文档内容
专题十五 角的计算
一、单选题
1．如图，将一副直角三角板的直角顶点重叠在一起，可以推导出∠AOC=∠DOB，最合理的理由
是（ ）
A．同角的余角相等 B．等角的余角相等
C．同角的补角相等 D．等角的补角相等
2．如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上，同时，在它西北方向上又发
现了客轮B，则∠AOB的大小是（ ）
A．165° B．164° C．160° D．155°
3．如图，OC平分∠AOB，∠AOB=60°，则∠BOC的大小是（ ）
A．60° B．40° C．35° D．30°
4．如图，O是直线AB上一点，∠AOD=120°, ∠AOC=90°,OE平分∠BOD，则图中彼此互补的角
共有（ ）A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
5．如图，下列说法错误的是（ ）
A．∠A与∠OAC表示同一个角 B．∠1可以用∠C表示
C．∠ACO是∠ACB与∠OCB的差 D．∠a可以用∠COB
表示
6．如图，在观测站O发现客轮A、货轮B分别在它北偏西50°、西南方向，则∠AOB的度数是（
）
A．85° B．90° C．95° D．100°
7．如图，OB平分∠AOC，下列结论错误的是（ ）
1
A．∠AOB=∠BOC B．∠COD+ ∠AOC=∠BOD
2
C．∠AOD−∠BOC=∠BOD D．∠BOC+∠AOD=2∠BOD
8．如图，学校A在蕾蕾家B南偏西25°的方向上，点C表示超市所在的位置，∠ABC=90° ，则
超市C在蕾蕾家的（ ）A．北偏东55°的方向上 B．南偏东55°的方向上
C．北偏东65°的方向上 D．南偏东65°的方向上
9．如图，OA是北偏西60°方向的一条射线，若∠AOB=90°，射线OB的方向是（ ）
A．南偏西30° B．南偏西60° C．北偏东30° D．北偏东60°
10．一艘轮船行驶在点A处时，测得海岛B在轮船的北偏东75°方向，则此时轮船在海岛B的（
）
A．北偏东75°方向 B．北偏东15°方向
C．南偏西75°方向 D．南偏西15°方向
11．如图，∠AOC与∠BOC互为余角，OD平分∠BOC，∠EOC＝2∠AOE．若∠COD＝18°，则
∠AOE的大小是（ ）A．12° B．15° C．18° D．24°
12．如图所示，OA是北偏东30°方向的一条射线，若∠AOB＝90°，则OB的方位角是（ ）
A．北偏西30° B．北偏西60° C．北偏东30° D．北偏东60°
13．如图，四条表示方向的射线中，表示北偏东30°的是（ ）
A． B．C． D．
14．如图，已知点O是直线AB上一点，∠AOC=58°，∠BOD=74°，则∠AOD+∠BOC等于
（ ）
A．218° B．228° C．238° D．254°
15．如图，货轮O雷达探测到它的北偏西20°方向上有灯塔A，西南方向有游艇B，则∠AOB的大
小（ ）
A．65° B．105° C．110° D．115°
16．如图，直线a，b相交于点O，因为∠1+∠2＝180°，∠3+∠2＝180°，所以∠1＝∠3，这是根据
（ ）A．同角的余角相等 B．等角的余角相等
C．同角的补角相等 D．等角的补角相等
17．如图，甲从A点出发向北偏东70°方向走到点B，乙从点A出发向南偏西15°方向走到点C，则
∠BAC的度数是（ ）
A．85° B．105° C．125° D．160°
18．如图，长方形纸片ABCD，M为AD边的中点，将纸片沿BM，CM折叠，使点A落在点A 处，
1
点D落在点D 处，若∠1=30°，则∠BMC=（ ）
1
A．135° B．120° C．105° D．100°19．如图，标明了合肥、郑州、长沙，福州与武汉的大致方位，下列说法错误的是（ ）
A．合肥位于武汉的北偏东70°方向 B．郑州位于武汉的北偏西25°方向
C．长沙位于武汉的南偏西70°方向 D．福州位于武汉的东南方向
20．如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中∠α与∠β均为锐角且相等的是（
）
A． B．
C． D．
二、填空题
21．一个角的补角是这个角的3倍，则这个角的度数为 ．22．如图，O为直线AB上的点，∠COD=90°，OM平分∠AOD，ON平分∠BOC，OE平分
∠BOD．
下列四个结论：
①∠AOC与∠BOD互余；②∠COE与∠MOD互补；
③在图中画出射线OF，使∠EOF=135°，则OF平分∠AOC；
④在图中以O为顶点且小于平角的角共有20个．
其中正确的是 ．（填写序号）
23．如图，一副三角板的两个直角顶点重合，若∠AOD=118°17′，那么∠BOC的大小为
．
24．比较大小：16°25′ 16.25°（填“＞”“＜”或“＝”）．
25．计算：27°16′+72°44′= ．
1
26．如果∠α的余角比它的补角的 大15°，那么∠α= ．
427．计算16°50′+84°32′= （结果用度、分表示）．
28．已知∠α=60°34′，则∠α的余角的度数等于 ．
29．在如图所示的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，O均在格点（网格线交点）上，那么
∠AOC ∠BOD（填“＞”，“＜”或“＝”）．
30．若一个角的大小为46°35′，则这个角的补角的大小为 .
