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第21章 一元二次方程能力提升测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。）
1．用配方法解一元二次方程x2+4x+3=0，配方后的方程是（ ）
A． B．
(x+2) 2=1 (x−4) 2=1
C． D．
(x−2) 2=1 (x+4) 2=1
【答案】A
【分析】本题考查的是解一元二次方程，先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一
半的平方即可．
【详解】解：x2+4x+3=0，
x2+4x=−3，
x2+4x+4=−3+4，
．
(x+2) 2=1
故选：A．
2．在宽为20m，长为32m的矩形田地中央修筑同样宽的两条互相垂直的道路，把矩形田地
分成四个相同面积的小矩形田地，作为良种试验田，要使每小块试验田的面积为135m2，
设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A．(32−x)(20−x)=135 B．(32−x)(20−x)=135
1
C． (32−x)(20−x)=135 D．(32−x)(20−x)−x2=135
4
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，属于简单题，平移道路形成新的矩形是
解题关键．
将阴影部分推至左上角，计算空白部分面积即可．【详解】如下图，
将道路推至左上角，形成新矩形田地，
∵道路的宽为x米，
∴新矩形田地长为(32−x)m，宽为(20−x)m，
∵每小块试验田的面积为135m2，即新矩形面积为4×135，
∴(32−x)(20−x)=4×135，
1
整理得 (32−x)(20−x)=135，
4
故选：C．
3．若关于x的一元二次方程 有实数根，则m的取值范围是（ ）
(m−1)x2+x+1=0
5 5 5 5
A．m< B．m< 且m≠1 C．m≤ D．m≤ 且m≠1
4 4 4 4
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及判别式的应用，根据题意得出m−1≠0，
，求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
Δ=12−4(m−1)=5−4m≥0
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程 有实数根，
(m−1)x2+x+1=0
∴ ， ，
m−1≠0 Δ=12−4(m−1)=5−4m≥0
5
∴m≤ 且m≠1．
4
故选：D．
4．若x=2025是关于x的方程ax2+bx+1=0的一个根，则关于x的方程
必有一个根为（ ）
a(x+2) 2+bx+2b=−1
A．2023 B．2024 C．2025 D．2027【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有一
个根为 ，可得出关于 的一元二次方程 有一个根为
2025 (x+2) a(x+2) 2+bx+2b=−1
2025，解之可得出x的值，此题得解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有一个根为2025，
∴关于 的一元二次方程 即 有一个
(x+2) a(x+2) 2+b(x+2)+1=0 a(x+2) 2+bx+2b=−1
根为2025，
即x+2=2025，
解得：x=2023，
故选：A．
5．对于任意实数a，b，定义新运算“Δ”： aΔb=a2−2ab−b2，例如：
1 1
2Δ3=22−2×2×3−32=−17．若m，n是方程(x+3)Δ2=0的两个实数根，则 +
m n
的值为（ ）
2 2 1
A． B．−3 C．− D．−
7 7 7
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，新定义下的实数运算；由
(x+3)Δ2=0得：x2+2x−7=0，由根与系数的关系得m+n=−2，mn=−7；再把所
求代数式通分，整体代入即可．
【详解】解：∵(x+3)Δ2=0，
∴ ，
(x+3) 2−2(x+3)×2−22=0
整理得：x2+2x−7=0，
∵m，n是方程(x+3)Δ2=0的两个实数根，
即m，n是方程x2+2x−7=0的两个实数根，
∴m+n=−2，mn=−7；
1 1 n+m −2 2
∴ + = = = ；
m n mn −7 7
故选：A．6．电影《哪吒2》于2025年1月29日上映，第一天票房约5亿，以后每天票房按相同的增
长率增长，第三天票房约6亿，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A． B．
5(1+x)=6 5(1+x) 2=6
C． D．
5+5(1+x)=6 5+5(1+x)+5(1+x) 2=6
【答案】B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，由第一天的票房及以后每天的增
