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第 19 章 一次函数复习讲义（原卷版）
第一部分 知识梳理＋方法指引
一、函数
1.常量与变量
数值发生变化的量叫变量，数值始终不变的量叫常量.
2.函数定义
在一个变化过程中，如果有两个变量 x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，
那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
3.函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，那么坐
标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
4.描点法画图象的步骤：列表、描点、连线
5.函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法
二、一次函数
1.一次函数与正比例函数的概念
一般地，如果y=kx+b(k、b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.特别地，当b=0时，一次函数y=kx+b
变为y=kx(k为常数，k≠0)，这时y叫做x的正比例函数.
2.分段函数
当自变量的取值范围不同时，函数的解析式也不同，这样的函数称为分段函数.
3.一次函数的图象与性质
4.用待定系数法求一次函数的解析式
求一次函数解析式的一般步骤：
(1)先设出函数解析式；
(2)根据条件列关于待定系数的方程(组)；
(3)解方程(组)求出解析式中未知的系数；
(4)把求出的系数代入设的解析式，从而具体写出这个解析式.
这种求解析式的方法叫待定系数法.
5.一次函数与方程、不等式
(1)一次函数与一元一次方程 (2)一次函数与一元一次不等式
(3)一次函数与二元一次方程组
一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的形式，所以每个二
元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线.
方程组的解 对应两条直线交点的坐标.第二部分 典例剖析+变式训练
类型一 正比例函数的定义
【典例1】（2024春•邗江区校级月考）已知函数y＝2x|a﹣2|+a2﹣1是正比例函数，则a＝（ ）
A．1 B．±1 C．3 D．3或1
【变式训练】
1．（2023秋•宣汉县期末）已知函数y＝（m+1）x m2−3是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则 m
❑
的值是（ ）
1
A．2 B．﹣2 C．±2 D．−
2
2．（2022春•崇川区校级月考）下列y关于x的函数中，是正比例函数的为（ ）
2 x x−2
A．y＝x2 B．y= C．y= D．y=
x 4 3
3．（2022•资兴市校级模拟）下列说法中不成立的是（ ）
x
A．在y＝3x﹣1中y+1与x成正比例 B．在y=− 中y与x成正比例
2
C．在y＝2（x+1）中y与x+1成正比例 D．在y＝x+3中y与x成正比例
类型二 一次函数的定义
9 6
【典例2】（2024春•仓山区月考）下列函数中：①y＝3x+4；②y= x；③y= ；④y＝x2+2，其中y
5 x
是x的一次函数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练】
1．（2024•遵义一模）下列函数中，y是x的一次函数的是（ ）
3
A．y= B．y＝2x2+3x﹣1
x
C．y＝x﹣1 D．y＝x2﹣1
类型三 一次函数的图象
【典例3】（2023•龙岩模拟）若k＜2，则函数y＝（k﹣2）x+2﹣k的图象可能是（ ）
A． B． C． D．【变式训练】
1．（2023秋•白银区期末）满足k＞0，b＝3的一次函数y＝kx+b的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024•榆阳区一模）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数 y＝k x+b 与y＝k x+b 的图象分别为
1 1 2 2
直线l 和直线l ，则下列结论错误的是（ ）
1 2
A．k •k ＜0 B．k ﹣k ＞0 C．b +b ＞0 D．b •b ＞0
1 2 1 2 1 2 1 2
类型四 一次函数的性质
【典例4】（2023•益阳）关于一次函数y＝x+1，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点（0，1）
C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．当x＞﹣1时，y＜0
【变式训练】
1．下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（ ）
A．y＝2x+1 B．y＝x﹣4 C．y＝2x D．y＝﹣x+1
2．（2023•临沂）对于某个一次函数y＝kx+b（k≠0），根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（
）1
A．k＞0 B．kb＜0 C．k+b＞0 D．k=− b
2
类型五 一次函数图象与系数的关系
【典例5】（2023春•平江县期末）如图是一次函数y＝kx+b的图象，下列说法正确的是（ ）
A．y随x增大而增大 B．图象经过第三象限
C．b＜0 D．当x≥0时，y≤b
【针对训练】
1．（2023春•自贡期末）一次函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数）的图象如图所示，则k，b的取值范围是
（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＜0，b＞0 C．k＞0，b＜0 D．k＜0，b＜0
