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专题九 规律探究问题
一、单选题
1．观察下列三行数：
−2，4，−8，16，−32，64，…；①
0，6，−6，18，−30，66，…；②
−1，2，−4，8，−16，32，…；③
存在这样的一列数，使①②③行对应的这列的三个数的和为642，则应是从左到右对应的列数为（
）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方
形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案
中正方形的个数为（ ）
A．32 B．34 C．37 D．41
3．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻
方的空格中，要求每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等．如图是一个未完成的
幻方．则图中m的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
4．用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第（1）个图案用了9根木棍，第（2）个图案
用了14根木棍，第（3）个图案用了19根木棍，…，按此规律排列，则第（6）个图案用的木棍根数是（ ）
A．39 B．38 C．36 D．34
5．将正整数按一定规律排列如下表：
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12（阴影） 13（阴影） 14（阴影） 15 16
1
17 18 20 21 22 23 24
9
2
25 26 28 29 30 31 32
7
……
平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（ ）
A．2026 B．2040 C．2067 D．2049
6．将正整数按一定规律排列如下表：平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（ ）
A．2026 B．2040 C．2067 D．2049
7．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定的规律摆成下列图形，第一幅图形中
“●”的个数为a ，第二幅图形中的“●”个数为a ，第三幅图形中“●”的个数为a ，…，以此
1 2 3
类推，则a −a 的值为（ ）
15 14A．31 B．30 C．29 D．28
8．幻方，又称纵横图．如图1是由数字1~9九个整数按照一定的规律排列成三行三列的一个方阵，
每一横行、每一竖列以及两条斜线上的点数的和都相等．如图2所示的幻方中给出了三个数，则P
处应该填的数字是（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
9．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一一九宫格．将9个数填入幻
方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻
方．图2是一个未完成的幻方，则A−B的值为（ ）A．−5 B．−6 C．10 D．12
10．观察下列一组图形中的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图
中共有19个点，……，按此规律第5个图中共有点的个数是（ ）
A．31 B．46 C．51 D．66
二、填空题
11．大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如：23=3+5，33=7+9+11，
43=13+15+17+19，…，若m3“分裂”后，其中有一个奇数是2023，则m的值是 ．
12．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入
幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是
一个三阶幻方．如图（2）是一个末完成的三阶幻方，直接写出x的值 ．
13．“算24”是我国民间传统的益智游戏，游戏规则为：随机给出四个数，每个数必用且仅能用一
次，只利用“加号、减号、乘号、除号”（可以重复使用）及括号（含小括号、中括号）连接，使
得四个数的运算结果等于24．如：给出1、2、3、4四个数，则得到24的式子可以是：
(1+2+3)×4=24．
现给出“3、3、8、8”四个数，则得到24的式子可以是 ．
14．如图是用棋子摆成的图案，按照这样的规律摆下去，摆成第6个图案需要棋子的个数为 ．15．按照一定规律排列的n个数−2，4，−8，16，−32，64，…，若最后三个数的和为768，则
n= ．
16．已知|x −1|+(x −2) 2+|x −3|+(x −4) 4+…+|x −2023|+(x −2024) 2024=0，则
1 2 3 4 2023 2024
2x 1−2x 2−2x 3−⋯−2x 2023+2x 2024= ．
17．如图5×5的方格中，第一行已给出4个数据，第一列也给出4个数据，每个空白方格里的数据
都等于它所在行和列所给出的两个数据的积，则所有空白方格中的数据之和为 ．
3.5 7.5 −8.5 −7.5
3.25
−2.6
5.75
−8.4
18．按一定规律排列的单项式：a,−2a1,4a2,−8a3,16a4,−32a5,…，第n个单项式是．
19．我们平常使用的是十进制数，例如1354这个数可以写成1×103+3×102+5×101+4×100，
a0=1(a≠0)．十进制外还有其它进制，都可以和十进制互相转化，例如2进制数1011转化成十进制
为1×23+0×22+1×21+1×20=8+2+1=11，二进制数10011转化成十进制数为 ．
三、解答题
20．观察下面三行数
−2，4，−8，16，−32，64．……；①
1
− ，1，−2，4，−8，16，……；②
2
3，9，−3，2˙1，−27，69，……；③
(1)第一行的第8个数为___________．
(2)观察第一行和第三行每个对应位置数的关系，则第三行的第n个数是___________．
(3)设x、y、z分别是第①、②、③行的第2023个数，求x+8 y−3z的值．
(4)取每行数的第n个数，请判断是否存在这样的三个数的和为−4603．
21．观察下面的三行单项式：
x，2x2，4x3，8x4，16x5，32x6…
−2x，4x2，−8x3，16x4，−32x5，64x6…
2x2，−3x3，5x4，−9x5，17x6，−33x7…
(1)第一行第8个单项式为__________；(2)第二行第n个单项式为__________；
(3)第三行第11个单项式为__________；
