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培优专题 19 求阴影部分的面积
【方法讲解】
求阴影部分面积的常用方法
①公式法：所求图形是规则图形，如扇形、特殊 四边形等，可直接利用公式计算；
②和差法：所求图形是不规则图形，可通过转化 成规则图形的面积的和或差；
③等积变换法：直接求面积较麻烦或根本求不 出时，通过对图形的平移、旋转、割补等，为公式法
或 和差法创造条件．
【巩固训练】
1．（2022·辽宁鞍山·中考真题）如图，在矩形 中， ， ，以点 为圆心， 长为半
径画弧，交 于点 ，连接 ，则扇形 的面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解直角三角形求出 ，推出 ，再利用扇形的面积公式求解．
【详解】解： 四边形 是矩形，
，
， ，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查扇形的面积，三角函数、矩形的性质等知识，解题的关键是求出 的度数．
2．（2022·山东烟台·期末）小明将直径为 的半圆绕点A逆时针旋转 设计了如图所示的图案，那么
图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据整体思想，可知 ，再利用扇形面积公式计算即可．【详解】解：∵ ，
而根据旋转的性质可知 ，
∴ ，
而由题意可知AB=6cm， ，
即 ．
故选：B．
【点睛】本题考查的是扇形面积的相关计算，根据整体思想求出表示阴影部分面积的方法，再用公式计算
扇形的面积即可．
3．（2022·四川资阳·中考真题）如图．将扇形 翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与
交于点C，连接 ．若 ，则图中阴影部分的面积是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接CO，且直线l与AO交于点D，解直角三角形求出 ，即可求出扇形 的面积，
再算出 的面积，即可求出阴影部分面积．
【详解】连接CO，且直线l与AO交于点D，如图所示，
∵扇形 中， ，∴ ，
∵点A与圆心O重合，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
∵ ， ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】此题考查求不规则图形的面积，扇形面积公式，添加辅助线是本题的关键．
4．（2022·山西实验中学九年级期中）如图，将 绕点C顺时针旋转 得到 ，已知
，则线段 扫过的图形（阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图形可以得出 扫过的图形的面积 ，由旋转的性质就可以得
出 就可以得出 扫过的图形的面积 求出其值即可．
【详解】解： 绕点 旋转 得到△ ，
△ ，
， ．扫过的图形的面积 ，
扫过的图形的面积 ，
扫过的图形的面积 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，扇形的面积公式的运用，解答时根据旋转的性质求解是关键．
5．（2022·山西·九年级专题练习）如图是一张圆心为O，半径为4cm的圆形纸片，沿弦AC所在直线折叠，
使得 经过点O，将纸片 展平后，作半径 ，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】作OD⊥AC交圆于点D、交AC于点E，根据垂径定理，OD平分 和 ，又因为AC是对
折线，所以OD与AC互相垂直平分，所以ODCO组成的图形面积是 与 组成的图形面积的一半，
也就等于ADCEA组成图形面积，此部分面积可用扇形OAC的面积减去△OAC面积求出，再用求出的面积
减去扇形ODB的面积即得阴影部分面积．
【详解】作OD⊥AC交圆于点D，交AC于点E，连接OC，如图，∴OD垂直平分弦AC，平分 和 ，
∵AC是 向圆内的折线，且弦AC折叠后经过点O，
∴点O是点D关于AC的对称点，即OD与AC互相垂直平分，
∴OE=DE= OD
设 与弦AC构成的图形面积为SADC， 与 构成的图形面积为SADCO， 与 和线段
OD构成的图形面积为SODC，
则SADC SADCO，SODC SADCO，
= =
∴SODC=SADC，
∵OD、OA都是圆O的半径，半径为4cm，
∴OE= OD= OA= ，
∴∠OAE=30°，
∴∠AOE=90°-30°=60°，
∴∠AOC=2∠AOE=2×60°=120°，
∴S OAC= = (cm2)，
扇形
∵AC=2AE= cm，
∴S OAC= (cm2)，
△
∴SADC= S OAC - S OAC=（ ）(cm2)，
扇形
△∴SODC=（ ）(cm2)，
∵OB⊥OA，∠AOE=60°，
∴∠BOD=∠AOB-∠AOE=90°-60°=30°，
∴S OBD= (cm2)，
扇形
∴S =SODC- S OBD= =（ ）(cm2)，
阴影 扇形
故选 A．
【点睛】本题考查了求扇形和弓形面积、垂径定理、折叠问题及三角形的知识，解题的关键是要能通过对
称看出SODC=SADC= SADCO，以及S =SODC- S OBD，再分别求出各部分面积就能求解．
阴影 扇形
