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第11 章 三角形 A卷
一、单选题
1. ( 3分 ) 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C
＝25°，则∠BAD为（ ）
A. 50° B. 70° C. 75° D. 80°
【答案】 B
【考点】三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠C=25°，
∵∠B=60°，∠C=25°，
∴∠BAC=95°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=70°，
故答案为：B．
【分析】根据中垂线定理得出DA=DC，根据等边对等角得出DAC=∠C=25°，根据三角形的内角和得出
∠BAC=95°，由角的和差得出∠BAD的值。
2. ( 3分 ) 如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=30°，延长BA至点D，则∠CAD的大小为( )
A. 110° B. 80° C. 70° D. 60°
【答案】 C
【考点】三角形的外角性质
1【解析】【解答】解：∵∠CAD=∠C+∠B，∠B=40°，∠C=30°，
∴∠CAD=30°+40°=70°
故答案为：C
【分析】利用三角形的一个外角等于不相邻的两内角和，就可求出结果。
3. ( 3分 ) 三角形的内角分别为55°和65°，下列四个角中，不可能是这个三角形外角的是（ ）
A. 115° B. 120° C. 125° D. 130°
【答案】 D
【考点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵三角形的内角分别为55°和65°，
∴该三角形另外一个内角为180°-55°-65°=60°，
∴此三角形的外角可为：55°+65°=120°，55°+60°=115°或65°+60°=125°.
故答案为：D.
【分析】利用三角形内角和定理求出三角形的另一个内角的度数，然后利用三角形外角等于不相邻的两内
角之和，就可得到这个三角形的三个外角的度数，再观察各选项，即可得出答案。
4. ( 3分 ) 为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是（ ）
A. 两点之间，线段最短
B. 垂线段最短
C. 三角形具有稳定性
D. 两直线平行，内错角相等
【答案】 C
【考点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：这样做的道理是三角形具有稳定性．
故选：C．
2【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改
变．
5. ( 3分 ) 小红不小心把家里的一块圆形玻璃打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块
如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A，B，C，给出三角形ABC，则这块玻璃镜的圆心是（ ）
A. AB，AC边上的中线的交点
B. AB，AC边上的垂直平分线的交点
C. AB，AC边上的高所在直线的交点 D. ∠BAC与
∠ABC的角平分线的交点
【答案】 B
【考点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】由题意可得，
所求的圆形玻璃是△ABC的外接圆，
∴这块玻璃镜的圆心是△ABC三边垂直平分线的交点，
故答案为：B．
【分析】外接圆的圆心到三个点的距离相等，因此是三边垂直平分线的交点.
6. ( 3分 ) 下图所示的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连接构成的图形，它的形状不稳定。如果
在木条交叉点打孔加装螺栓的办法使其形状稳定，那么至少需要添加( )个螺栓。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】 A
【考点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：如图：
3A点加上螺栓后，
根据三角形的稳定性，原不稳定的五角星中具有了稳定的各边．
故选A
【分析】用木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，可用三角形的稳定性解释．
7. ( 3分 ) 如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，交CD于点E，若S△BCE=10，BC=5，
则DE等于（ ）
A. 10 B. 7 C. 5 D. 4
【答案】 D
【考点】三角形的面积，角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，作EF⊥BC于F，
1 1
S = BC×EF= ×5×EF=10 ，
△BCE 2 2
解得：EF=4；
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴DE=EF=4；
故答案为：D.
4【分析】由面积公式求出BC边上的高，再根据角平分线的性质定理，即角平分线上的点到角的两端距离
相等，得到DE=EF，即可求出DE。
8. ( 3分 ) 将一副直角三角板按如图所示的方式放置，使用 30° 角的三角板的直角边和含 45° 角的三角
板的直角边垂直，则∠1的度数为（ ）
A. 45° B. 60° C. 70° D. 75°
【答案】 D
【考点】三角形的外角性质，直角三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意得△ABC，△DEF为直角三角形，∠B=45°，∠E=30°，∠EFD=90°，
∴∠AGE=∠BGF=45°，
∵∠1=∠E+∠AGE，
∴∠1=30°+45°=75°，
故答案为：D.
【分析】由题意可得∠AGE=∠BGF=45°，利用三角形外角的性质可得∠1=∠E+∠AGE，据此即得结论.