1 ( 1)
(4)取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为A，计算当x=− 时，1024 A+ 的值．
2 4
22．图1由若干个小圆圈组成的一个形如正三角形的图案，第1层有1个圆圈，每一层都比上一层
多1个圆圈，一共堆了n层．
（1）如图1所示，第100层有 个小圆圈，从第1层到第n层共有 个小圆圈；
（2）我们自上往下按图2的方式排列一串连续的正整数1，2，3，…，则第20层的第5个数是
；
（3）我们自上往下按图3的方式排列一串整数31，﹣33，35，﹣37，…，则求从第1层到第20层
的所有数的绝对值的和 ．23．如图题2023年11月份的月历，其中“n型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字
（“n型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“n型”覆盖的五
个数字左上角的数为a，数字之和为S ，“十字型”覆盖的五个数字中间数为b，数字之和为S ．
1 2
(1)S =______（用含a式子表示），S =______（用含b式子表示）；
1 2
(2)S +S 的值能否为69，若能求a，b的值，若不能说明理由；
1 2
(3)若S −S =4，则S +S 的最大值为______．
1 2 1 224．观察下面三行数．
−2,4,−8,16,−32，…①
1,−2,4,−8,16，…②
3，12，12，48，48，…③
(1)第①行第6个数是______，第②行第7个数是_______；第③行第7个数是______；
(2)已知3072是其中的数，则它是第_______行的第_______个数，
(3)取每行的第n个数，若这三个数的和是14336，求n的值．25．观察下面三行数：
第一行：−2、4、−8、16、−32、64、……①
第二行：0、6、−6、18、−30、66、……②
第三行：5、−1、11、−13、35、−61、……③
探索他们之间的关系，寻求规律解答下列问题：
(1)直接写出第②行数的第8个数是______；第③行数的第8个数是______；
(2)取第②行的连续三个数，请判断这三个数的和能否为774，并说明理由；
(3)取每一行的第n个数，从上到下依次记作A，B，C，若对于任意的正整数n均有2A−tB+5C为
一个定值，求t的值及这个定值．26．把从1开始的连续的奇数1，3，5，…，2021，2023排成如图所示的数阵，规定从上到下依次
为第1行、第2行、第3行、…，从左到右依次为第1列、第2列、第3列、…
(1)①数阵中排在第6行第1列的数是______，数阵中排在第7行第1列的数是______；②数阵中共有______个数，2023在数阵中排在第______列，数阵中排在第n行第5列的数可用n表示
为______．
(2)按如图所示的方式，用一个“ ”形框框住四个数，设被框的四个数中最小的数为
x，是否存在这样的x，使得被框住的四个数的和为1308？若存在，求出x的值；若不存在，请说明
理由；
(3)数阵中用一个“ ”形框框住的四个数的和记为“S”，直接写出S的最大值与最小
值的差．
27．观察下列三行数，并完成后面的问题：
①−2，4，−8，16，…；②1，−2，4，−8，…
③0，3，−3，9，…；
(1)思考第①行数的规律，写出第7个数字是________；
(2)请观察第③行数和第②行数的关系，直接写出第③行数的第8个数是________；
(3)设x、y、z分别表示第①、②、③行数的第n个数字，求z−x−y的值．28．阅读材料，解答以下问题：
幻方历史悠久，最早出现在夏禹时代的“洛书”，即现在的三阶幻方．例如图1就是一个幻方，它
的每行，每列，每条对角线上的三个数之和都为15，这个和称为幻方和，正中间的数5称为中心数．
(1)如图1，幻方和是中心数的________倍；
(2)如图2，已知幻方和是18，y=3，z=5，请利用（1）的结论，直接写出x的值；
(3)如图3，A，B，C，D，E，F是含字母t的整式，且A=t，B=2t+2．
①若C=3t+1，求整式E（用含t的式子表示）；
②若D=at−1，幻方和是3m，且a，m均为常数，求a和m的值．29．观察下列按一定规律排列的三行数：
第一行：−3，9，−27，81，…；
第二行：−6，6，−30，78，…；
第三行：2，−10，26，−82，….
解答下列问题：
(1)每一行的第5个数分别是_______，_________，___________；
(2)第一行中的某三个相邻数的和为−1701，试求这三个数；
(3)取每行数的第n个数，记其和为m，直接写出这三个数中最大的数与最小的数的差（用含m的式子
表示）．30．如图1是某月的月历
如图2所示的三种方格框（方格框①、方格框②、方格框③），可以框住日历中的三个数，设被这
三种方格框框住的三个数中最大的数都为x．(1)请用含x的式子表示：
第①个方格框中框住的三个数从小到大依次是______，______，x；
第②个方格框中框住的三个数从小到大依次是______，______，x；
第③个方格框中框住的三个数从小到大依次是______，______，x；
(2)设第①个方格框中三数之和为S ，第②个方格框中三数之和为S ，第③个方格框中三数之和为S ，
1 2 3
是否存在这样的x，使得3S +7S =9S ？若能，请求出S ，S ，S 的值；若不能，请说明理由．
1 3 2 1 2 3
31．观察下列三行数，回答下面的问题：(1)请直接写出每一行的第6个数分别是 ， ， ；
(2)取每行数的第m个数，从上到下分别记为a，b，c，则a+b−4c的值为 ；
(3)若用如图的“L”形框圈住4个数，其中最大数与最小数的差为2050，求这四个数中的最小数．32．如图是2023年11月的月历，“T”型、“田”型两个阴影图形分别覆盖其中四个方格（可以重
叠覆盖），设“T”型阴影覆盖的最小数字为a，四个数字之和为S ，“田”型阴影覆盖的最小数字为
1
b，四个数字之和为S ．
2
(1)S 的值能否为79？若能，求a的值；若不能，说明理由；
1
(2)S +S 值能否为51，若能，求a的值；若不能，说明理由；
1 2
(3)若S +S =187，求S −S 的最小值为 （直接写结果）．
1 2 1 233．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入
幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是
一个三阶幻方．
(1)①若m+1，m+2，m+3，m+4，m+5，m+6，m+7，m+8，m+9是三阶幻方中的9个数，
且斜对角线上三个数的和为27，直接写出m的值；
②如图（2）是一个末完成的三阶幻方，直接写出x的值．
(2)如图（3）是一个四阶幻方，每行、每列以及两条斜对角线上的四个数字之和都相等，请分别说
明下面两个等式成立的理由：
①a +a +a +a =b +b +b +b ；
1 2 3 4 1 2 3 4
