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第8章 实数单元提升卷
【人教版2024】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（23-24七年级·云南昆明·期末）下列说法不正确的是（ ）
1 1
A． 的平方根是± B．(−0.2) 2的平方根是±0.2
36 6
C．−5是❑√25的算术平方根 D．√3−8=−2
【答案】C
【分析】本题主要考查平方根以及算术平方根，立方根的定义，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运
算法则进行计算即可．
1 1
【详解】解： 的平方根是± ，故选项A正确；
36 6
(−0.2) 2的平方根是±0.2，故选项B正确；
5是❑√25的算术平方根，故选项C错误；
√3−8=−2，故选项D正确．
故选C．
2．（3分）（23-24七年级·广西南宁·期末）如图，由27个完全相同的小正方体组成的大正方体的体积为
27，则小正方体的棱长是（ ）
A．1 B．3 C．9 D．27
【答案】A
【分析】本题主要考查了立方根的应用，求得每个小正方体的体积成为解题的关键．
先求出每个小正方体的体积，利用立方根定义求出棱长即可．
【详解】解：根据题意得每个小正方体的体积为27÷27=1，
∴每个小正方体的棱长为√31=1，
故选：A．
1
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学科网（北京）股份有限公司3．（3分）（23-24七年级·湖南长沙·期末）如图，若数轴上点P表示的数为无理数，则该无理数可能是
（ ）
A．2.7 B．❑√2 C．❑√3 D．❑√5
【答案】D
【分析】本题考查了无理数与数轴，估算出❑√2，❑√3，❑√5结合数轴即可得出答案，采用数形结合的思想是
解此题的关键．
【详解】解：解：∵2.7是有理数，1<❑√2<2，1<❑√3<2，2<❑√5<3，
由图可知，点P表示的数为无理数，且点P表示的数在2和3之间，
∴点P表示的无理数为❑√5，
故选：D．
4．（3分）（23-24七年级·河南商丘·期末）若2m−5与3m−15是同一个数的两个不相等的平方根，则这
个数是（ ）
A．3 B．−3 C．16 D．9
【答案】D
【分析】本题考查平方根，由平方根的定义可知同一个数的两个不相等的平方根互为相反数，由此列方程
求出m的值，进而求出2m−5或3m−15的平方即可．
【详解】解：∵ 2m−5与3m−15是同一个数的两个不相等的平方根，
∴ 2m−5=− (3m−15)，
解得m=4，
∴ 2m−5=2×4−5=3，
∴ 32=9，即这个数是9．
故选D．
5．（3分）（23-24七年级·河北廊坊·期末）若 6+❑√5的整数部分是m，小数部分是n，则|n−m)为
（ ）
A．❑√5−10 B．10−❑√5 C．❑√5−2 D．8
【答案】B
【分析】此题考查了无理数的估算，实数的绝对值，先根据无理数估算求出m=8,n=6+❑√5−8=❑√5−2
，再化简绝对值即可.
【详解】解：∵4<5<9
2
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学科网（北京）股份有限公司∴2<❑√5<3
∴8<6+❑√5<9
∴m=8,n=6+❑√5−8=❑√5−2，
∴|n−m)=|❑√5−2−8)=|❑√5−10)=10−❑√5，
故选：B
6．（3分）（23-24七年级·天津南开·期末）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x为16时，输出
的y的值是（ ）
A．8 B．4 C．❑√8 D．❑√2
【答案】D
【分析】本题考查了算术平方根，有理数，无理数的定义，解题的关键是掌握相关的知识．根据数值转换
器，输入x=16进行计算即可．
【详解】解：第1次计算得：❑√16=4，而4是有理数，
第2次计算得：❑√4=2，而2是有理数，
第3次计算得：❑√2，❑√2是无理数，
故选：D．
7．（3分）（23-24七年级·福建福州·期中）若a的算术平方根为17.25，b的立方根为−8.69；x的平方根
为±1.725，y的立方根为86.9，则（ ）
1 1
A．x= a,y=−1000b B．x= a,y=100b
100 100
1 1
C．x=100a,y= a D．x= a,y=−100b
100 1000
【答案】A
【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义求出a、b、x、y的值，再找出关系即可．
【详解】解：∵a的算术平方根为17.25，b的立方根为-8.69，
∴a=297.5625，b=-656.234909．
∵x的平方根为±1.725，y的立方根为86.9，
∴x=2.975625，y=656234.909，
3
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∴x= a,y=−1000b．
100
故选：A．
【点睛】本题考查了对平方根、算术平方根和立方根的运用．解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立
