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第12 章 全等三角形（单元测试·基础卷）
【要点回顾】
【知识点1】全等三角形的判定与性质
一般三角形 直角三角形
边角边（SAS）
两直角边对应相等
角边角（ASA）
判定 一边一锐角对应相等
角角边（AAS）
斜边、直角边定理（HL）
边边边（SSS）
对应边相等，对应角相等
性质
（其他对应元素也相等，如对应边上的高相等）
备注 判定三角形全等必须有一组对应边相等
【知识点2】全等三角形的证明思路
找夹角SAS
已知两边找直角HL
找另一边SSS
边为角的对边找任一角AAS
找夹角的另一边SAS
已知一边一角
边为角的邻边
找夹边的另一角ASA
找边的对角AAS
找夹边ASA
已知两角
找任一边AAS
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各组中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若 ， ， ，那么 的度数是（ ）
A． B． C． D．3．如图，将两根钢条 的中点O连在一起，使 可以绕着点O自由旋转，就做成了一
个测量工件，则 的长等于内槽宽 ，那么判定 的理由是（ ）
A． B． C． D．
4．下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两个锐角对应相等 B．斜边和一直角边分别对应相等
C．两条直角边分别对应相等 D．一条直角边相等且另一条直角边上的中线对应相等
5．在 中， ， 是 上的一点，且 ，过 作 交 于 ，如
果 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在 ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝ ，则
△
BCE的面积等于（ ）
△
A．3 B． C．4 D．
7．已知线段AB和点C,D,且CA=CB,DA=DB,那么直线CD是线段AB的( )
A．垂线 B．平行线
C．垂直平分线 D．过中点的直线
8．在三角形全等判定定理中，下列哪一个不属于三角形全等判定定理简记（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在△ABC中，D，E是BC边上的两点，AD＝AE，BE＝CD，∠1＝∠2＝110°，∠BAE＝60°，则∠CAE的度数为（ ）
A．50° B．60° C．40° D．20°
10．观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，能得出∠CPD=∠AOB的依据是（ ）
A．由“等边对等角”可得∠CPD=∠AOB
B．由SSS可得△OGH≌△PMN，进而可证∠CPD ∠AOB
C．由SAS可得△OGH≌△PMN，进而可证∠CPD ∠AOB
D．由ASA可得△OGH≌△PMN，进而可证∠CPD ∠AOB
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中 ， ，则 ．
12．如图，是我们七上学过的利用尺规“作一个角等于已知角”的过程，爱思考的小明一直不知道这
样作出的角和已知角为何相等，在学习了三角形全等的证明之后，终于解开了谜团，原来只要证明
△DOC≌△D'O'C'就能得出∠O=∠O'，那么小明证明△DOC≌△D'O'C'的依据是 ．
13．如图，AB，CD相交于点O， ，请你补充一个条件，使得 ，你补充的条
件是 ．14．如图， ， ，将 绕D逆时针旋转90°至 ，连接AE，若
，则 的面积是 ．
15．如图，在 中， ， ， ， 为 边上的高，点E从点B出
发在直线 上以 的速度移动，过点E作 的垂线交直线 于点F，当点E运动 s时，
．
16．如图，点E、F都在线段AB上，分别过点A、B作AB的垂线AD、BC，连接DE、DF、CE、
CF，DF交CE于点G，已知AD＝BE＝7.5，AE＝BF＝CB＝2.5．如果△DEG的面积为S，△CFG的面积
1
为S，则S﹣S＝ ．
2 1 2
17．如图， 是 的中线，延长 至 ，使得 ，连接 ， ，点 在的平分线上，且 ．设 ，则 （用含 、
的式子表示）
18．如图，在等腰直角三角形 中， ， ，D是 边上的一点，过点B，C作
， 分别交 于E，F，若 ， ，则 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，在线段BC上有两点E，F，在线段CB的异侧有两点A，D，且满足 ，
， ，连接AF；
(1) 与 相等吗？请说明理由．
(2) 若 ， ，AF平分 时，求 的度数．
20．（8分）已知：如图所示，在 中， 为中线， 交 分别于 ，如果 ，
求证： ．21．（10分）已知：BE⊥CD于E，BE=DE，BC=DA，
（1）求证： BEC≌△DEA；
（2）求证：△BC⊥FD．
22．（10分）在① ，② ，③ 这三个条件中选择其中一个，补充在下
面的问题中，并完成问题的解答．问题：如图，在 中， ，点 在 边上（不与点 ，点 重合），点 在 边
上（不与点 ，点 重合），连接 ， ， 与 相交于点 ．若______，求证： ．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