②a +a =b +b ．
1 2 3 434．观察下列三行数：
(1)请直接写出：
①每一行的第8个数；
②第三行的第n个数．
(2)第一行连续三个数中最大数与最小数的差为1536，求这三个数中最大数与最小数的和；
(3)用如图的“L”形框圈起4个数，从上到下分别记为a，b，c，d，求2a+b+c+d的值．35．观察下面三行数
−2 ，4，−8，16，−32，64……
0，6，−6，18，−30，66……
1，−2，4，−8，16，−32……
(1)第一行第7个数是________，第二行第7个数是________；
(2)第三行的第n（n≥1，n是正整数）个数是________；
(3)取每行的第8个数求和，计算这三个数的和．参考答案
1．C
【分析】观察第一行的数字可得第一行第n个数为：(−1) n×2n，观察第一行与第二行的数字可得第
1
二行第n个数为：(−1) n×2n+2，观察第一行和第三行的数字可得第三行第n个数为： ×(−1) n×2n ，
2
1
根据题意得出方程(−1) n×2n+(−1) n×2n+2+ ×(−1) n×2n=642，解方程即可得到答案．
2
【详解】解：第一行数为：(−1) 1×2，(−1) 2×22，(−1) 3×23，(−1) 4×24，(−1) 5×25，(−1) 6×26，
…，
∴第一行第n个数为：(−1) n×2n，
∵−2+2=0，4+2=6，−8+2=−6，16+2=18，−32+2=−30，64+2=66，…，
∴第二行每个数是第一行相应数加上2所得，
∴第二行第n个数为：(−1) n×2n+2，
∵−2÷2=−1，4÷2=2，−8÷2=−4，16÷2=8，−32÷2=−16，64÷2=32，…，
∴第三行每个数是第一行相应数除以2所得，
1
∴第三行第n个数为： ×(−1) n×2n ，
2
∵存在这样的一列数，使①②③行对应的这列的三个数的和为642，
1
∴(−1) n×2n+(−1) n×2n+2+ ×(−1) n×2n=642，
2
∴n为偶数，
1
∴2n+2n+2+ ⋅2n=642，
2
∴2n=256，解得：n=8，
故选：C
2．C
【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，
由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n个图形的算式，然后
再解答即可．
【详解】解：第1个图中有5个正方形；
第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；
第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；
第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；
．．．
第n个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；
当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的
规律是解决问题的关键．
3．B
【分析】本题考查了一元一次方程组的应用及等式基本性质的应用，找准等量关系，正确列出一元
一次方程组是解题的关键．设正中间的数为x，根据每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数
之和相等列出方程求解即可．
【详解】解：设正中间的数为x，
则5+x=3+8，
解得x=6，
∴m+6=5+3，
解得m=2．故选：B．
4．D
【分析】本题考查图形的数字规律，根据图形，数出木棍数，数形结合找到规律是解决问题的关键．
【详解】解：第一个图，木棍数4+6×1−1=9；
第二个图，木棍数4+6×2−2=14；
第三个图，木棍数4+6×3−3=19；
⋯
以此类推，第六个图，木棍数4+6×6−6=34；
故选：D．
5．D
【分析】首先设方框的中间数为x，则三个数分别为x−1、x、x+1，进而可得出3个数之和为3x，
然后令其分别等于四个选项中的数，解之即可得出x的值，由x为整数、x不能为第一列及第八列数，
即可求出最终结果；
本题主要考查表格中数字排列规律，分析阴影的方框中数字的大小规律是解决本题的关键．
【详解】解：设方框的中间数为x，
则三个数分别为x−1、x、x+1，
3个数之和为：x−1+x+x+1=3x,
A、2026÷3=675余1，不符合题意;
B、2040÷3=680=85×8，在第八列，不符合题意;
C、2067÷3=689=86×8+1，在第一列，不符合题意；
D、2049÷3=683=85×8+3，在第三列，符合题意；
故选：D．
6．D
【分析】本题主要考查表格中数字排列规律，分析阴影的方框中数字的大小规律是解决本题的关键，设方框中间的数为x，则三个数分别为x−1，x，x+1，3个数之和为3x，然后令其分别等于四个选
项中的数，解之即可得出x的值，由x为整数，x不能为第一列和第八列数，即可得到答案．
【详解】解：设方框中间的数为x，则三个数分别为x−1，x，x+1，
3个数之和为：x−1+x+x+1=3x，
A、2026÷3=675…1，故不符合题意；
B、2040÷3=680=8×85，最中间的数在第八列，不符合题意；
C、2067÷3=689=8×86+1，最中间的数在第一列，不符合题意；
D、2049÷3=683=8×85+3，最中间的数在第三列，符合题意；
故选：D．
7．A
【分析】本题考查了图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律解决问题．首先根据图形中
“●”的个数得出数字变化规律，进而求出即可．
【详解】解：由图知：a =3=1×3，
1
a =8=2×4，
2
a =15=3×5，
3
a =24=4×6，
4
…，
a =n(n+2)；
n
∴a −a =15×(15+2)−14×(14+2)=31．
15 14
故选：A．
8．C
【分析】根据幻方的定义，即可得出关于P的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解:由题意得,-1+4=2+P解得:P=1
故答案选:C
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
9．B
【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意，可以得到x−7+(−2)=−4+A，从而可以用x
的代数式表示出A，再根据x−7+A=−4+B，即可用含x的代数式表示出B,然后根据
x−7+(x+5)+(−4)=−2+A+B，即可求得x的值，最后计算出A−B即可．解答本题的关键是明
确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
【详解】解：由题意可得，
x−7+(−2)=−4+A，
解得A=x−5，
x−7+A=−4+B，
