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第22章 二次函数（培优卷）
一．选择题（每小题3分，共24分）
1.已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y=2（x+3）2-2x2；⑤y＝ax2+bx+c，其中二
次函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2.函数 的图象与 轴有交点，则 的取值范围是（ ）
A． B． 且 C． D． 且
3已知抛物线 的对称轴在 轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1
个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则 的值是（ ）
A． 或2 B． C．2 D．
4.如图，已知抛物线 的顶点是 ，与x轴交于点 ，给出以下结论：① ；②
；③若 ，则 或 ；④ ．其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5.已知，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，矩形PQNM的四个．顶点分别在菱形的四边上，则矩形
PMNQ的最大面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6.二次函数 的图象与一次函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是
（ ）A． B． C． D．
7.2020年6月中旬以来，北京市新冠肺炎疫情出现反弹，北京市民对防疫物资需求量激增．某厂商计划投
资产销一种消毒液，设每天产销量为x瓶，每日产销这种消毒液的有关信息如下表：（产销量指生产并销
售的数量，生产多少就销售多少，不考虑滞销和脱销）若该消毒液的单日产销利润y元，当销量x为多少
时，该消毒液的单日产销利润最大．（ ）
消毒 每瓶售价 每瓶成本
每日其他费用（元） 每日最大产销量（瓶）
液 （元） （元）
30 18 1200＋0.02x2 250
A．250 B．300 C．200 D．550
8.如图，等边 的边长为 ，动点P从点A出发，以每秒 的速度，沿A→B→C→A的方向运动，
当点P回到点A时运动停止．设运动时间为x（秒）， ，则y关于x的函数的图象大致为
（ ）
A． B． C． D．二．填空题（每小题2分，共16分）
9.有一条抛物线，两位同学分别说了它的一个特点：甲：对称轴是直线 ；乙：顶点到 轴的距离为
2．请你写出一个符合条件的解析式_________．
10.二次函数 的图象向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么平移后的函数解析式为
______．
11.二次函数 （ ，a，c均为常数）的图象经过 、 、 三点，则
， ， 的大小关系是______．
12.如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点A、B、C的坐标分别为 、 、 ．若抛物
线 的图象与正方形 有公共点，则a的取值范围是_________．
13.如图，抛物线y＝x2+5x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接AC，
点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为___．
14.已知y＝x2+2kx+k﹣1，当﹣1＜x＜2时，有最小值﹣1，则k的值为___．15.在平面直角坐标系中，点 和点 的坐标分别为 和 ，抛物线 与线
段 只有一个公共点，则 的取值范围是______．
16.抛物线 的图象如图所示，点A，A，A，A…，A 在抛物线第一象限的图象上，点
1 2 3 4 2022
B ，B ，B ，B .．．，B 在y轴的正半轴上， 、 、…、 都是等腰直角三角
1 2 3 4 2022
形，则 ________．
三．解答题（共60分）
17.（6分）如图为二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象根据函数图象，“＞”、“＝”或“＜”填写下
列空格：
①a_________0；②4ac﹣b2 _________0；
③2a＋b_________0；④a＋b＋c_________ 0；
⑤当﹣1＜x＜3时，y_________0；⑥8a＋c_________0
18.（8分）某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不高于
28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）之间满足一次函数关系，部
分数据如表：
每千克售价x
…… 20 22 24 ……
（元）
日销售量y
…… 66 60 54 ……
（千克）(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少
元？
19.（8分）如图，抛物线 （b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点， ，
，点P为线段 上的动点，过P作 // 交 于点Q．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求 面积的最大值，并求此时P点坐标．
20.（8分）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面
0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，
并设抛物线的表达式为 ，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面
的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
21.（10分）已知抛物线
(1)若抛物线与直线 交于（1，0），（5，8）两点．
①求抛物线和直线的函数解析式；
②直接写出当 时自变量x的取值范围．
(2)若 ，线段AB的两个端点坐标分别为A（0，3），B（3，3），当抛物线与线段AB有唯一公共点
时，直接写出a的取值范围．
22.（10分）如图1所示为某公司生产的A型活动板房，成本是每个395元，它由长方形和抛物线构成，长
方形的长AD4米，宽AB3米，抛物线的最高点E到BC的距离为4米．
(1)按如图1所示建立平面直角坐标系，求该抛物线的解析式．
(2)现将A型活动板房改为B型活动板房．如图2，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户框架
Mm,0
FGMN G M AD N F
，点 、 在 上，点 、 在抛物线上，长方形窗户框架的成本为10元/米，设 ，且
1
满足 m1，当窗户框架 的周长最大时，每个 型活动板房的成本是多少？（每个 型活动板房
2 FGMN B B
的成本＝每个A型活动板房的成本＋一扇长方形窗户框架FGMN成本）
(3)根据市场调查，以单价600元销售（2）中窗户框架周长最大时的B型活动板房，每月能售出100个，而
单价每降低10元，每月能多售出20个．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销
售B型活动板房所获利润W （元）最大？最大利润是多少？
23.（10分）如图，在平面直角坐标系．xOy中，直线y＝x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C（﹣2，0）．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图1，点F是直线AB下方抛物线上一动点，连接FA，FB，求出四边形FAOB面积最大值及此时点F
的坐标．
(3)如图2，在（2）问的条件下，点Q为平面内y轴右侧的一点，是否存在点Q及平面内任意一点M使得
以A，F，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
