文档内容
第04讲 菱形的性质和判定
考点1：菱形的概念和性质
考点2：菱形的面积
考点3：菱形的判定
考点4：菱形的性质与判定综合
重点：
（1）菱形性质的应用
（2）菱形的判定
（3）菱形性质与判定的互逆应用
难点：
（1）性质混淆：易与矩形对角线性质混淆（菱形对角线垂直，矩形对角线相等）。
（2）判定易错点：忽略判定前提，如直接用 “对角线垂直” 证菱形，未先证平行四边形。
（3）综合应用：结合对角线性质构造直角三角形，求解边长、角度；添加辅助线（连对角线）转化问
题
知识点1：菱形的性质
菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质
（2）且四条边都相等
（3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。【题型1 利用菱形的性质求角度】
【典例1】如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形ABCD，中间通过螺杆连接，
转动手柄可改变∠BCD的大小（菱形的边长不变）．当∠BCA=26°时，则∠ADC的度数为（ ）
A．26° B．52° C．128° D．154°
【答案】C
【分析】本题考查了菱形的性质，菱形中对角线的平分的性质是解决本题的关键 ．
由菱形的性质可知，菱形的对角线互相平分每组对角，即可求∠DCA的度数，再由菱形中
∠BCD+∠ADC=180°即可求解 ．
【详解】解：在菱形ABCD中，因为∠BCA=26°，
所以∠DCA=∠BCA=26°，
即∠BCD=52°，
又因为在菱形中，BC∥AD，
所以∠BCD+∠ADC=180°，
可得∠ADC=180°−∠BCD=180°−52°=128°，
所以∠ADC的度数为128° ．
故选：C ．
【变式1】如图，在菱形ABCD中，∠D=132°，则∠1的度数为（ ）
A．132° B．66° C．48° D．24°
【答案】D
【分析】本题考查菱形性质求角度，涉及菱形邻角互补、菱形对角线平分对角等知识，先由菱形邻角
互补求出∠DAB，再由菱形对角线平分对角求解即可得到答案．熟记菱形性质是解决问题的关键．
【详解】解：在菱形ABCD中，∠D=132°，则∠DAB=180°−132°=48°，
∵ AC是菱形ABCD一条对角线，
1 1
∴AC平分∠DAB，则∠1= ∠DAB= ×48°=24°，
2 2故选：D．
【变式2】如图，在菱形ABCD中，连接AC，过点B作BO⊥AC．若∠DAC=36°，则∠OBC的度数
为（ ）
A．36° B．54° C．56° D．64°
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握菱形的性质．根据菱形的性
质可得AD∥BC，推出∠OCB=∠DAC=36°，结合BO⊥AC，即可求解．
【详解】解：∵四边形是ABCD菱形，
∴ AD∥BC，
∴ ∠OCB=∠DAC=36°，
∵ BO⊥AC，
∴ ∠BOC=90°，
∴ ∠OBC=90°−∠OCB=54°，
故选：B．
【变式3】如图，在菱形ABCD中，点E为对角线BD上的一点，且DE=AB．连接AE，若∠ABC= 80°，
则∠AED的度数为（ ）
A．40° B．50° C．70° D．80°
【答案】C
【分析】本题考查了菱形的性质及等腰三角形的性质，先根据菱形的性质得出AB=AD，
∠ABC=∠ADC=80°，BD平分∠ABC和∠ADC，再由DE=AB得出DE=AD，从而利用等腰三
角形等边对等角得出∠AED的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠ABC=∠ADC=80°，BD平分∠ABC和∠ADC，即
1
∠ADE=∠EDC= ∠ADC=40°，
2
又∵DE=AB，
∴DE=AD，
1
∴∠EAD=∠AED= (180°−∠ADE)=70°，
2
故选：C．
【题型2 根据菱形的性质求线段长】
【典例2】如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，若AC=8，BD=6，则该菱形ABCD的周长是
( )
A．20 B．24 C．25 D．48
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质；根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得
BO=OD，AO=OC，在Rt△AOB中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求菱形ABCD的周长．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴AB=BC=CD=AD，BO=OD=3，AO=OC=4，AC⊥BD，
∴ AB=❑√AO2+BO2=5
故菱形的周长为4×5=20．
故选：A．
【变式1】如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ADC=120°，则对角线BD的长是（ ）
