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第15章 分式 B 卷
一、单选题
−a
1. ( 3分 ) 根据分式的基本性质，分式 可以变形为（ ）
a−b
a a −a a
A. B. C. ﹣ D. ﹣
−a+b a+b a−b a+b
【答案】 A
【考点】分式的基本性质
−a a a
【解析】【解答】解：分式 可变形为原式= − = ，故选A.
a−b a−b −a+b
2. ( 3分 ) 下列运算，正确的是（ ）
1 a2 a
A. a0=0 B. a−1= C. = D. (a−b) 2=a2−b2
a b2 b
【答案】 B
【考点】完全平方公式及运用，分式的约分，0指数幂的运算性质，负整数指数幂的运算性质
【解析】【解答】A、因为只有当 a≠0 时， a0=1 ，所以A不符合题意；
1
B、 a−1= ，所以B符合题意；
a
C、 a2 的分子与分母没有公因式，不能约分，所以C不符合题意；
b2
D、 ，所以D不符合题意；
(a−b) 2=a2−2ab+b2
故答案为：B.
【分析】（1）根据任何一个不为0的数的0次幂等于1可得原式=1；
1
（2）根据一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数幂的倒数可得原式= ；
a
（3）分式的约分是约去分子和分母中的公因式，所以原式不能约分；
（4）由完全平方公式可得原式=a2−2ab+b2.
3. ( 3分 ) 下列各分式中，最简分式是（ ）
1A. 34(x−y) B. y2−x2 C. y2+x2 D. x2−y2
85(x+ y) x+ y x2y+x y2 (x+ y) 2
【答案】 C
【考点】分式的约分，最简分式
【解析】【解答】解：A、分式的分子与分母中的系数34和85有公因式17，可以约分，A不符合题意；
y2−x2 (y+x)(y−x)
B、 = = y−x ，B不符合题意；
x+ y x+ y
C、分子分母没有公因式，是最简分式，C符合题意；
D、 x2−y2 (y+x)(y−x) x−y ，D不符合题意；
= =
(x+ y) 2 (x+ y) 2 x+ y
故答案为：C．
【分析】最简分式包括系数也要最简，所以A不对；B中有公因式（x+y）；D中有公因式（x+y）.
4. ( 3分 )下列函数中自变量x的取值范围是x＞1的是（ ）
1 1 1
A. y= B. y=√x−1 C. y= D. y=
√x−1 √x−1 √1−x
【答案】 A
【考点】分式有意义的条件，二次根式有意义的条件
【解析】【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，逐一检验．
【解答】A、二次根式和分式有意义，x-1＞0，解得x＞1，符合题意；
B、二次根式有意义，x-1≥0，解得x≥1，不符合题意；
C、二次根式和分式有意义，x≥0且√x−1≠0 ， 解得x≥0且x≠1，不符合题意；
D、二次根式和分式有意义1-x＞0，解得x＜1，不符合题意．
故选A．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围．当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数
