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第 21 章 一元二次方程能力提升测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。）
1．用配方法将方程x2﹣4x+3＝0化成（x+a）2＝b的形式，则a﹣b的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣7
2．已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣4m+5＝0有两个相等的实数根，则m的值为（
）
A．m＝﹣5 B．m＝1 C．m＝﹣5或m＝1 D．m＝﹣1或m＝5
3．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，
赛程计划安排3天，每天安排12场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的
关系式为（ ）
A． B．
C．x（x+1）＝3×12 D．x（x﹣1）＝3×12
4．小明在研学实践中发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目
的小分支，主干、支干和小分支的总数是21，则这种植物每个支干长出的小分支个数是
（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
5．若（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝15，则a2+b2＝（ ）
A．4 B．5 C．±4 D．±5
6．在一幅长70cm、宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边制成一幅矩形挂图，如果
要使整个挂图的面积是4500cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么满足的方程是（ ）
A．x2+60x﹣250＝0 B．x2﹣60x﹣250＝0
C．x2+120x﹣1000＝0 D．x2﹣120x﹣1000＝0
7．若m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，则 的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
8．若M＝2x2+x，N＝x2﹣3x﹣2，则M与N的大小关系为（ ）
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．无法确定
9．已知a，b是方程x2+6x﹣2＝0的两个实数根，则a2+7a+b的值为（ ）A．﹣4 B．﹣9 C．0 D．9
10．对于任意4个实数 a，b，c，d定义一种新的运算 ＝ad﹣bc，例如： ＝4×6
﹣2×1＝22，则关于x的方程 ＝0的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
11．如图，M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，分别交AB、AC于D，E
两点，设BD＝a，DE＝b，CE＝c，关于x的方程ax2+bx+c＝0（ ）
A．一定有两个相等实根
B．一定有两个不相等实根
C．有两个实根，但无法确定是否相等
D．无实根
12．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则
0
⑤存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c；
其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③
二．填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．已知关于x的一元二次方程2x2+mx﹣6＝0的一个根是3，则m的值是 ．14．关于x的一元二次方程x2+2x＝1﹣m有实数根，则m的取值范围是 ．
15．若a，b是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的两个实数根，则 的值为 ．
16．已知 a，b 是方程 x2﹣3x+2＝0 的两个根，则数据：4，a，b，7 的平均数是
．
17．已知（a2+b2+1）（a2+b2﹣2）＝0，则a2+b2的值是 ．
18．新定义：关于x的一元二次方程 与 称为“同族二次
方程”．例如：5（x﹣6）2+7＝0与6（x﹣6）2+7＝0是“同族二次方程”．现有关于x
的一元二次方程（m+2）x2+（n﹣4）x+8＝0与2（x﹣1）2+1＝0是“同族二次方程”，
则代数式mx2+nx+2029的最小值是 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）解一元二次方程：
（1）5x（x+1）＝3x+3； （2）3x2+6x﹣4＝0．
20．关于x的一元二次方程x2﹣6x+k﹣1＝0．
（1）如果方程有实数根，求k的取值范围；
（2）如果x ，x 是这个方程的两个根，且 ，求k的值．
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21．（8分）根据等式和不等式的性质，可以得到：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则
a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b．这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式的值的大小．
（1）若a﹣b+2＞0，则a+1 b﹣1．（填“＞”“＝”或“＜”）
（2）已知A＝5m2﹣7m+2，B＝7（m2﹣m）+4，试比较A，B的大小．22．（8分）某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些
铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．
（1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长（AB）和宽（BC）；
（2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．
23．（8分）（1）下面是小李探索 的近似值的过程，请补充完整：
我们知道面积是2的正方形的边长是 ，且 ，设 ，可画出示意图．
由面积公式，可得x2+2x+1＝2．
略去x2，得方程2x+1＝2．
解得x＝0.5，即 ．
上述过程中，主要运用的数学思想是 ．
（2）容易知道 ，设 ，请类比（1）的方法，探究 的近似值．
（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
24．（8分）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m，n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，
∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，
∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知△ABC的三边长a，b，c，且a，b满足a2﹣2ab+2b2﹣4b+4＝0，若△ABC的
周长为偶数，求△ABC的周长；
（2）已知a2b2+a2+9b2﹣8ab+1＝0，求a2+b2的值．
25．（8分）2023年10月26日，神舟十七号发射升空，与空间站构成三船三舱构型．某
纪念品商店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型
每件成本40元，当商品售价为70元时，十月售出256件，十一月、十二月销量持续走
高，十二月售出400件．
（1）求十一、十二这两个月的月平均增长率．
（2）为了让利于爱好者，商店决定在每月售出400件的基础上降价销售，若模型单价
每降低1元，可多售出5件，要使商店仍能获利9000元，每件模型应降价多少元？
26．（8分）已知x ，x 是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实
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数根．
（1）求m的取值范围；
（2）已知等腰△ABC的底边BC＝4，若x ，x 恰好是△ABC另外两边的边长，求这个
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三角形的周长．
（3）阅读材料：若△ABC三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶﹣海伦公式可
得：S△ABC ＝ ，其中p＝ ，在（2）的条件下，若∠BAC
和∠ABC的角平分线交于点I，根据以上信息，求△BIC的面积．
