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第二十七章 相似（压轴题专练）
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt ABC与等腰Rt CDE关于原点O成位似关系，相似比为1：3，
∠ACB＝∠CED＝90°，A、C、E是x轴正△半轴上的点，B△、D是第一象限的点，BC＝2，则点D的坐标是
（ ）
A．（9，6） B．（8，6） C．（6，9） D．（6，8）
2．如图，在 中， 于点 为 的中点，连接 ．有下列四个结论：①
平分 ；② ；③ ；④．其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
3．如图， 的顶点A，B的坐标分别是 ，D均在函数 的图象上，
若 ，则k的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．124．如图， 中， ，D为 中点，在 的延长线上取一点E，使得 ， 与 交
于点F，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，正方形 的对角线相交于 ，点 ， 分别是边 ， 上的动点（不与点 ， ， 重
合）， ， 分别交 于 ， 两点，且 ，则下列结论：
① ；② ；③ ；④ 是等腰三角形．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在矩形 中， ，将矩形 对折，得到折痕 ，沿着 折叠，点 的对
应点为 ， 与 的交点为 ；再沿着 折叠，使得 与 重合，折痕为 ，此时点 的对应
点为 .下列结论：① 是直角三角形；② ；③ ；④ ；其中正确的个数
为（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．如图，在正方形 的对角线 上取一点E．使得 ，连接 并延长 到F，使
， 与 相交于点H，若 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，坐标原点 为矩形 的对称中心，顶点 的坐标为 ， 轴，矩形 与矩形
是位似图形，点 为位似中心，点 ， 分别是点 ， 的对应点， ．已知关于 ， 的
二元一次方程 ， 是实数）无解，在以 ， 为坐标（记为 的所有的点中，若有
且只有一个点落在矩形 的边上，则 的值等于（ ）
A． B．1 C． D．
9．如图，在 中， ， ，点 为 边上一动点 不与点 、 重合 ， 垂
直 交 于点 ，垂足为点 ，连接 并延长交 于点 ，下面结论正确的个数是（ ）①若 是 边上的中线，则 ；②若 平分 ，则 ；③若 ，则
；④ 的最小值为 ．
A． B． C． D．
10．如图，正方形 中， ，点 是对角线 上一点，连接 ，过点 作 ，交 于
点 ，连接 ，交 于点 ，将 沿 翻折，得到 ，连接 ，交 于点 ，若点
是 的中点，则下列说法：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的个数有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段 为边作正
方形 ，取 的中点E，连接 ，延长 至F，使得 ，以 为边作正方形 ，则点
H即是线段 的黄金分割点．若 ，记正方形 的面积为 ，矩形 的面积为 ，则
与 的和为 ．12．如图，点E在矩形 边 上，将 沿 翻折，点D恰好落在 上的点F处，若
， ，连接 ，与 交于H点，连接 ，则点F到 的距离为 ．
13．在 中， ， ， 是 中点，连接 ，过点 作 交 于
点 ，则 ．
14．数学兴趣小组的同学拿出如图所示的矩形纸片 ，其中 ，他们将纸片对折使 、 重
合，展开后得折痕 ，又沿 折叠使点C落在 处，展开后又得到折痕 ，再沿 折叠使点A落在
上的 处，大家发现了很多有趣的结论．就这个图形，请你探究 的值为 ．
15．如图，半圆 的直径 ，点 为半圆的中点，点 在弦 上，连结 ，作 于点 ，交 于点 ，连结 ，当 和 相似时， 的长为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标是 ，点 的坐标是 ，点 的坐标为 ，点 为
平面上一动点， 的长度为 ，点 为 的中点，当点 运动时，所有这样的点 组成的图形与线段
有且只有一个公共点，则 的取值应满足的条件是 ．
17．如图，正方形 中，以 为边向正方形内部作等边 ，连接 并延长交 于 ，连接
，下列结论：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的结论有 ．
（填序号）
18．我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，世人称之为“赵爽弦图”．如图，用四个全等的直角
三角形（ ）拼成“赵爽弦图”，得到正方形 与正方形
，连接 和 ， 与 、 、 分别相交于点 、 、 ，若 ，则 的
值是 ．19．下图是用12个相似的直角三角形组成的图案.