表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
m−1 x
5. ( 3分 ) 关于x的方程 ﹣ =0有增根，则m的值是（ ）
x−1 x−1
A. 2 B. ﹣2 C. 1 D. ﹣1
【答案】 A
2【考点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：方程两边都乘（x﹣1），得
m﹣1﹣x=0，
∵方程有增根，
∴最简公分母x﹣1=0，即增根是x=1，
把x=1代入整式方程，得m=2．
故选A．
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母x﹣
1=0，所以增根是x=1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
a 5
6. ( 3分 ) 计算 − 的结果是
a−5 a−5
A. 1 B. ﹣1 C. 0 D. a﹣5
【答案】 A
【考点】分式的混合运算
【解析】【分析】根据同分母分式的减法法则计算即可得到结果：
a 5 a−5
− = =1。故选A。
a−5 a−5 a−5
x
7. ( 3分 ) 函数 y= 自变量x的取值范围是（ ）
1−√x
A. 全体实数 B. x＞0
C. x≥0且x≠1 D. x＞1
【答案】 C
【考点】分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，函数自变量的取值范围
1−√x≠0
【解析】【解答】解：根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，得 { ，
x≥0
解得x≥0且x≠1，
故选C．
【分析】本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式和分式两部分．根据二次根式的性
质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
x 3x
8. ( 3分 ) 分式 与 的最简公分母是（ ）
3 y 2y2
3A. 6y B. 3y2 C. 6y2 D. 6y3
【答案】 C
【考点】最简公分母
x 3x
【解析】【解答】解：分式 与 的分母分别是3y、2y2 ， 故最简公分母是6y2；
3 y 2y2
故选C．
【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
1 1 1
9. ( 3分 ) 如果 a ， b ， c 是正数，且满足 a+b+c=1 ， + + =5 ，那么
a+b b+c a+c
c a b
+ + 的值为（ ）
a+b b+c a+c
1
A. -1 B. 1 C. 2 D.
2
【答案】 C
【考点】分式的加减法
【解析】【解答】解：∵a，b，c是正数，且满足a+b+c=1，
∴a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b，
c a b
∴ + +
a+b b+c a+c
1−a−b 1−b−c 1−a−c
= + +
a+b b+c a+c
1 1 1
= + + −3
a+b b+c a+c
= 5−3
=2
故答案为：C
【分析】先根据题意得到a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b，再代入原式计算即可。
410. ( 3分 ) 已知 =3，则分式 的值为（ ）
A. B. ﹣ C. D. ﹣
【答案】 C
【考点】利用分式运算化简求值
【解析】解答: 由 =3，得y﹣x=3xy ，
∴x﹣y=﹣3xy ，
∴ =
故选C．
分析: y﹣x=3xy ， ∴x﹣y=﹣3xy ． 代入所求的式子化简即可．
二、填空题
11. ( 4分 ) 计算： ________．
(π−1) 0=
【答案】 1
【考点】0指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：∵ π−1≠0 ，
∴ ，
(π−1) 0=1
故答案为：1.
【分析】根据任何不等于0的数的零次幂都等于1，即可求值。
1
12. ( 4分 ) 化简： 1− = ________.
a+1
a
【答案】
a+1
【考点】分式的加减法
1
【解析】【解答】解： 1−
a+1
5a+1−1
=
a+1
a
= ，
a+1
a
故答案为： ．
a+1
【分析】利用分式的加减计算求解即可。
3 2 1
13. ( 4分 ) 分式 、﹣ 、 的最简公分母是________．
x2−2x+1 x2−1 x2+2x+1
【答案】 （x﹣1）2（x+1）2
【考点】最简公分母
3 1 2 2 1
【解析】【解答】解：∵ = ，﹣ =﹣ ， =
x2−2x+1 (x−1) 2 x2−1 (x+1)(x−1) x2+2x+1
1
，
(x+1) 2
∴最简公分母是（x﹣1）2（x+1）2；
故答案为：（x﹣1）2（x+1）2 ．
【分析】先把各分母因式分解，再根据确定最简公分母的方法求出最简公分母即可．
2 a
14. ( 4分 ) 已知整数a满足 1<a≤3 ，则分式 (1− )⋅ 的值为________．
a a2−4
1
【答案】
5
【考点】利用分式运算化简求值
2 a
【解析】【解答】解： (1− )⋅
a a2−4
a−2 a
= ⋅
a (a+2)(a−2)
1
= ，
a+2
由题意 a≠0 且 a2−4≠0 ，
所以 a≠0 且 a≠2 且 a≠−2 ，
又∵整数a满足 1<a≤3 ，
∴ a=3 ，
1 1
当 a=3 时，原式= = ，
3+2 5
61
故答案为： ．
5
【分析】利用分式的混合运算化简，再将a的值代入计算即可。
x+1 x+3
15. ( 4分 ) 若代数式 ÷ 有意义，则x的取值范围是________
x+2 x+4
【答案】 x≠−2,x≠−3 ， x≠-4.
【考点】分式有意义的条件，分式的乘除法
【解析】【解答】因为x+1 x+3 x+1 x+4 (x+1)(x+4) 有意义的话，要保证分母不能等于
÷ = × =
x+2 x+4 x+2 x+3 (x+2)(x+3)
0，所以答案是x≠−2,x≠−3 ，x≠-4.
【分析】除法应该先变为乘法再确定分母.
1 y 1
16. ( 4分 ) ，﹣ ， 的最简公分母是________．
ab 4a3 6ab2
【答案】 12a3b2
【考点】最简公分母
1 y 1
【解析】【解答】解： ，﹣ ， 的分母分别是ab、4a3、6ab2 ， 故最简公分母是12a3b2
ab 4a3 6ab2
．
故答案是：12a3b2 ．
【分析】确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的
指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
17. ( 4分 ) 若记y=f（x）= ，其中f（1）表示当x=1时y的值，即f（1）= ；f（ ）
表示当x= 时y的值，即 ；…；则f（1）+f（2）+f（ ）+f（3）+f（ ）+…
7+f（2011）+f（ ）=________。
1
【答案】 2010
2
【考点】分式的加减法
【解析】【解答】∵y=f（x）= ，
∴f（ ）= ，
∴f（x）+f（ ）=1，
∴f（1）+f（2）+f（ ）+f（3）+f（ ）+…+f（2011）+f（ ）
=f（1）+[f（2）+f（ ）]+[f（3）+f（ ）]+…+[f（2011）+f（ ）]
= +1+1+…+1
= +2010
=2010 ．
故答案为：2010 ．
8【分析】此题需先根据y=f（x）= ，计算出f（ ）的值，发现f（x）+f（ ）=1，再根据此规
律，即可得出结果
18. ( 4分 ) 有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两上
数的和．现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造如图1正方形：再分别依次从左到右取2个、3个、
4个、5个正方形拼成如图2所示的长方形并记为①、②、③、④．若按此规律继续作长方形，则序号为⑧
的长方形的周长是________．
【答案】 178
【考点】代数式求值，探索图形规律
【解析】【解答】解:由图可知,序号为①的矩形的宽为1,长为2；
序号为②的矩形的宽为2,长为3,3=1+2；
序号为③的矩形的宽为3,长为5, 5=2+3,
序号为④的矩形的宽为5,长为8,8=3+5,
序号为⑤的矩形的宽为8,长为13,13=5+8；
序号为⑥的矩形的宽为13,长为21,21=8+13；
序号为⑦的矩形的宽为21,长为34,34=13+21；
序号为⑧的矩形的宽为34, 长为55,55=21+34；
所以,序号为⑧的矩形周长2（34+55）=178.