9. ( 3分 ) 五边形的内角和为( )
A. 180° B. 360° C. 540° D. 720°
【答案】 C
【考点】多边形内角与外角
5【解析】【解答】解：五边形的内角和为：(5-2)×180°=540°.
故答案为：C.
【分析】n边形的内角和公式：(n-2)×180°，据此计算.
10. ( 3分 ) 把n边形变为（n+x）边形，内角和增加了180°，则x的值为( )．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】 A
【考点】多边形内角与外角
【解析】【解答】多边形的边数，每增加一边，内角和就增加180°，内角和增加了180°，说明多边形增加
了一边。故x=1.
故答案为：A
【分析】多边形内角和定理：（n-2）•180° （n≥3且n为整数）
多边形外角和为360°
从多边形内角和定理可知：多边形的边数，每增加一边，内角和就增加180°.
二、填空题
11. ( 4分 ) 如图，AD为△ABC的中线，△ABC的面积为10，则△ABD的面积为________
【答案】 5
【考点】三角形的面积
【解析】【解答】解：∵AD为△ABC的中线，
1
∴S = S =5
△ABD 2 △ABC
【分析】根据同高三角形的面积之间的关系就是底之间的关系即可得出答案.
12. ( 4分 ) 如果一个多边形的每一个外角都等于 30∘ ，则它的内角和是________ ❑∘ .
【答案】 1800
【考点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：多边形边数为：360°÷30°=12，
则这个多边形是十二边形；
则它的内角和是：（12-2）•180°=1800°.
故答案为：1800.
6【分析】根据任何多边形的外角和都是360°，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，
即多边形的边数.n边形的内角和是（n-2）•180°，代入公式就可以求出内角和.
13. ( 4分 ) 如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD,若∠A= 60° ，∠B= 40° ， 则∠ECD等于
________.
【答案】 50°
【考点】三角形的外角性质，角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠A=60°，∠B=40°，
∴∠ACD=∠A+∠B=100°，
∵CE平分∠ACD，
1
∴∠ECD= ∠ACD=50°，
2
故答案为：50°.
【分析】根据三角形外角的性质求出∠ACD，根据角平分线定义求出即可.
14. ( 4分 ) 一个多边形从一个顶点出发可引3条对角线，这个多边形的内角和等于________．
【答案】 720°
【考点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵从一个顶点可引对角线3条，
∴多边形的边数为3+3=6.
多边形的内角和=(n−2)×180°=4×180°=720°
故答案为：720°.
【分析】首先确定出多边形的边数，然后利用多边形的内角和公式计算即可．
15. ( 4分 ) 如图，在五边形ABCDE中，∠D=120°，与∠EAB相邻的外角是80°，与∠DEA，∠ABC相邻
的外角都是60°，则∠C为________度。
7【答案】 80
【考点】多边形内角与外角，邻补角
【解析】【解答】解：∵与∠EAB相邻的外角是80°，与∠DEA，∠ABC相邻的外角都是60°，
∴∠DEA=180°-60°=120°，∠ABC=180°-60°=120°，∠EAB=180°-80°=100°；
五边形的内角和为（5-2）×180°=540°；
∴∠C=540°-120°-120°-120°-100°=80°.
故答案为：80.
【分析】利用邻补角的定义分别求出∠DEA，∠ABC，∠EAB的度数；再利用五边形的内角和为540毒，
可求出∠C的度数.
16. ( 4分 ) 如图，DE⊥AB，∠A＝25°，∠D＝45°，则∠ACB的度数为________
【答案】 110°
【考点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
∵∠D=45°，
∴∠B=180°-∠BED-∠D=45°，
又∵∠A=25°，
∵∠ACB=180°-（∠A+∠B）=110°．
故答案为110°
【分析】由DE与AB垂直，利用垂直的定义得到∠BED为直角，进而确定出△BDE为直角三角形，利用
直角三角形的两锐角互余，求出∠B的度数，在△ABC中，利用三角形的内角和定理即可求出∠ACB的度
数．
17. ( 4分 ) 如图，点 D 在 △ABC 的边 BA 的延长线上，点 E 在 BC 边上，连接 DE 交 AC 于
点 F ，若 ∠DFC=3∠B=117° ， ∠C=∠D ，则 ∠BED= ________.
8【答案】 102°
【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠DFC＝3∠B＝117°，
∴∠B＝39°，
设∠C＝∠D＝x°，
39＋x＋x＝117，
解得：x＝39，
∴∠D＝39°，
∴∠BED＝180°−39°−39°＝102°.