31．已知∠α=59°20′，则∠α的余角等于 ．
32．如图，直线BC，DE相交于点O，AO⊥BC，OM平分∠BOD，如果∠AOE＝50°，那么∠BOM
的度数是 ．
33．将一张长方形纸片ABCD按如图所示方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分
别为B′、D′，若∠EAF=41°，则∠B′ AD′的度数为 ．
34．若∠a的余角是25°27′，则∠a的补角度数是 ．
35．如图，将一副三角尺按照以下方式摆放．已知∠1=62°28′，则∠2的度数是 ．36．已知∠AOB=150°，射线OC在∠AOB内且∠BOC=110°，则∠AOC的度数为 ．
37．将三角板COD的直角顶点O放置在直线AB上（如图），若∠AOC=64∘，射线OE平分
∠BOC，则∠DOE的大小为 ．
38．已知∠AOB=100°，过点O作射线OC，使∠AOC=20°，OM是∠BOC的平分线，则
∠BOM的度数为 ．
39．如图，长方形纸片ABCD，将∠CBD沿对角线BD折叠得∠C′BD，C′B和AD相交于点E，将
∠ABE沿BE折叠得∠A′BE，若∠A′BD=15°，则∠ABE度数为 °
40．如图，∠AOB与∠COD互补，若∠AOC+∠BOD=40°，则∠COD= ．41．若∠P=15°15′，则∠P的余角度数为 ．
三、解答题
42．如图， 点O 在直线AB上，OE平分∠BOC，OF平分∠BOD，∠EOF=45°，求∠COD的
度数．
43．直线AB,CD相交于点O,OE平分∠AOD．(1)如图1，若∠BOD=50°，则直接写出∠AOE的大小__________；
(2)如图1，若OF平分∠BOC，试说明E，O，F三点在同一直线上；
∠GOF 4
(3)如图2，若OG平分∠BOD, = ，则求出(∠BOG+∠COF)的大小．
∠EOF 5
44．如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC．
(1)求∠DOE的度数；
(2)①图中∠BOE的补角是______；
②直接写出图中与∠COE互余的角______．
45．如图，点O是直线AB上一点，∠AOE＝130°，∠EOF＝90°，OP平分∠AOE，OQ平分
∠BOF，求∠POQ的度数．46．如图：货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它的南偏东59°的方向上，同时，在它的北偏东
37°、南偏西12°、西北方向上又分别发现了客轮B，货轮C和海岛D．
(1)求∠BOE的补角的度数；
(2)①求∠WOD+∠AOB的度数；
②求∠BOD−∠WOC的度数．
47．如图，已知∠AOB（45°＜∠AOB＜90°），(1)以OB为边作∠BOC，使∠BOC＝90°－∠AOB，在给出的图形中画出满足条件的所有∠BOC；
（请利用量角器和直尺画图）
(2)在（1）的条件下，作∠AOC的平分线OD，
①若∠AOB＝70°，求∠AOD的度数；
②若∠AOB＝58°，则∠AOD的度数是___________；
③若∠AOB＝a，则∠AOD的度数是_____________；
48．（1）特例感知：如图1，已知线段MN=20，AB=2，线段AB在线段MN上运动（点A不超过
点M，点B不超过点N），点C和点D分别是AM，BN的中点．
①若AM=8，则CD=______：（直接填写答案）
②线段AB运动时，试判断线段CD的长度是否发生变化？如果不变，请求出CD的长度，如果变化，
请说明理由．
（2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知∠AOB在∠MON内部转动，射
线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON，若∠MON=150°，∠AOB=30°，求∠COD．
49．如图，AB、CD交于点O．(1)可得到结论：∠AOC=∠BOD，依据是：______（直接填序号：①同角的补角相等，②同角的
余角相等）；
(2)若∠AOE=4∠DOE，∠AOE的余角是∠DOE的2倍，求∠BOC；
(3)在（2）的条件下，从点O引出一条射线OP，当∠COP=∠AOE+∠DOP时，∠BOP=
______．（直接写出结果）
50．如图，点A，O，E在同一直线上，∠AOB=36°，∠AOB:∠COE=2:3．
(1)求∠COE的度数；
(2)OB与OC垂直吗？试说明理由．51．已知∠AOB=50°，∠COD=20°．
(1)如图1，若∠AOD=80°，∠COD在OB的左侧，则∠BOC=_____________；
(2)如图2，OP平分∠AOD，OQ平分∠BOC，求∠POQ．
52．如图，点O在直线AB上，∠COD=90°，射线OE，OF分别平分∠AOC和∠BOC：(1)若∠BOD=24°，求∠AOE的度数；
(2)请写出图中所有与∠FOB互余的角，并说明理由．
53．如图，已知∠AOB=120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC:∠BOC=1:2．
(1)求∠AOC的度数；
1
(2)过点O作射线OD，若∠AOD= ∠AOB，求∠COD的度数．
2参考答案
1．A
【分析】根据同角的余角相等，即可求解．
【详解】解：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC+∠BOC=90°,∠DOB+∠BOC=90°，
∴∠AOC=∠DOB（同角的余角相等），
故选：A
【点睛】本题主要考查了余角的性质，熟练掌握同角的余角相等是解题的关键．
2．A
【分析】本题考查了方向角，根据灯塔A在货轮O南偏东60°的方向上，货轮O西北方向上是客轮