23．（10分）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠A的平分线AD交BC于点D，过点
B作BE⊥AD于E．
（1）说明△ACD≌△BCF的理由；
（2）BE与AD的长度关系是 ，请说明理由．
24．（12分）在 中， ，点D是直线BC上一点（点D不与点B，C重合），以AD为一
边在AD的右侧作 ，使 ， ，连接CE．
（1）如图（1），若点D在线段BC上， 和 之间有怎样的数量关系？（不必说明理由）（2）若 ，当点D在射线BC上移动时，如图（2）， 和 之间有怎样的数量
关系？说明理由．
参考答案
1．B
【分析】根据全等图形的定义，逐一判断选项，即可．
解：A、两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故此选项不符合题意；
B、两个图形能完全重合，属于全等图形，故此选项符合题意；
C、两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故此选项不符合题意；
D、两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点拨】本题主要考查全等图形的定义，熟练掌握“能完全重合的两个图形，是全等图形”是解题的
关键．
2．C
【分析】根据三角形内角和定理求出 ，根据全等三角形性质推出 ，即可得出答案．
解： ， ，
，
，
，
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形性质的应用，主要考查学生的推理能力，难度不大．
3．B
【分析】根据全等三角形的判定定理证明即可．
解：在 与 中，
，
∴ ．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
4．A
【分析】根据三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有： 、 、 、 、
，逐条排除即可．
解：A．两锐角对应相等的两个直角三角形，不能判定全等，故此选项符合题意；
B．斜边和一直角边分别对应相等的两个直角三角形，根据 能判定全等，故此选项不符合题意；
C．两条直角边对应相等的两个直角三角形，根据 能判定全等，故此选项不符合题意；
D．一条直角边相等且另一条直角边上的中线对应相等，先根据 ，再用 可判定全等，故此选项
不符合题意．
故选：A．
【点拨】本题考查直角三角形全等的判定方法，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
5．B
【分析】根据 证 ，推出 ，得出 ，代入求
出即可．
解： ，
，
在 和 中，
，
，
，，
故选：B．
【点拨】本题考查了直角三角形全等的性质和判定，注意：全等三角形的对应边相等，判断直角三角
形全等的方法有 ， ， ， ， ．
6．B
【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质定理得到EF=DE= ，根据三角形面积公式计算即可．
解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，ED⊥AB，
∴EF＝DE＝ ，
∴△BCE的面积＝ ×BC×EF＝ ．
故选B.
【点拨】本题考查角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
7．C
【分析】由已知CA=CB根据线段垂直平分线的性质的逆定理可得点C在AB的垂直平分线上，同理得
点D的位置
解：根据线段垂直平分线的性质的逆定理，点C和D都在AB的垂直平分线上，那么直线CD是线段AB
的垂直平分线．
故选C．
【点拨】此题主要考查线段垂直平分线的性质的逆定理：和一条线段的两个端点的距离相等的点，在
这条线段的垂直平分线上．
8．B
【分析】根据全等三角形的判定定理分析判断即可．
解：全等三角形的判定定理分别为：
（1）判定定理1： －三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2： －两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．故C不符合题意；（3）判定定理3： －两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等；
（4）判定定理4： －两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．故A不符合题意；
（5）判定定理5： －斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．故D不符合题意．
全等三角形的判定定理不存在 ．故B符合题意．
故选：B．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定方法是解题的关键．注意： 、
不能判定两个三角形全等．
9．D
【分析】首先根据已知条件可证得∠ADC＝∠AEB，即可证得△ACD≌△ABE（SAS），∠CAD＝∠BAE
＝60°，再根据三角形的内角和定理及外角的性质，即可求得∠CAE的度数．
解：∵∠1＝∠2＝110°，
∴180°﹣∠1＝180°﹣∠2，
∵∠ADC＝∠180°﹣∠1，∠AEB＝180°﹣∠2，
∴∠ADC＝∠AEB，
在△ACD和△ABE中，
