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2025-2026 学年九年级上册数学单元检测卷
第二十一章 一元二次方程·能力提升（参考答案）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B B A C A D A C
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11． （答案不唯一）
12．
13．
14．2025
15．
16． 和
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．
【详解】（1）解：
，
二次项系数是1，一次项系数是1，常数项是 ；..............3分
（2）解： ，
，或
二次项系数是 ，一次项系数是4，常数项是0或二次项系数是1 ，一次项系数是 ，常数项是
0．..............6分
18．
【详解】（1）解：∵ ，∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ；..............3分
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 ．..............6分
19．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴
；
∴无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根；..............3分
（2）由题意，当 时， ，
∴ ．..............6分
20．
【详解】（1）证明： ．
方程有两个实数根；..............2分（2）解：由 ，且 ，
得
∴ ， ，
即 、 的长为 ， ，
当 时，三边为5，5，1，满足三角形构成条件，此时 ，解得 ；
当 时，三边为5，1，1，不满足三角形构成条件．
综上所述， ．..............6分
21．
【详解】（1）解：设该款跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率为 ．
根据题意，得
解得 ， （不合题意，舍去）
答：该款跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率为 ．..............3分
（2）解：设该款跳绳和排球套装售价为 元，则每件的销售利润为 元．
根据题意，得 ，
解得 ， （不合题意，舍去）
答：该款跳绳和排球套装售价为50元时，月销售利润达8400元．..............8分
22．
【详解】（1）解：由题意得， ；..............2分
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ 或 ，
解得 ；..............5分
（3）解：∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 ．..............8分
23．
【详解】（1）解：∵关于 的一元二次方程 有两个实数根 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；..............3分
（2）解：∵关于 的一元二次方程 有两个实数根 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍去）．
∴ ..............8分
24．
【详解】（1）解： ，
，
，
∵ ，
不符合邻根方程的定义，
∴ 不是邻根方程；..............4分
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵关于x的方程 是邻根方程，
∴ ，
∴ ，
故 或 ；..............8分
（3）解：∵关于 x 的方程 （a、b 是常数， ）是“邻根方程”，设两个根分别为 、
，∴ ，
由根与系数的关系： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， ；
答：t的最大值为4．..............12分
25．
【详解】解：[理解应用] ∵ ，
∴ ，
结合题意，将 看作一个长为 ，宽为 ，面积为 的矩形，
∴很容易观察出构图是③，
故答案为：③；..............2分
[类比迁移] ，
第一步：将原方程变为 ，即 ；
第二步：如图②，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程： ；解得原方程的一个根为 ；故答案为： ， ， ；..............8分
[拓展应用] ，
，
，
∴四个小矩形的面积各为 ，大正方形的面积是 ，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正
方形的面积，即 ，
图②是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，
， ，
解得： ， ，
当 时， ，
∴ ， ，方程的一个正根为1；
当 时， ，
∴ ， ，方程的一个正根为3；
综上所述，方程的一个正根为1或3，
故答案为： ，3，1或3．..............12分