方根的定义．
8．（3分）（23-24七年级·广东珠海·期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正
方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．
【详解】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，
∴大正方形的面积为：9+9=18，
则大正方形的边长为：❑√18，
∵ ，
❑√16<❑√18<❑√4.52
∴4＜❑√18＜4.5，
∴大正方形的边长最接近的整数是4．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键．
9．（3分）（23-24七年级·湖南永州·期末）若xm= y，则记(x,y)=m，例如32=9，于是(3,9)=2．若
(−2,a)=2，(b,8)=3，(c,a)=b，则c的值为（ ）
A．16 B．−2 C．2或−2 D．16或−16
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的乘方，根据题意和有理数的乘方可求出a，b的值，随之问题得解．
【详解】解：∵(−2,a)=2，(b,8)=3，(c,a)=b，
∴ ， ， ，
(−2) 2=a b3=8 cb=a
∴a=4，b=2，
∴c2=4，
4
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学科网（北京）股份有限公司∴c=±2，
故选：C．
1 1 1 1 1 1
10．（3分）（23-24七年级·湖北武汉·阶段练习）若a =1+ + ，a =1+ + ，a =1+ + ，
1 12 22 2 22 32 3 32 42
1 1
a =1+ + …，则❑√a +❑√a +❑√a +…+❑√a 的值为（ ）
4 42 52 1 2 3 2022
2021 2022 2022 2021
A．2021 B．2023 C．2022 D．2022
2022 2023 2023 2022
【答案】C
【分析】先计算a ，a ，a ，⋅⋅⋅，a 的算术平方根，并进行化简即可．
1 2 3 2022
√ 1 3 3 √ 1 1 7 7
【详解】解：∵❑√a =❑1+1+ = = ，❑√a =❑1+ + = = ，⋅⋅⋅，
1 4 2 1×2 2 4 9 6 2×3
2022×2023+1
❑√a = ，
2022 2022×2023
∴❑√a +❑√a +❑√a +…+❑√a
1 2 3 2022
1×2+1 2×3+1 3×4+1 2022×2023+1
= + + +⋅⋅⋅+
1×2 2×3 3×4 2022×2023
1 1 1 1
=1+ +1+ +1+ +⋅⋅⋅+1+
1×2 2×3 3×4 2022×2023
1 1 1 1 1 1 1
=2022+1− + − + − +⋅⋅⋅+ −
2 2 3 3 4 2022 2023
1
=2022+1−
2023
2022
=2022 ．
2023
故选C
【点睛】本题考查了算术平方根和数字的变化类规律问题，分别计算出a ，a ，a ，⋅⋅⋅，a 的算术平
1 2 3 2022
方根是解本题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
√16
11．（3分）（23-24七年级·广东广州·期末）❑ 的平方根是 ；√3−8+❑√25=
81
．
5
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【答案】 ± 3
3
【分析】根据平方根以及立方根的计算法则即可解答；
√16 4 2
【详解】❑ = 的平方根是：± ；
81 9 3
√3−8+❑√25=−2+5=3；
2
故答案为：± ；3．
3
【点睛】该题主要考查了算术平方根、平方根及立方根，解答的关键是熟悉这些概念，注意正负号．
12．（3分）（23-24七年级·福建泉州·期末）在实数 中，最小的实数是 ．
0,(−5) 2,−5,−❑√10
【答案】−5
【分析】此题主要考查了实数的大小比较．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两
个负实数绝对值大的反而小．
根据题意可得，最小的实数为−5 ．
【详解】∵ ， ， ，且 ，
0<(−5) 2 −5<0 −❑√10<0 |−5)>|−❑√10)
∴−5<−❑√10，
∴ ，
−5<−❑√10<0<(−5) 2
∴最小的实数是−5．
故答案为：−5．
√ 49 1 131
13．（3分）（23-24七年级·全国·期中）在❑ 、0.2、 、❑√7、 、√327中，无理数的个数是
100 π 11
．
【答案】2
【分析】根据无理数的定义及常见的无理数的形式即可判定．
√ 49 1 131
【详解】解：在下列各数：❑ 、0.2、 、❑√7、 、√327中，
100 π 11
1
根据无理数的定义可得，无理数有 、❑√7两个．
π
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，解题要注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为
