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第二十二章 二次函数（单元重点综合测试）
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标为
C．该函数有最大值，最大值为5 D．当 时，y随x的增大而增大
【答案】D
【分析】通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及增减性即可求解．
【详解】解： 中，
的系数为1， ，函数图象开口向上，A错误；
函数图象的顶点坐标是 ，B错误；
函数图象开口向上，有最小值为5，C错误；
函数图象的对称轴为 ， 时y随x的增大而减小； 时，y随x的增大而增大，所以，当
时，y随x的增大而增大，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象的基本知识和性质，熟练掌握二次函数图象是解题的关键．
2．（2022秋·河北唐山·九年级校考阶段练习）若 是二次函数，最大值为0，则m的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义（形如 ， 为常数，且 的函数叫做二次函数）可得
，由最大值为0，可得 ，由此即可求解．【详解】解：由题意得： ，
解得 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
3．（2023·福建宁德·模拟预测）若二次函数 图象，过不同的六点 、
、 、 、 、 ，则 、 、 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由解析式可知抛物线开口向上，点 ， ， 求得抛物线对称轴的范围，
然后根据二次函数性质判定可得．
【详解】解：由二次函数 可知，抛物线开口向上，
、 、 ，即有 ，
点关于对称轴的对称点在 与 之间，
对称轴的取值范围为 ，
，
点 到对称轴的距离小于 ，点 到对称轴的距离大于 ，
，
故选： ．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的性质，根据题意得到抛物线的对称轴
和开口方向是解题的关键．
4．（2023秋·河北张家口·九年级统考期末）某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销
售，那么半月内可以售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高
1元，销售量相应减少20件，若设每件商品涨 元，销售利润为 元，可列函数为：．对所列函数中出现的代数式，下列说法错误的是（ ）
A． 表示涨价后商品的单价 B． 表示涨价后少售出商品的数量
C． 表示涨价后商品的数量 D． 表示涨价后商品的单价
【答案】A
【分析】根据题意，分析得出涨价后的单价为 元，涨价后销量为 件，再根据利润等于
售价减去进价得出涨价后每件利润为 元即可．
【详解】解：A、 表示涨价后单件商品的利润，不是商品的单价，故本选项不符合题意；
B、由销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，得每件商品涨 元后， 表示涨价后少售出商品的
数量，故本选项符合题意；
C、由题可知，原销量为400件，涨价后少售出 件，则涨价后的商品数量为 件，故本选项
符合题意；
D、由题可知，每件商品原价为30元，涨 元后单价为 元，故本选项符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了应用题中的利润问题，根据题意准确得出涨价前后的售价和销量以及熟练掌握利润的
计算公式是本题的重点．
5．（2023·陕西渭南·统考二模）将抛物线 （a、b是常数， ）向下平移2个单位长度后，
得到的新抛物线恰好和抛物线 关于y轴对称，则a、b的值为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】C
【分析】先求出抛物线 关于y轴对称的抛物线为 ，再根据抛物线平移的性
质得出抛物线 向下平移2个单位长度后为 ，即可得出a和b的值．【详解】解：∵ ，
∴抛物线 关于y轴对称的抛物线为 ，
∵抛物线 向下平移2个单位长度后为 ，
∵ 与 关于y轴对称，
∴ ，
整理得： ，
∴ ， ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的平移规律，解题的关键是掌握将二次函数化为顶点式的方法和步骤，
以及二次函数的平移规律：上加下减，左加右减．
6．（2020秋·河南安阳·九年级校考期中）如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣4）（0≤x≤4）记为C ，它与x
1
轴交于两点O，A；将C 绕A 旋转180°得到C ，交x轴于A；将C 绕A 旋转180°得到C ，交x轴于A…
1 1 1 2 2 2 2 3 3
如此变换进行下去，若点P（21，m）在这种连续变换的图象上，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3
【答案】C
【分析】根据题意和题目中的函数解析式，可以得到点A 的坐标，从而可以求得OA 的长度，然后根据题
1 1
意，即可得到点P（21，m）中m的值和x＝1时对应的函数值互为相反数，从而可以解答本题．
【详解】解：∵y＝﹣x（x﹣4）（0≤x≤4）记为C ，它与x轴交于两点O，A，
1 1
∴点A（4，0），
1
∴OA＝4，
1
∵OA＝AA＝AA＝AA，
1 1 2 2 3 3 4∴OA＝AA＝AA＝AA＝4，
1 1 2 2 3 3 4
∵点P（21，m）在这种连续变换的图象上，
∴x＝21和x＝1时的函数值互为相反数，
∴﹣m＝﹣1×（1﹣4）＝3，
∴m＝﹣3，
