跟踪训练06对数函数（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_更新中2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）_第二章基本初等函数

跟踪训练 06 对数函数 一．选择题（共13小题） 1．已知 ，则 A． B． C． D． 【解答】解：因为 是定义在 上单调递减函数，由 ， 所以 ， 对于 ：若 ， 时， ，故 错误； 对于 ：因为 ，所以 ， ，所以 ， 所以 ，故 错误； 对于 ：因为 ，所以 ，故 正确； 对于 ：若 ， ，则 ， ，即 ，故 错误． 故选： ． 2．等比数列 的各项均为正数，且 ，则 A．8 B．6 C．4 D．3 【解答】解：因为 ， 所以 ． 故选： ．3．已知 ， ， ，则 A． B． C． D． 【解答】解： ， ， ； ， ； ， ， ， ，即 ， ． 故选： ． 4．已知 ， ， ，则三数大小关系为 A． B． C． D． 【解答】解： ， ， ， ， ， ， ． 故选： ． 5．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为 A． B． C． D． 【解答】解：由对数函数的运算性质，可得 ， ， ， 所以 ． 故选： ． 6．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为 A． B． C． D． 【解答】解：由 在 上单调递减得 ，又 在 上单调递减得 ， ． 故选： ． 7．二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是 大小的，即441个点，根据0 和1的二进制编码，一共有 种不同的码，假设我们1秒钟用掉1万个二维码，1万年约 为 秒，那么大约可以用（参考数据： ， A． 万年 B．117万年 C． 万年 D．205万年 【解答】解：由题意大约能用 万年， 则 ， 所以 ． 故选： ． 8．已知 ， ， ，则 的最小值为 A．4 B．6 C．8 D．12 【解答】解：因为 ，所以 ，即 ， 所 以 当且仅当 ，即 ， 时等号成立， 所以 的最小值为6． 故选： ． 9．已知 ， ， 满足 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为 A． B． C． D． 【解答】解： ， 由题意知， 为函数 与函数 交点的横坐标， 为函数 与函数 交点的横坐标， 为函数 与函数 交点的横坐标， 分别画出函数 ， ， 与函数 的图像， 由图像得， ． 故选： ． 10．设 ， ， ，则 A． B． C． D． 【解答】解：由 ，令 且 ， 所以 ， 令 且 ，则 ，即 递减，所以 ，故 在 上恒成立，则 在 上递减， 所以 ，即 ，则 ， 由 ，令 且 ， 所以 在 上递增，故 ， 故 在 上递增， ，即 ，则 ， 综上， ． 故选： ． 11．已知 ， ， ，则 A． B． C． D． 【解答】解： ， ，且 ， ， 设 ， ， 时， ， 在 上单调递增， 时， （1） ，即 ， ，即 ， ， ． 故选： ． 12．已知 ，则 A． B． C． D．【解答】解： ， ， ， ， ， ． 故选： ． 13．已知 ， ， ，则 的最小值为 A．4 B．6 C．8 D．10 【解答】解： ， ， ， ， 又 ， ，当且仅当 ，即 时取等号， 的最小值为6． 故选： ． 二．多选题（共5小题） 14．以下运算中正确的是 A．若 ， ，则 B． C．若 ，则 D． 【 解 答 】 解 ： 对 选 项 ， 若 ， ， 则 ，故 正确．对选项 ， ，故 正确． 对选项 ，因为 ，所以 ， 因为 ， 所以 ，故 错误． 对选项 ， ， 故 正确． 故选： ． 15．下列关于函数 ，且 说法正确的是 A．定义域为 ， ， B．当 时，单调增区间为 C．当 时，方程 至多存在2个实根 D．图象关于直线 对称 【解答】解：对于 ，因为 ，解得 或 ，故定义域为 ， ， ， 正确； 对于 ，设 ，则 ，因为 ，所以 为减函数， 又 为开口向上的二次函数，且 时，为增函数， 所以当 时，单调减区间为 ， 不正确； 对于 ，不妨设 ，则 ， 设 ，由 可得 ，即 ，解得 ，由 在定义域内，作出 的简图， 由图可知 与其有四个不同的交点， 不正确； 对于 ，因为 ， 所以图象关于直线 对称， 正确． 故选： ． 16．已知 ，则 ， 满足 A． B． C． D． 【解答】解： ， ， ， ， ，故 正确， ，故 错误， （因为 ，故等号不成立）， ，故 正确， ， ，即 ， ，故 正确， 故选： ． 17．若 ，则下列关系成立的是 A． B． C． D．【解答】解： ， ， ， 正确； ， ， ， 正确； ， ， 错误； ， ， ， 正确． 故选： ． 18．若 ，则 A． B． C． D． 【解答】解：由题意得 ， ，所以 ， 设函数 ，则 是增函数， 由 ，得 （a） （b），所以 ， 由 ，得 （a） ， 所以 ． 故选： ． 三．填空题（共6小题） 19． 的值等于 ． 【解答】解： ， 故答案为： ．20．计算： （用数字作答） 【解答】解： ． 故答案为： ． 21．计算： ． 【解答】解： ． 故答案为： ． 22．函数 ，则 ． 【解答】解： ，， 故答案为： ． 23．已知 ， 1 ． 【解答】解： ， ， ， ． 故答案为：1． 24．科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设 为地震时所散发出来的相对能量程度， 则里氏震级 可定义为 ，2021年3月13日下午江西鹰潭余江区发生里氏3.1级地 震，2020年1月1日四川自贡发生里氏4.3级地震，则自贡地震所散发出来的能量是余江 地震所散发出来的能量的 10 0 倍． 【解答】解：设里氏3.1级地震所散发出来的能量为 ，里氏4.3级地震所散发出来的能量 为 ， 则 ， ， ， 解得 ． 故答案为：100． 四．解答题（共3小题）25．求值： （1） ； （2） ． 【解答】解：（1）原式 ． （2）原式 ． 26．（1）已知函数 且 ，若 在区间 ， 上的最大值与最小 值之差为1，求 的值； （2）若 ，解关于 的不等式 ． 【解答】解：（1）因为 在 ， 上为单调函数， 且函数 在区间 ， 上的最大值与最小值之差为1， 所以 ， 解得 或 ． （2）因为函数 是 上的减函数， 所以 ，即 ， 当 时， ，原不等式解集为 ； 当 时， ，原不等式解集为 ． 27．已知函数 的图像过点 和 ．（1）求此函数的表达式并注明定义域； （2）已知函数 ，若两个函数图像在区间 ， 上有公共点，求 的最小 值． 【解答】解：（1）函数 的图像过点 和 ， 则 ，即 ，解得 ， 故 ； （2） 函数 ， 在 ， 上有解， 则 ，在 ， 严格单调递增， 当 时， 取得最小值2， ， 故 的最小值为2．