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第四课时——点与圆、直线与圆的位置关系（2）
知识点一：切线长定理：
1. 圆的切线长定义：
经过圆外一点作圆的切线，这点和 之间
的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
即若PA与PB是圆的切线，切点分别是A与B，
则PA与PB的长度是切线长。
2. 切线长定理：
从圆外一点作圆的切线，可以作 条，它们的切线长 。圆心和这一
点的连线 两条切线的夹角。
即PA PB，∠APO ∠BPO。
推广：有切线长定理的结论可得：
⌒ ⌒
①△APO △BPO ∠AOP ∠BOP AM AM AB OP。
特别提示：切线与切线长是两个不同的概念，切线是线，切线长是切线的长度。
【类型一：利用切线长定理求线段长度】
1．如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，则PB＝（ ）第1题 第2题
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD的周长等于
10cm，则PA＝ cm．
3．如图，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周长为16．若 O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D
点，则DF的长为（ ）
⊙
第3题 第4题
A．2 B．3 C．4 D．6
4．如图， O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么
BC的长为 ．
⊙
【类型二：利用切线长定理求周长】
5．如图，P为 O外一点，PA、PB分别切 O于A、B，CD切 O于点E，分别交PA、PB于点C、D，
若PA＝5，则△PCD的周长为（ ）
⊙ ⊙ ⊙第5题 第6题 第7题
A．5 B．7 C．8 D．10
6．如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若
△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为 ．
7．如图，四边形ABCD是 O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为 ．
⊙
8．如图，PA、PB切 O于点A、B，PA＝10，CD切 O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的
周长是（ ）
⊙ ⊙
A．10 B．18 C．20 D．22
知识点一：三角形的内切圆与内心：
1. 三角形的内切圆：
如图：与三角形各边都 的圆叫三角形的 。
三角形叫做圆的 。
2. 内心
三角形的 的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心就是三角形三个内角
的交点。所以圆心到三角形三边的距离 。
特别说明：任意三角形有且只有一个内切圆，圆有无数个外切三角形。
3. 直角三角形内切圆半径：
若a、b是直角三角形的直角边，c是直角三角形的斜边。则这个直角三角形的内切圆
半径为 。
4. 三角形的面积与内切圆半径的关系：若三角形的三边长分别是a、b、c，内切圆半径为r，则此三角形的面积可表示为：
。
【类型一：利用内切圆与内心求角度】
9．如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为（ ）
第9题 第10题 第11题
A．120° B．125° C．135° D．140°
10．如图，在△ABC中，∠C＝58°，点O为△ABC的内心，则∠AOB的度数为（ ）
A．119° B．120° C．121° D．122°
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝70°，△ABC的内切圆 O与边AB、BC、CA分别相切于点
D、E、F，则∠DEF的度数为 °．
⊙
【类型二：利用内切圆与内心求长度】
12．如图，已知等边△ABC的内切圆 O半径为3，则AB的长为（ ）
⊙
第12题 第13题
A．3 B．3 C．6 D．6
13．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5， O与△ABC的三边相切于点D、E、F，则AD长为
⊙（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
⌒ ⌒
14．如图，在 O中，AB＝AC，BC＝6．AC＝3 ，I是△ABC的内心，则线段OI的值为（ ）
⊙
第14题 第15题
A．1 B． ﹣3 C．5﹣ D．
15．如图， O是△ABC的外接圆，BC为直径，BC＝4，点E是△ABC的内心，连接AE并延长交 O于
点D，则DE＝ ．
⊙ ⊙
【类型三：求内切圆半径】
16．已知△ABC的三边长a＝3，b＝4，c＝5，则它的内切圆半径是 ．
17．两条边是6和8的直角三角形，其内切圆的半径是 ．
18．已知一个三角形的三边长分别是6、7、8，则其内切圆直径为（ ）
A． B． C． D．2
19．已知：如图， O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°．若AC＝12cm，BC＝9cm，求 O的半径r；若
AC＝b，BC＝a，AB＝c，求 O的半径r．
⊙ ⊙
⊙知识点一：弦切角定理：
1. 弦切角的定义：
如图，像∠ACP这样顶点在 圆上 ，一边与圆 相交 ，
一边与圆 相切 的角叫弦切角。
2. 弦切角定理：
弦切角的度数与它所夹的弧的圆周角度数 相等 。等于它所夹弧的圆心角度数的
一半 。
即∠PCA＝∠PBC。
【类型一：利用弦切角定理求角度】
⌒
20．如图，CD是 O的切线，T为切点，A是TB上的一点，若∠TAB＝100°，
则∠BTD的度数为（ ）
⊙
A．20° B．40° C．60° D．80°21．如图，A、B是 O上的两点，AC是 O的切线，∠B＝70°，则∠BAC等于 ．
