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第 21 章 一元二次方程过关测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。）
1．下列方程中属于一元二次方程的是（ ）
3
A．x2+x=6 B．2x2+ =1
x
C．xy+ y2=0 D．x+4=5
2．用配方法解x2−2x=2配方得（ ）
A． B． C． D．
(x−1) 2=3 (x−2) 2=3 (x−3) 2=3 (x−4) 2=3
3．一元二次方程3x2+4=2x（二次项系数为正）的一次项系数为（ ）
A．2 B．3 C．−2 D．4
4．已知关于x的一元二次方程x2+3x−m=0有两个实数根x ，x ，若x ⋅x =1，则m的
1 2 1 2
值为（ ）．
A．1 B．−1 C．2 D．−2
5．在研究物体的放射性衰变时，我们常常关注放射性物质质量随时间的变化．假设在
2023年初，有一块质量为500克的某种放射性同位素．由于放射性衰变，其质量会逐年
减少．到2025年初，经过精确测量，该放射性同位素的质量降至405克．设这种放射
性同位素质量的年平均减少率为x，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
500(1+x) 2=405 500(1−x) 2=405
C． D．
405(1+x) 2=500 405(1−x) 2=500
6．如图，矩形草坪的长和宽分别为30m，20m，若将该草坪的长和宽各增加xm，扩建后
1
增加的面积是原来矩形草坪面积的 ．根据题意，下列方程正确的是（ ）
23 3
A．(20+x)(30+x)= ×20×30 B．(20−x)(30−x)= ×20×30
2 2
1 1
C．x2= ×20×30 D．(20+x)(30+x)= ×20×30
2 2
7．关于x的方程2x2−mx−3=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
8．若x=m是一元二次方程x2−2x−15=0的解，则代数式2m2−4m的值为（ ）
A．30 B．15 C．−15 D．−30
9．根据表格中的信息，估计一元二次方程x2−3x−5=0的一个解的范围是（ ）
x −2 −1 0 1 2
x2−3x−5 5 −1 −5 −7 −7
A．−2−1 C．n≤−1 D．n≥−1
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）
11．方程x2−3x−5=0的两根为x ，x ，则x +x 的值为 ．
1 2 1 2
12．学校组织篮球赛，参赛的每两队之间都要比赛一场．赛程计划安排4天，每天安排9
场比赛，问共有多少个队参赛？设共有x个队参赛，根据题意可列出方程为 ．
13．一元二次方程2x2+3x−1=0的两根为x 、x ，则x ⋅x = ．
1 2 1 2
14．如图，用48m长的篱笆靠墙(墙足够长)围成一个面积是 300m2的长方形鸡场，鸡场有
一个2m的门，设与墙垂直的边长为xm，所列方程是 ．
三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15.（8分）解方程：
(1) ；
(x−2) 2=4(2)x2−4x−5=0．
16．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k−2=0有实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)当k取最大整数时，求方程的实数根．
17．（8分）马戏团计划打造一个茶艺区，如图，若使用24米长的幕布，一面利用墙（墙
的最大可用长度为12米）围成茶艺区矩形ABCD，且中间用一道幕布隔为表演区和
观赏区，在无表演时，方便用幕布进行围挡．
(1)如果要围成面积为36平方米的茶艺区，那么AB的长为多少米？
(2)能否围成面积为90平方米的茶艺区？若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由．
18．（8分）阅读下列材料：
为解方程 ，可将方程变形为 ，然后设 ，则
x4−x2−6=0 (x2) 2 −x2−6=0 x2= y
，原方程化为 ①，解①得 ， ．当 时，
(x2) 2 = y2 y2−y−6=0 y =−2 y =3 y =−2
1 2 1
无意义，舍去；当 时， ，解得 ， 原方程的解为 ，
x2=−2 y =3 x2=3 x=±❑√3 ∴ x =❑√3
2 1
．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字
x =−❑√3
2
母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解方程： ．
(x2−2x) 2 −5x2+10x+6=0
19．（8分）为了满足人们对于精神文明的需求，某市决定逐步在各社区建设微型图书阅
览室．2022年投入资金2000万元，2024年投入资金2880万元，假定每年投入资金的
增长率相同．
(1)求该市2022年至2024年建设微型图书阅览室投入资金的增长率；
(2)2024年每个社区建设微型图书阅览室的平均费用为100万元．2025年为提高微型图
书阅览室品质，每个社区建设费用增加25%，如果投入资金年增长率保持不变，求该
市在2025年最多可以给多少个社区建设微型图书阅览室？
20．（8分）春节是中国的传统节日，春节前是购物的高峰期，苹果寓意“平平安安”，
销售特别火爆．某水果商从农户手中购进A、B两种糖心苹果，其中A种糖心苹果进
货价为25元/件，销售价为40元/件，B种糖心苹果进货价为18元/件，销售价为30
元/件．（注：利润＝销售价﹣进货价）
(1)水果店用3300元购进A、B两种糖心苹果共160件，求两种糖心苹果分别购进的件
数；
(2)水果店发现B种糖心苹果还有大量剩余，决定对B种糖心苹果调价销售．如果按照
原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为
了尽快减少库存，将销售价定为每件多少元时，才能使B种糖心苹果每天销售利润为
96元？21．（10分）我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过
“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，
转化为二次方程或一次方程进行求解．例如，
①换元法求解四次方程：x4−5x2+4=0．
设x2= y，则原方程可变为y2−5 y+4=0，解得y =1，y =4，
1 2
当y=1时，即x2=1，∴x=±1；
当y=4时，即x2=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x =1，x =−1，x =2，x =−2．
1 2 3 4
②因式分解法求解三次方程：x3−5x+2=0．
将其变形为 ，
x3−(4+1)x+2=0
∴x3−4x−x+2=0，
，
∴(x3−4x)−(x−2)=0
∴x(x+2)(x−2)−(x−2)=0，
，
∴(x−2)(x2+2x−1)=0
∴x−2=0或x2+2x−1=0，
原方程有三个根： ， ， ．
∴ x =2 x =−1+❑√2 x =−1−❑√2
1 2 3
(1)仿照以上方法解方程：
①x4+x2−12=0；
②x3−17x+4=0；
(2)已知：x2−x−1=0，且x>0，求x4−2x3+3x的值．