解得B=2x−8，
则x−7+(x+5)+(−4)=−2+A+B，
解得x=9，
∴A−B
=(x−5)−(2x−8)
=x−5−2x+8
=−x+3
=−9+3
=−6，
故选：B．
10．B
【详解】试题分析：由图可知：其中第1个图中共有1+1×3=4个点，第2个图中共有1+1×3+2×3=10个点，第3个图中共有1+1×3+2×3+3×3=19个点，…由此规律得出第n个图有1+1×3+2×3+3×3+…
+3n个点．
解：第1个图中共有1+1×3=4个点，
第2个图中共有1+1×3+2×3=10个点，
第3个图中共有1+1×3+2×3+3×3=19个点，
…
第n个图有1+1×3+2×3+3×3+…+3n个点．
所以第5个图中共有点的个数是1+1×3+2×3+3×3+4×3+5×3=46．
故选B．
考点：规律型：图形的变化类．
11．45
【分析】根据题目中的式子，可以发现m3“分裂”后式子的特点，然后即可写出m3“分裂”后第一
个奇数为m2−m+1，再根据m3“分裂”后，其中有一个奇数是2023，即可得到m的值．
【详解】解：∵23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…，
∴m3可以分解为m个连续奇数的和，且第一个奇数为m2−m+1，
∵m3“分裂”后，其中有一个奇数是2023，当m=45时，m2−m+1=1981，当m=46时，
m2−m+1=2071，
∴m=45，
故答案为：45．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现m3“分裂”后式子的特点．
12．3
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据幻方的特征找到等量关系．
【详解】解：由图（2）可知：−5−1+x=−4−1+2，
解得：x=3，
故答案为：3．
13．8÷(3−8÷3)=24（答案不唯一）
【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是理解“算24”的游戏规则，灵活运用运算法则
计算．
【详解】解：8÷(3−8÷3)
8
=8÷(3− )
3
1
=8÷
3
=8×3
=24，
故答案为：8÷(3−8÷3)=24（答案不唯一）．
14．43
【分析】本题主要考查图形的变化规律以及已知字母的值求代数式的值，根据图形的变化归纳出第n
个图案需要棋子个数为：n2+n+1，再把n=6代入n2+n+1，即可求解．根据图形的变化归纳出第n
个图案需要棋子个数为n2+n+1是解题的关键．
【详解】解：由图知，第1个图案中棋子的个数为3=12+1+1，
第2个图案中棋子的个数为7=22+2+1，
第3个图案中棋子的个数为13=32+3+1，
第4个图案中棋子的个数为21=42+4+1，
……
第n个图案需要棋子个数为n2+n+1，
第6个这样的图案需要棋子个数为n2+n+1=36+6+1=43，故答案为：43．
15．10
【分析】观察已知数据可知，第n个数为(−2) n，分两种情况讨论：当n为偶数时和当n为偶数时，根
据最后三个数的和为768，列方程求解，即可得到答案．
【详解】解：−2，4，−8，16，−32，64，…按照一定规律排列，
观察可知，第n个数为(−2) n，
∵最后三个数的和为768，
当n为偶数时：(−2) n−2+(−2) n−1+(−2) n=2n−2−2n−1+2n=2n−1=3×2n−2=768，
解得：n=10；
当n为偶数时：(−2) n−2+(−2) n−1+(−2) n=−2n−2+2n−1−2n=2n−1=−3×2n−2=768，
n值无解，
∴n=10，
故答案为：10．
16．6
【分析】本题考查了非负数的性质，同底数幂的乘法．根据绝对值和偶次方的非负性，得出x =1，
1
x =2，x =3，…，x =2023，x =2024，代入计算即可得到答案，利用换元法解决问题是解
2 3 2023 2024
题关键
【详解】解：∵|x −1|+(x −2) 2+|x −3|+(x −4) 4+…+|x −2023|+(x −2024) 2024=0，
1 2 3 4 2023 2024
∴x −1=0，x −2=0，x −3=0，…，x −2023=0，x −2024=0，
1 2 3 2023 2024
∴x =1，x =2，x =3，…，x =2023，x =2024，
1 2 3 2023 2024
∴2x 1−2x 2−2x 3−⋯−2x 2023+2x
2024
=21−22−23−24−⋯−22023+22024=2−2(21+22+23+24+⋯+22022)+22024
令a=21+22+23+24+⋯+22022，则2a=22+23+24+25 ⋯+22023，
∴a=2a−a=22023−2，
∴原式=2−2×(22023−2)+22024=2−22024+4+22024=6，
故答案为：6．
17．10
【详解】解：从左起：第一列中，所有空白方格中的数据之和为：
3.5×(3.25−2.6+5.75−8.4)=3.5×(−2)=−7，
第二列中，所有空白方格中的数据之和为：
7.5×(3.25−2.6+5.75−8.4)=7.5×(−2)=−15，
第三列中，所有空白方格中的数据之和为：
−8.5×(3.25−2.6+5.75−8.4)=−8.5×(−2)=17，
第四列中，所有空白方格中的数据之和为：
−7.5×(3.25−2.6+5.75−8.4)=−7.5×(−2)=15，
故所有空白方格中的数据之和为：
−7−15+17+15=10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，利用有理数的混合运算进行计算是解决本题的
关键．
18．(−1) n+1 (2a) n−1
【分析】根据题意可得
a,−2a1=(−1) 2+1×2a1,4a2=(−1) 3+1×22a2,−8a3=(−1) 4+1×23a3,16a4=(−1) 5+1×24a4,−32a，5=(−1) 6+1×25a5,…由此发现规律，即可求解．
【详解】解：
a,−2a1=(−1) 2+1×2a1,4a2=(−1) 3+1×22a2,−8a3=(−1) 4+1×23a3,16a4=(−1) 5+1×24a4,−32a，5=(−1) 6+1×25a5,…
∴第n个单项式是(−1) n+12n−1an−1=(−1) n+1 (2a) n−1．
故答案为：(−1) n+1 (2a) n−1
【点睛】本题考查数字的变化规律，根据所给单项式的系数与次数的特点，确定单项式的规律是解
题的关键．
19．19
【分析】根据题意得出二进制与十进制的转换方法，计算即可得到结果．
【详解】解：10011=1×24+0×23+0×22+1×21+1
=16+0+0+2+1
=19．
故答案为：19．
【点睛】此题考查了有理数的乘方，弄清题中的转换方法是解本题的关键．
20．(1)256
(2)(−2) n+5
(3)−15
(4)存在，取每行的第11个数即可