，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴∠CAD＝∠BAE＝60°，
∴∠C＝∠1﹣∠CAD＝110°﹣60°＝50°，
∴∠CAE＝180°﹣∠2﹣∠C＝180°﹣110°﹣50°＝20°，
∴∠CAE的度数为20°，
故选：D．
【点拨】此题考查了三角形的内角和定理及外角的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明
△ACD≌△ABE是解题的关键．
10．B
【分析】根据作图的步骤得出两个三角形的三条边对应相等，利用SSS可证 ，从而得
出 ．
解：根据作图过程可知： ， ， ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
【点拨】本题考查了作一个角等于一个已知角，三角形全等的判定和性质，解题的关键是根据作图过
程证明三角形全等．
11．12
【分析】由图形知，所示的图案是由梯形 和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等图形的性
质有 ．
解：由题可知，图中有8个全等的梯形，
所以 ，
故答案为：12．
【点拨】考查了全等图形的性质，本题利用了全等形图形一定重合的性质求解，解题的关键是找清相
互重合的对应边．
12．SSS
【分析】利用基本作图得到OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′，然后根据全等三角形的判定方法进行判断．
解：由作法得OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′，
所以根据“SSS”可判断△DOC≌△D'O'C'．
故答案为：SSS．
【点拨】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已
知角）是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定．
13． （答案不唯一）
【分析】在 与 中，已经有条件： 所以补充 可以利用 证
明两个三角形全等.
解：在 与 中，
所以补充：故答案为：
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定，掌握“利用边边边公理证明两个三角形全等”是解本题的
关键.
14．3
【分析】由旋转可得 ，可求得 ，可求得 的面积．
解：如图，过D作 于点H，过E作 交 的延长线于F，则四边形 是矩形，
，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，且 ，
∴ ，
故答案为：3．
【点拨】本题主要考查旋转的性质，掌握旋转图形是全等图形是解题的关键．
15．2或4
【分析】先证明 ，得出 ，①当点E在射线 上移动时，
，即可求出E移动了 ；②当点E在射线 上移动时，
，即可求出E移动了 ．
解：∵ ，∴ ，
∵ 为 边上的高，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵过点E作 的垂线交直线 于点F，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
①如图，当点E在射线 上移动时， ，
∵点E从点B出发，在直线 上以 的速度移动，
∴E移动了： ；
②当点E在射线 上移动时， ，
∵点E从点B出发，在直线 上以 的速度移动，
∴E移动了： （s）；
综上所述，当点E在射线CB上移动 或 时， ；
故答案为：2或4．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练正确全等三角形的判定和性
质是解题的关键．
16．
【分析】先根据AD＝BE＝7.5，AE＝BF＝CB＝2.5，得到AF＝BE，AD＝AF＝7.5，然后证
△ADE≌△BEC得到S DAE＝S CBE，即可推出S＝S DAF﹣S DAE﹣S EFG，S＝S CBE﹣S EFG﹣
1 2
△ △ △ △ △ △ △
S CBF，则S﹣S＝S DAE+S CBF由此求解即可
1 2
△ △ △
解：∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴∠A=∠B=90°
∵AD＝BE＝7.5，AE＝BF＝CB＝2.5，
∴AF＝BE，
∴AD＝AF＝7.5，
在 ADE和 BEC中，
△ △
，
∴△ADE≌△BEC（SAS），
∴S DAE＝S CBE，
△ △
∵S＝S DAF﹣S DAE﹣S EFG，S＝S CBE﹣S EFG﹣S CBF，
1 2
△ △ △ △ △ △
∴S﹣S＝S DAE+S CBF＝ ．
1 2
△ △
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．17． 或
【分析】先证明△BDC≌△EDA（SAS），可得∠C＝∠EAD，根据三角形的内角和定理表示出∠AFB，
再分射线BF在∠DBC内部，射线BF在∠DBC外部，分别表示出∠DBF，即可表示出∠AFB的度数．
解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝DC，
∵在△BDC和△EDA中 ，
∴△BDC≌△EDA（SAS），
∴∠C＝∠EAD，
∵点F在∠DAE的平分线上，
∴∠FAD＝ ∠EAD＝ ∠C，