（1）与 位似的三角形是 ；
（2）已知 的面积是3，则 的面积为 ．
20．如上图，在平面直角坐标系中，正方形 与正方形 是以原点为位似中心的位似图形，
且相似比为 ，点 ， ， 在 轴上，延长 交射线 于点 ，以 为边作正方形 ；
延长 交射线 于点 ，以 为边作正方形 …，若 ，则正方形
的面积是 ．
三、解答题
21．已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，点F为CE中点，连接 、 ．(1)如图1，当点D在 上，点E在 上，请写出此时线段 、 的关系（不用证明）；
(2)如图2，在（1）的条件下将 绕点A逆时针旋转 时，请证明此时（1）中的结论是否仍然成立；
(3)如图3，在（1）的条件下将 绕点A逆时针旋转 时，连接 ，过点 作 于 点，若
， ，求此时线段 的长．
22．某社区广场有一块正方形花园 ，其中 ，E是 的中点．
(1)如图1，经过规划，需要修建两条小道 、 ，M是 上一点，社区为节省修建时间和费用，要使
得所修建的小道 的值最小，试求此时 的长和 的最小值
(2)如图2，社区广泛收集居民建议，重新设计了方案，修建四条小道 、 、 、 ，其中M、N
均在 上，且N在M的右边， ，要使得修建的小道 的值最小，试求此时
的长和 的最小值．
23．已知， 内弦 、 交于点E， ，连接 ．
(1)如图1，求证： 平分 ；(2)如图2，连接 交 于点G，延长 交 于点F，连接 ，若 ，求证：
；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长 交 于点H，若 ， ，求 的长．
24．已知点P是正方形 的 边上一动点，线段 绕点P顺时针旋转 到 ．
(1)如图1，连接 ， ，若 是等边三角形，求 ；
(2)如图2，连接 ， ， ， ，若点B，E关于 对称，且 ，求 的值；
(3)如图3，连接 ， ，若 ，求证： ．
25．如图，矩形 ， ， ， ， 分别是线段 、 上的点，且四边形 为矩形．(1)求出 的长；
(2)若 是等腰三角形时，直接写出 的长；
(3)若 ，求出 的长．
26．已知 中， ， ，E是射线 上一点（不与点B重合），线段 的垂直平分线
与边 交于点D.
(1)点E在边 上，
①如图1，连接 ，如果 平分 ，求 的长；
②如图2，射线 交射线 于点F，设 ， ，求y关于x的的数解析式，并写出定义域.
(2)如果 是直角三角形，求 的长.
27．【基础巩固】
（1）如图1，在 中，D为 上一点， ，求证： ．
【尝试应用】
（2）如图2，在 中，E为 上一点，F为 延长线上一点， ，若 ， ，
求 的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在菱形 中，E是 上一点，F是 内一点， ， ，
， ， ，求菱形 的边长．28．已知 是等边三角形，折叠 折痕交 于点D，交 于点E．
(1)如图1，若点A的对应点F落在 边上，
①求证： ；
②若 ，求 的值；
(2)如图2，若点A的对应点F落在 下方， 交 于点G， 交 于点H， ， 且
，求 的长．
29．问题探究：如图1，若 内一点P满足 ，则点P是 的智慧点，
是智慧角．
(1)如图2，点P为等边三角形 的智慧点，则智慧角的度数是________；线段 、 、 的数量关系是________；
(2)如图3，点 P为等腰直角三角形 （其中 ）的智慧点，且 ．
①请判断 与 是否相似，如果相似给出证明并说明 与 的数量关系；
②若 ， 的面积为 ，求m的值和 的面积．
30．如图，在矩形 中， ， ，E是AB上一点， ， 是 上的动点，连接 ，
是 上一点且 （ 为常数， ），分别过点 ， 作 ， 的垂线，交点为 ．设
的长为 ， 的长为 ．
(1)若 ， ，则 的值是________．
(2)若 时，求 的最大值．
(3)在点 从点 到点 的整个运动过程中，若线段 上存在唯一的一点 ，求此时 的值．
31．综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
如图1，在 中， ，点 是 边上一点，连接 平分 交 于点 ，点 是
上一点，连接 并延长交 于点 ．求证： ．
独立思考：（1）请解答王老师提出的问题；
实践探究：（2）王老师提出了新问题，求证 ．王老师的问题引发了同学们的思考，并积极地进
行了小组讨论．在展示交流的过程中，小明同学分享了他的思路，他先发现并证明了 和 相等，然后又构造全等得到了结论．相信你也得到了启发，请你完成证明 ．
问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，如图2，当 时，
可以求 的值，请你尝试完成解答．