2．（2023•贵阳模拟）已知函数y＝（2m﹣1）x是正比例函数，且y随x的增大而增大，那么m的取值范
围是（ ）
1 1
A．m＞ B．m＜ C．m＞0 D．m＜0
2 2
3．（2014秋•广南县期末）已知：一次函数y＝kx+b的图象不经过第三象限，则k 0，b 0．
类型六 一次函数图象上点的坐标特征
1 1
【典例6】（2022秋•余姚市期末）已知A（− ，y ）、B（− ，y ）、C（1，y ）是一次函数y＝﹣3x+b
1 2 3
3 2
的图象上三点，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 1 3 3 1 2 3 2 1
【变式训练】
1．（2023•秦都区二模）一次函数 y＝kx+3 的图象经过点（﹣1，5），若自变量 x 的取值范围是﹣
2≤x≤5，则y的最小值是（ ）A．﹣10 B．﹣7 C．7 D．11
2．（2023春•渝中区月考）如图，点A的坐标为（﹣1，0），直线y＝x﹣2与x轴交于点C，与y轴交于
点D，点B在直线y＝x﹣2上运动．当线段AB最短时，AB的长为（ ）
3 3
A．1 B．❑√2 C． D． ❑√2
2 2
3．（2023•武侯区三模）A（﹣1，y ），B（3，y ）是直线y＝﹣2x+b上的两点，则y y （填＞或
1 2 1 2
＜）
类型七 一次函数图象与几何变换
【典例7】（2023春•雨花区月考）在平面直角坐标系中，将直线y＝2x+b沿x轴向右平移2个单位后恰好
经过原点，则b的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【变式训练】
1．（2023春•高新区月考）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 OABC的边OC落在x轴的正半轴上，
且B（6，2），C（4，0），直线y＝2x+1以每秒1个单位的速度向下平移，经过t秒该直线可将平行四
边形OABC分成面积相等的两部分，则t的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2022春•北辰区期末）将一次函数y＝﹣2x的图象沿y轴向下平移4个单位长度后，所得图象的函数
表达式为 ．
3．（2023春•西湖区月考）已知一次函数y＝k（x+3）（k≠0）．
（1）求证：点（﹣3，0）在该函数图象上；
（2）若该函数图象向上平移2个单位后过点（1，﹣2），求k的值；
（3）若k＜0，点A（x ，y ），B（x ，y ）在函数图象上，且y ＜y ，请比较x 与x 的大小，并说明理
1 1 2 2 1 2 1 2
由．类型八 待定系数法求一次函数解析式
【典例8】（2023春•柘城县期末）如图，已知直线l ：y＝﹣2x+4与坐标轴分别交于A、B两点，那么过
1
原点O且将△AOB的面积平分的直线l 的解析式为（ ）
2
A．y＝x B．y＝2x C．y＝3x D．y＝1.5x
【变式训练】
1．（2021•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（0，4）．以AB为一边在第一象限作正方
形ABCD，则对角线BD所在直线的解析式为（ ）
1 1 1
A．y=− x+4 B．y=− x+4 C．y=− x+4 D．y＝4
7 4 2
2．（2022春•宁县期末）如图，菱形ABCD的对角线与坐标原点重合，点A（﹣2，5），则过点C的直线
y＝kx﹣3的解析式为（ ）
A．y＝2x﹣3 B．y＝﹣2x﹣3 C．y＝﹣x﹣3 D．y＝x﹣3
3．（2023秋•成华区期末）已知一次函数的图象与直线y＝﹣x+1平行，且过点（8，2），则此一次函数
的解析式为 ．
类型九 一次函数与一元一次方程
【典例9】（2023秋•太平区期末）如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程
kx+b＝2x的解（ ）
1
A．x= B．x＝2 C．x＝1 D．x＝4
2【变式训练】
1 1
1．已知方程 x+b＝0的解是x＝﹣2，下列为直线y= x+b图象的是（ ）
2 2
A． B． C． D．
类型10 一次函数与一元一次不等式
【典例10】（2023春•太原期末）如图，直线y＝ax+b（a≠0）过点A（﹣3，0），B（0，3），则关于x
的不等式ax+b＞3的解集是 ．
【变式训练】
5．（2022春•宝安区期末）如图，函数y ＝﹣2x与y ＝ax+3的图象相交于点A（m，2），则关于x的不等
1 2
式﹣2x≤ax+3的解集是 ．
类型十一 一次函数与二元一次方程（组）
【典例11】（2022春•江津区期中）如图，一次函数y ＝ax+b与一次函数y ＝kx+4的图象交于P（1，
1 2
3），则下列说法正确的个数是（ ）个．
{y=ax+b) {x=3)
（1）方程ax+b＝3的解是x＝1； （2）方程组 的解是 ；
y=kx+4 y=1
（3）不等式ax+b＞kx+4的解集是x＞1； （4）不等式组4＞kx+4＞ax+b的解集是0＜x＜1．
A．1 B．2 C．3 D．4变式训练
1．（2022•梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+b与直线y＝﹣3x+6相交于点A，则关于x，y
{ y=2x+b )
的二元一次方程组 的解是（ ）
y=−3x+6
{x=2) {x=1) {x=−1) {x=3)
A． B． C． D．
y=0 y=3 y=9 y=1
类型十二 两条直线相交或平行问题
【典例12】（2022秋•沈阳期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，
9），且与x轴相交于点B，与y轴交于点D，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为
1．
（1）直接写出一次函数的函数解析式；
（2）M为直线AB上一点，过点M作y轴的平行线交y＝3x于点N，当MN＝2OD时，直接写出点M的