【分析】（1）观察前几个数的变化规律：从第二数起，每一个数与它前一个数的比为−2，进而可
求解；
（2）根据题意得出第一行第n个数为(−2) n，再结合第三行的数找出规律即可得出结果；(−2) n (−2) 2023
（3）根据题意确定第二行的数为 ，表示出x=(−2) 2023 ,y= ,z=(−2) 2023+5，然后代
4 4
入化简求值即可；
(−2) n
（4）由（2）（3）得出这三个数的和为：(−2) n+ +(−2) n+5=−4603，然后化简求值即可．
4
【详解】（1）解：由题意，第一行的第8个数为64×(−2)×(−2)=256，
故答案为：256；
（2）第一行第n个数为(−2) n，
观察得：第三行为第一行的数加5，
∴第三行的第n个数是(−2) n+5；
故答案为：(−2) n+5；
（3）观察第二行与第一行数的关系得：第一行的数除以4即为第二行的数，
(−2) n
∴第二行的数为 ，
4
由（2）得：第①行的第2023个数为：x=(−2) 2023 ,
(−2) 2023
第②行的第2023个数为：y= ,
4
第③行的第2023个数为：z=(−2) 2023+5，
∴x+8 y−3z
(−2) 2023
=(−2) 2023+8× −3×(−2) 2023−15
4
=(−2) 2023 (1+2−3)−15
=−15(−2) n
（4）由（2）得：这三个数的和为：(−2) n+ +(−2) n+5=−4603，
4
即(−2)
n(
1+
1
+1
)
+5=−4603，
4
9
(−2) n× =−4608，
4
∴(−2) n=−2048，
解得：n=11，
∴存在这样的三个数，即取每行的第11个数即可．
【点睛】本题考查数字类规律探究、列代数式、解一元一次方程，理解题意，找到数字变化规律是
解答的关键．
21．(1)128x8
(2)(−2) nxn
(3)1025x12
(4)1025
【分析】本题主要考查了数字的变化规律，代数式求值，解题的关键是找到单项式的系数和次数的
规律．（1）根据题目中各项的变化情况规律可得，每一项的系数等于2n−1，x的次数等于项数，根
据所得的规律求解即可；
（2）根据题目中各项的变化情况规律可得，第二行的规律为每一项的系数等于(−1) n2n，x的次数
等于项数，根据所得的规律求解即可；
（3）第三行的规律为每一项的系数等于(−1) n−1(2n−1+1)，x的次数为项数加1，根据所得的规律求
解即可；
（4）根据前面找到的规律把A表示出来，列代数式代入求解即可．【详解】（1）解：由题意得，第8个单项式为28−1x8，即128x8．
故答案为：128x8．
（2）解：由题意得，第n个单项式为(−2) nxn．
故答案为：(−2) nxn．
（3）解：由题意得，第11个单项式为(−1) 11+1(211−1+1)x12=1025x12．
故答案为：1025x12．
1
（4）解：当x=− 时，A=28x9−29x9+(28+1)x10
2
=28( − 1) 9 −29( − 1) 9 +(28+1) ( − 1) 10
2 2 2
1 1 1
=− +1+ +
2 4 210
( 1) ( 1 )
∴1024 A+ =1024 1+ =1025．
4 210
n(n+1)
22．（1）100， ；（2）195；（3）50400．
2
【分析】（1）观察图1发现规律：第n层有n个小圆圈，从第1层到第n层共有圆圈的个数为
1+2+3+…+n，计算即可得圆圈的个数，进而可得结论；
（2）观察图2发现规律：从1开始的自然数列，第n层放n个，进而可得第20层第5个数；
（3）观察图3发现规律：第n层放n个，从第1个数开始，符号“+﹣”周期变化，绝对值依次加
2，可得第20层最后一个数的绝对值，最后得第1层到第20层所有数的绝对值和．
【详解】解：（1）图1规律：第n层有n个小圆圈，则第100层有100个小圆圈，
n(n+1)
因为1+2+3+…+n＝ ．
2n(n+1)
所以从第1层到第n层共有 个小圆圈；
2
n(n+1)
故答案为：100， ；
2
（2）图2规律：从1开始的自然数列，第n层放n个，则第20层第5个数为：
1+2+3+…+19+5＝195．
故答案为：195；
（3）图3规律：第n层放n个，从第1个数开始，符号“+﹣”周期变化，绝对值依次加2，
则第20层最后一个数的绝对值为：
31+（2+3+4+…+20）×2＝449，
则第1层到第20层所有数的绝对值和为：
31+33+35+…+449＝50400．
故答案为：50400．
【点睛】本题考查了根据图形的变化规律列式，计算等知识，理解图形的变化规律，并寻找其中规
律是解题关键．
23．(1)5a+19；5b
(2)能，a=1、b=9或a=2、b=8
(3)234
【分析】（1）根据日历中的规律可表示出“n型”覆盖的五个数字和“十字型”覆盖的五个数字，
从而表示出S ,S 即可；
1 2
（2）结合（1）可得5a+19+5b=69，整理可得a+b=10，结合a,b的取值范围即可获得答案；
（3）由S −S =4，代入并整理可得b−a=3，结合a,b的取值范围即可获得答案．
1 2
【详解】（1）解：由题意可知，“n型”覆盖的五个数字左上角的数为a，
则其余各数为a+1,a+2,a+7,a+9，∴S =a+a+1+a+2+a+7+a+9=5a+19；
1
“十字型”覆盖的五个数字中间数为b，
则其余各数为b−7,b−1,b+2,b+7，
∴S =b+b−7+b−1+b+1+b+7=5b．
2
故答案为：5a+19；5b；
（2）由题意可得5a+19+5b=69，
整理可得a+b=10，
又∵1≤a≤21的正整数，8≤b≤23的正整数，
∴a=1，b=9或a=2，b=8；
（3）∵S −S =4，
1 2
∴5a+19−5b=4，
整理可得b−a=3，
又∵1≤a≤21的正整数，8≤b≤23的正整数，
∴当a=20，b=23时，S +S 的值最大，
1 2
此时S +S =5×20+19+5×23=234．
1 2
故答案为：234．
24．(1)64，64，192
(2)第3行，第10或11个
(3)n=12
【分析】本题考查代数式排列的规律，能用含n的代数式表示出每行数中的第n个数是解题的关键．
（1）观察发现每行数的排列规律即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．（3）分两种情况列出关于n的等式即可．
【详解】（1）观察所给数可知，
①中的第n个数可表示为（−2）n，
②中的第n个数可表示为（−2）n−1，
③当n为奇数时，第n个数可表示为3×(−2) n−1，当n为偶数时，第n个数可表示为−6×(−2) n−1，
所以第①行第6个数是（−2）6=64，
第②行第7个数是（−2）7−1=64，
第③行第7个数是3×（−2）7−1=192．
故答案为：64，64，192．
（2）因为211＜3072＜212，
所以3072不在第①行和第②行中．
∵3072>0，
当n为奇数时，则3×(−2) n−1=3072，
解得n=11．
当n为偶数时，则−6×(−2) n−1=3072，