A．❑√3 B．6 C．3❑√3 D．6❑√3【答案】B
【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定，掌握相关知识点是解题的关键．
根据菱形的性质证明△ADB是等边三角形，即可得出答案．
【详解】解：∵菱形ABCD，
∴AD=AB=6，BD平分∠ADC，
1 1
∴∠ADB= ∠ADC= ×120°=60°，
2 2
∴△ADB是等边三角形，
∴BD=AB=6．
故选：B．
【变式2】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AC=6，∠ABC=60°，则BD的长
为（ ）
A．3❑√3 B．6❑√3 C．12 D．6❑√5
【答案】B
【分析】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握菱形的性质、等
边三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键；由题意易得
1
AC⊥BD,AB=BC,BD=2OB,OA=OC= AC=3，则有△ABC是等边三角形，然后根据勾股定
2
理可进行求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，
1
∴AC⊥BD,AB=BC,BD=2OB,OA=OC= AC=3，
2
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=6，
在Rt△BOC中，由勾股定理可得：OB=❑√BC2−OC2=3❑√3，
∴BD=2×3❑√3=6❑√3；
故选B．【变式3】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若
AC=8，菱形ABCD的周长为20，则OH的长为（ ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
【答案】A
【分析】本题主要考查勾股定理，菱形的性质及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握勾股定理，菱形
的性质及直角三角形斜边中线定理是解题的关键；由题意易得AB=BC=AD=DC=5,AC⊥BD，
OB=OD,OA=OC，然后可得BD=2×❑
√
52−
(8) 2
=6，进而根据直角三角形斜边中线定理可进行求
2
解．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，且周长为20，
∴AB=BC=AD=DC=5,AC⊥BD，OB=OD,OA=OC，
∵AC=8，
∴BD=2×❑
√
52−
(8) 2
=6，
2
∵DH⊥AB，
1
∴OH= BD=3；
2
故选A．
知识点2：菱形的面积（等面积求高）
菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半
1 1 1 1
S =4S =4× ⋅ AC⋅ BD= AC⋅BD
菱形ABCD RtΔAOB 2 2 2 2【题型3 根据菱形的性质求面积】
【典例3】道路上的菱形标志名称为人行横道预告标线，作用是提示驾驶人前方已接近人行横道，应减速
慢行，并需注意行人横过马路．若测得菱形标志ABCD的对角线AC长为1.5m，BD为3m，则该标志
的占地面积为（ ）
A．2.25m2 B．4.5m2 C．6m2 D．9m2
【答案】A
1
【分析】根据菱形的面积等于 BD⋅AC计算即可．
2
本题考查了菱形的面积，熟练掌握面积公式是解题的关键．
1 1
【详解】解：根据题意，得菱形的面积等于 BD⋅AC= ×1.5×3=2.25(m2)，
2 2
故选：A．
【变式1】小宇同学和家人去故宫游玩，发现太和殿窗棂的三交六碗菱花图案不但非常漂亮，而且还藏着
数学知识——菱形．喜欢创造性设计问题的她，通过查阅资料，结合图案，很快就命制出一个数学题
如下：在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=2，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．❑√3 B．4❑√3 C．4 D．2❑√3
【答案】D
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，过点A作
1
AH⊥CB交CB延长线于H，可求出∠BAH=30°，则BH= AB=1，由勾股定理得到AH=❑√3，
2由菱形的性质得到BC=AD=a，则S =BC⋅AH=2❑√3．
菱形ABCD
【详解】解：如图所示，过点A作AH⊥CB交CB延长线于H，
∵∠A=60°
∴∠ABC=120°，
∴∠ABH=180°−∠ABC=60°，
∴∠BAH=180°−60°−90°=30°，
1
∴BH= AB=1，
2
∴AH=❑√AB2−BH2=❑√3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AD=2，
