期末押题卷-单元测试（人教版）（解析版）_初中数学人教版_7下-初中数学人教版_7下-初中数学人教版（旧版）赠送_06习题试卷_4期末试卷_期末押题卷-（人教版）

期末押题卷（人教版）
选拔卷
（全卷共26题，考试时间：120分钟，满分：120分）
一、单选题（共10小题，每题3分，共30分）
22
1．（2021·湖北七年级期末）有下列各数：﹣ ， ，0.02002000200002…（相邻两个2
7 39

之间0的个数依次多1），﹣8，3 ， ， ．其中，无理数的个数是（ ）
2 36 3
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，
有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是
无理数．由此即可判定选择项．
22
【详解】解：﹣ 是分数，属于有理数； 是无理数；
7 39
0.02002000200002…（相邻两个2之间0的个数依次多1）是无理数；

﹣8是整数，属于有理数；3 是无理数； ＝6，是整数，属于有理数； 是无理数；
2 36 3
无理数共4个，故选：C．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，2等；开
方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．（2021·陕西宝鸡市·八年级期末）下列说法错误的是（ ）
A． 的立方根是 B．1的平方根是1 C． 是5的平方根 D．0是0的平方根
【答案】B
【分析】根据立方根、平方根的概念逐个分析即可求解．
【详解】解：选项A：-1的立方根是-1，选项A说法正确，但不符合题意；
选项B：1的平方根是±1，选项B说法错误，符合题意；
选项C： 是5的平方根，选项C说法正确，但不符合题意；
选项D：0的平方根是0，选项D说法正确，但不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查平方根、立方根的概念，正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没
有平方根；0的平方根为0；任何数都有且只有一个立方根．
3．（2021·四川达州市·八年级期末）若点 位于平面直角坐标系第四象限，且点 到 轴
的距离是1，到 轴的距离是 ，则点 的坐标为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】可先判断出点的坐标的符号，再跟据到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y
轴的距离为点的横坐标的绝对值，得到具体坐标即可．
【详解】解：∵P到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，∴P纵坐标可能为±1，横坐标可
能为±2，
∵点M在第四象限，∴P坐标为（2，-1）．故选：D．
【点睛】本题考查点的坐标的确定；用到的知识点为：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝
对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值．
4．（2021·广东东莞·七年级期末）如图所示，下列四个选项中不正确的是（ ）
A．1与2是同旁内角 B．1与4是内错角 C．3与5是对顶角 D．2与3
是邻补角
【答案】B
【分析】根据同旁内角，内错角，对顶角，邻补角的定义逐项分析．
【详解】A. 1与2是同旁内角，故该选项正确，不符合题意；
B. 1与4不是内错角，故该选项不正确，符合题意；
C. 3与5是对顶角，故该选项正确，不符合题意；
D. 2与3是邻补角，故该选项正确，不符合题意；故选B．
【点睛】本题考查了同旁内角，内错角，对顶角，邻补角的定义，理解定义是解题的关键．
两条直线被第三条直线所截,如果两个角分别在两条直线的同侧,且在第三条直线的同旁,那
么这两个角叫做同位角．两条直线被第三条直线所截,如果两个角分别在两条直线之间,且在
第三条直线的两侧,那么这两个角叫做内错角．两条直线被第三条直线所截,如果两个角分别
在两条直线之间,且在第三条直线的同旁,那么这两个角叫做同旁内角．两个角有一条公共边，
它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
5．（2022·江苏·靖江外国语学校模拟预测）下列说法不正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】A
【分析】利用不等式的性质逐项判断，得出答案即可．
【详解】解： 、若 ，则 ， 时不成立，此选项错误，符合题意；B、若 ，则 ，此选项正确，不符合题意；
C、若 ，则 ，此选项正确，不符合题意；
D、若 ，则 ，此选项正确，不符合题意．故选：A．
【点睛】此题考查不等式的性质，解题关键是熟记不等式的性质：性质 、不等式的两边
都加上 或减去 同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．性质 、不等式两边都乘
或除以 同一个正数，不等号的方向不变．性质 、不等式两边都乘 或除以 同一个负数，
不等号方向改变．