B，可得∠AOC=30°、∠BOD=45°，再利用∠AOB=∠AOC+∠COD+∠BOD即可求解，
熟练掌握方向角是解题的关键．
【详解】解：如图：
∵ 60°
灯塔A在货轮O南偏东 的方向上，货轮O西北方向上是客轮B，
∴∠AOC=90°−60°=30°，∠BOD=45°，
∴∠AOB=∠AOC+∠COD+∠BOD=30°+90°+45°=165°，
故选A．
3．D
【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质即可求解，熟练掌握角平分线的性质是
解题的关键．【详解】解：∵OC平分∠AOB，∠AOB=60°，
1 1
∴∠BOC= ∠AOB= ×60°=30°，
2 2
故选D．
4．C
【分析】首先根据条件计算出∠BOD=60°，∠COD=30°，∠DOE=∠EOB=30°，进而可得
∠AOE=150°，然后根据补角定义分析即可．
【详解】解：∵∠AOD=120°，∠AOC=90°，
∴∠BOD=60°，∠COD=30°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=∠EOB=30°，
∴∠AOE=150°，
∴∠AOE+∠BOE=180°，∠AOE+∠COD=180°，∠AOE+∠DOE=180°，∠AOC+∠COB=180°，
∠AOD+∠BOD=180°，∠AOD+∠COE=180°，
共6对，
故选C．
【点睛】此题主要考查了补角，以及角平分线的定义，关键是掌握如果两个角的和等于180°（平
角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
5．B
【分析】此题考查了角的表示方法，根据图形特点将每个角用合适的方法表示出来是解题的关键．
直接根据角的表示方法以及角的和差运算逐一判断即可．
【详解】解：A、∠A与∠OAC表示同一个角，故A说法正确，不符合题意；
B、∠1可以用∠ACO表示，故B说法不正确，符合题意；
C、∠ACO是∠ACB与∠OCB的差，故C说法正确，不符合题意；
D、∠a可以用∠COB表示，故D说法正确，不符合题意；．故选：B．
6．A
【分析】本题主要考查了方位角的计算，根据方位角的描述结合平角的定义即可得到答案．
【详解】解：由题意得，∠AOB=180°−50°−45°=85°，
故选：A．
7．D
【分析】本题主要考查了角度之间的和差关系，角平分线的定义，熟记角平分线的定义是解题的关
键．根据角平分线的定义，结合图形，得出角度之间的和差关系，逐个判断即可．
【详解】解：A、∵OB平分∠AOC，
∴∠AOB=∠BOC，故A正确，不符合题意；
B、∵OB平分∠AOC，
1
∴∠BOC= ∠AOC，
2
∵∠COD+∠BOC=∠BOD，
1
∴∠COD+ ∠AOC=∠BOD，故B正确，不符合题意；
2
C、∵OB平分∠AOC，
∴∠AOB=∠BOC，
∵∠AOD−∠AOB=∠BOD，
∴∠AOD−∠BOC=∠BOD，故C正确，不符合题意；
D、∵OB平分∠AOC，
∴∠AOB=∠BOC，
∴∠BOC+∠AOD=∠BOC+∠BOD+∠AOB=∠BOD+∠AOC，故D不正确，不符合题意；
故选：D．
8．D【分析】直接利用方向角的定义得出∠2的度数．
【详解】如图所示：由题意可得：∠1＝25° ，∠ABC＝90° ，
则∠2＝65° ，
故超市（记作C）在蕾蕾家的南偏东65° 的方向上．
故选：D．
【点睛】本题考查了方向角的定义，解题的关键是正确根据图形得出∠2的度数是．
9．A
【分析】根据方向角的定义得出∠AON=60°，再根据平角的定义求出∠SOB的大小即可．
【详解】解：如图所示，由方向角的定义可知∠AON=60°，
∵ ∠AOB=90°
，
∴∠SOB=180°−∠AOB−∠AON=180°−90°−60°=30°，
即OB的方向为南偏西30°，
故选：A．
【点睛】本题考查了方向角，理解方向角的定义是正确解答的关键．
10．C【分析】本题考查了方位角，平行线的性质，理解和掌握方位角的识别是解决本题的关键．根据方
位角即可判定．
【详解】解：根据海岛B在轮船的北偏东75°方向，可知轮船在海岛B的南偏西75°方向，
故选：C．
11．C
【分析】利用角平分线求出∠BOC＝36°，利用∠AOC与∠BOC互为余角，求出∠AOC＝90-
36°=54°，再根据∠EOC＝2∠AOE，即可求出∠AOE=18°．
【详解】解：∵∠COD＝18°，OD平分∠BOC，
∴∠BOC＝36°，
∵∠AOC与∠BOC互为余角，
∴∠AOC＝90°-36°=54°
∵∠EOC＝2∠AOE，
∴3∠AOE=54°，
∴∠AOE=18°．
故选：C
【点睛】本题考查角平分线的性质，余角的性质，解题的关键是在掌握平分线的性质，余角的性质，
求出∠BOC＝36°，∠AOC＝90°-36°=54°，再根据角之间的关系求解．
12．B
【分析】先求出∠COB＝60°，再根据具体位置确定答案．
【详解】如图，
∵∠AOB＝90°，∠AOC＝30°，
∴∠COB＝60°，
∴OB的方位角是北偏西60°，
故选：B．．
【点睛】此题考查方位角，已知一个角求其余角，正确理解方位角的确定方法及表示方法是解题的
关键．
13．C
【分析】根据方位角的概念分别解答．
【详解】解：A．是南偏东60°，故此选项不合题意；
B．是北偏东60°，故此选项不合题意；
C．是北偏东30°，故此选项不合题意；
D．是北偏西30°，故此选项合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了方位角的概念，熟练掌握方位角的概念是解题关键．
14．B
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，根据平角的定义得到∠COD=48°，则
∠AOD+∠BOC=180°+∠COD=228°．