解得n=10．
所以3072是第③行的第10或11个数．
故答案为：③，10或11．
（3）设第二行的第n个数为x，则第一行的第n个数为−2x，
当n为奇数时，−2x+x+3x=14336
解得x=7168
∵7168不是2的整数幂，∴不符合题意，舍去；
当n为偶数时，−2x+x−6x=14336
解得x=−2048
∵(−2) 11=2048，
∴n−1=11，
∴n=12．
25．(1)258；−253
(2)符合题意，理由见解析
(3)t=−3，有定值为21
【分析】该题主要考查了数字的变化规律，找到变化规律是解题的关键；
（1）根据所给的三行数，发现规律即可解决问题．
（2）根据第②行数的排列规律即可解决问题．
（3）根据（1）中发现的规律，用含n的代数式表示出每一行的第n个数即可解决问题．
【详解】（1）由题中数据知，第一行中的第n个数可表示为：(−2) n，
第二行中的第n个数可表示为：(−2) n+2，
第三行中的第n个数可表示为：−(−2) n+3．
当n=8时，(−2) n+2=258,−(−2) n+3=−253，
故答案为：258,−253；
（2）设第一行连续三个数分别为：x、−2x、4x，
则第二行对应的连续三个数分别为：x+2、−2x+2、4x+2，依题意：x+2−2x+2+4x+2=774，
解得：x=256，为第一行第8个数，故符合题意；
（3）设B=x，则A=x−2，C=5−x，
2A−tB+5C=2(x−2)−tx+5(5−x)=21−(t+3)x，
依题意：t+3=0，得t=−3，
答：当t=−3时，有定值为21．
26．(1)①81，97；②1012，4，16n−7
(2)不存在
(3)8016
【分析】本题考查的是数字类的规律探索，一元一次方程的应用，解题的关键是能观察出数阵中每
行的数依次增加2，每列的数依次增加16．
（1）依据每行的数依次增加2，每列的数依次增加16，据此解答即可；
（2）通过假设存在这样的x，则可列出方程：x+(x+2)+(x+14)+(x+16)=1308，即可解答；
（3）要使S的值最小，则框住的是第一、二行前面较小的数，要使S的值最大，则框住的是数阵中
后面的大数，据此解答即可．
【详解】（1）解：①通过观察可知，第五行最后一个数为79，
则第6行第1列的数是79+2=81，
又通过观察可知，同一列的数依次往下加16，
则第7行第1列的数是81+16=97，
②数阵中的数共有：(2023+1)÷2=1012（个），
∵数阵中一共有1012个数，每行有8个数，
1012÷8=126⋯4，
则2023在数阵中排在第4列；通过观察数阵可知：相邻两个数依次增加2，同列上下两个数依次增加16，
则第n行的第一个数为：16(n−1)+1，
则数阵中排在第n行第5列的数可用n表示为：16(n−1)+1+2×(5−1)=16n−7，
故答案为：①81，97；②1012，4，16n−7；
（2）解：假设存在这样的x，使得被框住的四个数的和为1308，
依题意，可列方程：x+(x+2)+(x+14)+(x+16)=1308，
解得：x=319．
因为319是第160个奇数，160÷8=20，
所以319位于第20行第8个数，
因为319右边的数321位于第21行第1个数，
所以假设不成立，
故不存在这样的x，使得被框住的四个数的和为1308．
（3）解：通过观察可知：
框住的最小值为：S =3+5+17+19=44，
最小
要使框住的值最大，则最后一个数2023必然在平行四边形中，
则框住的最大值为：S =2007+2009+2021+2023=8060，
最大
则两者的差为：8060−44=8016，
故S的最大值与最小值的差为：8016．
27．(1)−128；
(2)129；
(3)1．
【分析】本题考查了规律型：数字的变化类问题，(1)第①行的数字是−2的序数次幂，据此可得；
(2)第②行的数字是−2的序数减一次幂，第③行的数字是第②行对应数字与1的差的相反数，据此可
得；
(3)由（1)，（2）的数字规律表示出x、y、z的值，然后计算它们的和．
探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的关键．
【详解】（1）∵①−2，4，−8，16，…，
∴第一行的数是：(−2) 1 ，(−2) 2 ，(−2) 3 ，(−2) 4 ，，…，
∴第n个数为(−2) n，
∴第①行的第7个数为(−2) 7=−128，
故答案为：−128．
（2）∵①−2，4，−8，16，…，
②1，−2，4，−8，…；
∴第②行数和第①行数的关系式是：第①行的数字−2的序数减一次幂即可得到对应的第②行的数字；
∵②1，−2，4，−8，…；
③0，3，−3，9，…；
∴第③行数和第②行数的关系式是：第②行的数字与1所得差的相反数即是对应的第③行的数字；
∴第③行数的第8个数是−[(−2) 7−1]=129，
故答案为：129
（3）∵x、y、z分别表示第①②③行数的第n个数字，
∴x=(−2) n ，y=(−2) n−1 ，z＝−[(−2) n−1−1]=−(−2) n−1+1，，
∴z−x−y=−(−2) n−1+1−(−2) n−(−2) n−1
=(−2)×(−2) n−1+1−(−2) n
=(−2) n+1−(−2) n
=1．
28．(1)3
(2)2
1
(3)①2t+1；②a=−4，m=
4
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，抓住图形中数字的规律求解是解题的关键．
（1）任取一列或一行对角线三个数字相加，然后除以中心数即可；
（2）先求出中心数，然后根据每行，每列的三个数之和相等求解即可；
（3）①利用（1）的结论，用(A+B+C)÷3即可求解；②根据
A+B+C=A+D+F=C+E+F=3m，结合a，m均为常数，即可求解．
【详解】（1）解：∵(2+5+8)÷5=3，
∴幻方和是中心数的3倍，
故答案为：3；
（2）解：由（1）知：图2的中心数为18÷3=6，
根据题意，得x+6= y+z=3+5=8，
∴x=2；
（3）解：①根据题意，得E=(A+B+C)÷3
=[t+(2t+2)+(3t+1)]÷3=(t+2t+2+3t+1)÷3
=(6t+3)÷3
=2t+1；
②∵A=t，B=2t+2，幻方和是3m，
∴C=3m−A−B=3m−t−(2t+2)=3m−3t−2，E=3m÷3=m，
∴F=3m−C−E=3m−(3m−3t−2)−m=3t+2−m，
又D=at−1，A+D+F=3m，
∴t+at−1+3t+2−m=3m，
∴4m=(4+a)t+1，
∵a，m均为常数，
∴4+a=0，4m=1，
1
∴a=−4，m= ．
4
29．(1)−243，−246，242
(2)这三个数为−243，729，−2187
(3)当n为奇数时，差为(−2m−6)；当n为偶数时，差为(2m+9)
【分析】本题考查数字变化的规律，能用含n的代数式表示出每行的第n个数；
（1）根据每行数的排列规律，即可解决问题．
（2）根据第一行中数的排列规律即可解决问题．