6．（2021·湖南长沙市·九年级专题练习）要想了解九年级1000名考生的数学成绩，从中
抽取了100名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ）
A．这100名考生是总体的一个样本 B．每位考生的数学成绩是个体
C．1000名考生是总体 D．100名考生是样本的容量
【答案】B
【分析】根据总体和个体的定义区分即可；
【详解】这100名考生的数学成绩是总体的一个样本，故A错误；
每位考生的数学成绩是个体，故B正确；1000名考生的数学成绩是总体，故C错误；
样本容量是100，故D错误；故答案选B．
【点睛】本题主要考查了总体、个体、样本、样本容量，准确分析判断是解题的关键．
7．（2021·重庆北碚区·西南大学附中七年级期末）古代《折绳测井》“以绳测井，若将绳
三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？“译文大致是：
“用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等分，井外余绳4尺；如果将绳子折成四等分，
井外余绳1尺，问绳长、井深各是多少尺？“如果设绳长x尺，井深y尺，根据题意列方
程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用代数式表示井深即可得方程．此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四
尺；②绳四折测之，绳多一尺．
【详解】解：设绳长x尺，井深y尺，根据题意可得 故选：A
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出
相应的方程组．
8．（2022·绵阳市初二期中）给出下列结论：① 在3和4之间；② 中 的取值范围是 ；③ 的平方根是3；④ ；⑤ ．其中正确
的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据估算出 的大小、二次根式的意义、算术平方根、无理数比较大小方法，
即可解答．
【解析】解：① ， ，故①错误；
②因为二次根式 中 的取值范围是 ，故②正确；
③ ，9的平方根是 ，故③错误；④ ，故④错误；
⑤∵ ， ，∴ ，即 ，故⑤错误；
综上所述：正确的有②，共1个，故选： ．
【点睛】本题考查了故算无理数的大小，解决本题的关键是掌握估算平方法比较无理数大
小．
9．（2020.四川绵阳.中考真题）在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，
∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝（ ）
A．16° B．28° C．44° D．45°
【答案】C
【分析】延长 ，交 于 ，根据等腰三角形的性质得出 ，根据平
行线的性质得出 ，
【详解】解：延长 ，交 于 ，
是等腰三角形， ， ，
， ，
， ，故选： ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性
质定理是解题的关键．
10．（2022·重庆一中八年级期末）已知关于x、y的二元一次方程组 的解
 a7
s
满足 ，且关于s的不等式组 3 恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a
x y  s1
的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】先求出方程组和不等式的解集，再求出a的范围，最后得出答案即可．
 2
x a1
3x2ya1   3
【详解】解：解方程组 得： ，
 2 13 3
x ya y a2

 9 9  2
3x2ya1

∵关于x、y的二元一次方程组 2 13的解满足 ，∴2 ≥ 3 ，解得：
 x ya a1  a2
 9 9 x y 3 2
18
a≥- ，
13
 a7
s
∵关于s的不等式组 3 恰好有4个整数解，即4个整数解为1，0，-1，-2，
 s1
a7 18
∴3 2，解得-2≤a＜1，∴ ≤a＜1，∴符合条件的整数a的值有：-1，0，共
3 13
2个，故选：C．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程和一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不
等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原
则是解答此题的关键．
二、填空题（共8小题，每题3分，共24分）
11.（2021·牡丹江市田家炳实验中学初一期中）给出下列说法：（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（2）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；
（3）相等的两个角是对顶角；（4）三条直线两两相交，有三个交点；（5）若a⊥b，
b⊥c，则a⊥c．
其中正确的有________个
【答案】1
【分析】根据各小题的描述情况，判断各小题的正误，即可得到答案．
【解析】解：（1）∵两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故（1）不正确；