【详解】解：∵∠AOC=58°，∠BOD=74°，
∴∠COD=180°−∠APC−∠BOD=48°，
∴∠AOD+∠BOC=180°+∠COD=228°，
故选：B．
15．D
【分析】本题考查了方向角的概念，理解“以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方
向旋转到目标的方向线所成的角叫方向角”的相关概念并结合图形分析是解题的关键．先求出20°的余角为70°，然后再加上西南方向的45°即可．
【详解】解：由题意得：90°−20°=70°，
∵雷达的西南方向有游艇B，即为45°，
∴∠AOB=70°+45°=115°,
故选：D．
16．C
【分析】根据同角的补角相等即可求解．
【详解】解：∵∠1与∠3都是∠2的补角，
∴∠1＝∠3（同角的补角相等）．
故选：C
【点睛】本题考查了“同角的补角相等”这一定理的应用，熟知“同角的补角相等”是解题的关键．
17．C
【分析】首先求得AB与正东方向的夹角的度数，即可求解．
【详解】根据题意得：∠BAC＝（90°﹣70°）+15°+90°＝125°，
故选：C．
【点睛】本题考查了方向角，正确理解方向角的定义是关键．
18．C
【分析】根据“折叠”前后的等量关系可以得知MB和MC分别是∠AM A 和∠DM D 的角平分线，
1 1
再利用平角是180°，计算求出∠BMC．
【详解】解：∵∠1=30°
∴∠AM A +∠DM D =180°−30°=150°
1 1
∵将纸片沿BM，CM折叠，使点A落在点A 处，点D落在点D 处，
1 1
∴MB平分∠AM A ，MC平分∠DM D
1 11
∴∠BM A +∠CM D = (∠AM A +∠DM D )=75°
1 1 2 1 1
∴∠BMC=∠1+∠BM A +∠CM D =30°+75°=105°
1 1
故选：C．
【点睛】本题考查角的计算相关知识点．值得注意的是，“折叠”前后的两个图形是全等形，这在
初中数学几何部分应用的比较广泛，应熟练掌握．
19．C
【分析】根据方位角的表示方法进行判断即可．
【详解】解：A．合肥位于武汉的北偏东70°方向，故A正确，不符合题意；
B．郑州位于武汉的北偏西25°方向，故B正确，不符合题意；
C．长沙位于武汉的南偏西20°方向，故C错误，符合题意；
D．福州位于武汉的东南方向，故D正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了方位角，解题的关键是熟练掌握方位角的定义．
20．B
【分析】根据平角的定义，同角的余角相等，等角的补角相等和邻补角的定义对各小题分析判断即
可得解．
【详解】解：A、∠α+∠β＝180°﹣90°＝90°，互余，不符合题意；
B、根据同角的余角相等，∠α＝∠β，且∠α与∠β均为锐角，符合题意；
C、根据等角的补角相等∠α＝∠β，但∠α与∠β均为钝角，不符合题意；
D、∠α+∠β＝180°，互补，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了余角和补角,是基础题,熟记概念与性质是解题的关键．
21．45°/45度【分析】本题考查的是补角的概念，掌握两个角的和等于180°，则这两个角互补是解题的关键．
【详解】解：设这个角为x，
由题意得180°−x=3x，
解得x=45°．
故答案为：45°．
22．①②④
【分析】本题考查平角、直角、角平分线，根据角平分线的定义、平角、直角的定义以及图形中角
的和差关系进行计算即可．
【详解】解：①∵∠AOC+∠COD+∠BOD=180°，且∠COD=90°,
∴∠AOC+∠BOD=180°−∠COD=180°−90°=90°，
∴∠AOC与∠BOD互余，故①正确；
②∵OM是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线，
1 1
∴∠MOD=∠AOM= ∠AOD,∠DOE=∠BOE= ∠BOD，
2 2
1 1 1 1
∴∠MOD+∠DOE= ∠AOD+ ∠BOD= (∠MOD+∠BOD)= ×180°=90°，
2 2 2 2
∴∠MOE=90°，
∴∠COM=∠DOE=∠BOE,
∴∠COE+∠MOD=∠COE+∠AOM=∠COD+∠DOE+∠AOC+∠COM
=∠AOC+∠COD+∠DOE+∠BOE=180°,
∴∠COE与∠MOD互补，故②正确；
③当OE,OF在直线同侧时，∠EOF=135°，则OF平分∠AOC；当OE,OF在直线异侧时，
∠EOF=135°，则OF不平分∠AOC，故③错误；
④在图中以O为顶点且小于平角的角共有6+5+4+3+2=20个，故④正确．
综上，正确的结论是①②④，故答案为：①②④．
23．61°43′
【分析】本题主要考查了角的计算，熟练掌握角的计算是解题的关键．求出∠AOC即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠AOD−∠COD=118°17′−90°=28°17′，
∴∠COB=∠AOB−∠AOC=90°−28°17′=61°43′．
故答案为：61°43′．
24．>
【分析】先把单位化统一，再比较即可．
【详解】解：因为16.25°=16°15′，
所以16°25′>16.25°，
故答案为：>．
【点睛】本题考查了角的大小比较，注意单位要化统一，依据1°=60′，1′=60′′是解题的关键．
25．100°/100度
【分析】本题主要考查了角的四则运算，熟知角度值的进率为60是解题的关键．
【详解】解：27°16′+72°44′=99°60′=100°，
故答案为：100°．
26．40°/40度
【分析】根据余角与补角的定义列出方程，求解即可．
1
【详解】解：根据题意，可得(90°−∠α)− (180°−∠α)=15°，
4