6．（2021·甘肃·民勤县第六中学九年级阶段练习）如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若
AC＝BC＝ ，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． ＋ C． D． ＋
【答案】A
【分析】先利用圆周角定理可得∠ACB＝90°，然后可得△ABC是等腰直角三角形，进而可得△AOC和
△BOC都为等腰直角三角形，于是得到 ，然后根据扇形面积公式可进行求解．
【详解】解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝BC＝ ，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝ AC＝2，则OA＝OB＝1，
∴OC⊥AB，∴△AOC和△BOC都为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ；
故选：A．
【点睛】本题主要考查扇形面积公式及圆周角定理，熟练掌握扇形面积公式及圆周角定理是解题的关键．
7．（2021·湖北襄阳·模拟预测）如图，在Rt ABC中，点O在斜边AB上，以点O为圆心，OB为半径作
圆，分别与BC，AB相交于点D、E，连接AD△，已知∠CAD＝∠ABC．
(1)求证：AD是⊙O的切线：
(2)若∠ABC＝30°，AC＝3 ，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)阴影部分的面积 4
【分析】（1）连接OD，由OD=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到
∠CAD=∠ODB，求出∠ADO为90°，即可证AD是⊙O的切线；
（2）连接OD，作OF⊥BD于F，由直角三角形的性质得出CD= AC=3，BC=9，得出BD=BC-CD=6，由
直角三角形的性质得出DF=BF，OF= ，得出OB=2OF=2 ，由扇形面积公式和三角形面积公式即可得
出结果．
（1）
证明：连接OD，如图1所示：∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B，
∵∠B＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠ODB，
在Rt ACD中，∠CAD+∠CDA＝90°，
∴∠AD△O＝180°﹣(∠ADC+∠ODB)＝90°，
∴OD⊥AD，
∵OD是半径，
∴AD为⊙O的切线；
（2）
解：连接OD，作OF⊥BD于F，如图2所示：
∵OB＝OD，∠B＝30°，
∴∠ODB＝∠B＝30°，
∴∠DOB＝120°，
∵∠C＝90°，∠CAD＝∠B＝30°，
∴CD AC＝3，BC AC＝9，
∴BD＝BC﹣CD＝6，
∵OF⊥BD，∴DF＝BF BD＝3，OF BF ，
∴OB＝2OF＝2 ，
∴阴影部分的面积＝扇形ODB的面积﹣ ODB的面积
△
=
= ．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、扇形面积公式、三角形
面积公式等知识，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
8．（2021·江苏无锡·九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，C为半径OA的中点，CD⊥AB交⊙O于点D，
E，DF AB交⊙O于点F，连接AF，AD．
(1)求∠DAF的度数；
(2)若AB＝10，求阴影部分的面积．（结果保留π）
【答案】(1)30°；
(2) π．
【分析】（1）根据平行线的性质和直角三角形边的关系确定 的度数，然后根据同弧所对的圆周角相等
即可得到答案；
（2）根据已知条件确定 的度数，根据“等底同高”确定 和 面积相等，最后阴影部分
的面积即为扇形 的面积．
（1）
连接EF，如图所示，∵DF AB，CD⊥AB，
∴∠EDF＝∠ECB＝90°，
∴EF是⊙O的直径，
∵C为半径OA的中点，
∴OC＝ OA＝ OE，
∴∠E＝30°，
∴∠DAF＝∠E＝30°．
（2）
如图，连接OD，则∠DOF＝2∠E＝60°，
∵DF AB，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵OD＝ AB＝5，
∴ ＝ ＝ π．
【点睛】本题考查了平行线的性质、直角三角形的性质、同弧所对的圆周角相等、扇形的面积计算，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
9．（2022·四川天府新区教育科学研究院附属中学八年级阶段练习）如图，在边长为1的正方形组成的网
格中建立直角坐标系， AOB的顶点均在格点上，点O为原点，点A、B的坐标分别是（3，2）和（1，
3）． △
(1)将 AOB绕点O逆时针旋转90°后得到 ，请在图中作出 ，并求出这时点 的坐标；
△ △ △
(2)求旋转过程中，线段OA扫过的面积．
【答案】(1)点 的坐标(-2,3)；见解析
(2)
【分析】（1）根据旋转的全等性质，作图计算即可．
（2）根据勾股定理计算半径，利用扇形的面积公式计算即可．
（1）
解：如图,过点A作AD⊥x轴，垂足为D，
因为点A(3，2)，
所以DO=3，AD=2，
在y轴取点E，使得OE=3=OD，