无理数．如π， ，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
6
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学科网（北京）股份有限公司14．（3分）（23-24七年级·甘肃嘉峪关·期末）若 ， 满足 ，则 的值是
x y (x+2) 2+❑√y−18=0 ❑√x+ y
．
【答案】4
【分析】根据非负数的性质求出x，y的值，然后根据算术平方根的定义即可求解．
【详解】解： ，
∵(x+2) 2+❑√y−18=0
∴x+2=0且y−18=0，
即x=−2，y=18，
∴❑√x+ y=❑√−2+18
=❑√16
=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了实数的非负性和算术平方根的定义，根据非负数的性质求出x，y的值是解题的关键．
15．（3分）（23-24七年级·福建福州·期中）如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小
正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为 ．
❑√5−1
【答案】
2
【分析】根据题意可知阴影部分可看作高为1，底为❑√5−1的三角形，求解即可；
【详解】解：大正方形的面积为：❑√5，小正方形的面积为：1；
1 ❑√5−1
阴影部分的面积为： (❑√5−1)×1= ；
2 2
❑√5−1
故答案为： .
2
【点睛】本题主要考查实数混合运算的应用，正确列出算式是解题的关键.
16．（3分）（23-24七年级·浙江温州·期中）若|a−2022)+❑√b+2022=2，其中a，b均为整数，则
|a+b)= ．
【答案】0，2，4
7
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学科网（北京）股份有限公司【分析】先根据绝对值和算术平方根的非负性分三种情况进行讨论得出a，b的值，再代入进行计算即可求
解
【详解】解：∵|a−2022)+❑√b+2022=2，其中a，b均为整数，
又∵|a−2022|≥0，❑√b+2022≥0
①当|a−2022|=0，❑√b+2022=2时，
∴a=2022，b=−2018
∴|a+b)=|2022−2018)=4
②当|a−2022|=1，❑√b+2022=1时，
∴a=2023或a=2021，b=−2021
∴|a+b)=|2023−2021)=2或|a+b)=|2021−2021)=0
③当|a−2022|=2，❑√b+2022=0时，
∴a=2024或a=2020，b=−2022
∴|a+b)=2024−2022=2或|a+b)=|2020−2022)=2
故答案为：4或2或0
【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，得出a、b可能的取值是解决此题的关键，注意分类讨
论的数学思想．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（23-24七年级·内蒙古呼和浩特·期中）求下列式中的x值：
(1)
(x+1) 3+64=0
(2)
(x−1) 2−25=0
【答案】(1)x=−5
(2)x =6，x =−4
1 2
【分析】本题主要考查了平方根，立方根的意义，
（1）利用立方根的意义解答即可；
（2）利用平方根的意义解答即可．
【详解】（1） ，
(x+3) 3=−64
x+1=−4，
x=−5．
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学科网（北京）股份有限公司（2） ，
(x−1) 2=25
x−1=±5，
x−1=5，x−1=−5，
x =6，x =−4．
1 2
18．（6分）（23-24七年级·四川南充·期中）计算：
√1
(1)❑√36−❑√(−3) 2+❑ −√3 8；
4
( 2) 2
(2)4÷ − −❑√64+|1−❑√2)．
3
3
【答案】(1)
2
(2)❑√2
【分析】此题主要考查了实数运算，涉及算术平方根，立方根，绝对值的求解，正确化简各数是解题关
键．
（1）直接利用立方根以及算平方根分别化简得出答案；
（2）直接利用绝对值的性质以及算术平方根的性质分别化简得出答案．
√1
【详解】（1）解：❑√36−❑√(−3) 2+❑ −√3 8
4
1
=6−3+ −2
2
3
= ；
2
( 2) 2
（2）4÷ − −❑√64+|1−❑√2)
3
4
=4÷ −8−(1−❑√2)
9
9
=4× −8−1+❑√2
4
=❑√2．
5
19．（8分）（23-24七年级·浙江温州·期中）现有五个实数：π，−3.5，❑√5，− ，4．其中四个数已经
2
在数轴上分别用A，B，C，D表示．
9
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学科网（北京）股份有限公司(1)点A表示数______；点B表示数______；点D表示数______．