解得∠α=40°．
故答案为：40°．
【点睛】本题主要考查了角度的计算，解题的关键是根据余角与补角的定义列出方程．27．101°22′
【分析】本题考查角度计算．根据题意利用1°=60′进行即可即可得到本题答案．
【详解】解：16°50′+84°32′=(16+84)°+(50+32)′=101°22′，
故答案为：101°22′．
28．29°26′
【分析】根据余角的定义进行求解，如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角，简称互余，
熟练掌握余角的定义是解题的关键．
【详解】解：∵90°−∠α=90°−60°34′=29°26′，
∴∠α的余角的度数等于29°26′，
故答案为：29°26′．
29．＜
【分析】根据叠合法比较角的大小即可得出答案．
【详解】解：解：如图，
∵∠BOD=∠AOE，∠AOC<∠AOE，
∠AOC<∠BOD．
故答案为：<．
【点睛】本题考查了比较角的大小，掌握叠合法比较角的大小是解题的关键．
30．133°25′
【分析】根据互为补角的两个角之和为180°，可得出这个角的补角．
【详解】这个角的补角为：180°-46°35′=133°25′．故答案为：133°25′．
【点睛】本题考查了补角的知识，属于基础题，关键是掌握互为补角的两个角之和为180°．
31．30°40′
【分析】根据余角的定义进行求解即可．
【详解】解：∵∠α=59°20′，
∴∠α的余角等于90°−59°20′=30°40′，
故答案为：30°40′．
【点睛】本题主要考查了求一个角的余角，熟知两个角的度数之和为90度，那么这两个角互余是解
题的关键．
32．20°/20度
【分析】由余角的定义求得∠EOC＝40°，然后结合对顶角相等和角平分线的性质得到∠BOM的度
数．
【详解】解：如图，
∵AO⊥BC于点O
∴∠AOC＝90°
∵∠AOE＝50°
∴∠EOC＝90°－∠AOE＝ 90°－50°＝40°
又∵∠BOD＝∠EOC＝40°，OM平分∠BOD
1
∴∠BOM＝ ∠BOD＝20°
2
故答案为：20°．
【点睛】本题考查了利用角的平分线进行有关角的计算的问题，熟练掌握并灵活运用角平分线的定
义及对顶角的性质是解题的关键．
33．8°/8度
【分析】本题主要考查了折叠的性质，根据题意先求出∠BAE+∠DAF=49°，再由折叠的性质得到∠B′ AE+∠D′ AF=49°，则∠B′ AD′=∠B′ AE+∠D′ AF−∠EAF=8°．
【详解】解；∵∠EAF=41°，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=∠BAD−∠EAF=49°，
由折叠的性质可得∠B′ AE=∠BAE，∠DAF=∠D′ AF，
∴∠B′ AE+∠D′ AF=49°，
∴∠B′ AD′=∠B′ AE+∠D′ AF−∠EAF=8°，
故答案为：8°．
34．115°27′/115.45°
【分析】本题主要考查了补角和余角的有关的计算，解题的关键是先根据余角的定义求出∠a的度
数，然后再根据补角的定义求出结果即可．
【详解】解：∵∠a的余角是25°27′，
∴∠α=90°−25°27′=64°33′，
∴∠a的补角为：180°−64°33′=115°27′．
故答案为：115°27′．
35．27°32′
【分析】根据三角板中角度的特点进行求解即可．
【详解】解：由题意得，∠2=180°−∠1−90°=180°−62°28′−90°=27°32′，
故答案为：27°32′．
【点睛】本题主要考查了三角板中角度的计算，熟知三角板中角度的特点是解题的关键．
36．40°
【分析】因为射线OC在∠AOB内，则∠AOC=∠AOB−∠BOC，即可解答．
【详解】∵∠AOB=150°，∠BOC=110°，且射线OC在∠AOB内
∴ ∠AOC=∠AOB−∠BOC=150°−110°=40°
故答案为：40°．【点睛】本题考查了角的和差计算，属于基础题，要熟练掌握．
37．32°/32度
【分析】通过互补求出∠BOD，再通过角平分线求出∠BOE，最后求出
∠BOE−∠BOD=∠DOE.
【详解】∵∠AOC=64°，∠COD=90°
∴∠BOD=90°−64°=26°
∴∠BOC=116°
∵OE平分∠BOC
1
∴∠BOE= ∠BOC=58°
2
∴∠DOE=∠BOE−∠BOD=58°−26°=32°，
故答案为：32°
【点睛】本题考查平角性质、角的和差、角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题关键．
38．40°或60°
【分析】分当射线OC在∠AOB内部时，当射线OC在∠AOB外部时，两种情况求出∠BOC的度
数，再利用角平分线的定义求解即可．
【详解】解：如图1所示，当射线OC在∠AOB内部时，
∵∠AOB=100°，∠AOC=20°，
∴∠BOC=∠AOB−∠AOC=80°，
∵OM是∠BOC的平分线，
1
∴∠BOM= ∠BOC=40°；
2如图2所示，当射线OC在∠AOB外部时，
∵∠AOB=100°，∠AOC=20°，
∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=120°，
∵OM是∠BOC的平分线，
1
∴∠BOM= ∠BOC=60°；
2
综上所述，∠BOM=40°或∠BOM=60°，
故答案为：40°或60°．
【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，利用分类讨论的思想求解是解
题的关键．
39．20
【分析】设∠CBD=x，由折叠的性质可知∠C′BD=∠CBD=x，∠ABE=∠A′BE．从而可利用
x表示出∠ABC，再根据∠ABC=90°，列出等式，解出x即可．
【详解】解：设∠CBD=x，