∴S =BC⋅AH=2×❑√3=2❑√3，
菱形ABCD
故选：D．
【变式2】如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥BC于点E，若AC=8，BD=6，则DE等
于（ ）
A．4.8 B．5 C．6 D．9.6
【答案】A
【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理，能求出菱形的边长是解此题的关键．
根据菱形的性质得出AD=BC、AC⊥BD、AO=OC、DO=BO，求出AO和DO，求出AD，根据
菱形的面积公式求出即可．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC、AC⊥BD、AO=OC、DO=BO
∵AC=8、BD=6
∴AO=4、OD=3
由勾股定理得：AD=5
∴BC=5
1
S = ×AC×BD=BC×DE
菱形ABCD 2
1
∴ ×6×8=5×DE
2
解得DE=4.8．
故选：A．
【变式3】如图，菱形ABCD的边长为❑√5，对角线AC，BD相交于点O，且OA=1，则菱形ABCD的面
积为（ ）
A．5 B．2❑√5 C．2 D．4
【答案】D
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，先由菱形的性质得到
AC=2OA=2，BD=2OB，AC⊥BD，再由勾股定理得到BD=2OB=4，最后根据菱形的面积
等于其对角线乘积的一半进行求解即可．
【详解】解：∵菱形ABCD的边长为❑√5，对角线AC，BD相交于点O，
∴AC=2OA=2，BD=2OB，AC⊥BD，
在Rt△ABO中，由勾股定理得OB=❑√AB2−OA2=2，
∴BD=2OB=4，
1
∴S = AC⋅BD=4，
菱形ABCD 2
故选：D．知识点3：菱形的判定
※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
【题型4 添一条件使四边形是菱形】
【典例4】如图，▱ABCD，对角线AC，BD交于点O，添加下列条件，能使▱ABCD变为菱形的是
（ ）
A．AB=CD B．AC=BD C．∠ABC=90° D．AC⊥BD
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的判定方法，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．根据一组邻边相等或
对角线互相垂直的平行四边形为菱形，逐一进行分析即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当▱ABCD的一组邻边相等或对角线互相垂直时，能使▱ABCD变为菱形，
逐一对比选项，其中选项D符合对角线相互垂直，A、B、C均不符合．
故选：D．
【变式1】如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（ ）
A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD
【答案】C【分析】此题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质．由四边形ABCD的对角线互相平分，
得四边形是平行四边形，再由菱形的判定定理知，只需添加条件是邻边相等．
【详解】解：∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴要使四边形ABCD是菱形，需添加AC⊥BD或AB=BC，
故选：C．
【变式2】已知四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是
（ ）
A．DA=DC B．AC=BD C．AB∥DC D．AC，BD互相平分
【答案】D
【分析】根据菱形的判定方法逐一进行判断即可得到答案．
【详解】解：A、不能判定四边形ABCD为菱形，不符合题意，选项错误；
B、不能判定四边形ABCD为菱形，不符合题意，选项错误；
C、不能判定四边形ABCD为菱形，不符合题意，选项错误；
D、能判定四边形ABCD为菱形，符合题意，选项正确，
故选D．
【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定是解
题的关键．注意，判断菱形时，一定要明确前提条件是从“四边形”出发的，还是从“平行四边形”
出发的；若从四边形出发的，则还需四条边相等；若从平行四边形出发，则还需一组邻边相等或对角
线互相垂直．
【变式3】如图，点D，E，F分别在△ABC的边上，ED∥AB，AE=AF，添加一个条件 ，使四边
形AEDF是菱形．【答案】AE∥DF（答案不唯一）
【分析】此题考查了菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的判定定理．
添加条件：AE∥DF，首先证明四边形AEDF是平行四边形，然后结合AE=AF即可得到四边形
AEDF是菱形．
【详解】添加条件：AE∥DF.