坐标 ．【变式训练】
1
1．（2024春•裕华区期中）如图，一次函数y=− x+5的图象分别与x轴，y轴交于A、B两点，正比例
2
15
函数的图象与交于点C(m， )．
4
（1）m＝ ；
（2）一次函数y＝kx+1的图象为l ，且l ，l ，l 可以围成三角形，则k的取值范围 ．
3 1 2 3
类型十三 一次函数的应用
【典例13】（2024•锡山区一模）明明和亮亮都在同一直道A、B两地间做匀速往返走锻炼．明明的速度小
于亮亮的速度（忽略掉头等时间）．明明从A地出发，同时亮亮从B地出发．图中的折线段表示从开始
到第二次相遇止，两人之间的距离y（米）与行走时间x（分）的函数关系的图象，则下列结论错误的
是（ ）
140
A．a＝2100 B．b＝2000 C．c＝20 D．d=
3
【变式训练】
1．（2024•延庆区模拟）小明和弟弟周末去图书馆．二人先后从家出发沿同一条路匀速去往图书馆，小明
用10min到达图书馆，弟弟比他早出发2min，但是在小明到达时弟弟还距离图书馆30m．设小明和弟弟
所走的路程分别为 y ，y ，其中 y ，y 与时间 x之间的函数关系如图所示．则下列结论正确的是
1 2 1 2
（ ）
①小明家与图书馆之间的距离为750m；
②当小明出发时，弟弟已经离家120m；
③小明每分钟比弟弟多走10m；④小明出发7分钟后追上弟弟．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②④
2．（2024•济南一模）如图，甲、乙两人以相同的路线前往距离单位10km的培训中心参加学习．图中l甲 、
l乙 分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程s（千米）随时间t（分）变化的函数图象，乙出发后
分钟追上甲．
3．（2024•松原二模）甲、乙两人骑自行车从A地到B地．甲先出发骑行3千米时，乙才出发；开始时，
甲、乙两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变；2.8小时后，甲到达B地，
在整个骑行过程中，甲、乙两人骑行路程y（千米）与乙骑行时间x（小时）之间的关系如图所示．
（1）求出图中t的值；
（2）求甲改变骑行速度后，y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当乙到达B地后，求甲离B地的路程．4．（2024•秦淮区模拟）小郑和小外同时从A出发进行100m的游泳比赛，小郑游泳速度不变．图中的实
线表示部分小外在游泳过程中与A的距离y（m）和游泳的时间t（s）之间的关系，虚线表示小郑在游
泳过程中与A的距离y（m）和游泳的时间t（s）之间的关系．
5
（1）小郑游泳的平均速度为 m/s，游泳池的长度为 2 5 m．
6
（2）小外在45s后速度增加，并以增加后的速度匀速行驶，若小外和小郑同时到达终点，
①请补全小外的函数图象；
②小郑出发多长时间后，两人相距5m？（直接写出结果）
5．（2024•雁塔区四模）某工厂生产一种正方形的合金薄板（其厚度忽略不计），每张薄板的出厂价（单
位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板
的边长成正比例，在营销过程中得到了如下表格中的数据．
薄板的边长x 20 30
（cm）
出厂价y 45 65
（元/张）
（1）求每张薄板的出厂价y与边长x之间满足的函数关系式；
（2）在营销过程中，已知出售一张边长为40cm的薄板工厂可获得利润26元，求这张薄板的成本价．6．（2024•盐城模拟）某商店销售5台A型和10台B型电脑的利润为3500元，销售10台A型和10台B
型电脑的利润为4500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共80台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设
购进A型电脑x台，这80台电脑的销售总利润为y元．
求该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店销售B型电脑的利润
不低于10000元，若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这80
台电脑销售总利润最大的进货方案，直接写出进货方案即可．
类型十四 一次函数综合题
3 3
【典例14】（2023•沭阳县模拟）如图，直线AB：y= x+ 与坐标轴交于A、B两点，点C与点A关于y
4 2
轴对称．CD⊥x轴与直线AB交于点D．
（1）求点A和点B的坐标；
9
（2）点P在直线CD上运动，且始终在直线AB下方，当△ABP的面积为 时，求出点P的坐标；
2
（3）在（2）的条件下，点Q为直线CD上一动点，直接写出所有使△APQ是以AP为腰的等腰三角形
的点Q的坐标．【针对训练】
1．（2023•天元区模拟）在如图的平面直角坐标系中，直线 n过点A（0，﹣2），且与直线l交于点B
（3，2），直线l与y轴交于点C．
（1）求直线n的函数表达式；
（2）若△ABC的面积为9，求点C的坐标；
（3）若△ABC是等腰三角形，求直线l的函数表达式．
类型十五 一次函数含参问题
【典例15】（2024春•崇川区月考）如图，在平面直角坐标系中，点 A、B的坐标分别为（1，4）、（2，
4
4），在某动画程序中，用信号枪沿直线y=kx+2− k发射信号，当信号与线段AB相交时，线段AB
3
消失，能够使线段AB消失的k的取值范围是 ．
【针对训练】
1．（2023春•大兴区期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图
象平移得到，且经过点A（3，5）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值小于函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写
出m的取值范围．