故答案为：102°.
【分析】首先根据∠DFC＝3∠B＝117°，可以算出∠B＝39°，然后设∠C＝∠D＝x°，根据外角与内角的关
系可得39＋x＋x＝117，再解方程即可得到x＝39，再根据三角形内角和定理求出∠BED的度数.
18. ( 4分 ) 已知三角形的三边长分别为3，5，x，则化简式子 |x−2|+|x−9|= ________.
【答案】 7
【考点】绝对值及有理数的绝对值，三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，得
5−3 第三边，任意两边之差 < 第三边，也考查
了绝对值的性质 . 根据三角形的三边关系“任意两边之和 > 第三边，任意两边之差 < 第三边”，进行
分析求解.
三、作图题
19. ( 6分 ) 如图，在钝角△ABC中.
9（1）作钝角△ABC的高AM，CN；
（2）若CN＝3，AM＝6，求BC与AB之比.
【答案】 （1）解：如图，AM、CN为所作；
（2）解：∵AM、BN为△ABC的高，
1 1
∴S ＝ AM•BC＝ CN•AB，
△ABC 2 2
BC CN 3 1
∴ ＝ ＝ ＝
AB AM 6 2
【考点】三角形的角平分线、中线和高，三角形的面积
【解析】【分析】（1）过三角形一个顶点A向对边所在的直线作垂线，垂足为M，线段AM就是三角形
的高，过三角形一个顶点C向对边所在的直线作垂线，垂足为N，线段CN就是三角形的高；
1 1 BC CN 1
（2）根据 S ＝ AM•BC＝ CN•AB， 得出 ＝ = .
△ABC 2 2 AB AM 2
20. ( 6分 ) 如图，在 △ABC 中：
（1）画出 BC 边上的高 AD 和中线 AE .
（2）若 ∠B=30° ， ∠ACB=130° ，求 ∠BAD 和 ∠CAD 的度数.
【答案】 （1）解：如图所示：
10（2）解：∵∠B=30°，∠ACB=130°，
∴∠BAC=180°-30°-130°=20°，
∵∠ACB=∠D+∠CAD，AD⊥BC，
∴∠CAD=130°-90°=40°，
∴∠BAD=20°+40°=60°.
【考点】三角形的角平分线、中线和高，三角形内角和定理，三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）延长BC，作AD⊥BC的延长线于D；作BC的中点E，连接AE即可；
（2）可根据三角形的内角和定理求∠BAC=20°，由外角性质求∠CAD=40°，那可得∠BAD=60°.
四、综合题
21. ( 10分 ) 如图所示，∠ACD是△ABC的外角，∠A=40°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、
CE交于点E．
（1）求∠E的度数．
（2）请猜想∠A与∠E之间的数量关系，请说明理由．
【答案】 （1）解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠ABC=2∠CBE，∠ACD=2∠DCE，
由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠DCE=∠E+∠CBE，
∴∠A+∠ABC=2（∠E+∠CBE），
∴∠A=2∠E，
∵∠A=40°，
∴∠E=20°
11（2）解：∠A=2∠E，理由如下：
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠ABC=2∠CBE，∠ACD=2∠DCE，
由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠DCE=∠E+∠CBE，
∴∠A+∠ABC=2（∠E+∠CBE），
∴∠A=2∠E
【考点】三角形的外角性质，角平分线的性质
【解析】【分析】本题主要考查角平分线的性质以及三角形外角的性质。（1）角平分线将该角分成两个
相等的角；（2）三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和。
22. ( 10分 ) 已知： A(0,1) ， B(2,0) ， C(4,3)
（1）将 △ABC 平移至 △A B C 处，其中点 A ， B ， C 的对应点分别为点 A ， B ， C ．
1 1 1 1 1 1
已知点 A (3,2) ，则点 B 的坐标为________， C 的坐标为________；
1 1 1
（2）求 △ABC 的面积；
（3）设点 P 在坐标轴上，且 △ABP 与 △ABC 的面积相等，直接写出点 P 的坐标．
【答案】 （1）（5，1）；（7，4）
1 1 1
（2）解：△ABC的面积= 4×3− ×2×1− ×2×3− ×2×4 =4
2 2 2
（3）解：若点P在x轴上，S =S =4，设P（p，0），
△ABP △ABC
1
∴ ×1×|p−2|=4 ，
2
12解得：p=-6或p=10，
则P（-6，0）或（10，0）；
若点P在y轴上，设P（0，q），
1
∴ ×2×|q−1|=4 ，
2
解得：q=5或-3，
则P（0，5）或（0，-3）；
综上：点P的坐标为（-6，0）或（10，0）或（0，5）或（0，-3）．
【考点】三角形的面积，坐标与图形变化﹣平移，作图﹣平移
【解析】【解答】解：（1）∵A（0，1），A （3，2），
1
可得平移方式为向右平移3个单位，向上平移1个单位，
∴B （5，1），C （7，4）；
1 1
【分析】（1）解决本题的关键是找到所给图形中象限内的一对对应点的变化规律．
（2）会用割补法求不规则的三角形面积。