∵ED∥AB，AE∥DF
∴四边形AEDF是平行四边形
∵AE=AF
∴四边形AEDF是菱形．
故答案为：AE∥DF（答案不唯一）．
【题型5 菱形的判定】
【典例5】如图，在▱ABCD中，连接AC，AB=AC，过点D作AC的平行线与BA的延长线相交于点
E，求证：四边形ACDE是菱形．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查平行四边形的性质、菱形的判定，掌握知识点是解题的关键．
由题意易得AE∥CD，AB=DC，则有四边形ACDE是平行四边形，即可求证；
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CD，AB=DC．
∵DE∥AC，
∴四边形ACDE是平行四边形，
又∵AB=AC，∴DC=AC．
∴▱ACDE是菱形．
【变式1】如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且BE平分∠ABC．若DE=CF，连结EF．
求证：四边形ABFE是菱形．
【答案】见详解
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、角平分线的定义、等角对等边，由平行
四边形的性质可得AD∥BC,AD=BC，证明四边形ABFE是平行四边形，由角平分线的定义结合平
行线的性质得出∠ABE=∠AEB，推出AB=AE，即可得证．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC,AD=BC，
又∵DE=CF，
∴AE=BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBE，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBF，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴平行四边形ABFE是菱形．
【变式2】如图，在△ABC中，AB=BC，点O为AC的中点，连接BO并延长至点D，使得OB=OD，连
接AD、CD．求证：四边形ABCD是菱形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明．
【详解】证明：∵点O为AC的中点，
∴AO=OC，
∵OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形．
【变式3】如图，平行四边形ABCD中已知E、F分别是BC、AD的中点，且AB⊥AC．求证：四边形
AECF是菱形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，根据平行四边形的性质可得
AF∥CE，AF=CE，可得四边形AECF为平行四边形，再根据直角三角形斜边中线的性质得出
AE=EC，即可得到四边形AECF是菱形，熟知相关性质是解题的关键．
【详解】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵E、F分别是BC、AD的中点，
∴AF∥CE，AF=CE，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90∘
E为BC的中点，
∴∵ BE=AE=EC，
∴四边形AECF是菱形．
【题型6 菱形的性质与判定综合】
【典例6】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=AD，对角线AC，BD相交于点O，AC平分
∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB=6，BD=4，求OE的长．
【答案】(1)见解析
(2)4❑√2
【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知
识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键；
（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，再由AB=AD可得平行四边形ABCD是菱形；
（2）根据菱形的性质得出OB的长以及∠AOB=90°，利用勾股定理求出OA的长，再根据直角三角
1
形斜边中线定理得出OE= AC，即可解答．
2
【详解】（1）证明：∵ AB∥CD，
∴∠CAB=∠DCA，
∵ AC平分∠BAD，
∴∠CAB=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴CD=AD，
∵AB=AD，
∴AB=CD，
∵ AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
1 1
∴AC⊥BD，OA=OC= AC，OB=OD= BD=2，
2 2
∴ ∠AOB=90°，
在Rt△AOB中，OA=❑√AB2−OB2=❑√62−22=4❑√2，∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∵OA=OC，
1
∴OE= AC=OA=4❑√2．
2
【变式1】在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC边上，AE=AD，过点D作DF∥AE，交BC的延