故答案为:178.
【分析】根据图形的性质得到矩形的长为上一个矩形的宽+本矩形的宽，由序号为⑦的矩形的宽为21，序
号为⑧的矩形的宽为34，得到序号为⑧的矩形周长.
三、计算题
19. ( 7分 ) 求值或计算：
1
（1）求满足条件的x值： x2﹣8=0
2
9（2）计算： ﹣ ﹣ ．
√(−3) 2 √3−64 √36
【答案】 （1）解：方程整理得：x2=16，
解得：x=±4
（2）解：原式=3+4﹣6=1
【考点】实数的运算
【解析】【分析】（1）方程整理后，利用平方根定义计算即可求出值；（2）原式利用平方根、立方根定
义计算即可得到结果．
20. ( 7分 ) 先化简：( x+2 x−1 ) 4−x ， 然后再在0、1、2、4中取一个你喜欢的值代入
− ÷
x2−2x x2−4x+4 x
求值．
【答案】 解：( x+2 − x−1 ) ÷ 4−x =[ x+2 − x−1 ] ÷ 4−x =
x2−2x x2−4x+4 x x(x−2) (x−2) 2 x
(x−2)(x+2)−x(x−1) x = x−4 x = 1 当x=1时，原式=-1．
× × −
x(x−2) 2 4−x x(x−2) 2 4−x (x−2) 2
【考点】利用分式运算化简求值
【解析】【分析】首先把括号里的式子进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简，最后
代值计算．
21. ( 7分 ) 知关于x的方程2（x-1）=3m-1与3x+2=-2（m+1）的解互为相反数，求m的值．
【答案】 解：解方程2（x-1）=3m-1得：x=3m+12；
−2m−4
解方程3x+2=-2（m+1）得：x= ；
3
3m+1 −2m−4
因为两个方程的解互为相反数，所以 + =0，
2 3
10解得m=1.
【考点】解一元一次方程
【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的解法，先解出两个方程的解，再根据两个方程的解互为相反
数，列出关于m的一元一次方程，即可解得m 的值.
四、解答题
22. ( 8分 ) 甲、乙两位同学同时从学校出发，骑自行车前往距离学校20千米的郊野公园。已知甲同学比
乙同学平均每小时多骑行2千米，甲同学在路上因事耽搁了30分钟，结果两人同时到达公园。问：甲、乙
两位同学平均每小时各骑行多少千米？
【答案】 解：设甲平均每小时行驶x千米，
20 20
则 − =0.5 ，
x−2 x
化简为： x2−2x−80=0 ，
解得： x =−8,x =10 ，
1 2
经检验 x =-8 不正确， x =10 是原方程的解，
1 2
答：甲平均每小时行驶10千米，乙平均每小时行驶8千米。
【考点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设乙平均每小时骑行x千米，则甲平均每小时骑行（x+2）千米，根据题意可得，同样
20千米的距离，乙比甲多走30分钟，据此列方程求解．
x 1
23. ( 8分 ) 解分式方程： ﹣2= ．
x−1 x−1
【答案】 解：去分母得：x﹣2x+2=1，
解得：x=1，
经检验x=1是增根，分式方程无解
【考点】解分式方程
【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式
方程的解．
24. ( 9分 ) 广州市花都区某校八年级有180名同学参加地震应急演练，对比发现：经专家指导后，平均每
秒撤离的人数是专家指导前的3倍，这180名同学全部撤离的时间比专家指导前快2分钟. 求专家指导前
11平均每秒撤离的人数．
【答案】 解：设专家指导前平均每秒撤离的人数为x人，根据题意有
180 180
− =2×60
x 3x
解得 x=1
将检验， x=1 是原分式方程的解
答：专家指导前平均每秒撤离的人数为1人
【考点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设专家指导前平均每秒撤离的人数为x人，根据题意列出分式方程，解分式方程并检验
即可．
25. ( 12分 ) 不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项的系数化为整数．
1 1 1 1
x− y x+ y
5 10 2 4
（1） （2） ．
1 1 1 1
x+ y x− y
3 9 2 3
18x−9 y
【答案】 解：（1）原式= ；
30x+10 y
6x+3 y
（2）原式= ．
6x−4 y
【考点】分式的基本性质
【解析】【分析】（1）分式的分子分母都乘以90，可得答案；
（2）分式的分子分母都乘以12，可得答案．
12