由翻折的性质可知∠C′BD=∠CBD=x，∠ABE=∠A′BE．
∵∠A′BE=∠A′BD+∠C′BD=15°+x，∴∠ABE=∠A′BE=∠C′BD−∠A′BD=x−15°，
∴∠ABC=∠ABE+∠C′BD+∠CBD=x+x+x−15°，
∵长方形纸片ABCD，
∴∠ABC=90°，
∴x+x+x−15°=90°
解得：x=35°，
∴∠ABE=x−15°=20°．
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质．利用数形结合的思想是解题关键．
40．70°/70度
【分析】由∠AOB与∠COD互补，推出(∠AOC+∠COD+∠BOD)+∠COD=180°，根据
∠AOC+∠BOD=40°，得到40°+2∠COD=180°，据此即可求解．
【详解】解：∵∠AOB与∠COD互补，
∴(∠AOC+∠COD+∠BOD)+∠COD=180°，
∵∠AOC+∠BOD=40°，
∴40°+2∠COD=180°，
∴∠COD=70°，
故答案为：70°．
【点睛】本题考查的是补角的概念、角的计算，掌握补角的概念、正确根据图形进行角的计算是解
题的关键．
41．74°45′/74.75°
【分析】本题考查了余角的计算，根据“和为90°的两角互余”进行计算即可．
【详解】解：∵ ∠P=15°15′，
∴ ∠P的余角度数为90°−15°15′=74°45′，故答案为：74°45′．
42．90°
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，根据角平分线的定义得到
∠BOE=∠COE，∠BOF=∠DOF，再求出∠DOE=45°−∠DOF，进而可得
∠COD=∠BOE+∠DOE=∠EOF+45°=90°．
【详解】解：∵OE平分∠BOC，OF平分∠BOD，
∴∠BOE=∠COE，∠BOF=∠DOF，
∵∠EOF=45°，
∴∠DOE=∠EOF−∠DOF=45°−∠DOF，
∴∠COD=∠COE+∠DOE=∠BOE+∠DOE=∠EOF+∠BOF+45°−∠DOF=90°．
43．(1)65°
(2)见解析
(3)60°
【分析】本题主要考查角度的计算，角平分线的定义，补角的性质，熟练掌握角平分线的定义是解
题的关键．
（1）根据题意求出∠AOD=130°，根据角平分线的定义即可得到答案；
（2）证明∠BOF+∠EOB=180°即可证明结论；
（3）设∠GOF=4x,∠EOF=5x，求出x=30°，再根据补角的性质求出答案．
【详解】（1）解：∵∠BOD=50°，
∴∠AOD=180°−∠BOD=130°，
∵OE平分∠AOD，
1
∴∠AOE= ∠AOD=65°；
2
（2）证明：∵直线AB,CD相交于点O，∴∠AOD=∠BOC，
∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOC，
1 1
∴∠AOE= ∠AOD,∠BOF= ∠BOC，
2 2
∴∠AOE=∠BOF，
∵∠AOE+∠EOB=180°，
∴∠BOF+∠EOB=180°，
故E，O，F三点在同一直线上；
（3）解：∵OE平分∠AOD，OG平分∠BOD，
1
∴∠EOG= (∠AOD+∠DOB)=90°，
2
∠GOF 4
∵ = ，
∠EOF 5
设∠GOF=4x,∠EOF=5x，
∵∠GOF+∠EOF+∠EOG=360°，
∴4x+5x+90°=360°，
故x=30°，
∴∠GOF=120°,∠EOF=150°，
∵∠DOG+∠GOF+∠COF=180°，
∴∠DOG+∠COF=180°−∠GOF=180°−120°=60°，
∵∠DOG=∠BOG，
∴∠BOG+∠COF=60°．
44．(1)∠DOE=90°
(2)①∠AOE②∠COD和∠AOD【分析】本题考核知识点：补角、余角、角平分线等，解题关键点：理解补角、余角、角平分线等
定义．
1
（1）根据邻补角定义得∠AOC+∠BOC=180°，由角平分线定义得∠COD= ∠AOC，
2
1
∠COE= ∠BOC，所以∠COD+∠COE=90°，即∠DOE=90°；
2
（2）根据（1）的结论，可以得到互余的角，根据平角定义得出补角．
【详解】（1）解：∵点A，O，B在同一条直线上，
∴∠AOC+∠BOC=180°，
∵射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，
1 1
∴∠COD= ∠AOC，∠COE= ∠BOC，
2 2
1 1 1
∴∠COD+∠COE= ∠AOC+ ∠BOC= (∠AOC+∠BOC)=90°，
2 2 2
∴∠DOE=90°；
（2）解：①图中∠BOE的补角是∠AOE；
②直接写出图中与∠COE互余的角∠COD和∠AOD，
故答案为：∠COD和∠AOD．
45．∠POQ＝135°．
【分析】依据角平分线的定义即可得到∠POE的度数，再根据邻补角的定义即可得到∠BOE的度数，
进而得出∠BOF 的度数，再根据角平分线的定义，即可得到∠BOQ的度数，最后依据∠POQ＝
∠POE+∠BOE+∠BOQ进行计算即可．
【详解】解：∵OP平分∠AOE，
1 1
∴∠POE＝ ∠AOE＝ ×130°＝65°，
2 2
∵∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣130°＝50°，
∴∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE＝90°﹣50°＝40°，∵OQ平分∠BOF，
1 1
∴∠BOQ＝ ∠BOF＝ ×40°＝20°，
2 2
∴∠POQ＝∠POE+∠BOE+∠BOQ＝65°+50°+20°＝135°．
【点睛】本题主要考查了角的计算，解决问题的关键是利用角平分线的定义以及角的和差关系进行
计算．
