文档内容
四边形的五大模型
模型一．中点四边形模型
模型二．十字架模型
模型三．梯子模型
模型四．对角互补模型
模型五．梯形中位线模型
一．中点四边形模型
1．如图，已知ABCD为任意四边形，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，添
加下列哪个条件，不能判断四边形EFGH为菱形的是（ ）
A．EH＝HG B．EG⊥HF C．AC＝BD D．AC⊥BD
2．如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到中点四边形EFGH，下列说法中正确的是（
）
A．当AC⊥BD时，四边形EFGH为菱形
B．当AC＝BD时，四边形EFGH为矩形
C．当AC⊥BD，AC＝BD时，四边形EFGH为正方形
D．以上说法都不对
3．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝5，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA
的中点，连接EG，HF，相交于点O，则EG2+FH2的值为（ ）
A．25 B．30 C．35 D．40
4．已知四边形ABCD是矩形．
（1）如图1，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，求证：四边形EFGH是菱形；
（2）如图2，若菱形EFGH的三个顶点 E，F，H分别在边AB，BC，AD上，连接
CG．已知BE＝2AE＝8，CG＝2 ，CF﹣BF＝1，求AD的长．
5．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中
点，当AB、CD满足什么条件时，有EF⊥GH？请说明你的理由．
6．已知：如图1，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、
FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．
（1）四边形EFGH的形状是 ，证明你的结论．
（2）如图2，请连接四边形ABCD的对角线AC与BD，当AC与BD满足 条
件时，四边形EFGH是矩形；证明你的结论．
（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？说明理由．
二．十字架模型
7．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，且CE＝DF．AE与BF相
交于点O，则下列结论错误的是（ ）
A．AE＝BF B．AE⊥BFC．AO＝OE D．S△AOB ＝S四边形DEOF
8．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB的中点，连接AE，
DF交于点O，将△ABE沿AE翻折，得到△AGE，延长EG交AD的延长线于点H，连
接CG．有以下结论：
①AE⊥DF；
②AH＝EH；
③CG∥AE；
④S四边形BEOF ：S△AOF ＝4．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，BD是矩形ABCD的一条对角线，EF⊥BD交AD于点E，交BC于点F，若AB＝
3，BC＝4，则EF的长是（ ）
A． B． C． D．4
10．如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相
交于点O，下列结论：
①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB ＝S四边形DEOF ；⑤∠BAE＝∠AFB
其中，正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF＝90°．求证：BE＝CF．
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，H，F，G分别在边AB，BC，CD，DA上，
EF，GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4．求GH的长．
12．在正方形ABCD中：
（1）如图①，点E、F分别在BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M．求证：AE＝BF．
（2）如图②，如果点E、F、G、H分别在BC、CD、DA、AB上，且GE⊥HF，垂足
M．那么GE、HF相等吗？证明你的结论．
（3）如图③，在等边三角形ABC中，点E、F分别在BC、CA上，且BE＝CF，你能
猜想∠AMF的度数吗？证明你的结论．
三．梯子模型
13．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上
运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1．
运动过程中，点C到点O的最大距离是（ ）
A． B． +1 C． D．
14．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM、ON上，当B在边ON上运
动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝ ．
运动过程中，当点D到点O的距离最大时，OA长度为（ ）A． B． C．2 D．
15．如图所示，一根长2.5米的木棍（AB）斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，此
时OB的距离为0.7米，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．
（1）如果木棍的顶端A沿墙下滑0.4米，那么木棍的底端B向外移动多少距离？
（2）设木棍的中点为P，请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，为
什么？
16．如图所示，一根长3米的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上．设
木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑．且B端沿地面向右滑行．
（1）试判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，请简述理由．
（2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并
求出面积的最大值．
四．对角互补模型
17．如图，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连接BP，过P作PQ⊥BP，PQ交
CD于Q，连接BQ交AC于G，若AP＝ ，Q为CD中点，则下列结论：
①∠PBC＝∠PQD；②BP＝PQ；③∠BPC＝∠BQC；④正方形ABCD的面积是16；
其中正确结论的个数是（ ）A．4 B．3 C．2 D．1
18．如图，△ABC 为等边三角形，以 AB 为边向△ABC 外侧作△ABD，使得∠ADB＝
120°，再以点C为旋转中心把△CBD沿着顺时针旋转至△CAE，则下列结论：
① D、A、E 三点共线；②△CDE 为等边三角形；③ DC 平分∠BDA；④ DC＝
DB+DA，其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
20．如图，在等边△ABC中，作∠ACD＝∠ABD＝45°，边CD、BD交于点D，连接AD．
（1）请直接写出∠CDB的度数；
（2）求∠ADC的度数；
（3）用等式表示线段AD、BD、CD三者之间的数量关系，并证明．
21．如图，点P（3m﹣1，﹣2m+4）在第一象限的角平分线OC上，AP⊥BP，点A在x轴
正半轴上，点B在y轴正半轴上．
（1）求点P的坐标．
（2）当∠APB绕点P旋转时，
①OA+OB的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值．
②请求出OA2+OB2的最小值．
22．定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形．（1）概念理解：
①在互补四边形ABCD中，∠A与∠C是一组对角，若∠B：∠C：∠D＝2：3：4，则
∠A＝ 9 0 °；
②如图1，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且BE•BC＝AB•BD，求证：四
边形ADEC是互补四边形．
（2）探究发现：如图2，在等腰△ABE中，AE＝BE，点C，D分别在边BE，AE上，
AD＝BC，四边形CEDH是互补四边形，求证：∠ABD＝∠BAC＝ ∠E．
五．梯形中位线模型
23．如图所示，四边形ABCD是梯形，E，F分别是两腰AB，CD的中点，AD＝2，BC＝
8，则线段EF的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
24．若梯形的面积为8cm2，高为2cm，则此梯形的中位线长是（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
25．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BD为对角线，中位线EF交BD于O点，若FO﹣EO
＝3，则BC﹣AD等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
26．如图，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P，
若EF＝3，则梯形ABCD的周长为（ ）A．9 B．10.5 C．12 D．15
27．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝12，AB＝DC＝8．∠B＝60°．
（1）求梯形的中位线长．
（2）求梯形的面积．
28．已知如图：在梯形ABCD中，AB∥DC，点E、F分别是两腰AD、BC的中点．
证明：（1）EF∥AB∥DC；
（2）EF＝ （AB+DC）．
29．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD+BC，E为CD中点，连接AE、BE，试说
明：BE平分∠ABC，AE平分∠BAD．
30．梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF并延长并BC延长线
于点G．
求证：EF∥AD∥BC，EF＝ （AD+BC）．
