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跟踪训练 05 复数
一．选择题（共15小题）
1．已知 ， 是关于 的方程 的两个根．若 ，则
A． B．1 C． D．2
【解答】解：由 ， 是关于 的方程 的两个根，得 ，
所以 ，
所以 ．
故选： ．
2．欧拉公式 （其中 是虚数单位， 是自然对数的底数）是数学中的一个
神奇公式．根据欧拉公式，复数 在复平面上所对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：由题意 ， 是第一象限角，显然 ， ，
所以在复平面中对应的点在第一象限．
故选： ．
3．在复平面内，复数 对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：由题意， ，
根据复数的几何意义，故复数对应的点为 在第三象限．
故选： ．4．已知复数 的共轭为 ，若 ，则 的实部为
A．1 B． C． D．
【解答】解：设 ，则 ，
由 得 ，即 ．
所以 的实部为1．
故选： ．
5．若复数 为纯虚数，则
A．1 B． C．5 D．
【解答】解： 复数 为纯虚数，
，则 ．
故选： ．
6．复数 在复平面内对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：由 ，
其在复平面内对应的点的坐标为 ，位于第一象限．
故选： ．
7．在复平面内，复数z对应的点在第一象限，i为虚数单位，则复数zi对应的点位于（
）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：设复数z对应的点在第一象限，
可设z＝a+bi，其中a＞0，b＞0，
zi＝﹣b+ai，
﹣b＜0，a＞0，
复数zi对应的点（﹣b，a）位于第二象限．
故选：B．8．设 是虚数单位，已知复数 满足 ，且复数 是纯虚数，则实
数
A． B． C．1 D．2
【 解 答 】 解 ： 由 ， 得
，
又因为 为纯虚数，所以 ．
故选： ．
9．复数 满足 ，则复数
A． B．
C． D．
【解答】解： ，
则 ，即 ．
故选： ．
10．已知 ， ， ， ，则
A．1 B． C． D．2
【解答】解：因为 ， ， ， ，
则可设 ， ， ， ， ，
所以 ，所以 ，则 ，
所以
．
故选： ．
11．实数 时，复数 在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解： ，
又 ，故 ， ，
故该复数在复平面内对应的点位于第一象限．
故选： ．
12．在复平面内，角 的顶点为坐标原点，始边为实轴非负半轴，终边经过复数
所对应的点，则
A． B． C． D．
【解答】解：复数 在复平面内所对应的点为 ，
因为在复平面内，角 的顶点为坐标原点，始边为实轴非负半轴，终边经过点 ，
所以 ．
故选： ．
13．若复数 ，则
A．1 B． C． D．【解答】解：因为 ，
则 ．
故选： ．
14．已知复数 满足 ，则
A．1 B． C． D．
【解答】解：由题意知复数 满足 ，
即 ， ，
故选： ．
15．复数 ，则 的虚部为
A． B．1 C． D．
【解答】解： 复数 ，
，
故 的虚部为 ．
故选： ．
二．多选题（共5小题）
16．已知复数 为虚数单位），则
A． 的共轭复数 的虚部为
B． 为纯虚数
C． 的模为5
D．若在复平面内，向量 对应的复数为 ，向量 对应的复数为 ，则向量对应的复数为
【解答】解： ，
，虚部为 ，错误；
，正确；
，所以 ，正确；
，由 ，其对应的复数为 ，
正确．
故选： ．
17．已知 为复数，设 ， ， 在复平面上对应的点分别为 ， ， ，其中 为坐标
原点，则
A． B． C． D．
【解答】解：设 ，
，
，
，
，
，
，
对于 ， ，
，故 正确；对于 ， ， ，故 正确；
对于 ， ，
当 时， ，故 错误；
对于 ， ， 可以为零，也可以不为零，
故 不一定平行于 ，故选 错误．
故选： ．
18．已知 为虚数单位，以下四个说法中正确的是
A．
B．复数 的模长为
C．若 ，则复平面内 对应的点位于第二象限
D．已知复数 满足 ，则 在复平面内对应的点的轨迹为直线
【解答】解：对于 ，故选项 正确；
对于 ：复数 的模为 ，故选项 正确；
对于 ，所以 ，对应的点 位于第三象限，
故选项 不正确；
对于 ：复数 满足 ，表示复数 对应的点到点 和点 两点的距
离相等，所以 在复平面内对应的点的轨迹为线段 的垂直平分线，故选项 正确．
故选： ．
19．已知复数 ，则
A． 的共轭复数是B． 对应的点在第二象限
C．
D．若复数 满足 ，则 的最大值是6
【解答】解：对于选项 ，由复数 ，得 的共轭复数是 ，故选项 正确；
对于选项 ，由复数 ，得 ，
所以 对应的点为 在第二象限．故选项 正确；
对于选项 ， ， ，故选项 错误；
对于选项 ，
解法一：因为 ，
利用复数模的三角不等式得 ．
解法二：如图，
因为 在复平面上对应的点为 ， 表示在复平面上 对应的点到
的距离等于1，
所以 表示的点的轨迹为圆心在 ，半径等于1的圆．
因为 ， ，
所以当 对应的点在 处时， 的最大值为 ，故选项 正确．
故选： ．20．已知复数 ，以下结论正确的是
A． 是纯虚数
B．
C．
D．在复平面内，复数 对应的点位于第三象限
【解答】解： ，
对于 ， ，故 正确，
对于 ， ，故 正确，
对于 ， ，故 错误，
对于 ， ，
则复数 对应的点 位于第三象限，故 正确．
故选： ．
三．填空题（共5小题）
21．已知复数 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 的取值范围是
．
【解答】解： 复数 在复平面内对应的点在第四象限， ，
，解得 ，
即实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．22．若复数 ，则 ．
【解答】解： 复数 ．
．
故答案为： ．
23． 0 ．
【解答】解： ．
故答案为：0．
24．已知复数 是虚数单位），则 ．
【解答】解： ，
则 ，
故 ．
故答案为： ．
25．已知 ，且 ，则 1 或 或 1 ．
【解答】解：因为 ，
所以 ，
由②解得 或 ，
当 时， ，解得 ，
又因 ，所以 或2，当 时， ，解得 ，
又 ，所以不存在这样的 ，
综上所述， 或2．
故答案为：1或2．
四．解答题（共3小题）
26．已知复数 ．当实数 取什么值时，复数 是：
（1）虚数；
（2）纯虚数；
（3）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数？
【解答】解：由于 ，复数 可表示为 ．
（1）当 ，即 时， 为虚数．
（2）当 ，且 ，即 时， 为纯虚数．
（3）当 ，即 时， 为复平面内第二、四象限角平分线上的点对应
的复数．
27．已知复数 ，复数 在复平面内对应的向量为 ．
（1）若 为纯虚数，求 的值；
（2）若 在复平面内对应的点在第三象限，求 的取值范围．
【解答】解：（1）复数 在复平面内对应的向量为 ，
则 ，
，
则 ，为纯虚数，
，解得 ；
（2） ，
在复平面内对应的点在第三象限，
，解得 ，
故 的取值范围为 ， ．
28．已知复数 ， ，其中 ．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 是纯虚数，求 的值．
【解答】解：（1） ， ，
，
，从而 ，解得 ；
（2）复数 ， ，其中 ，
，
因为 是纯虚数，所以 ，解得 或 ．