46．(1)127°
(2)①129°，②4°
【分析】（1）根据题意得出∠DON＝∠WOD＝45°，∠COS＝12°，∠BON＝37°，∠AOS＝59°，求
出∠BOE的度数，再求出答案即可；
（2）①先求出∠AOB的度数，再求出答案即可；②先求出∠BOD和∠WOC的度数，再求出答案即
可．
【详解】（1）解：∵货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它的南偏东59°的方向上，同时，在它的
北偏东37°、南偏西12°、西北方向上又分别发现了客轮B，货轮C和海岛D，
∴∠DON＝∠WOD＝45°，∠COS＝12°，∠BON＝37°，∠AOS＝59°，
∵∠NOE＝90°，
∴∠BOE＝∠NOE−∠BON＝90°−37°＝53°，
∴∠BOE的补角的度数是180°−53°＝127°；
（2）解：①∵∠BON＝37°，∠AOS＝59°，
∴∠AOB＝180°−（∠BON＋∠AOS）＝84°，∵∠WOD＝45°，
∴∠WOD＋∠AOB＝45°＋84°＝129°；
②∵∠BON＝37°，∠DON＝45°，
∴∠BOD＝∠BON＋∠DON＝37°＋45°＝82°，
∵∠WOS＝90°，∠COS＝12°，
∴∠WOC＝∠WOS−∠COS＝90°−12°＝78°，
∴∠BOD−∠WOC＝82°−78°＝4°．
【点睛】本题考查了余角与补角和角的和差计算，求出各个角的度数是解此题的关键．
47．(1)见解析
(2)①45°或25°；②45°或13°；③45°或α-45°
【分析】（1）分射线OC在∠AOB的外部和内部分别画出图形；
（2）①当射线OC在∠AOB的外部，如图1，易得∠AOC=90°，则利用角平分线的性质得到
∠AOD=45°；当射线OC在∠AOB的内部，如图2，先计算出∠BOC=20°，则∠AOC=50°，则利用角
平分线的性质得到∠AOD=25°；
②③利用同样方法分类讨论求∠AOD的度数．
【详解】（1）解：如图1，∠BOC为所作；
如图2，∠BOC为所作；（2）解：①当射线OC在∠AOB的外部，如图1，
∵∠BOC=90°-∠AOB，
∴∠BOC+∠AOB=90°，
即∠AOC=90°，
∵OD平分∠AOC，
1
∴∠AOD= ∠AOC=45°；
2
当射线OC在∠AOB的内部，如图2，
∵∠BOC=90°-∠AOB=90°-70°=20°，
∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=70°-20°=50°，
∵OD平分∠AOC，
1
∴∠AOD= ∠AOC=25°；
2
综上所述，∠AOD的度数为45°或25°；
②当∠AOB=58°，
当射线OC在∠AOB的外部时，∠AOD=45°；
当射线OC在∠AOB的内部时，∠AOD=13°；
故答案为：45°或13°；
③当∠AOB=α，
当射线OC在∠AOB的外部时，∠AOD=45°；
当射线OC在∠AOB的内部时，∠AOD=α-45°．
故答案为：45°或α-45°．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图
形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的定义．
48．（1）①11；②线段CD的长度不发生变化，为定值11，理由见解析；（2）90°【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，几何图形中角度的计算，角平分线的定
义：
1 1
（1）①先求出BN=10，再由线段中点的定义得到AC= AM=4，BD= BN=5，则
2 2
CD=AC+AB+BD=11；
1 1
②先求出AM+BN=18，再由线段中点的定义得到AC+BD= AM+ BN=9，则
2 2
CD=AC+AB+BD=11；
（2）先求出∠AOM+∠BON=120°，由角平分线的定义得到
1 1
∠AOC+∠BOD= ∠AOM+ ∠BON=60°，则∠COD=∠AOC+∠AOB+∠BOD=90°．
2 2
【详解】解：（1）①∵MN=20，AB=2，AM=8，
∴BN=MN−AM−AB=10，
∵点C和点D分别是AM，BN的中点，
1 1
∴AC= AM=4，BD= BN=5，
2 2
∴CD=AC+AB+BD=11；
故答案为：11；
②线段CD的长度不发生变化，为定值11，理由如下：
∵MN=AM+BN+AB=20，AB=2，
∴AM+BN=18，
∵点C和点D分别是AM，BN的中点，
1 1
∴AC= AM，BD= BN，
2 2
1 1
∴AC+BD= AM+ BN=9，
2 2
∴CD=AC+AB+BD=11，∴线段CD的长度不发生变化，为定值11；
（2）∵∠MON=150°，∠AOB=30°，
∴∠AOM+∠BON=∠MON−∠AOB=120°，
∵射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON，
1 1
∴∠AOC= ∠AOM，∠BOD= ∠BON，
2 2
1 1
∴∠AOC+∠BOD= ∠AOM+ ∠BON=60°，
2 2
∴∠COD=∠AOC+∠AOB+∠BOD=90°．
49．(1)①
(2)∠BOC=75°
(3)45°或165°
【分析】本题考查了补角的性质，角的和差计算，一元一次方程的应用：
（1）根据同角的补角相等，即可得到答案；
（2）设∠DOE=x，则∠AOE=4x，根据题意列出方程，进而可得∠AOD，由对顶角相等，即
可得到答案；
（3）分两种情况讨论：当OP在∠AOD内时，当OP在∠BOD内时，根据角的和差关系进行计算
即可．
【详解】（1）解：∵∠AOC+∠AOD=180°，∠BOD+∠AOD=180°，
∴∠AOC=∠BOD，判断依据是：同角的补角相等，