⊙ ⊙
第21题 第22题
22．如图，直线AD与△ABC的外接圆相切于点A，若∠B＝60°，则∠CAD等于（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
23．如图，AB是 O的直径，DB、DE分别切 O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（ ）
⊙ ⊙
第23题 第24题
A．50° B．55° C．60° D．65°
24．如图，AB是 O的直径，点C为 O上一点，过点C作 O的切线，交直径AB的延长于点D，若
∠ABC＝65°，则∠D的度数是（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．25° B．30° C．40° D．50°
25．如图，已知半径为1的 M经过直角坐标系的原点O，且与x轴、y轴分别交于点A、B，点A的坐标
为（ ，0）， M的切⊙线OC与直线AB交于点C．则∠ACO＝ 度．
⊙一．选择题（共10小题）
1．如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝5，则PB＝（ ）
第1题 第2题
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，点I是△ABC的内心，若∠I＝116°，则∠A等于（ ）
A．50° B．52° C．54° D．56°
3．如图， O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为（ ）
⊙
第3题 第4题
A．8 B．9 C．10 D．11
4．如图，PA，PB分别切 O与点A，B，MN切 O于点C，分别交PA，PB于点M，N，若PA＝7.5cm，
则△PMN的周长是（ ）
⊙ ⊙
A．7.5cm B．10cm C．12.5cm D．15cm
5．如图，△ABC的内切圆 O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，AB＝14，BC＝13，CA＝9，则
AD的长是（ ）
⊙A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
6．如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm， O是它的内切圆，小明准备用剪刀在
O的右侧沿着与 O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（ ）
⊙
⊙ ⊙
第6题 第7题
A．12cm B．7cm
C．6cm D．随直线MN的变化而变化
7．如图，△ABC内接于 O，BD切 O于点B，AB＝AC，若∠CBD＝40°，则∠ABC等于（ ）
⊙ ⊙
A．40° B．50° C．60° D．70°
8．如图，四边形ABCD内接于 O，AB＝BC．AT是 O的切线，∠BAT＝55°，则∠D等于（ ）
⊙ ⊙
第8题 第10题
A．110° B．115° C．120° D．125°
9．点P是 O外一点，PA、PB分别切 O于点A、B，∠P＝70°，点C是 O上的点（不与点A、B重
合），则∠ACB等于（ ）
⊙ ⊙ ⊙A．70° B．55° C．70°或110° D．55°或125°
10．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列
结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，则∠BEC＝120°；③若点G为BC的中点，则∠BGD＝
90°；④BD＝DE．其中一定正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共6小题）
11．如图，四边形ABCD是 O的外切四边形，且AB＝9，CD＝15，则四边形ABCD的周长为 ．
⊙
第11题 第12题
12．如图，PA、PB是 O的两条切线，A、B是切点，若∠APB＝60°，PO＝2，则 O的半径等于 ．
⊙ ⊙
13．如图PA切 O于点A，∠PAB＝30°，则∠AOB＝ 度，∠ACB＝ 度．
⊙
第13题 第14题
14．如图四边形ABCD内接于 O，AB为直径，PD切 O于D，与BA延长线交于P点，已知∠BCD＝
130°，则∠ADP＝ ．
⊙ ⊙
15．在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝2 ，则△ABC的内切圆半径长为 ．
16．△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，点I是△ABC的内心，点O是△ABC的外心，则OI＝ ．三．解答题（共4小题）
17．如图，AB为 O直径，PA、PC分别与 O相切于点A、C，PQ⊥PA，PQ交OC的延长线于点Q．
⊙ ⊙
（1）求证：OQ＝PQ；
（2）连BC并延长交PQ于点D，PA＝AB，且CQ＝6，求BD的长．
18．如图，PA、PB、DE切 O于点A、B、C、D在PA上，E在PB上，
⊙
（1）若PA＝10，求△PDE的周长．
（2）若∠P＝50°，求∠O度数．
19．已知：如图， O是△ABC的外接圆，且AB＝AC＝13，BC＝24，PA
⊙是 O的切线，A为切点，割线PBD过圆心，交 O于另一点D，连接CD．
⊙ ⊙
（1）求证：PA∥BC；
（2）求 O的半径及CD的长．
⊙
20．已知：在△ABC中，∠C＝90°， I是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，连接IE、IF．
⊙
（1）四边形IECF是什么特殊的四边形？并说明理由．
（2）若AC＝8，BC＝6，求半径IE的长．21．如图，点 E 是△ABC 的内心，AE 的延长线和△ABC 的外接圆 O 相交于点 D，过 D 作直线
DG∥BC．
⊙
（1）若∠ACB＝80°，则∠ADB＝ ；∠AEB＝ ．
（2）求证：DE＝CD；
（3）求证：DG是 O的切线．
⊙