32．如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标为 、 、 ，点D是线段 的一
动点，它以每秒2个单位速度从A点向O点运动，连接 过点D作 的垂线交 于E点，设D点的运
动时间为t秒（ ）．
(1)当D点到达 的中点时， ________；
(2)请用t的代数式表示 的长度，并求出t为何值时， 有最小值，是多少？
(3)若已知F点在直线 上， ，P为x轴上一点且 于点P，请直接写出满足此条件的P点
坐标．
33．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
［观察与猜想］
(1)如图①，在正方形 中，点 、 分别是 、 上的两点，连接 、 、 ，则
的值为__________．
(2)如图②，在矩形 中， ， ，点 是 上的一点，连接 、 ，且 ，则
的值为__________________．
[类比探案](3)如图③，在四边形 中， ，点 为 上一点，连接 ，过点 作 的垂线交
的延长线于点 ，交 的延长线于点 ，求证： ．
34．在平行四边形 中， ， ，点 、 分别为 、 的两点．
(1)如图1，若 ，且 ，连接 、 ，判断 和 的数量关系及位置关系，并说明
理由；
(2)如图2， ，，求证： ；
(3)如图3，若 ，点 关于 的对称点为点 ，点 为平行四边形 对角线 的中点，
连接 交 于点 ，求 的长．
35．在四边形 中， ， ，对角线 、 相交于点 ，过点 作 垂直于 ，
垂足为 ，且 ．
(1)求证： ；
(2)如图2，连接 ，点 、 、 分别为线段 、 、 的中点，连接 、 、 ．
①求证： ；
②若 ，求 的面积．
36．如图 ，在平面直角坐标系中，直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点， 、 分别是线
段 、 上的两个动点，点 从 出发以每秒 个单位长度的速度向终点 运动，同时 从 出发，以
每秒 个单位的速度向终点 运动，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为 秒．点 为的中点，连接 、 、 ．
(1)求点 的坐标及 的长度；
(2)当 的面积为 时，求点 的坐标；
(3)如图 分别以 、 为邻边作 ，是否存在时间 ，使得坐标轴刚好将 的面积分为
的两个部分，若存在，直接写出 的值；若不存在，请说明理由．
37．已知：点E、点F分别为直线 、直线 上的点，连接 ， 平分 交直线 于点C，
，
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，点H为射线 上一点，连接 ， 平分 交 于点G，过点G作 于点
K，求证： ；
(3)如图3，点D为射线 上一点，连接 ， ， ， ，
， ，求 的值．38．如图（1）， 中， ，点D是 上一点，连接 ，以 为一边作
，使 ，连接
(1)求证： 与 的数量关系及位置关系．
(2)如图（2）， 中， ，点M是 上一点，点D是 上一点，连接 ，以
为一边作 ，使 ， ，连接 ，求 的度数．
(3)如图（3）， 中， ，点M是 中点．点D是 上一点且
，连接 ，以 为一边作 ，使 ， ，连接 ，求 的长．
39．【性质探究】
如图，在矩形 中，对角线 ， 相交于点O， 平分 ，交 于点E．作 于点
H，分别交 ， 于点F，G．
（1）直接写 ________（填图中一条线段）
（2）求证： ．
【迁移应用】
（3）记 的面积为 ， 的面积为 ，当 时，求 的值．
【拓展延伸】
（4）若 交射线 于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连接 ，当 的面积为矩形
面积的 时，请直接写出 的值．40．如图，在正方形 中， ， ，将 绕点 旋转，其中边 分别与射线
，直线 交于 两点，边 与射线 交于点 ，连接 ，且 与直线 交于点 ．
(1)如图，当点 在线段 上时．
①求证： ．
②求证： ．
(2)当 时，求 的长．
41．如图，四边形 内接于 ， 是 的直径，点 在 的延长线上，延长 交 的延长线
于点 ，点 是 的中点， ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)求证： 是等腰三角形；
(3)若 ， ，求 的长．
42．综合应用：如图，已知四边形 是矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中 ， ，点P
以每秒1个单位的速度从点C出发在射线 上运动，连接 ，作 交x轴于点E，连接 交
于点F，设运动时间为t秒．
(1)当 时， ___________°， _____________；