(2)①用圆规在数轴上精确地表示❑√5．（提示：注意观察正方形EFGH的面积）
②将上列五个数按从小到大的顺序用“<”连接．__________________
(3)将上列各数分别填入相应的横线上：
无理数：________________________；
负数：________________________
5
【答案】(1)−3.5；π；−
2
5
(2)①见解析；②−3.5<− <❑√5<π<4
2
5
(3)π，❑√5；−3.5，−
2
【分析】（1）根据数轴上点的特点，结合数轴得出答案即可；
（2）①根据正方形的面积，得出正方形的边长，然后以0所表示的点为圆心，以GF的长为半径画弧，则
此弧与数轴正方向的交点所表示的数为❑√5；
②利用数轴上点的特点进行解答即可；
（3）根据实数的分类方法进行解答即可．
5
【详解】（1）解：点A表示数为−3.5；点B表示数为π；点D表示数为− ．
2
5
故答案为：−3.5；π；− ．
2
（2）解：①如图，
10
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∵正方形的面积为：3×3−4× ×2×1=5，
2
∴正方形的边长GF=❑√5；
5
②根据数轴可知，−3.5<− <❑√5<π<4．
2
5
故答案为：−3.5<− <❑√5<π<4．
2
（3）解：无理数：π，❑√5；
5
负数：−3.5，− ．
2
5
故答案为：π，❑√5；−3.5，− ．
2
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，利用数轴比较大小，实数的分类，解题的
关键是熟练掌握实数与数轴．
20．（8分）（23-24七年级·广西南宁·期中）已知正数x的两个不等的平方根分别是2a−14和a+2，b+1
的立方根为−3，c是❑√17的整数部分．
(1)求x和b的值；
(2)求a−b+c的平方根．
【答案】(1)x和b的值分别为36和−28
(2)±6
【分析】本题考查了平方根，立方根，无理数的整数部分等知识．熟练掌握平方根，立方根，无理数的整
数部分是解题的关键．
（1）由题意知， ， ，可求 ，则 ，然后作答即
2a−14+a+2=0 √3 b+1=−3 a=4，b=−28 x=(a+2) 2=36
可；
（2）由4<❑√17<5，可得c=4，根据a−b+c的平方根为±❑√a−b+c，代值求解即可．
11
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：由题意知，2a−14+a+2=0，√3 b+1=−3，
解得，a=4，b=−28，
∴ ，
x=(a+2) 2=36
∴x和b的值分别为36和−28；
（2）解：∵4<❑√17<5，
∴c=4，
∴a−b+c的平方根为±❑√a−b+c=±❑√4+28+4=±❑√36=±6，
∴a−b+c的平方根为±6．
21．（8分）（23-24七年级·福建福州·阶段练习）某装修公司现有一块面积为64m2的正方形的木板，准备
做装饰材料用，设计师王师傅设计了如下两种方案：
方案一：沿着边的方向裁出一块面积为60m2的长方形装饰材料；
方案二：沿着边的方向裁出一块面积为60m2的长方形装饰材料，且长宽比为4：3．
王师傅设计的两种方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由．
【答案】方案一可行，方案二不可行，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程、算术平方根的实际应用和估算无理数的大小．
先求出正方形的边长为8m，再分别求出两种方案的长方形的长和宽，最后比较大小即可．
【详解】解：方案一可行．
∵正方形木板的面积为64m2，
正方形木板的边长为❑√64=8(m)．
如图所示，沿着EF裁剪，
∵BC=EF=8m，
∴只要使BE=CF=60÷8=7.5(m)就满足条件；
方案二不可行．理由如下：
设所裁长方形装饰材料的长为4xm、宽为3xm，
则4x·3x=60，即12x2=60，
解得x=❑√5（负值已舍去），
∴所裁长方形的长为4❑√5m，
12
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学科网（北京）股份有限公司∵4❑√5>8，
∴所裁长方形的长大于正方形的边长，
∴方案二不可行．
22．（8分）（23-24七年级·河南信阳·期中）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的
乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的
奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1)求√359319．
①由103=1000，1003=1000000，可以确定√359319是 位数；
②由59319的个位上的数是9，可以确定√359319的个位上的数是 ；
③如果划去59319后面的三位319得到数59，而33=27,43=64，可以确定√359319的十位上的数是 ，由
此求得√359319= ．
(2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空：