（2）∵平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交，故（2）正
确；
（3）∵对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故（3）不正确；
（4）∵三条直线两两相交，也可能是交于同一个点，故（4）不正确；
（5）∵若ab，bc，则a//c，故（5）不正确，正确的只有（2）一个选项，故答案为：
1．
【点睛】本题主要考察了平面内直线的位置关系，平行公理的应用、直线相交交点个数问
题，解题的关键在于画出题意所示的直线位置图，以此判断说法的正误．
12．（2021·山东七年级期中）一般的，如果x4 aa0
，则称x为a的四次方根，一个
正数a的四次方根有两个，它们互为相反数，记为4 a，若4 m4 2，则m= ______．
【答案】±2
【分析】利用题中四次方根的定义求解．
【详解】解：∵4 m4 2，∴m4＝24，∴m＝±2．故答案为：±2．
【点睛】本题考查了方根的定义．关键是求四次方根时，注意正数的四次方根有2个．
13．（2022·重庆市七年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移
1
后得到三角形A′B′C′，且平移前后三角形的顶点坐标都是整数．若点P（1 ，﹣ ）为三
2 5
角形ABC内部一点，且与三角形A′B′C′内部的点P′对应，则对应点P′的坐标是_____．3 14
【答案】（ ， ）
2 5
【分析】依据对应点的坐标变化，即可得到三角形ABC向左平移2个单位，向上平移3个
单位后得到三角形A′B′C′，进而得出点P′的坐标．
【详解】解：由图可得，C（2，0），C'（0，3），
∴三角形ABC向左平移2个单位，向上平移3个单位后得到三角形A′B′C′，
1
又∵点P（1 ，﹣ ）为三角形ABC内部一点，且与三角形A′B′C′内部的点P′对应，
2 5
1 14 14
∴对应点P′的坐标为（1 ﹣2，﹣ ＋3），即P'（- 3 ， ），故答案为：（- 3 ， ）．
2 5 2 5 2 5
【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化，关键是注意观察组成图形的关键点平移后的位
置．解题时注意：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
14．（2021·山西忻州·七年级期末）我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做
这个二元一次方程的一个解．同样地，适合三元一次方程的一对未知数的值叫做这个三元
一次方程的一个解．请写出方程 的一个正整数解______．
【答案】 或 或
【分析】利用“适合三元一次方程的一对未知数的值叫做这个三元一次方程的一个解”即
可得出答案．
【详解】解：当 时， 成立；当 时， 成立；
当 时， 成立；故答案为： 或 或 ．
【点睛本题考查了三元一次方程组的解，熟练掌握概念是解题的关键．
15．（2022·江苏·七年级专题练习）中午放学后，有a个同学在学校一食堂门口等侯进食
堂就餐，由于二食堂面积较大，所以配餐前二食堂等待就餐的学生人数是一食堂的2倍，
开始配餐后，仍有学生续前来排队等候就餐，设一食堂排队的学生人数按固定的速度增加，
且二食堂学生人数增加的速度是一食堂的2倍，两个食堂每个窗口阿姨配餐的速度是一样
的，一食堂若开放12个配餐窗口，则需10分钟才可为排队就餐的同学配餐完毕；二食堂
若开放2个配餐窗口，则14分钟才可为排队就餐的同学配餐完毕；若需要在15分钟内配
餐完毕，则两个食堂至少需要同时一共开放__个配餐窗口．
【答案】29
【分析】设每分钟来一食堂就餐的人数为x人，食堂每个窗口阿姨配餐的速度为每分钟y
人，则每分钟来二食堂就餐的人数为2x人，根据“一食堂若开放12个配餐窗口，则需10分钟才可为排队就餐的同学配餐完毕；二食堂若开放20个配餐窗口，则14分钟才可为排
队就餐的同学配餐完毕”，即可得出关于x，y，a的三元一次方程组，解之即可用含y的
代数式表示出a，x，设设两个食堂同时一共开放m个配餐窗口，根据需要在15分钟内配
餐完毕，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】解：设每分钟来一食堂就餐的人数为x人，食堂每个窗口阿姨配餐的速度为每分
钟y人，则每分钟来二食堂就餐的人数为2x人，依题意得： ，∴
，
设两个食堂同时一共开放m个配餐窗口，
依题意得：15my≥a+2a+15×（x+2x），解得：m≥29．故答案为：29．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系，
正确列出三元一次方程组是解题的关键．
16．（2021·北京顺义·二模）改革开放以来，由于各阶段发展重心不同，某市的需求结构
经历了消费投资交替主导、投资消费双轮驱动到消费主导的变化.到2007年，某市消费率
超过投资率，标志着某市经济增长由投资消费双轮驱动向消费趋于主导过渡．下图是某市
1978—2017年投资率与消费率统计图.根据统计图回答：________年，某市消费率与投资率
相同；从2000年以后，某市消费率逐年上升的时间段是________．
【答案】 1984、2006； 2004—2017年.
