进而得 ，再根据 为 的中线可得 的长；
（1）先根据三角形外角定理得 ，进而根据角平分线定义得
，然后在 中可求出 ，继而可得 的度数．
【详解】（1） 为 的高， 的面积是24， ，
，
即 ，
，
为 的中线，
，
故答案为：12．
（2） 是 的外角，
，
， ，
，
为 的角平分线，
，
在 中， ，
，
．
21．（1）见详解；（2） ， ， ， ；（3） 与 的数量关
系为 ，理由见解析；（4）
【分析】本题考查了中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积．
（1）过点B作 交 于一点E，即可作答．
（2） ，根据已有的过程结合面积之间的关系列式化简，即可作答．（3）同理得 ，因为点D为 中点，所以 ，结合
，化简得 ，即可作答．
（4）同理结合面积之间的关系列式化简， ，即可作答．
【详解】解：（1）依题意， 边上的高 如图所示：
（2） ；
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）过点B作 交 于一点G，
∵ ，
∴ ，
∵点D为 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ；∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
（4）过点B作 交 于一点 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
则 ，
22．(1)65
(2)
(3)① ，② ，理由见解析
【分析】本题考查了多边形的内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的
关键．
（1）根据四边形内角和为 ，结合已知条件求解即可；
（2）根据平行线的性质得到 的度数，再根据角平分线的定义得到 的度数，进一步根据四边
形内角和定理计算即可得出答案；
（3）①先根据四边形的内角和定理得出 ，由角平分线的定义得出
，再根据三角形内角和定理计算即可得出答案；②由五边形的内角和定理得出
，由角平分线的定义得出 ，即可得出答案．
【详解】（1）解： ， ， ，
，
故答案为： ；
（2）解： ，
，
∴ ，
∵ 的平分线 交 于点 ，
∴ ，
∴ ；
（3）解： 四边形 中，
∴ ，
∵ 和 的平分线交于点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
②∵五边形 的内角和为 ，
∴ ，
∵ 和 的平分线交于点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
23． 或 或
【分析】本题考查了直角三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时灵活运用三角形的面积
公式求解是关键．分为两种情况讨论：当点 在 上时：当点 在 上时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可．
【详解】解：如图1，当点 在 上，
中， ， ， ，点 是 的中点，
， ．
的面积等于10，
，
，
即 ，
．
如图2，当点 在 上，
是 的中点，
．
，
，
当点Ｐ在点Ｅ的左边时， ，
当点Ｐ在点Ｅ的右边时， ．
综上所述，当 或 或 时， 的面积会等于10，故答案为 或 或 ．
24．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）① ，② 或
【分析】本题考查了角平分线的定义．三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它
不相邻的两个内角的和是解题的关键．
（1）先根据角平分线的性质得出 ， ，在有三角形内角和定理得出
，利用等量代换即可得出结论；
（2）先根据角平分线的性质得出 ， ，再由三角形的外角的性质即可得出
结论；
（3）①先根据角平分线的性质得 ， ，
，再根据三角形的内角和定理得出 根据 ，即可得出结论；②延长 至点
F，根据角平分线的定理得出 ，然后分、和 两种情况讨论即可得出结论；
【详解】[问题发现]
（1） ， 分别是 和 的平分线，
， ，
，
，
，
，
；
[问题探究]
（2） ， 分别是 ， 的平分线，， ，
， ，
， ，
，
，
，
由（1）知 ，
，
[问题拓展]
（3）① 是 的平分线， 是 的平分线，
， ，
，
，
，
由（2）知 ，
；
②延长 至点F，
是 的外角 的平分线，
是 的外角 的平分线，，
是 的平分线，
，
即 ，
，
即 ，，
，
在 中 ， 与 都是锐角，
当 时，
，
，
，
，
当 时
，
，
，
，
综上所述， 的度数为 或 ．