长线于点F．
(1)求证：四边形AEFD为菱形；
(2)连接AF，DE交于点G，若AD=5,DG=❑√5，求AF的长．
【答案】(1)见解析
(2)4❑√5
【分析】本题考查平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质是
解答的关键．
（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论；
（2）由菱形的性质得到AF=2AG,AF⊥DE，然后利用勾股定理求得AG=2❑√5即可求解．
【详解】（1）证明：∵AD∥BC，
∴AD∥EF，
∵AE∥DF，
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE=AD，
∴平行四边形AEFD是菱形；
（2）解：∵四边形AEFD是菱形，
∴AF=2AG,AF⊥DE，
∴∠AGD=90°．
在Rt△AGD中，AD=5,DG=❑√5，
根据勾股定理，得AG=❑√AD2−DG2=2❑√5，
∴AF=2AG=4❑√5．【变式2】如图，平行四边形ABCD的对角线AC, BD相交于点O，过点D作DE∥AC，过点C作
CE∥BD，DE与CE交于点E，OE=CD．
(1)求证：▱ABCD是菱形；
(2)若DE=3,∠CAE=30°，求BD的长．
【答案】(1)见解析
(2)BD=4❑√3
【分析】（1）根据平行四边形的判定结合已知证得四边形OCED是矩形，再利用的性质和菱形的判
定可得结论；
（2）根据（1）的结论得到OC=DE=3, OD=CE,∠OCE=90°，再利用菱形的性质，含30°角的
直角三角形的性质和勾股定理求解．
【详解】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵OE=CD，
∴平行四边形OCED是矩形，
∴∠COD=90°，
∴AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形；
（2）解：由（1）可知，四边形OCED是矩形，
∴OC=DE=3, OD=CE,∠OCE=90°．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC=2OC=6, BD=2OD．
∵在Rt△ACE中，∠CAE=30°，
∴AE=2CE．由勾股定理知：AE2−CE2=AC2，
∴(2CE) 2−CE2=62，
解得CE=2❑√3，
∴BD=2OD=2CE=4❑√3．
【点晴】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，含30°角的
直角三角形的性质和勾股定理．理解相关知识是解答关键．
【变式3】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，过点D作∠ADC的角平分线交AB于点E，连接AC交
DE于点O，AC⊥BC，且AD∥CE．
(1)求证：四边形AECD是菱形；
(2)若AD=10,△ACD的周长为36，求CB长．
【答案】(1)证明见解析
(2)12
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股
定理，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．
（1）先证明四边形AECD是平行四边形，再根据等角对等边的性质，得到AE=AD，即可证明四边
形AECD是菱形；
1
（2）根据菱形的性质，得出OA= OC=8，由勾股定理可得OD=6，从而得到DE=12，再证明四
2
边形BCDE是平行四边形，得到CB=DE，即可求出CB长．
【详解】（1）证明：∵AB∥CD，AD∥CE，
∴四边形AECD是平行四边形，∠CDE=∠AED，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠AED=∠ADE，
∴AE=AD，
∴四边形AECD是菱形；（2）解：∵四边形AECD是菱形，AD=10，
1 1
∴AD=CD=10，OD= DE，OA= OC，AC⊥DE，
2 2
∵△ACD的周长为36，
∴AC=16，
∴OA=8，
在Rt△AOD中，OD=❑√AD2−OA2=6，
∴DE=12，
∵AC⊥DE，AC⊥BC，
∴DE∥BC，
∵CD∥BE，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴CB=DE=12．
1．菱形ABCD的周长为24cm，那么菱形的边长是（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
【答案】C
【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形四边相等求解即可．
【详解】解：∵菱形ABCD的四边相等，周长为24cm，
∴边长=24÷4=6(cm)，
故选：C．
2．下列关于菱形的说法正确的是（ ）
A．菱形的四个内角一定相等 B．菱形的对角线一定相等
C．菱形的四条边都相等 D．菱形的周长和面积一定相等
【答案】C
【分析】本题考查了菱形的性质．菱形是四边相等的四边形，因此四条边一定相等；但内角不一定相