故答案为：①；
（2）解：设∠DOE=x，则∠AOE=4x，
由题意得：90°−4x=2x，
解得：x=15°，即∠DOE=15°，∴∠AOE=4x=60°，
∴∠AOD=∠AOE+∠DOE=75°，
∵∠BOC=∠AOD，
∴∠BOC=75°；
（3）解：由（2）知∠AOE=60°，∠DOE=15°，∠BOC=∠AOD=75°，
∴∠AOC=∠BOD=180°−75°=105°，
设∠AOP=α，∠BOP=β，
当OP在∠AOD内时，
∴∠COP=∠AOC+∠AOP
，
∴∠AOC+∠AOP=∠AOE+∠DOP=∠AOE+∠AOD−∠AOP，
即105°+α=60°+75°−α，
解得：α=15°，
∴∠BOP=180°−α=165°；
当OP在∠BOD内时，
∴∠COP=∠BOC+BOP
，
∴∠BOC+∠BOP=∠AOE+∠DOP=∠AOE+∠BOD−∠BOP，即75°+β=60°+105°−β，
解得：β=45°，
综上，∠BOP= 45°或165°，
故答案为：45°或165°．
50．(1)54°
(2)OB⊥OC，见解析
【分析】（1）设∠AOB=2x，则∠COE=3x，根据∠AOB=36°，计算得x=18°，即可得；
（2）根据A，O，E三点共线得∠AOE=180°，根据角之间的关系进行计算即可得．
【详解】（1）解：依题意，可设∠AOB=2x，则∠COE=3x，
∵∠AOB=36°，
∴2x=36°，
x=18°．
∴∠COE=3x=54°．
（2）OB⊥OC．理由如下：
解：∵A，O，E三点共线，
∴∠AOE=180°．
∴∠BOC=∠AOE−∠AOB−∠COE=180°−36°−54°=90°．
∴OB⊥OC．
【点睛】本题考查了角之间的关系，解题的关键是理解题意，掌握角之间的关系
51．(1)50°或10°
(2)∠POQ=15°【分析】（1）分两种情况进行解答：当OC在OD左侧时；当OC在OD右侧时；
1
（2）设∠BOC=α，先求出∠AOD=α+70°，再根据角平分线的定义得出∠AOP= α+35°，
2
1
∠BOQ= α，最后根据角度之间的和差关系，即可求解．
2
【详解】（1）解：当OC在OD左侧时；
∵∠AOD=80°，∠AOB=50°，
∴∠BOD=∠AOD−∠AOB=80°−50°=30°，
∵∠COD=20°，
∴∠BOC=∠COD+∠BOD=20°+30°=50°，
当OC在OD右侧时；
∵∠AOD=80°，∠AOB=50°，
∴∠BOD=∠AOD−∠AOB=80°−50°=30°，
∵∠COD=20°，
∴∠BOC=∠BOD−∠COD=30°−20°=10°，
故答案为：50°或10°；
（2）设∠BOC=α，
∵∠BOC=α，∠AOB=50°，∠COD=20°，∴∠AOD=∠BOC+∠AOB+∠COD=α+50°+20°=α+70°，
∵OP平分∠AOD，
1 1
∴∠AOP= ∠AOD= α+35°，
2 2
(1 ) 1
∴∠POB=∠AOB−∠AOP=50°− α+35° =15°− α，
2 2
∵OQ平分∠BOC，
1 1
∴∠BOQ= ∠BOC= α，
2 2
1 1
∴∠POQ=∠POB+∠BOQ=15°− α+ α=15°．
2 2
【点睛】本题主要考查了角度的和差运算，和角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握角度的运算
规律和法则．
52．(1)57°
(2)∠AOE、∠COE，∠FOD是∠FOB的余角，理由见解析
【分析】（1）先求出∠BOC=66°，再根据平角的定义求出∠AOC=114°，最后根据角平分线的
1
定义即可得到∠AOE= ∠AOC=57°；
2
（2）先证明∠COF+∠DOF=90°，再由角平分线的定义和平角的定义推出
∠BOF+∠DOF=90°，∠BOF+∠AOE=90°，∠BOF+∠COE=90°，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵∠COD=90°，∠BOD=24°，∴∠BOC=∠COD−∠BOD=66°，
∴∠AOC=180°−∠BOC=114°，
∵OE平分∠AOC，
1
∴∠AOE= ∠AOC=57°
2
（2）解：∠AOE、∠COE，∠FOD是∠FOB的余角，理由如下：
∵∠COD=90°，
∴∠COF+∠DOF=90°，
∵OF平分∠BOC，
1
∴∠BOF=∠COF= ∠BOC，
2
∴∠BOF+∠DOF=90°，
∵OE平分∠AOC，
1
∴∠AOE=∠COE= ∠AOC，
2
∵∠AOC+∠BOC=180°，
1 1
∴ ∠AOC+ ∠BOC=90°
2 2
∴∠BOF+∠AOE=90°，∠BOF+∠COE=90°，
∴∠AOE、∠COE，∠FOD是∠FOB的余角．
【点睛】本题主要考查了几何中角度的计算，角平分线的定义，余角的定义，灵活运用所学知识是
解题的关键．
53．(1)∠AOC=40°
(2)∠COD的度数为：20°或100°
【分析】本题考查了几何图形中角度计算问题，根据已知条件，判断射线OD在∠AOB内和外两种情况是解答本题的关键．
（1）根据已知角度之间比例关系，找到所求角度的关系式，进而计算出结果．
1
（2）∠AOD= ∠AOB，有两种情况，射线OD在∠AOB内，射线OD在∠AOB外，分别计算
2
出对应∠COD的大小．
【详解】（1）解：∵ ∠AOC:∠BOC=1:2，∠AOB=120°，
1 1
∴ ∠AOC= ∠AOB= ×120°=40°．
3 3
1
（2）解：∵ ∠AOD= ∠AOB，
2
∴ ∠AOD=60°，
当OD在∠AOB内时，如图所示：
∠COD=∠AOD−∠AOC=20°
；
当OD在∠AOB外时，如图所示：
∠COD=∠AOC+∠AOD=100°
，
综上分析可知，∠COD的度数为：20°或100°．