（3）用含n的代数式表示出每行的第n个数即可，需要分奇数和偶数来讨论．
【详解】（1）解：观察第一行的数列可知，
这一行的数依次扩大−3倍，且第一个数是−3，所以第一行的第n个数可表示为：(−3) n．
观察第二行的数发现，
第二行的每一个数比第一行对应位置的数小3，
所以第二行的第n个数可表示为：−(−3) n−3．
观察第三行的数发现，
第三行的每一个数比第一行对应位置数的相反数小1，
所以第三行的第n个数可表示为：−(−3) n−1．
当n=5时，
(−3) 5=−243，(−3) 5−3=−246，−(−3) 5−1=242．
故答案为：−243，−246，242．
（2）解：因为第一行的第n个数可表示为(-3) n，
所以(−3) n−1+(−3) n+(−3) n+1=−1701，
解得n=6，
则(−3) 5=−243，(−3) 6=729，(−3) 7=−2187．
所以这三个数为−243，729，−2187．
（3）解：由题知，
(-3) n+(-3) n−3−(-3) n−1=m，
即(-3) n=m+4．
当n为奇数时，最大数与最小数的差可表示为：−(−3) n−1−(−3) n+3=−2×(−3) n+2．
又(−3) n=m+4，
所以最大数与最小数的差可表示为：−2(m+4)+2=−2m−6．
当n为偶数时，
最大数与最小数的差可表示为：(−3) n+(−3) n+1=2×(−3) n+1．
又(−3) n=m+4，
所以最大数与最小数的差可表示为：2(m+4)+1=2m+9．
30．(1)x−7，x−6；x−8，x−1；x−8，x−7
(2)存在这样的x，使得3S +7S =9S ，S =50，S =54，S =48
1 3 2 1 2 3
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式：
（1）根据三种方格框框住日历中的三个数间的关系，可用含x的代数式表示出三种方格框中的数，
即可作答；
（2）由（1）知，可用含x的代数式表示出S ，S ，S ，结合3S +7S =9S ，可得出关于x的一
1 2 3 1 3 2
元一次方程，解之可求出x的值，结合该值所在的位置，可得出存在这样的x，使得3S +7S =9S ，
1 3 2
再分别将其代入S ，S ，S 中，即可求出结论．
1 2 3
解题的关键是：（1）根据各数之间的关系，用含x的代数式表示出三种方格框中的各数；（2）找
准等量关系，正确列出一元一次方程．
【详解】（1）解：根据题意得：第①个方格框中框住的三个数从小到大依次是x−7，x−6，x；
第②个方格框中框住的三个数从小到大依次是x−8，x−1，x；
第③个方格框中框住的三个数从小到大依次是x−8，x−7，x；
（2）解：由（1）可得：
S =x−7+x−6+x=3x−13，
1S =x−8+x−1+x=3x−9，
2
S =x−8+x−7+x=3x−15，
3
∵3S +7S =9S ，
1 3 2
∴3(3x−13)+7(3x−15)=9(3x−9)，
解得：x=21，
∵21在第四行第五列，符合题意，
∴存在这样的x，使得3S +7S =9S ，
1 3 2
∴S =3x−13=3×21−13=50，
1
S =3x−9=3×21−9=54，
2
S =3x−15=3×21−15=48．
3
所以存在这样的x，使得3S +7S =9S ，此时S =50，S =54，S =48．
1 3 2 1 2 3
31．(1)64， 66， 32
(2)2
(3)−1024
【分析】本题考查数字变化的规律，能根据所给数列，用含n的代数式表示出每行的第n个数是解题
的关键．
（1）根据每一行数的排列规律即可解决问题．
（2）用含m的代数式分别表示出每行的第m个数即可．
（3）利用分类讨论的思想即可．
【详解】（1）观察第一行数发现，
第一行的每个数是前一个数的−2倍，且第一个数为−2，
所以第一行的第n个数可表示为：(−2) n．观察第二行数发现，
第二行的每一个数比第一行对应位置的数大2，
所以第二行的第n个数可表示为：(−2) n+2．
观察第三行数发现，
第三行的每一个数是第一行对应位置数的一半，
(−2) n
所以第三行的第n个数可表示为： ．
2
当n=6时，
(−2) 6
(−2) 6=64,(−2) 6+2=66, =32．
2
故答案为：64，66，32．
（2）由（1）知，
第一行的第m个数为(−2) m，
则a=(−2) m；
第二行的第m个数为(−2) m+2，
则b=(−2) m+2；
(−2) m
第三行的第m个数为 ，
2
(−2) m
则c= ．
2(−2) m
所以a+b−4c=(−2) m+(−2) m+2−4× =2．
2
故答案为：2．
（3）由题知，
(−2) x (−2) x+1
设“L”形框内的四个数为：(−2) x，(−2) x+2， ， ．
2 2
当x为奇数时，
(−2)
x+1
−(−2) x=2050，
2
(−2)
x+1=2050，
显然方程的解不符合题意；
当x为偶数时，
(−2)
x+1
(−2) x+2− =2050，
2
2x=1024，
x=10，
(−2)
10+1
所以这四个数中的最小数是： =−1024．
2
32．(1)不能，理由见解析；
(2)能，a的值为1或5；
(3)−13
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解a、b的实际意义是解题关键．（1）设“T”型阴影覆盖的最小数字为a，则其他数字分别为a+1、a+2、a+8，根据S 的值为79
1
列方程，求出a的值，再根据a的实际意义分析，即可得到答案；
（2）根据题意，将其他数字用a、b表示出来，然后根据S +S 值为51列方程，得到a+b=6，再根
1 2
据a、b的实际意义分析，即可得到答案；
（3）根据S +S =187，得到a+b=40，再根据a、b的实际意义，找出满足条件的a、b的值，然后
1 2
得出S −S =4(a−b)−5，即可求出最小值．
1 2
【详解】（1）解：不能，理由如下：
设“T”型阴影覆盖的最小数字为a，则其他数字分别为a+1、a+2、a+8，
∴S =a+(a+1)+(a+2)+(a+8)=4a+11=79，
1
解得：a=17，
由月历可知，a=17时，不能构成“T”型阴影，
即S 的值不能为79；
1
（2）解：能，a的值为1或5，理由如下：
设“T”型阴影覆盖的最小数字为a，则“T”型阴影覆盖的其他数字分别为a+1、a+2、a+8，
∴S =a+(a+1)+(a+2)+(a+8)=4a+11，
1
设“田”型阴影覆盖的最小数字为b， “田”型阴影覆盖的其他数字分别为b+1、b+7、b+8，
∴S =b+(b+1)+(b+7)+(b+8)=4b+16，
2
∴S +S =4a+4b+27=51，
1 2
整理得：a+b=6，
∵a、b都是正整数，
当a=1时，b=5，满足条件；
当a=2时，b=4，“田”型阴影条件不满足；当a=5时，b=1，满足条件；
∴S +S 值能为51，此时a的值为1或5；
1 2
（3）解：由（2）可知，S =4a+11、S =4b+16、S +S =4a+4b+27，