故选：Ｃ．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数与几何变换，解答本题的关键是明确
题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
7．（2023·浙江杭州·统考中考真题）设二次函数 是实数 ，则（ ）
A．当 时，函数 的最小值为 B．当 时，函数 的最小值为
C．当 时，函数 的最小值为 D．当 时，函数 的最小值为
【答案】A
【分析】令 ，则 ，解得： ， ，从而求得抛物线对称轴为直线
，再分别求出当 或 时函数y的最小值即可求解．
【详解】解：令 ，则 ，
解得： ， ，
∴抛物线对称轴为直线
当 时， 抛物线对称轴为直线 ，
把 代入 ，得 ，
∵
∴当 ， 时，y有最小值，最小值为 ．
故A正确，B错误；
当 时， 抛物线对称轴为直线 ，
把 代入 ，得 ，
∵
∴当 ， 时，y有最小值，最小值为 ，故C、D错误，
故选：A．
【点睛】本题考查抛物线的最值，抛物线对称轴．利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴是解题的关键．
8．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，排球运动员站在点 处练习发球，将球从点 正上方 的 处发
出，把球看成点，其运行的高度 与运行的水平距离 满足关系式 ．已知球网与
点 的水平距离为 ，高度为 ，球场的边界距点 的水平距离为 ．下列判断正确的是（ ）
A．球运行的最大高度是 B．
C．球会过球网但不会出界 D．球会过球网并会出界
【答案】D
【分析】根据顶点式 的特征即可判断A选项；将点 代入函数解析式中即可求得 的
值，即可判断 选项；分别求出 和 的函数值，再分别和 、 比较大小即可判断 、 选项．
【详解】解： 球的运行的高度 与运行的水平距离 满足关系式 ，
当 时， 取得最大值 ，
运行的最大高度时 ，故A错误；
球从点 正上方 的A处发出，
的图象经过点 ，
，
解得： ，故B错误；
当 时， ，
，球会过球网，
当 时， ，
，
球会出界，故C选项错误，D选项正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，掌握用待定系数求二次函数解析式以及将实际问题转化为二次
函数问题是解题关键．
9．（2023·河南周口·周口恒大中学校考三模）如右图，直线l的解析式为 ，它与x轴和y轴分别
相交于A、B两点，点C为线段 上一动点，过点C作直线l的平行线m，交y轴于点D．点C从原点O
出发，沿 以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，运动时间为t秒，以 为斜边作等腰直角三角形
（E，O两点分别在CD两侧）．若 和 的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系
图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分类讨论 时，S与t之间的函数关系式式即可求解．
【详解】解：①当 时，如图所示：可知：
②当 时，如图所示：
此时，
， ，
综上：
显然只有C选项符合题意
故选：C
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．根据题意找到S与t之间的函数关系式是解题关键．
10．（2023秋·河北张家口·九年级统考期末）题目：“如图，抛物线 与直线 相交于点
和点 ．点 是直线 上的一个动点，将点 向左平移3个单位长度得到点 ，若线段 与抛物线只有一个公共点，直接写出点 的横坐标 的取值范围．”对于其答案，甲答： ，乙答：
，丙答： ，丁答： ，则正确的是（ ）
A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整
C．甲、丙答案合在一起才完整 D．甲、丁答案合在一起才完整
【答案】B
【分析】当点 在线段 上时，当点 在点 的左侧时，当点 在点 的右侧时，分类求解确定
的位置，进而求解．
【详解】解：将点 的坐标代入抛物线表达式得： ，解得 ，
将点 的坐标代入直线表达式得： ，解得 ，
抛物线的解析式为 ，直线的解析式为 ，
当点 在线段 上时，线段 与抛物线只有一个公共点，
， 的距离为3，而A，B的水平距离是3，故此时只有一个交点，即 ，
当点 在点 的右侧时，当 时，抛物线和 交于抛物线的顶点 ，即 时，线段 与
抛物线只有一个公共点，
综上所述， 或 ，即甲、乙答案合在一起才完整，
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、不等式的性质等，分类求解确定
位置是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2022秋·九年级单元测试）已知二次函数 ，当 时，若y随着x的增大而
（填“增大”“不变”或“减小”）．
【答案】减小
【分析】根据二次函数顶点式的图象与性质进行解答即可．
【详解】∵ ,对称轴 ，
∴当 时，若y随着x的增大而减小，
故答案为：减小．
【点睛】本题考查二次函数顶点式 的图象与性质，分清a、h的符号和二次函数顶点式的
增减性是解题的关键．
12．（2020秋·广东广州·九年级广州市第二中学校考阶段练习）已知点 、 为抛
物线 上的点，则n＝ ．
【答案】
【分析】由抛物线的解析式可知抛物线的对称轴是直线 ，根据点A和B的坐标知，则点A和B关于直
线 对称．据此易求 的值，进而把P点的坐标代入解析式即可求得n的值．
【详解】∵抛物线解析式为 ，
∴该抛物线的对称轴是直线 ，
∵点 为抛物线 上的点，
∴点 关于直线 对称，
∴ ，
∴ ，
∴
把 代入抛物线的解析式得， ．
故答案是： ．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质．二次函数图象上所有点的坐标均满足该函数解析式．