长率，可得出第二、三天的票房，即可得出关于x的一元二次方程．找准等量关系，正
确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：根据题意得： ，
5(1+x) 2=6
故选：B．
7．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2−6x+8=0的两个根．则该三角
形的周长是（ ）
A．8 B．10 C．8或10 D．8或9或10
【答案】B
【分析】本题考查等腰三角形的定义，解一元二次方程．求出一元二次方程的解，根据
方程的两根为等腰三角形的腰和底的长，分类讨论求解即可．
【详解】解：x2−6x+8=0，
(x−2)(x−4)=0，
x−2=0或x−4=0，
∴x =2,x =4，
1 2
当腰为2，底为4时，因为2+2=4，不符合三角形三边的关系，舍去，
当腰为4，底为2时，三角形的周长为4+4+2=10．
故选：B．
8．对于实数m、n定义运算“☆”为m☆n=m2−4+mn，例如：
1☆2=12−4+1×2=−1，则关于x的方程x☆3=0的根的情况，下列说法正确的是
（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，先根据新定义运算法则列出方程，再
由根的判别式进行判断即可．
【详解】解：∵m☆n=m2−4+mn，且x☆3=0，
∴x2−4+3x=0，即x2+3x−4=0，
∴
Δ=32−4×1×(−4)=25>0,
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
9．若一元二次方程x2+x−3=0的一个根为m，则2025−m2−m的值是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，掌握整体代入法是解题的关键；
根据m是方程x2+x−3=0的一个根，可得m2+m=3，再代入代数式计算即可求
【详解】解：∵一元二次方程x2+x−3=0的一个根为m，
∴m2+m−3=0，
∴m2+m=3，
∴ ．
2025−m2−m=2025−(m2+m)=2025−3=2022
故选：A．
10．如图，在△ABC中，AC=50m，BC=40m，∠C=90°，点P从点A出发，以2m/s
的速度沿AC边向点C匀速运动，同时另一点Q从点C出发，以3m/s的速度沿射线CB
匀速运动，当△PCQ的面积为300m2时，运动时间为（ ）
A．5s B．20s C．5s或20s D．5s或10s
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式等知识，解题的关键是把
问题转化为方程，属于基础题，中考常考题型．
根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题．【详解】解：设运动时间为t秒，则有AP=2t，CQ=3t，
∴PC=50−2t，
1
∴ ×PC×CQ=300，
2
1
∴ ·(50−2t)×3t=300，
2
解得t=20或5，
∴t=20s或5s时，△PCQ的面积为300m2．
故选：D．
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）
11．关于x的方程x2+3x−m=0的两根为x ，x ，且2x =x ，则m= ．
1 2 1 2
【答案】−3
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据x +x =−3，可得
1 2
x +2x =−3，可以求出x =−1、x =−2，根据x x =−m可以求出m=−3．
1 1 1 2 1 2
【详解】解：∵方程x2+3x−m=0的两根为x ，x ，
1 2
b
∴x +x =− =−3，
1 2 a
又∵ 2x =x ，
1 2
∴x +2x =−3，
1 1
解得：x =−1，
1
∴x =−2，
2
，
∴−m=x x =(−1)×(−2)=3
1 2
∴m=−3．
故答案为：−3．
12．若关于x的一元二次方程x2−mx+3=0的两个根分别为−1，a，则a−1= ．
【答案】−4
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握其计算方法是关键．
b
根据题意，把−1代入得到m=4，在根据一元二次方程根与系数的关系“x +x =−
1 2 a
”的计算即可求解．
【详解】解：关于x的一元二次方程x2−mx+3=0的两个根分别为−1，a，∴ ，
(−1) 2+m+3=0
解得，m=−4，
∴一元二次方程为x2+4x+3=0，
4
∴a+(−1)=a−1=− =−4，
1
故答案为：−4 ．
13．《新课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入人才培养全过
程．某校积极实施，建设校园农场．如图，该矩形农场长32m，宽20m，要求在农场
内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为