【分析】（1）根据两条折线的交点得到消费率与投资率相同的年份；
（2）从2000年以后，找折线呈上升趋势的时间段.
【详解】解：（1）1984、2006年某市消费率与投资率相同；
（2）从2000年以后，某市消费率逐年上升的时间段是2004—2017年，
故答案为（1）1984、2006；（2）2004—2017年.
【点睛】本题考查折线统计图的识图，折线统计图不仅可以表示数量的多少，而且可以反
映同一事物在不同时间里的发展变化的情况，看起来清楚又方便.17．（2022·江苏泰兴·九年级期末）如图，一次函数 的图像与 轴交于点 ，与
正比例函数 的图像交于点 ，点 的横坐标为1.5，则满足 的 的
范围是______．
【答案】
【分析】根据图象得出P点横坐标为1.5，联立y=kx-3和y=mx得m=k-2，再联立y=kx+6和
y=（k-2）x解得x=-3，画草图观察函数图象得解集为 ．
【详解】∵P是y=mx和y=kx-3的交点，点P的横坐标为1.5，∴ 解得m=k-2
联立y=mx和y=kx+6得 解得x=-3
即函数y=mx和y=kx+6交点P’的横坐标为-3，
观察函数图像得，满足kx−3<mx<kx+6的x的范围为： 故答案为：
【点睛】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的理解和掌握，解题的关键在于将不
等式kx−3<mx<kx+6解集转化为直线y=mx与直线y=kx-3，直线y=kx+6相交的横坐标x的范
围．
18．（2021·浙江宁波市·七年级期末）一副三角板按图1的形式摆放，把含45°角的三角板
固定，含30°角的三角板绕直角顶点逆时针旋转，设旋转的角度为 （ ）．在旋转过程中，当两块三角板有两边平行时， 的度数为______．
【答案】30°或45°或120°或135°或165°
【分析】分五种情况进行讨论，分别依据平行线的性质进行计算即可得到∠α的度数．
【详解】解：①当CD∥OB时，∠α=∠D=30°
②当OC∥AB时，∠OEB=∠COD=90°，此时∠α=90°-∠B=90°-45°=45°
③当DC∥OA时，∠DOA=∠D=30°，此时∠α=∠AOB+∠AOD=90°+30°=120°④当OD∥AB时，∠AOD=∠A=45°，此时∠α=∠A+∠AOD=90°+45°=135°
⑤当CD∥AB时，延长BO交CD于点E，则∠CEO=∠B=45°
∴∠DEO=180°-∠CEO=135°∴∠DOE=180°-∠DEO-∠D=15°
此时∠α=180°-∠DOE=180°-15°=165°
综上，在旋转过程中，当两块三角板有两边平行时， 的度数为30°或45°或120°或135°或
165°
【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用．在旋转过程中，注意分情况讨论是解题关
键．
三、解答题（共8小题，19-20题每题7分，21-24题每题8分，25-26题每题10分，共66
分）
19．（2022.陕西七年级月考）（1）解方程组 （2）解不等式组
，并把解集在数轴上表示出来
【答案】（1） ；（2）1＜x≤2【分析】(1)利用加减消元法进行求解即可；(2) 先分别求出每一个不等式的解集，然后把
解集在数轴上表示出来，继而确定出不等式组的解集即可.