13．（2022秋·天津西青·九年级校考期中）行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一
段距离，这段距离我们将它称为“刹车距离”．某车的刹车距离s（m）与车速x（km/h）之间的函数关系
是 ，现在该车在限速120 km/h的高速公路上出了交通事故，事后测得刹车距离为46．
5m，请推测该车刹车时是否超速 （填“是”或“否”），车速为 km/h．
【答案】 是
【分析】将 代入函数解析式，求出车速 ，与 比较即可得出答案．
【详解】根据题意，当 时，得： ，
解得： （舍）， ，
∴刹车前，汽车超速．
故答案为：是， ．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是将 的值代入，解一元二次方程，注意将实际问
题转化为数学模型．
14．（2022秋·山东济宁·九年级济宁学院附属中学校考期末）若二次函数 中，函数值
y与自变量x的部分对应值如表：
x … 0 1 2 …
y … 0 0 4 …
则当 时，y的最大值为 ．
【答案】4
【分析】根据表中点的坐标得出函数的对称轴，设二次函数的表达式是 ，把点的坐标代入求
出该二次函数的表达式是 ；再画出图象，即可利用图象法求解．
【详解】解：根据表中可知：点 和点 关于对称轴对称，
即对称轴是直线 ，
设二次函数的表达式是 ，把点 和点 代入得： ，
解得： ， ，
，
所以该二次函数的表达式是 ；
函数图象如图所示，
由图象可得∶当 时， ﹣ ，最大值为4.
故答案为∶ 4．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能求出二次函
数的解析式是解此题的关键．
15．（2023·吉林长春·统考中考真题） 年5月8日， 商业首航完成——中国民商业运营国产大飞
机正式起步． 时 分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航
中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水
柱近似看作形状相同的地物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为 米时，两条
水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面 米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同
时后退 米，两条水柱的形状及喷水口 、 到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点 距地
面 米．【答案】
【分析】根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令 求平移后的抛物
线与 轴的交点即可．
【详解】解：由题意可知：
、 、 ，
设抛物线解析式为： ，
将 代入解析式 ，
解得： ，
，
消防车同时后退 米，即抛物线 向左（右）平移 米，
平移后的抛物线解析式为： ，
令 ，解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、函数图像的平移及坐标轴的交点；解题的关键是求得移
动前后抛物线的解析式．
16．（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）已知二次函数 ，当 时，函数值
的最小值为1，则 的值为 ．
【答案】0或-3
【分析】利用二次函数图像上点的特征找出 时自变量 的值，结合 时，函数值 的最小值
为1，可得到关于 的一元一次方程，解即可．【详解】解：令 ，则 ，
解得： ， ．
时，函数值 的最小值为1
或 ，
或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征以及函数的最值．利用二次函数图像上点的特征找出
时自变量 的值是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023秋·河北张家口·九年级统考期末）如图，坐标平面上有一透明片，透明片上有一抛物线 ：
．
(1)写出 的对称轴和 的最小值；
(2)点 为透明片上一点， 的坐标为 ．平移透明片，平移后， 的对应点为 ，抛物线 的对应抛
物线为 ，其表达式恰为 ，求 移动的最短路程．
【答案】(1)对称轴为直线： ， 的最小值为2
(2)
【分析】（1）直接根据解析式进行作答即可；
（2）求出平移后的抛物线的顶点坐标， 移动的最短路程为两个顶点间的距离，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，顶点坐标为 ，
∴对称轴为直线 ， 的最小值为2；（2）∵ ，顶点坐标为 ，
∵抛物线 的顶点坐标为 ，
∴ 移动的最短路程为 ．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解
题的关键．
18．（2023秋·河南开封·九年级开封市第十三中学校考期末）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，
物价部门规定每箱售价不得高于60元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，
价格每提高1元，平均每天少销售2箱．
(1)求平均每天销售量 箱与销售价 元/箱之间的函数关系式．
(2)求批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价 （元/箱）之间函数关系式．
(3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)当每箱苹果的销售价为 元时，可以获得 元的最大利润．