过点E作E ⊥y轴，且E =2，
所以 AOD≌ OE，
△ △
同理可得点B的对称点故 O为所求．
△
画图如下：
根据作图，得点 的坐标(-2,3) ．
（2）
因为点A的坐标是（3，2），
所以 ，
所以旋转过程中，线段OA扫过的面积为 = ．
【点睛】本题考查了旋转作图，扇形的面积公式，熟练掌握公式是解题的关键．
10．（2022·河北沧州·九年级期末）如图1，已知 ，点 在射线 上，且 ．以点 为
圆心， 为半径作 ，交直线 于点 ， ．
(1)当 与 只有两个交点时， 的取值范围是________；
(2)当 时，将射线 绕点 按顺时针方向旋转 ．
①当 为多少时，射线 与 相切；
②如图2，射线 与 交于 ， 两点，若 ，求阴影部分的面积．【答案】(1)）0＜r＜2 或r＞4
(2)①当α为15°或105°时，射线BA与⊙O相切；②S =2π-4
阴影
【分析】（1）画出图形分： 当 时，当 时， 时， 时， 时，五种情
况讨论，即可得出答案；
（2）①分当射线BA在射线BC的上方与⊙O相切时和当射线BA在射线BC的下方与⊙O相切时，进行求
解即可得出答案；
② 如图3，连接OM，ON，过点O作OQ⊥MN于点Q，由垂径定理可得出MQ=NQ= MN= ，即可推得：
∠MOQ= ，故圆心角 ，由 即可得出答案．
（1）
若 与 相切时，设切点为F，连接 ，如图：
则 ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
当 时， 与 刚好有 个交点，
∴当 时, 如图： 与 只有两个交点；当 ，即 时，如图， 与 有 个交点；
当 即 时，如图 与 有 个交点；
当 即 时，如图， 与 有两个交点；
综上所述，当 与 只有两个交点时， 的取值范围是 或 ，
故答案为： 或 ；（2）
①如图1，当射线BA在射线BC的上方与⊙O相切时，设切点为P，连接OP.
∵OB= ，OP= ，
∴sinB= = ，
∴ ，
.
如图2，当射线BA在射线BC的下方与⊙O相切时，设切点为P，连接OP，
∵OB= ，OP= ，
∴sinB= = ，
∴ ，
∴ .
综上所述，当α为 或 时，射线BA与⊙O相切；
②如图3，连接OM，ON，过点O作OQ⊥MN于点Q，
∴MQ=NQ= MN= .
∵OM= ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，锐角三角函数、求弓形面积等知识，解题的关键是
学会用分类讨论的思想思考问题,学会利用特殊位置解决问题．
11．（2021·河北·唐山市曹妃甸区临港商务区实验学校九年级阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，AC是
⊙O的弦，过点C的直线交AB的延长线于点D，且∠A=∠D=30°．
(1)求证：直线CD为⊙O的切线；
(2)若CD=3，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接OC，由∠A=∠D=30°，可得∠COD=2∠D，从而求得∠OCD=90°，可证得直线CD为
⊙O的切线；
（2）先求 OCD和扇形OCB的面积，进而可求出图中阴影部分的面积．
（1） △
证明：连接OC，
∵∠A=∠D=30°，∴∠COD=2∠D，
∴3∠D=90°，
∴∠OCD=90°，
∵过点C的直线交AB的延长线于点D，
∴OC⊥CD，
∵CO为圆的半径，
∴ 直线CD为圆的切线．
（2）
由（1）可知∠COD=60°
在Rt COD中，∵CD=3，
△
∴OC=3× = ，
∴阴影部分的面积=
【点睛】本题主要考查切线的性质及扇形面积的计算，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，学会
用分割法求阴影部分面积．
12．（2019·江西·宜春市第八中学九年级期中）如图，有一块圆形铁皮， 是 的直径， ，在
此圆形铁皮中剪下一个扇形（阴影部分）．
（1）当 的半径为2时，求这个扇形（阴影部分）的面积（结果保留 ）；
（2）当 的半径为 时，在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇
形围成一个圆锥？请说明理由．
【答案】（1） ；（2）不能从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥．理由见
解析．【分析】（1）先由圆的性质求得阴影部分扇形的半径，由直径所对的圆周角是90°可知圆心角的度数，可
求得阴影部分的面积；
（2）先分别用R表示出阴影部分扇形的弧长，即所要围成的圆锥的底面周长为 ，以EF为直径作圆，
是剩余材料中所作的最大的圆，求出其周长为（2﹣ ）Rπ，比较大小可知不能从第③块余料中剪出一个
圆作为底面与此扇形围成一个圆锥．
【详解】连接 并延长交扇形、圆于点 、
∵ 是 的直径，． 90°
∵
∴ ，
∵
∴
（1）当 的半径为2时：
∴ ；
（2）当 的半径为 时：
阴影部分扇形的弧长为：
，以 为直径作圆，是剩余材料中所作的最大的圆，其圆周长为：
∵
∴不能从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥．【点睛】主要考查了扇形的面积计算以及圆锥的侧面展开图和底面圆之间的联系．本题的难点在于第2问，
解决问题的关键是找到剩余材料中所能做的最大圆的圆周长，并与圆锥的底面周长比较大小来判断．