①√3−117649= ，②√30.531441= ．
【答案】(1)①两；②9；③3；39
(2)①−49；②0.81
【分析】本题主要考查了立方根的概念的运用，解题关键在于比较立方根的大小．
通过比较立方根的大小，即可得出答案．
【详解】（1）解：①∵103=1000，1003=1000000，1000<59319<1000000，
∴10<√359319<100，
∴ √359319是两位数，
故答案为：两；
②∵59319的个位上的数是9，而93=729，
∴个位上都是9，
∴ √359319的个位上的数是9，
故答案为9；
③∵33=27，43=64，27<59<64，
∴ √359319的十位上的数是3，
又∵ √359319的个位上的数是9，
∴ √359319=39，
故答案为：3，39；
13
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学科网（北京）股份有限公司（2）解：①−117649的立方根是负数，
∵103=1000，1003=1000000，1000<117649<1000000，
∴10<√3117649<100，
∴ √3117649是两位数，
∵117649的前三位为117，后三位为649，43=64，53=125，
∴64<117<125，
∴十位上的数为4，
∵117649的个位上的数是9，而93=729，
∴个位上是9，
∴117649的立方根为49，
∴√3−117649=−49；
√ 531441 √3531441
②∵√30.531441=3 = ，
1000000 100
∵∵103=1000，1003=1000000，1000<531441<1000000，
∴10<√3531441<100，
∴ √3531441是两位数，
∵531441的前三位为531，后三位为441，而83=512,93=729，
∴512<531<729，
∴十位数为8，
∵13=1，
∴个位数是1，
∴531441的立方根为81，
√ 531441 √3531441 81
∴√3 0.531441=3 = = =0.81，
1000000 100 100
故答案为：−49，0.81．
23．（8分）（23-24七年级·河南安阳·期末）对于实数 ，我们规定：用符号 表示不大于 的最大整
a [❑√a) ❑√a
数，称 为 的根整数，例如： ， ．
[❑√a) a [❑√9)=3 [❑√10)=3
(1)仿照以上方法计算： ________； =________；
[❑√4)= [❑√37)
(2)若 ，写出满足题意的正整数 的值_________；
[❑√x)=1 x
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学科网（北京）股份有限公司(3)如果我们对 连续求根整数，直到结果为1停止．例如：对10连续求根整数2次，
a [❑√10)=3→[❑√3)=1
，这时候结果为1．那么对400连续求根整数，多少次之后结果为1？请写出你的求解过程．
(4)只需进行2次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是_________．
【答案】(1)2，6；
(2)1，2，3
(3)四次之后结果为1，详见解析
(4)15，详见解析
【分析】本题主要考查了无理数的估算的应用等知识点，
（1）根据题意得22=4，62=36，72=49，则6<❑√37<7，即可得；
（2）根据[❑√x]=1，12=1，22=4，x为正整数，即可得；
（3）根据题意得，第一次：[❑√400]=20；第二次：[❑√20]=4；第三次：[❑√4]=2，第四次：[❑√2]=1，
即可得；
（4）由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，进行1次求根整数运算后结果为3
的正整数最大为15，即可得；
解题的关键是理解题意，掌握无理数的估算．
【详解】（1）∵22=4，62=36，72=49，
∴6<❑√37<7，
∴[❑√4]=2，[❑√37]=6，
故答案为：2，6；
（2）∵[❑√x]=1，12=1，22=4，x为正整数，
∴x=1或x=2或x=3，
故答案为：1，2，3；
（3）∵第一次：[❑√400]=20，
第二次：[❑√20]=4，
第三次：[❑√4]=2，
第四次：[❑√2]=1，
∴第四次之后结果为1；
（4）（4）最大的是15，理由如下，
由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，
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学科网（北京）股份有限公司∵[❑√15]=3，[❑√16]=4，
∴进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，
∴只对一个正整数进行2次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是15，
故答案为：15．
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