540m2．则道路的宽为 m．
【答案】2
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握等量关系是解题的关键．根据
矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程即可．
【详解】解：设道路宽为x，
根据题意可得：(20−x)(32−x)=540，
解得(x−2)(x−50)=0，
解得x =2,x =50（舍去），
1 2
故答案为：2．
14．关于 的一元二次方程 的两实根 满足 ，则
x x2−(2k−1)x+k2−k=0 m、n m2+n2=5 k
的值为 ．
【答案】2或−1
【分析】此题考查主要了根与系数的关系，解一元二次方程，利用根与系数的关系求
解即可，解题的关键是熟练掌握一元二次方程 的两个根为 ， ，
ax2+bx+c=0(a≠0) x x
1 2
b c
则x +x =− ，x x = ．
1 2 a 1 2 a【详解】解： ，则k为任意实数，方程恒有两个不等的根，
(2k−1) 2−4(k2−k)=1>0
由题意得：m+n=2k−1，mn=k2−k，
∵m2+n2=5，
∴ ，
(m+n) 2−2mn=5
∴ ，整理得： ，
(2k−1) 2−2×1×(k2−k)=5 k2−k−2=0
解得：k =2，k =−1，
1 2
故答案为：2或−1．
三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（8分）用合适的方法解下列一元二次方程：
(1)x2−3x−28=0；
(2)2x2−3x+2=0．
【答案】(1)x =7，x =−4；
1 2
(2)方程没有实数根．
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方
法，配方法，公式法，因式分解法，
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：x2−3x−28=0，
因式分解得(x−7)(x+4)=0，
即x−7=0，x+4=0，
解得x =7，x =−4；
1 2
（2）解：2x2−3x+2=0，
a=2，b=−3，c=2，
，
Δ=b2−4ac=(−3) 2−4×2×2=−7<0
∴方程没有实数根．
16．（8分）靖州杨梅享有“江南第一梅”的美誉，靖州作为杨梅之乡，当地政府为了把
杨梅文化，打造成当地旅游名片，当地政府多次举办杨梅节活动．原来每盒杨梅进货
价为100元，经过两次降价后每盒进货价为36元，并且每次降价的百分率相同．(1)请问每次降价的百分率为多少？
(2)朴实水果店以36元每盒进货了200盒杨梅，计划以每盒标价50元出售．由于恰逢
端午佳节，店铺准备开展大促销活动，所有商品一律八折．若要使200盒杨梅全部售
出后的利润不少于2000元，则至少需要在促销活动开始前卖出多少盒？
【答案】(1)40%
(2)120盒
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正
确理解题意列出方程和不等式是解题的关键．
（1）设每次降价的百分率为x，根据原来每盒杨梅进货价为100元，经过两次降价后
每盒进货价为36元，建立方程求解即可；
（2）设需要在促销活动开始前卖出m盒，则促销活动中一共卖了(200−m)盒，根据
利润不低于2000元建立不等式求解即可．
【详解】（1）解：设每次降价的百分率为x，
由题意得， ，
100(1−x) 2=36
解得x=0.4=40%或x=1.6（舍去），
答：每次降价的百分率为40%；
（2）解：设需要在促销活动开始前卖出m盒，则促销活动中一共卖了(200−m)盒，
由题意得，(50−36)m+(50×0.8−36)(200−m)≥2000，
解得m≥120，
∴m的最小值为120，
答：至少需要在促销活动开始前卖出120盒．
17．（8分）已知关于x的方程：x2+2kx+k2−3=0，其中k是常数．
(1)求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若m、n是此方程的两个根，当k=1时，求代数式2025−m2+2m+4n的值．
【答案】(1)见解析
(2)2015
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程
的解的定义，正确变形、灵活应用整体思想是解题关键；
（1）证明方程的判别式大于0即可；
（2）当k=1时，原方程为x2+2x−2=0，根据一元二次方程根与系数的关系和方程解的定义可得m2+2m−2=0,m+n=−2，然后把所求式子变形后再整体代入求解即
可．
【详解】（1）证明：∵
Δ=(2k) 2−4(k2−3)
=4k2−4k2+12
=12>0，
∴不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：当k=1时，原方程为x2+2x−2=0，
∵m、n是此方程的两个根，
∴m2+2m−2=0,m+n=−2，
∴m2+2m=2
∴2025−m2+2m+4n
=2025−(m2+2m)+4(m+n)
=2025−2+4×(−2)