【详解】(1) ，由①+②，得5x＝5，解得x＝1，
把x＝1代入方程①解得y＝1，∴该方程组的解为： ；
(2) ，由不等式①，得x＞1，由不等式②，得x≤2，
解集在数轴上表示为：
故原不等式组的解集为：1＜x≤2．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式，熟练掌握相关的解题方法是解
题的关键.
20．（2021·黑龙江龙凤·七年级期中）已知：如图，EF∥CD， ．（1）判断
与 的位置关系，并说明理由．（2）若 平分 ， 平分 ，且
，求 的度数．
【答案】（1）平行，理由见解析；（2）80°
【分析】（1）根据 可得 ，再由 可得
由此即可证明；（2）由平行线的性质可得 ，再由角平分线的定义可得
，则 ，由此即可得到答案．
【详解】解：（1） ．
理由： ， ，又 ， ，
；
（2） ， ，
平分 ， ，∴ ，
平分 ， ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，解题的关键在于能够熟
练掌握平行线的性质与判定条件以及角平分线的定义．21．（2021.背景市七年级期中）如图，把△ABC向右平移2个单位长度，再向上平移3个
单位长度，得到△A′B′C′．
（1）在图中画出△A′B′C′，并写出点A′、B′、C′的坐标；（2）求△A′B′C′面积．
【答案】（1）详见解析；（2）6
【分析】(1)根据平移的性质找到A、B、C平移后的对应点，然后顺序连接可得△A′B′C′，
继而根据点A′、B′、C′在坐标系中的位置写出坐标即可；(2)根据三角形的面积公式进行求
解即可.
【详解】(1)如图所示：△A′B′C′即为所求；
点A′、B′、C′的坐标分别是：(0，4)(﹣1，1)(3，1)；
(2) A′B′C′的面积为 =6．
△
【点睛】本题考查了作图——平移变换，熟练掌握平移的性质是解题的关键.
22．（2021·河南省·七年级专题练习）随着科技的不断发展，越来越多的中学生拥有了自
己的手机，某中学课外兴趣小组对使用手机的时间做了调查：随机抽取了该校部分使用手
机的中学生进行调查（问卷调查表如图所示），并用调查结果绘制了图1、图2两种“周
使用手机的时间统计图”（均不完整），请根据统计图表解答以下问题： 中学生每周使
用手机的时间问卷调查表您好！这是一份关于您平均每周使用手机人数时间的问调查表，请在表格中选择一项
符合您使用时间的选项，在其后空格内打“√”，非常感谢您的合作．
使用时间 （小
选项
时）
A
B
C
D
（1）本次接受问卷调查的共有________人；在扇形统计图中“ ”选项所占的百分比
________；
（2）扇形统计图中，“ ”选项所对应扇形圆心角为________度；（3）请补全条形统计
图；
（4）若该校共有1200名中学生，请你估计该校使用手机的时间在“ ”选项的有多少名
学生？
【答案】（1）100，10% （2）72 （3）见解析 （4）240人
【分析】(1)由C选项人数及其所占百分比可得总人数，用D选项人数除以总人数可得D选
项对应百分比；
(2)先求出B选项占总人数的百分比，然后用360°该百分比即可求解；
(3)用总人数减去B、C、D人数求出A的人数即可补全图形；(4)利用样本估计总体思想求
解可得．
【详解】解：(1)本次接受问卷调查的共有50÷50%=100（人），在扇形统计图中“D”选项所占的百分比为10÷100×100%=10%；
(2)“B”选项人数占总人数的百分比为：20÷100×100%=20%，
故扇形统计图中，“B”选项所对应扇形圆心角为：20%×360°=72°；
(3)“A”选项人数为100-20-50-10=20(人)，故补全条形统计图如下所示：