等，对角线不一定相等，据此进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、菱形的四个内角不一定相等，故该选项不符合题意；
B、菱形的对角线不一定相等，故该选项不符合题意；
C、菱形的四条边都相等，故该选项符合题意；D、菱形的周长和面积一定相等是不正确的，故该选项不符合题意；
故选：C
3．如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC=6，BD=8，则菱形ABCD的面积
为（ ）
A．12 B．15 C．20 D．24
【答案】D
【分析】本题主要考查了求菱形的面积，菱形的面积等于其对角线乘积的一半，据此求解即可．
【详解】解：∵在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC=6，BD=8，
1 1
∴S = AC⋅BD= ×6×8=24，
菱形ABCD 2 2
故选：D．
4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为点E，若∠BOE=30°，
BO=2，则AO的长为（ ）
A．2 B．2❑√3 C．4 D．4❑√3
【答案】B
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，由菱形的性质得出
AC⊥BD，结合已知条件以及直角三角形两锐角互余进一步得出∠OAB=30°，由含30度直角三角
形的性质得出AB=2OB=4，最后根据勾股定理即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，
∵ ∠BOE=30°，OE⊥AB，
∴ ∠ABO=60°，
∴ ∠OAB=30°，∴ AB=2OB=4，
∴在Rt△AOB中，
AO=❑√AB2−OB2=❑√42−22=2❑√3．
故选：B
5．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的顶点O在原点处，顶点A在y轴上，已知点B的坐标为(4,8)，
则点C的坐标为（ ）．
A．(4,3) B．(4,5) C．(3,4) D．(4,4)
【答案】A
【分析】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，设边长，根据勾股定理构建方程是解题的关键．
过B作BD⊥y轴，延长BC交x轴于E，设菱形边长为x，在Rt△ABD，根据勾股定理可得
(8−x) 2+16=x2，解方程即可．
【详解】如图，过B作BD⊥y轴，延长BC交x轴于E，
易知四边形OEBD为矩形，设菱形边长为x，
∵B(4,8)，
∴OE=BD=4,OD=BE=8，
在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，则(8−x) 2+16=x2，
解得x=5，
∴CE=BE−BC=8−5=3，
∴C(4,3)．
故选：A．
6.如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个面积
为4❑√3的四边形，当∠ABC=60°时，则纸条的宽度是（ ）
A．2 B．4 C．2❑√3 D．❑√6
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，菱形的面积公式及
勾股定理．先根据已知条件判断重合部分四边形的形状，再结合菱形面积公式求出纸条的宽度即可．
【详解】解：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
如图，过点A分别作BC，CD边上的高为AE，AF，连接AC，
∵两条纸条宽度相同，
∴AE=AF，
∴S =AE⋅BC=AF⋅CD，即BC=CD，
四边形ABCD
∴四边形ABCD为菱形，设菱形ABCD的边长为x，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC=x，
1 1
在Rt△ABE中，BE= AB= x，
2 2
❑√3
由勾股定理得，AE=❑√AB2−BE2= x，
2
❑√3
∵S =AE⋅BC= x2=4❑√3，
菱形ABCD 2
∴x=2❑√2，
∴AE=❑√6，即纸条宽度为❑√6．
故选：D．
7．小佳同学在整理菱形的判定方法时，将知识整理成如图所示，请帮她在横线上填上一个适当的条件，
该条件可以是 ．
【答案】四条边都相等（答案不唯一）
【分析】本题考查了菱形的判定定理，解题的关键是区分“由平行四边形判定为菱形”与“由四边形
直接判定为菱形”的不同条件，明确四边形直接成为菱形需满足的核心特征．
先回顾菱形的三类判定方法：一是平行四边形+一组邻边相等；二是平行四边形+对角线互相垂直；三
是四边形+四条边都相等（或对角线互相垂直且平分）．题目中是从“四边形”直接推导为“菱形”，
需排除依赖“平行四边形”前提的判定条件，因此选择四边形直接适用的判定条件即可．
【详解】解：题目要求“四边形”直接成为“菱形”，需满足无需“平行四边形”作为前提的判定条
件，因此符合要求的条件可为“四条边都相等”（或“对角线互相垂直且平分”）．
故答案为：四条边都相等（答案不唯一，合理即可）．
8．如图，在▱ABCD中，AB=9cm，BC=4cm．将CB沿BA方向平移得到EF，则当BF= cm
时，四边形DAFE是菱形，依据是 ．【答案】 5 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