=2015．
18．（8分）数学兴趣小组利用长方形纸板制作礼品盒，选择长为60cm，宽为40cm的长
方形纸板，如图，在其四角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形
（阴影部分），再把剩余部分沿虚线折起来得长方体礼品盒．
(1)当礼盒底面的长是宽的4倍时，求该长方体礼品盒的体积；
(2)当礼盒的侧面ABCD的面积为750cm2，求剪去的小正方形的边长．
【答案】(1)4032cm3
(2)5cm
【分析】本题考查了一元二次方程和一元一次方程的实际应用，长方体的体积公式，
正确理解题意是解题的关键．1
（1）设小正方形的边长为x，则礼盒底面的长是 (60−2x)=30−x，宽为x，根据礼
2
盒底面的长是宽的4倍，建立一元一次方程求解x，即可求解长、宽、高，即可求解体
积；
（2）设剪去的小正方形的边长为m，由题意得：(30−m)(40−2m)=750，再解一二
次方程即可．
1
【详解】（1）解：设小正方形的边长为x，则礼盒底面的长是 (60−2x)=30−x，
2
宽为x，
由题意得：30−x=4x，
解得：x=6，
∴长为30−6=24，宽为6，高为40−2×6=28，
∴体积为：24×6×28=4032cm3；
（2）解：设剪去的小正方形的边长为m，
由题意得：(30−m)(40−2m)=750，
整理得：m2−50m+225=0，
解得：m=5或m=45（舍），
∴剪去的小正方形的边长为5cm．
19．（8分）根据以下素材，探索完成任务．如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？
如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？
素材 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为50元/件．
1
该商品的网上销售价定为70元/件，平均每天销售量是200件，在实体店的销售
素材 价定为90元/件，平均每天销售量是100件．按公司规定，实体店的销售价保持
2 不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本
价．
素材 据调查，网上销售价每降低1元，网上销售量平均每天多售出40件，同时实体店
3 的销售量受网上影响，平均每天销售量减少5件．
问题解决
任务 计算所获利 当该商品网上销售价为60元/件时，求公司在网上销售该商品每
1 润 天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少元？
任务 拟定价格方 公司要求每天的总毛利润(总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润)
2 案 达到8640元，求每件商品的网上销售价下降多少元？任务 优化价格方 当每件商品的网上销售价下降多少元时，该公司在网上销售与实
3 案 体店销售的总毛利润最大？
【答案】任务1：网上毛利润为6000元，实体店毛利润为2000元；任务2：网上销售
价下降2元或8元；任务3：网上销售价下降5元时总毛利润最大
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，配方法的应用，根据题意列出方程是
解题的关键．
任务1：依据题意，当网上售价降至60元/件时，下降幅度为：70−60=10(元)，从而
网上销量增加40×10=400件，则总销量为200+400=600件，可得网上毛利润为：
(60−50)×600=10×600=6000(元)；又实体店销量减少：5×10=50(件)，总销量
为100−50=50(件)，则实体店毛利润为：(90−50)×50=40×50=2000(元)，进而
得解；
任务2：依据题意，设网上售价下降x元，总毛利润为8640元，从而网上毛利润为：
(70−x−50)(200+40x)=(20−x)(200+40x)，则实体店毛利润为：
(90−50)(100−5x)=40(100−5x)=4000−200x,从而总利润方程为：
(20−x)(200+40x)+4000−200x=8640，则−40x2+400x+8000=8640，求出
x的值即可判断得解；
任务3：依据题意，由总利润函数为：−40x2+400x+8000，进而根据配方法求得最
值，即可求解．
【详解】解：任务1：由题意，当网上售价降至60元/件时，下降幅度为：
70−60=10(元)；
网上销量增加40×10=400件，
∴总销量为200+400=600件．
∴网上毛利润为：(60−50)×600=10×600=6000(元)．
又实体店销量减少：5×10=50(件)，总销量为100−50=50(件)．
∴实体店毛利润为：(90−50)×50=40×50=2000(元)．
任务2：由题意，设网上售价下降x元，总毛利润为8640元，
∴网上毛利润为：(70−x−50)(200+40x)=(20−x)(200+40x)．
∴实体店毛利润为：(90−50)(100−5x)=40(100−5x)=4000−200x.