(4)“A”选项人数占总人数的百分比为：20÷100×100%=20%，
估计该校1200人中使用手机的时间在“A”选项的学生有：1200×20%=240(人) ．
【点睛】本题考查条形统计图、用样本估计总体、扇形统计图，解答本题的关键是明确题
意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
23．（2022·黑龙江省八五四农场学校八年级期末）为了落实上级关于新型冠状病毒的肺炎
疫情防控工作，某校计划给每个教师配备紫外线消毒灯和体温检测仪．已知购买1台紫外
线消毒灯和2个体温检测仪要1450元，购买2台紫外线消毒灯和1个体温检测仪需要1700
元．（1）求紫外线消毒灯和体温检测仪的单价各为多少元；（2）根据学校实际情况，需
要购买紫外线消毒灯和体温检测仪共计75件，总费用不超过38500元，且不少于37500元，
该校共有几种购买方案？
【答案】（1）紫外线消毒灯和体温检测仪的单价分别为650元、400元；（2）有5种购买
方案．
【分析】（1）设紫外线消毒灯的单价为 元，体温检测仪的单价为 元，根据“购买1台
紫外线消毒灯和2个体温检测仪需要1450元，购买2台紫外线消毒灯和1个体温检测仪需
要1700元”，即可列出关于 、 的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；（2）设
购买紫外线消毒灯 台，则购买体温检测仪 个，根据“购买的总费用不超过38500
元，且不少于37500元，”，即可得出关于 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出
结论．
【详解】解：（1）设紫外线消毒灯的单价为 元，体温检测仪的单价为 元，则由题意得 ，解得 ．
答：紫外线消毒灯的单价为650元，体温检测仪的单价为400元；
（2）设购买紫外线消毒灯 台，则购买体温检测仪 个．
，解得： ，
∵ 为正整数，∴该校有5种购买方案．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用已经一元一次不等式组的应用，解题的关键是：
（1）根据数量关系列出关于 、 的二元一次方程组；（2）根据数量关系列出关于 的
一元一次不等式组．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，据数量关系列出方
程（方程组或不等式组）是关键．
24．（2021.河南七年级期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一
个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零.由此可得：如果
mx+n=0，其中m、n为有理数，x为无理数，那么m=0且n=0.（1）如果
，其中a、b为有理数，那么a= ，b= .（2）如果
，其中a、b为有理数，求a+2b的值.
【答案】（1） ， ；（2） .
【分析】（1）a，b是有理数，则a-2，b+3都是有理数，根据如果mx+n=0，其中m、n为
有理数，x为无理数，那么m=0且n=0即可确定；（2）首先把已知的式子化成mx+n=0，
（其中a、b为有理数，x为无理数）的形式，根据m=0且n=0即可求解．
【详解】解：（1） 整理得： ，
∵a、b为有理数，则a-2，b+3都是有理数，而 为无理数，根据题意如果mx+n=0，其
中m、n为有理数，x为无理数，那么m=0且n=0，
对比形式可知m为 =0且n为 =0，则 ， ；
（2）整理，得： ，
∵a、b为有理数，同（1）中理可得： ，解得： ，∴ .