(2)当 时，求t的值；
(3)在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与 相似．若存在，请求出t的值；若不存
在，请说明理由．
43．探究式学习是新课程倡导的重要学习方法，某数学兴趣小组拟做以下探究．
如图，在 中， 分别是 上的高，点G在直线 上， ，点F在直线 上，
， 于点N， 于点M．探究线段 之间的数量关系．
(1)如图①，当 是锐角三角形时，线段 之间的数量关系是 ．
“善思小组”通过探究后发现解决此问题的方法：过点A作 于点P，利用全等三角形的性质进而
得证．请你写出证明过程．
下面是小强的部分证明过程，仔细阅读并完成相应的任务．证明：过点A作 于点P． ∴
．
∴ ．
在 和 中，
∴ ．
∵ ，
，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
请你补全余下的证明过程．
(2)通过类比、转化、猜想，探究出：当 是钝角三角形，且 时，如图②线段
之间的数量关系是 ；当 是钝角三角形，且 时，如图③，线段 之间的数量关
系是 ．
(3)“智慧小组”继续对上述问题进行特殊化研究后，提出下面问题请你解答：在（1）和（2）的条件下，
若 ，则 ．
44．问题提出：
（1）如图1，在等腰直角 中， ， ，点 、 分别在边 、 上，连接 、
，有 ．求证： ；
问题探究
（2）如图2，将矩形 沿 折叠，使点 落在 边的点 处，若 ， ，求 的长；
问题解决
（3）如图3，菱形 是一座避暑山庄的平面示意图，其中 ， 米，现计划在山庄
内修建一个三角形花园 ，点 、 分别在线段 、 上，根据设计要求要使 ，且
，问能否建造出符合要求的三角形花园 ，若能，请找出点 、 的位置（即求出 与
的长），若不能，请说明理由．
45．如图（1）矩形 中， ， ， ， 将 绕点 从 处开始按顺
时针方向旋转， 交 （或 ）于点 ， 交边 （或 ）于点 ，当 旋转至 处时，的旋转随即停止.
(1)特殊情形：
如图（2），发现当 过点 时， 也恰好过点 ，此时， __________ （填“ ”或
“∽”）；
(2)类比探究：如图（3）在旋转过程中， 的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理
由；
(3)拓展延伸：设 ，当 面积为4.2时，直接写出所对应的 的值.
46．如图， 是矩形 的边 上的中点， ， ， 于点 ，延长 交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)求 的值；
(3)若将 以 为旋转中心，按顺时针方向旋转，得到 （其中 与 对应），当 的对应
边 在直线 上时，直线 与直线 交于点 ，求 的长度．
47．综合与实践：问题情境
数学活动课上，老师让同学们探讨矩形、正方形的剪拼和平移问题．如图1，四边形 和 都是
正方形纸片，点 在同一条直线上，若沿着 分别将纸片剪开，然后将 平移至
平移至 ．初步探究
（1）求证：
①四边形 是正方形．
② ．
深入探究
（2）如图2，将四边形 和 由正方形都改为矩形，且 ，当四边形 为矩形时，
试探究 和 之间的数量关系，并说明理由．
48．如图1，在三角形 中， ， ，动点 从点 出发，在 边上以每
秒 的速度向点 匀速运动，同时动点 从点 出发，在 边上以每秒 的速度向点 匀速运动，
运动时间为 秒，连接 ．
(1)若 与 相似，求 的值；
(2)直接写出 是轴对称图形时 的值；
(3)如图2，连接 ，若 垂直 ，求 的值．
49．数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．
问题情境：在 中，点 是边 上一点，将 沿直线 折叠，点 的对应点为 ．数学思考：
(1)“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点 与点 重合，过点 作 ，与 交于点 ，连接
，则四边形 是 （填菱形，矩形，正方形）
拓展探究：
(2)“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点 为 的中点时，延长 交 于点 ，连接 ．试判断
与 的位置关系，并说明理由；
问题解决：
(3)“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图 ，当点 恰好落在 边上时， ，
， ，求 的长．
50．如图1， 是 内接三角形，将 绕点A逆时针旋转至 ，其中点D在圆上，点E在
线段 上．
(1)求证： ﹔
(2)如图2，过点 作 分别交 、 于点M、N，交 于点F，连接 ，求证：
；
(3)在（2）的条件下，若 时，求 的值；