1 2 1 2
∵S +S =187，
1 2
∴4a+4b+27=187，
∴a+b=40，
∵a、b都是正整数，
∴满足条件的a、b的值为¿或¿或¿，
∵S −S =4a+11−(4b+16)=4a−4b−5=4(a−b)−5，
1 2
即当a−b的值最小时，S −S 最小，
1 2
∴当a=19，b=21时，S −S 有最小值，为4×(19−21)−5=−13，
1 2
故答案为：−13
33．(1)①4；②3
(2)①理由见解析；②理由见解析
【分析】（1）①根据幻方定义，结合题意将m+1，m+2，m+3，m+4，m+5，m+6，m+7，
m+8，m+9填入幻方，再由斜对角线上三个数的和为27，得到方程3m+15=27，解得m=4；②
根据幻方定义，列出方程求解即可得到答案；
（2）①根据幻方规则，设a +d +d +a =s，a +d +d +a =s，求和
1 1 3 3 2 2 4 4
a +a +a +a +d +d +d +d =2s（i），同理令b +d +d +b =s，b +d +d +b =s，求和
1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 4 4 2 2 3 3
b +b +b +b +d +d +d +d =2s（ii），（i）和（ii）作差变形可得：
1 2 3 4 1 2 3 4
a +a +a +a =b +b +b +b ；②由（1）知a +a +a +a =b +b +b +b （i），同理可知：
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
a +a +b +b =a +a +b +b （ii），
1 2 1 2 3 4 3 4
（i）和（ii）相加得：2a +2a +a +a +b +b =a +a +b +b +2b +2b ，恒等变形即可得到
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
a +a =b +b ．
1 2 3 4【详解】（1）解：①根据幻方规则，将m+1，m+2，m+3，m+4，m+5，m+6，m+7，m+8，
m+9填入幻方，如图所示：
∵
斜对角线上三个数的和为27，
∴(m+2)+(m+5)+(m+8)=(m+4)+(m+5)+(m+6)=3m+15=27，解得m=4；
②由幻方定义可知−5−1+x=−4−1+2，解得x=3；
（2）解：①根据四阶幻方规则，设a +d +d +a =s，a +d +d +a =s，
1 1 3 3 2 2 4 4
∴a +a +a +a +d +d +d +d =2s（i），
1 2 3 4 1 2 3 4
同理令b +d +d +b =s，b +d +d +b =s，
1 1 4 4 2 2 3 3
∴b +b +b +b +d +d +d +d =2s（ii），
1 2 3 4 1 2 3 4
（i）和（ii）作差变形可得：a +a +a +a =b +b +b +b ；
1 2 3 4 1 2 3 4
②由（1）知a +a +a +a =b +b +b +b （i），
1 2 3 4 1 2 3 4
同理可知：a +a +b +b =a +a +b +b （ii），
1 2 1 2 3 4 3 4
（i）和（ii）相加得：2a +2a +a +a +b +b =a +a +b +b +2b +2b ，
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
∴a +a =b +b ．
1 2 3 4
【点睛】本题涉及幻方综合，考查一元一次方程解实际应用题、等式证明等，读懂题意，理解幻方
规则是解问题的关键．
34．(1)①128，130，384② −3×(−2) n−1（表达式不唯一）
(2)−512
(3)2
【分析】（1）根据题目中的数据总结出其规律，即可求解；（2）设这连续的三个数从左到到右依次为a，−2a，4a，列出式子进行求解即可；
（3）依据题中规律可知：b=a+2，c=3a，d=3×(−2a)=−6a，再代入原式计算即可．
【详解】（1）① ∵−1,2,−4,8,−16⋯，
∴第n个数为−(−2) n−1，
∴第一行第8个数为128；
第二行比第一行的数都多2，
∴第二行第8个数为130；
第三行是第一行数的3倍，
∴第三行第8个数为384；
②第三行是第一行数的3倍，第一行第n个数为−(−2) n−1，
∴第三行第n个数为：−3×(−2) n−1（表达式不唯一）；
（2）依第一行数的规律可设这连续的三个数从左到到右依次为a，−2a，4a，
若a>0，则最大与最小差为4a−(−2a)=6a=1536，即a=256；
若a<0，则最大与最小差为−2a−4a=−6a=1536，即a=−256；
因为第一行中只有−256，没有256，
所以这三个连续的数为−256，512，−1024，
所以最大与最小数的和为：512+(−1024)=−512；
（3）依据题中规律可知：b=a+2，c=3a，d=3×(−2a)=−6a，
∴2a+b+c+d=2a+a+2+3a+(−6a)=2．
【点睛】本题考查数字类规律型，解题的关键是找出所给数据的规律，并灵活运用．
35．(1)−128，−126(2)(−2) n−1
(3)386
【分析】（1）第一行的第n个数为(−2) n，第二行的第n个数为第一行的第n个数加2，根据发现的
规律求解即可；
（2）根据各数的值可得第三行的规律为(−2) n−1；
（3）根据题意写出每行的第8个数，然后求和计算即可．
【详解】（1）观察各数可得，
第一行的第1个数为−2=(−2) 1，第二行的第1个数为0=(−2) 1+2，
第一行的第2个数为4=(−2) 2，第二行的第2个数为6=(−2) 2+2，
第一行的第3个数为−8=(−2) 3，第三行的第3个数为−6=(−2) 3+2，
第一行的第4个数为16=(−2) 4，第四行的第4个数为18=(−2) 4+2，
∴第一行的第n个数为(−2) n，第二行的第n个数为第①行的第n个数加2，即(−2) n+2，
∴第一行第7个数是(−2) 7=−128，第二行第7个数是−128+2=−126，
故答案为：−128，−126．
（2）∵第三行第1个数为1=(−2) 0=(−2) 1−1，
第三行第2个数为−2=(−2) 1=(−2) 2−1，
第三行第3个数为4=(−2) 2=(−2) 3−1，第三行第4个数为−8=(−2) 3=(−2) 4−1，
∴第三行的第n（n≥1，n是正整数）个数是(−2) n−1．
故答案为：(−2) n−1；
（3）第一行第8个数是为(−2) 8=256，
第二行第8个数是为(−2) 8+2=258，
第三行第8个数是为(−2) 8−1=(−2) 7=−128，
∴256+258+(−128)=386．
【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，解答的关键是熟练掌握有理数的各种运算法则，由所给
的数探究总结出存在的规律．
