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期末复习-二次根式核心知识必考题训练（50题）
题型一、二次根式有意义条件
1．二次根式 √x-1 有意义时，x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≠1
2．二次根式 √2x-1 有意义时，x的取值范围是（ ）．
1 1 1 1
A．x> B．x≥ C．x< D．x≤
2 2 2 2
3．若x，y为实数，且√x+4+√-x-4+3- y=0，则x+y的值为( )
A．7 B．1 C．-7 D．-1
4．若a，b满足b=√a-2+√2-a-3，则在平面直角坐标系中，点P（a，b）所在的象
限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象
限
5．已知 a 满足 |2021-a|+√a-2022=a ，则 a-20212=（）
A．0 B．1 C．2021 D．2022
1
6．若代数式 √-m+ 有意义，那么直角坐标系中点P（m，n）的位置在（ ）
√mn
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象
限
2
7．在函数y= +√x+1中，自变量x的取值范围是（ ）
x-3
A．x≥﹣1 B．x≠3
C．x＞﹣1 D．x≥﹣1且x≠3
√ 1
8若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
x-3
题型二：二次根式的性质及化简（运算）
9．若1≤x≤4，化简 |1-x|-√x2-8x+16 的结果为（ ）
A．3 B．2x﹣5 C．﹣3 D．5﹣2x10．在△ABC中，三边分别为a，b，c，则化简|a﹣b+c|﹣2 √(c-a-b) 2 的结果为（
）
A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣3c D．2a
11．计算 (√2-a) 2+√(a-3) 2 的结果是（ ）
A．5-2a B．-1 C．-1-2a D．1
12．若√(x-6) 2＝6－x，则x的取值范围是（ ）
A．x<6 B．x≤6 C．x≥6 D．x≠6
13．化简二次根式√-a3的正确结果是（ ）
A．a√-a B．a√a C．-a√-a D．-a√a
√-m3
14．化简 的结果为（ ）
m
A．√m B．﹣√m C．√-m D．-√-m
15．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简√(a+b) 2+|b|的结果是（ ）
A．a+2b B．﹣a C．a﹣2b D．﹣a﹣
2b
题型三：二次根式性质与三角形边长（周长）
16．已知等腰三角形的两边长分別为 a 、 b ，且 a 、 b 满足
√2a-3b+6+(2a+3b-18) 2=0 ，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．9 或 11 B．10 或 11 C．10 或 12 D．9 或
12
17．已知实数x，y满足|x﹣6|+ √y-15 ＝0，则以x，y的值为两边的等腰三角形的周
长为（ ）
A．27或36 B．27
C．36 D．以上答案都不对
题型四：最简二次根式
18．下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）
√1
A．√2 B．√7 C．√10 D．
2
19．如果最简二次根式√2x+1与√5可以合并，则x=
√20
20．把 化成最简二次根式的结果是 .
√15
21．若最简二次根式 √2a+1 与 √1-3a 的和是一个单项式，那么a= 。
题型五：整体带入法相关问题√ y √ x
22．已知x+y＝﹣5，xy＝4，则 + ＝ ．
x y
√ x √ y
23．已知 x+ y=6 ， xy=-3 且 x>y ，则 - + - = ．
y x
√m-√n
24．已知：m+n＝10，mn＝9，则 ＝ ．
√m+√n
√ y √ x
25．已知x+y=﹣2，xy=3，则代数式 + 的值是 ．
x y
1 √ 1
26．已知 √x ﹣ =2，则 x2+ +14 的值为
√x x2
．
题型六：二次根式的运算
27．计算
（1）√27×√50÷√6
（2）(√6+√2)(√6-√2)
28．计算：
1 -1
（1）√18+|√2-1|-√9+( ) ；
2
1√1
（2）-6√8÷(2√6)×( )．
3 6
29．计算：
√1
（1）√12÷ ×√8；
3
（2）（2√3+√2）（2√3-√2）.
30．计算：
1
（1）√20+(-√5) 2- ；
√5
（2）√27×√2+(√2-√3) 2 .