【分析】本题考查了菱形的判定，掌握菱形的判定方法是关键，根据有一组邻边相等的平行四边形是
菱形，结合平行四边形的性质分析即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD,AD∥BC,AB=CD=9,AD=BC=4，
当四边形DAFE是菱形时，AD=AF=4，
∴BF=AB−AF=9−4=5(cm)，
上述证明的依据是有一组邻边相等的平行四边形是菱形，
故答案为：①5；② 有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
9．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠CBD=30°，过点O作OE⊥BC于点E，若
CE=2，则OE的长为 ．
【答案】2❑√3
【分析】本题考查了三角形和菱形．熟练掌握菱形的性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，是
解题关键．根据菱形的性质得∠BOC=90°，根据∠CBD=30°，OE⊥BC，得
∠COE=90°−∠BCO=30°，得OC=2CE=4，即可求解．
【详解】解：∵菱形ABCD中，AC⊥BD
∴∠BOC=90°
∴∠CBD=30°
∴∠BCO=90°−∠CBD=60°
∴OE⊥BC
∴∠CEO=90°
∴∠COE=90°−∠BCO=30°
∴CE=2∴OC=2CE=4
∴OE=❑√OC2−CE2=2❑√3
故答案为：2❑√3．
10．如图（1），中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小
陶家有一个如图（2）的菱形中国结装饰，测得BD=6，AC=8，直线EF⊥AB交两对边于点E，
F，则EF的长为 ．
【答案】4.8
1 1
【分析】由菱形的性质推出AC⊥BD，AO= AC=4，BO= BD=3，由勾股定理求出
2 2
1
AB=❑√AO2+BO2=5，由菱形ABCD的面积= AC⋅BD=AB⋅EF，即可求出EF的长．
2
本题考查菱形的性质，勾股定理，关键是掌握菱形的面积公式．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
1 1
∴AC⊥BD，AO= AC，BO= BD，
2 2
∵BD=6，AC=8，
∴AO=4，BO=3，
∵∠AOB=90°，
∴AB=❑√AO2+BO2=5，
∵FE⊥AB，
1
∵菱形ABCD的面积= AC⋅BD=AB⋅EF，
2
1
∴5×EF= ×6×8，
2∴EF=4.8；
故答案为：4.8．
11．如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O,DE∥AC,CE∥DB,CE、DE交于点E．求证：四边
形DOCE是菱形．
【答案】见解析
【分析】此题考查了菱形的判定以及矩形的性质，熟练掌握解题方法是解答此题的关键．首先由
DE∥AC，CE∥DB，可证得四边形DOCE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的
性质，易得DO=CO，即可判定四边形DOCE是菱形．
【详解】证明：∵DE∥AC，CE∥DB，
∴四边形DOCE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
1 1
∴DO= BD,CO= AC，BD=AC，
2 2
∴DO=CO，
∴平行四边形DOCE是菱形．
12．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC，交AB于点E，作DF∥AB，交BC于点F．
(1)求证：四边形BEDF是菱形；
(2)已知BE=4，∠ABC=60°，求四边形BEDF的面积．
【答案】(1)见解析
(2)8❑√3
【分析】本题考查了菱形的判断和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判
定，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
（1）先证明四边形BEDF是平行四边形，再根据等腰三角形的判定证明BE=ED，即可得证；（2）过点E作EG⊥BC，垂足为G，根据含30度角的直角三角形的性质可得BG=2，再根据勾股定
理可得EG=2❑√3，再根据菱形的性质可得BF=BE=4，根据S =BF⋅EG即可得解．
菱形BEDF
【详解】（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠DBF，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBF，
∴∠EBD=∠EDB，
∴BE=ED，
∵四边形BEDF是平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形；
（2）解：过点E作EG⊥BC，垂足为G，
∴∠EGB=90°
，
∵∠ABC=60°，
∴∠BEG=90°−60°=30°，
1 1
∴BG= BE= ×4=2，
2 2
∴EG=❑√BE2−BG2=2❑√3，
∵四边形BEDF是菱形，
∴BF=BE=4，
∴S =BF⋅EG=4×2❑√3=8❑√3．
菱形BEDF