∵∠ADB＝α，∠DBC＝β，
∴∠C＝α−β，∠DAB＋∠DBA＝180°−α，
∴∠FAD＝ （α−β），
∴∠AFB＝180°−∠FAB−∠FBA
＝180°−∠DAB−∠DBA−∠FAD−∠FBD
＝180°−（180°−α）− （α−β）−∠FBD
＝ α＋ β−∠FBD
∵∠FBC＝ ∠DBC＝ β，
当射线BF在∠DBC内部时，
∴∠FBD＝ β，
∴∠AFB＝ α＋ β− β＝ α；
当射线BF在∠DBC外部时，则∠FBD＝ β，
∴∠AFB＝ α＋ β− β＝ α−β，
综上，∠AFB＝ α或 α−β，
故答案为： α或 α−β．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义等，熟练掌握
这些知识是解题的关键，本题综合性较强，难度较大．
18．1.2
【分析】由题意易得 ，则有 ，然后可得
，则可证 ，进而可得 ，最后问题可求解．
解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ （AAS），
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为1.2．
【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
19．(1) ，理由见解析；(2)
【分析】（1）由“SSS”可证 AEB≌△DFC，可得结论；
（2）由全等三角形的性质可△得∠AEB＝∠DFC＝20°，可求∠EAB＝120°，由角平分线的性质可求解．
解： ，
理由如下：
∵
∴
在 和 中∴
∴
（2）解：∵
∴
∴
∵ 平分
∴
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．
20．详见解析
【分析】根据点D是BC的中点，延长AD到点G，得到 ，利用全等三角形的对应角相
等，对应边相等进行等量代换，得到 AEF中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE等于EF．
解：证明：延长ED至G，使 △ ，连结GC，
∵在 中， 为中线，
∴BD=CD，
在△ADC和△GDB中，
∴ ，
， ，
，
，．
又 ，
∴ ，
∴ .
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构建全等三角形．
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据已知利用HL即可判定 BEC≌△DEA；
（2）根据第（1）问的结论，利用全等三△角形的对应角相等可得到∠B=∠D，从而不难求得DF⊥BC．
解：证明：（1）∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝∠DEA＝90°，
在Rt BEC与Rt DEA中，
△ △
∵ ，
∴△BEC≌△DEA（HL）；
（2）∵由（1）知， BEC≌△DEA，
∴∠B＝∠D． △
∵∠D+∠DAE＝90°，∠DAE＝∠BAF，
∴∠BAF+∠B＝90°，即DF⊥BC．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，余角的性质定理，（1）熟练掌握三角形的判定定理，
能根据题意筛选出合适的定理去证明是解决此问的关键；（2）本题主要应用“两个锐角互余的三角形是
直角三角形”.
22．见解析
【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可．
解：选择条件①的证明：
因为 ，
所以 ，
又因为 ， ，
所以 ≌ ，
所以 ．
选择条件②的证明：
因为 ，所以 ，
又因为 ， ，
所以 ≌ ，
所以 ．
选择条件③的证明：
因为 ，
所以 ，
又因为 ， ，
所以 ≌ ，
所以
【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定方法，证明两个三角形全等的方法有：SSS，AAS，SAS，
ASA，HL
23．（1）理由见解析；（2） 理由见解析．
【分析】（1）两三角形已经具备一边一角的条件，由已知可再找一角的条件，利用ASA来说明理由；
（2）结合（1）的结论可得到AD=BF，只需判断BF与BE之间的数量关系即可．
解：（1）证明：如图所示，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCF=90°．在 和 中，
（2）BE与AD之间的数量关系是 理由如下：
∵AD平分∠BAC，
在 和 中，
∴AD=BF.
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段的中点的性质等知识点，熟知三角形全等的判定
与性质是解题的基础；作为连续性问题，上一问题的结论对后面问题的提示和帮助作用不可忽视．
24．（1） ；（2） ，理由见解析
【分析】（1）根据题意证明 ，根据三角形的内角和即可求解；
（2）设AD与CE交于F点，根据题意证明 ，根据平角的性质即可求解．
解：（1） ．理由如下：
，
．
， ，，
，
∴ =
∵
∴ ;
（2） ．理由如下：
设AD与CE交于F点．
， ．
， ，
， ．
， ．
， ，
．
【点拨】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．