31．计算：
（1）√18+√12-√8-√27；
（2）(√3+2) 2021 (√3－2) 2022-(2-√3) 2 ．
32．计算：
9
（1） -√2×√6
√3
（2）(√3-1)(√3+1)+√(-2) 233．计算
（1）（-2）2+ √2 × √8 +（-6）0
（2）(3√2+√7)(3√2-√7)-3√15÷√3
题型七：二次根式求代数式的值
1 1
34．已知x＝ ( √7 ＋ √5 )，y＝ ( √7 － √5 )，求代数式x2＋xy＋y2的值．
2 2
35．己知x= √3-2 ，y= √3+2 求代数式x2+y2+xy-2x-2y的值．
√9-x √9-x √x2-5x+4
36．已知 = ，且x为偶数，求（1+x） ⋅ 的值.
x-6 √x-6 x2-1
37．若最简二次根式 a+ √12a+5 与 √4a+3b 是同类二次根式，求a、b的值.
38．在一个边长为（2 √3 +3 √5 ）cm的正方形的内部挖去一个长为（2 √3 + √10
）cm，宽为（ √6 ﹣ √5 ）cm的矩形，求剩余部分图形的面积．
题型八：化简求值（数轴）
39．先化简，再求值：√x2-2x+1，其中x＝﹣2.
40．化简：x=√2﹣1，求代数式x2+3x﹣4的值．
41．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简√a2+√(a+b) 2-|b-a|.
42．若实数a，b在数轴上的位置如图，化简：√a2-2ab+b2-√a2+√b2.
43．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 √(a+1) 2-√(b-1) 2-√(a-b) 2
44．实数a，b在数轴上的位置如图所示，请化简：a－ √a2 － √b2 ＋ √(a-b) 2 .
45．实数a，b在数轴上的位置如图所示，请化简： |a-b|-√a2-(√a+b) 2 .
46．已知实数a,b,c在数轴上的位置如图所示,化简︱a︱- √(a+c) 2 + √(c-a) 2 - √b2 .
题型九：二次根式分母有理化的综合应用47．阅读下面问题：
1 1×(√2-1)
= =√2-1 ；
1+√2 (√2+1)(√2-1)
1 1×(√3-√2)
= =√3-√2 ；
√3+√2 (√3+√2)(√3-√2)
1 1×(√5-2)
= =√5-2 .
√5+2 (√5+2)(√5-2)
试求：
1
（1） 的值；
√7+√6
1
（2） 的值；
3√2+√17
1
（3） (n 为正整数 ) 的值.
√n+1+√n-1
48．我们将(√a+√b) ， (√a-√b) 称为一对“对偶式”．因为
(√a+√b)(√a-√b)=(√a) 2-(√b) 2 =a-b．所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地
将 (√a+√b) 和 (√a-√b) 中的“ √❑ ”去掉．例如：
1 √3-√2 √3-√2
= = =√3-√2
。像这样，通过分子、分母同
√3+√2 (√3+√2)(√3-√2) (√3) 2-(√2) 2
乘以一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题．
1
（1）分母有理化 的值为 ；
2+√3
1 1 1 1
（2）计算： + + +
√3+1 √5+√3 √7+√5 3+√7
1
49．在数学课外学习活动中，嘉琪遇到一道题：已知a= ，求2a2﹣8a+1的值．他
2+√3
是这样解答的：
1 2-√3
∵a= = =2-√3，
2+√3 (2+√3)(2-√3)
∴a-2=-√3．
∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1．
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据嘉琪的解题过程，解决如下问题：1 2
（1）试化简 和 ；
√3+√2 √5+√3
1 1 1 1
（2）化简 + + +⋯+ ；
√2+1 √3+√2 √4+√3 √2022+√2021
1
（3）若a= ，求4a2﹣8a+1的值．
√2-1
50．【材料阅读】
2
材料一：在进行二次根式化简与运算时，有时会遇到形如 的式子，可以通过
√3+1
2
分母有理化进行化简或计算．如化简： ．具体方法如下：
√3+1
2 2(√3-1)
方法一： = =√3-1．
√3+1 (√3+1)(√3-1)
2 3-1 (√3) 2-12 (√3-1)(√3+1)
方法二： = = = =√3-1．
√3+1 √3+1 √3+1 √3+1
b c b+c
材料二：我们在学习分式时知道，对于公式 + = 可以逆用．即：
a a a
b+c b c
= + ．
a a a
【问题解决】
3
（1）化简： = ；
√10-√7
（2）计算：
1 1 1 1 1 1
( - )+( - )+⋅⋅⋅+( - )；
√2+1 √3+√2 √3+√2 √4+√3 √100+√99 √101+√100
1 1 1 1
（3）计算： + + +⋅⋅⋅+ ．
2+√2 3√2+2√3 4√3+3√4 21√20+20√21