【点睛】本题考查了实数的运算，正确理解题意是关键．
26．（2021·湖南·长沙市北雅中学八年级开学考试）在平面直角坐标系 中，对于任意
两点 与点 的“近似距离”给出如下定义：若 ，则点与点 的“近似距离”为 ；若 ，则点 与
点 的“近似距离”为 ．
（1）已知点 、点 ，则点 与点 的“近似距离”为________．（2）已知
点 ， 为 轴上的动点．①若点 与 的“近似距离为 ”，写出满足条件的 点
的坐标________．②直接写出点 与点 的“近似距离”的最小值________．
（3）已知 点坐标为 ， ，写出点 与 的“近似距离”的最小及相应
的 点坐标．
【答案】（1） ；（2）① 或 ；② ；（3） ；
【分析】（1）根据题意即可得点 与点 的“近似距离”；
（2）①设点 的坐标为 ．由 ， ，解得 或 ，即可得出答
案；
②设点 的坐标为 ，且 ，则 ， ，若 ，则点 、
两点的“近似距离”为 ，若 ，则点 、 两点的“近似距离”为
；即可得出结果；
（3）先根据题意求得 ， ，接下来对
与 的大小关系进行分类讨论，以及对 和 的正负性进行讨论，由此可以化
简绝对值，才能进行下一步的计算求解，当所有情况讨论完之后即可确定本题的“近似距
离”的最小值以及此时点C的坐标．
【详解】解：（1）根据“近似距离”定义可知： ，
，
， ， 点 与点 的“近似距离”为 ，故答案为：4；
（2）① 点 为 轴上动点， ，
又∵点 ，∴ ，
又∵点 与点 的“近似距离”为 ， ， ，
点坐标为 或 ，故答案为： 或 ；
②若 ，则点 与点 “近似距离”为 ，
若 ，则点 与点 “近似距离”为 ，
故点 与点 近似距离的最小值为 ，故答案为：2；
（3） ， ，当 时， ， ， 点 与点 近似距离为
，
则点 与点 近似距离最小值为 ，此时 ，∴此时 点坐标为 ；
当 时， ， ，
若 ，则 ，点 与点 近似距离为 ，
则点 与点 近似距离最小值为 ，此时 ，则 ，
∴此时 点坐标为 ；若 ，则 ， ，
点 与点 近似距离为 ，此种情况不符合题意，
当 时， ， ，
若 ，即 ， ， ，∴当 时，
，
即：此时点 与点 近似距离最小值为 ， 点坐标为 ，
若 ，即 ， ，即 ，
，∴当 时， ，
即：此时点 与点 近似距离最小值为 ， 点坐标为 ，
， 点与 点近似距离最小值为 ，此时 点坐标为 ．
【点睛】本题考查了新定义“近似距离”、点的坐标、绝对值、绝对值不等式等知识；本
题综合性强，正确理解新定义“近似距离”是解题的关键．
26．（2021·湖南郴州·七年级期末）在数学综合实践活动课上，老师让同学们以“两条平
行直线 ， 和一块含45°的直角三角板 （ ）”为背景，开展数学探究
活动．如图，将三角板的顶点 放置在直线 上．（1）如图①，在 边上任取一点
（不同于点 ， ），过点 作 ，且 ，求 的度数；（2）如图②，过
点 作 ，请探索并说明 与 之间的数量关系；（3）将三角板绕顶点
旋转，过点 作 ，并保持点 在直线 的上方．在旋转过程中，探索 与
之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1） ；（2） ；（3）①当点 在直线 的上方时，
；②当点 在直线 与直线 之间时， ；③当
点 在直线 的下方时， ．
【分析】（1）根据平行线的性质可知 ，依据 ，可求
出 的度数；
（2）过点 作 ，得到 ，通过平行线的性质把 和 转化到
上即可；（3）分三种情形：①如图 中，当点 在直线 的上方时，②当点
在直线 与直线 之间时， ．③当点 在直线 的下方时，分别
利用平行线的性质解决问题即可．
【详解】解：（1）如图1中，
， ， ， ，
，解得 ．
（2） ，理由如下：如图，过点 作 ，
， ， ， ，
， ， ；
（3）①如图 中，当点 在直线 的上方时，过点 作 ．， ， ， ， ，
， ．
②当点 在直线 与直线 之间时， ，
如下图：
， ，
， ；
③当点 在直线 的下方时，过点 作 ．
， ， ， ， ，
， ．
综上所述，①当点 在直线 的上方时， ．②当点 在直线 与直
线 之间时， ．③当点 在直线 的下方时， ．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平行线的性质，特殊三角形的性质等知识，解
题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，需要用分类讨论的思想思考问题．