（3）注意分类讨论。1.在X轴的情况，2.在Y轴的情况
23. ( 10分 )
13（1）如图1，AB∥CD，∠A=38°，∠C=50°，求∠APC的度数．（提示：作PE∥AB）．
（2）如图2，AB∥DC，当点P在线段BD上运动时，∠BAP=∠α，∠DCP=∠β，求∠CPA与∠α，∠β之间
的数量关系，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，如果点P在段线OB上运动，请你直接写出∠CPA与∠α，∠β之间的数量关系
________．
【答案】 （1）解：如图1，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE，
∵∠A=38°，∠C=50°，
∴∠APE＝38°，∠CPE＝50°，
∴∠APC＝∠APE＋∠CPE＝38°＋50°＝88°；
（2）解：∠APC＝∠α＋∠β，
理由是：如图2，过P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠APE＝∠PAB＝∠α，∠CPE＝∠PCD＝∠β，
∴∠APC＝∠APE＋∠CPE＝∠α＋∠β；
（3）∠APC＝∠β-∠α
【考点】平行线的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质
【解析】【解答】解：（3）如图3，过P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠PAB＝∠APE＝∠α，∠PCD＝∠CPE＝∠β，
14∵∠APC＝∠CPE-∠APE，
∴∠APC＝∠β-∠α．
故答案为：∠APC＝∠β-∠α．
【分析】（1）过点P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．（2）过P作PE∥AD交AC于E，推出
AB∥PE∥DC，根据平行线的性质得出∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；（3）若P在段线OB上，
画出图形，根据平行线的性质得出∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，依据角的和差关系即可得出答案．
24. ( 8分 ) 如图，六边形ABCDEF的内角都相等，CF∥AB.
（1）求∠FCD的度数；
（2）求证：AF∥CD.
【答案】 （1）解:∵六边形ABCDEF的内角相等，∴∠B＝∠A＝∠BCD＝120°.
∵CF∥AB，∴∠B＋∠BCF＝180°，∴∠BCF＝60°，∴∠FCD＝60°.
（2）证明：∵CF∥AB，∴∠A＋∠AFC＝180°，∴∠AFC＝180°－120°＝60°，∴∠AFC＝∠FCD，
∴AF∥CD.
【考点】平行线的性质，多边形内角与外角，正多边形的性质
(6−2)×180°
【解析】【分析】（1）根据六边形ABCDEF的内角相等可得六边形的每一个角= ， 再根
6
据平行线的性质即可求解；
（2）根据平行线的性质可求得∠AFC＝∠FCD，由平行线的性质即可求解。
25. ( 8分 )
15（1）如图1我们称之为“8字形”，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：________；
（2）如图2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝________度；
（3）如图3所示，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，猜想∠B，∠P，∠D之间的数量关系，并证明．
【答案】 （1）∠A+∠B＝∠C+∠D
（2）540
（3）解：∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，
①∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，
②∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，
①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
即2∠P＝∠D+∠B．
【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质，多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D，
故答案为：∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）如图，
∵∠6，∠7的和与∠8，∠9的和相等，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8+∠9＝540°；
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A＋∠D＝∠C＋∠B；
（2）∠6，∠7的和与∠8，∠9的和相等．由多边形的内角和得出答案即可；
16（3）先根据“8字形”中的角的规律，可得∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP①，∠PCB＋∠B＝∠PAB＋
∠P②，再根据角平分线的定义，得出∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，将①＋②，可得2∠P＝∠D＋
∠B．
17