∴总利润方程为：(20−x)(200+40x)+4000−200x=8640．
∴ −40x2+400x+8000=8640．∴ −40x2+400x−640=0．
∴x=8或x=2．
∴每件商品的网上销售价下降2元或8元．
任务3：依据题意，由总利润函数为：
−40x2+400x+8000
=−40(x−5) 2+9000
∴当x=5时，总利润最大
∴网上销售价下降5元时总毛利润最大
20．（8分）【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的
非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解
方程、最值问题等都有着广泛的应用．
①用配方法分解因式：a2+6a+5
解：原式
=a2+6a+9−4=(a+3)2−4=(a+3+2)(a+3−2)=(a+5)(a+1)
②利用配方法求最小值：求a2+6a+5最小值．
解： ，因为不论a取何值， 总
a2+6a+5=a2+2a⋅3+32−32+5=(a+3) 2−4 (a+3) 2
是非负数，即 ，所以 ，所以当 时， 有最
(a+3) 2≥0 (a+3) 2−4≥−4 a=−3 a2+6a+5
小值，最小值是−4．
【应用】根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：x2−12x+________=（x- ）2；
（2）将 变形为 的形式，并求出 的最小值；
x2−3x+66 (x+m) 2+n x2−3x+66
【探究】若M=5a2+9a+6，N=4a2+5a（为任意实数）试比较M与N的大小，并
说明理由．
【答案】【应用】（1）36，6；（2）( 3) 2 255，最小值255【探究】 ，
x− + M>N
2 4 4
见解析
【分析】本题考查配方及其应用，掌握完全平方公式的结构特征是求解本题的关键．
（1）根据完全平方公式的特征求解．（2）先配方，再求最小值．
探究：作差后配方比较大小．
【详解】应用：（1）∵
x2−12x+36=(x−6) 2
故答案为：36，6．
（2） x2−3x+66=x2−3x+ 9 − 9 +66= ( x− 3) 2 + 255
4 4 2 4
∵( 3) 2 ，
x− ≥0
2
3 255
∴当x= 时，原式有最小值 ．
2 4
【探究】因为M=5a2+9a+6，N=4a2+5a，
M−N=5a2+9a+6−(4a2+5a)
=5a2+9a+6−4a2−5a
=a2+4a+6
；
=(a+2) 2+2
因为 ，
(a+2) 2≥0
所以 ，
(a+2) 2+2>0
所以M−N>0，
即M>N．
21．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发沿AB以
1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，
当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为t秒．
(1)在运动过程中，PQ的长度能否为3❑√5cm？若能，求出t的值，若不能，请说明理
由；(2)在运动过程中，△PDQ能否为8cm2？若能，求出t的值，若不能，请说明理由．
【答案】(1)t=3
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）根据题意可知：AP=tcm，BP=AB−AP=(6−t)cm，BQ=2tcm，
根据勾股定理及一元二次方程根的判别式，即可判定；
（2）设运动x秒钟后△DPQ的面积为8cm2，则AP=xcm，BP=(6−x)cm，BQ=2x
cm，CQ=(12−2x)cm，利用分割图形求面积法结合△DPQ的面积为8cm2，即可得
出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论.
【详解】（1）解：根据题意可知：AP=tcm，BP=AB−AP=(6−t)cm，
BQ=2tcm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
在Rt△BPQ中，BP2+BQ2=PQ2，
，
∴(6−t) 2+(2t) 2=(3❑√5) 2
3
解得：t=− （舍去）或t=3；
5
（2）解：设运动x秒钟后△DPQ的面积为8cm2，则AP=x cm，BP=(6−x)cm，
BQ=2x cm，CQ=(12−2x)cm，
S =S −S −S −S ，
△DPQ 矩形ABCD △ADP △CDQ △BPQ
1 1 1
=AB⋅BC− AD⋅AP− CD⋅CQ− BP⋅BQ，
2 2 2
1 1 1
=6×12− ×12x− ×6(12−2x)− (6−x)⋅2x
2 2 2
=x2−6x+36
=8，
即x2−6x+36=8，
∴ x2−6x+28=0，
∴ Δ=b2−4ac=36−4×28<0
∴方程无实数根，
∴ △PDQ的面积不能为8cm2 .
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，矩形的性质，一元二次方程根
的判别式等知识，解题的关键是熟练掌握所涉及到的知识点并灵活运用．