【分析】（1）在销售90箱的基础上，价格每提高1元，平均每天少销售2箱，再列函数关系式即可；
（2）由销售量乘以每箱苹果的利润可得总利润，可得函数关系式；
（3）再依据二次函数的增减性求得最大利润．
【详解】（1）解：根据题意，平均每天的销售量y（箱）与销售单价x（元/箱）之间
得 ，即 ．
（2）由（1）可得：
；
（3）∵ ，
∵ ，∴抛物线开口向下．当 时， 有最大值．
又 ， 随 的增大而增大．
∴当 元时， 的最大值为 元．
∴当每箱苹果的销售价为 元时，可以获得 元的最大利润．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，
我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量
的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在 时取得．
19．（2020秋·广东广州·九年级广州市第十三中学校考期中）如图，矩形花圃 ，它的一边 利用
已有的围墙，可利用的围墙长度不超过 ，另外三边所围的栅栏的总长度是 ，设 长为x米．
(1)若矩形的面积为 ，求 的长度．
(2)若矩形的面积是S，求当x为何值时，S有最大值？
【答案】(1)20米(2)
【分析】（1）设 长为 米，则 长为 米，根据矩形的面积公式列出方程，解之取合适的值
即可；
（2）列出 关于 的函数关系式，再根据二次函数的最值求解即可．
【详解】（1）解：设 长为 米，则 长为 米，
依题意，得 ，
解得： ， ，
当 时， ，超过了围墙的长度，
∴不合题意，舍去，
∴ ，即 的长为20米；（2）设矩形的面积是S，
则 ，
∵ ，
∴ 开口向下，
∴当 时，S有最大值．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，根据题意正确表示出BC的长是解题
关键．
20．（2022秋·河北张家口·九年级张家口市实验中学校考期中）在平面直角坐标系中，已知点 ，
， ，直线 经过点 ，抛物线 恰好经过 ， ， 三点中的两
点．
(1)判断点 是否在直线 上，并说明理由；
(2)求 的值；
(3)平移抛物线 ，
①使其顶点为 ，求此时抛物线与 轴交点的坐标；
②使其顶点仍在直线 上，求平移后所得抛物线与 轴交点纵坐标的最大值．
【答案】(1)点 在直线 上，理由见解析，
(2) ，
(3)① ；②
【分析】（1）先将A代入 ，求出直线解析式，然后将 代入解析式即可求解；
（2）先根据抛物线 与直线 都经过 点，且 ， 两点的横坐标相同，判断出抛物线
只能经过 ， 两点，然后将 ， 两点坐标代入 得出关于 ， 的二元一次方程组；
（3）①根据题意，可得抛物线解析式为 ，令 ，即可求解；
②设平移后所得抛物线的对应表达式为 ，根据顶点在直线 上，得出 ，令，得到平移后抛物线与 轴交点的纵坐标为 ，再将式子配方即可求出最大值．
【详解】（1）解：∵直线 经过点 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 ： ，
当 时， ，
∴ 在直线 上，
（2） 抛物线 与直线 都经过 点，且 ， 两点的横坐标相同，
抛物线只能经过 ， 两点，
将 ， 两点坐标代入
得 ，
解得： ， ；
（3）解：①依题意，点 ，
则抛物线解析式为 ，令 ，解得： ，
∴抛物线与 轴交点的坐标为 ；
②设平移后所得抛物线的对应表达式为 ，
∵顶点在直线 上，
∴ ，
令 ，得到平移后抛物线与 轴交点的纵坐标为 ，
∵ ，
∴当 时，此抛物线与 轴交点的纵坐标取得最大值 ．
【点睛】本题考查了求一次函数解析式，用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移和求最值，求
出两个函数的表达式是解题关键．
21．（2023春·山东德州·九年级德州市第十中学校考阶段练习）某班“数学兴趣小组”对函数
的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x … -2 0 1 2 3 …
y … 3 0 0 3 …
其中， ___________．
(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象
的另一部分．(3)观察函数图象，写出两条函数的性质．
(4)进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有___________个交点，所以对应的方程 有___________个实数根；
②方程 有___________个实数根；
③关于x的方程 有4个实数根时，a的取值范围是___________．
【答案】(1)0
(2)见解析
(3)见解析
(4)①3，3；②2；③
【分析】（1）根据函数的对称性，即可求解；
（2）描点即可画出函数图象；
（3）任意指出函数的两条性质即可，如函数的最小值为 ； 时，y随x的增大而增大，答案不唯一；
（4）①从图象上看函数与x轴有3个交点，即可求解；
②设 ，从图象看 与 有两个交点，即可求解；
③当 与 有2个交点时，a在x轴的下方，即可求解．
【详解】（1）解：根据函数的对称性， ，
故答案为：0；
（2）描点画出如下函数图象：（3）函数的最小值为 ；
时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；
（4）①从图象上看函数与x轴有3个交点，故对应方程 有3个根，
故答案为：3，3；
②设 ，从图象看 与 有两个交点；
故答案为：2；
③当 与 有2个交点时，a在x轴的下方，
故 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了抛物线的性质，描点法画函数图象，抛物线与x轴的交点，数形结合是解答本题的关
键．
22．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包
揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的
截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度 为 的高度，将乒乓球向正前方击打到
对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为 （单位： ），乒乓球运行的水平距离记为 （单位： ）．测得如下
数据：水平距离x/
竖直高度y/
(1)在平面直角坐标系 中，描出表格中各组数值所对应的点 ，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的
大致图象；
(2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________ ，当乒乓球落在对面球台上时，到起始
点的水平距离是__________ ；
②求满足条件的抛物线解析式；
(3)技术分析：如果只上下调整击球高度 ，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，
又能落在对面球台上，需要计算出 的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长 为
274 ，球网高 为15.25 ．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度 的值约为1.27 ．请你
计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度 的值（乒乓球大小忽略不计）．
【答案】(1)见解析
(2)① ； ；②
(3)乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度 的值为
【分析】（1）根据描点法画出函数图象即可求解；
（2）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当 时，x=230；
②待定系数法求解析式即可求解；
（3）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为 ，根据题意当 时，
，代入进行计算即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，（2）①观察
表格数据，可知当 和 时，函数值相等，则对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是 ，
当 时，x=230，
∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 ；
故答案为： ； ．
②设抛物线解析式为 ，将 代入得，
，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ；
（3）∵当 时，抛物线的解析式为 ，
设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度 的值为 ，则平移距离为 ，
∴平移后的抛物线的解析式为 ，
依题意，当 时， ，
即 ，
解得： ．
答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度 的值为 ．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的
性质是解题的关键．23．（2023年湖南省娄底市中考数学真题）如图，抛物线 过点 、点 ，交y轴
于点C．
(1)求b，c的值．
(2)点 是抛物线上的动点
①当 取何值时， 的面积最大？并求出 面积的最大值；
②过点P作 轴，交 于点E，再过点P作 轴，交抛物线于点F，连接 ，问：是否存在
点P，使 为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)①当 时， 的面积由最大值，最大值为 ；
②当点 的坐标为 或 时， 为等腰直角三角形
【分析】（1）将将 、 代入抛物线 即可求解；
（2）①由（1）可知： ，得 ，可求得 的解析式为 ，过点P作 轴，
交 于点E，交 轴于点 ，易得 ，根据 的面积 ，可得
的面积 ，即可求解；②由题意可知抛物线的对称轴为 ，则 ，分两种情况：当点 在对称轴左侧时，即
时，当点 在对称轴右侧时，即 时，分别进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：将 、 代入抛物线 中，
可得： ，解得： ，
即： ， ；
（2）①由（1）可知： ，
当 时， ，即 ，
设 的解析式为： ，
将 ， 代入 中，
可得 ，解得： ，
∴ 的解析式为： ，
过点P作 轴，交 于点E，交 轴于点 ，
∵ ，则 ，
∴点E的横坐标也为 ，则纵坐标为 ，∴ ，
的面积
，
∵ ，
∴当 时， 的面积有最大值，最大值为 ；
②存在，当点 的坐标为 或 时， 为等腰直角三角形．
理由如下：由①可知 ，
由题意可知抛物线的对称轴为直线 ，
∵ 轴，
∴ ， ，则 ，
当点 在对称轴左侧时，即 时，，当 时， 为等腰直角三角形，
即： ，整理得： ，
解得： （ ，不符合题意，舍去）
此时 ，即点 ；
当点 在对称轴右侧时，即 时，
，当 时， 为等腰直角三角形，
即： ，整理得： ，
解得： （ ，不符合题意，舍去）此时： ，即点 ；
综上所述，当点 的坐标为 或 时， 为等腰直角三角形．
【点睛】本题二次函数综合题，考查了利用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及图象上的点的特
点，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是表示出点的坐标，进行分类讨论．
