文档内容
第23章 旋转（基础卷）
一．选择题（每小题3分，共24分）
1.2022年冬奥会将在我国北京市和张家口市联合举行，下列历届冬奥会会徽的部分图案中，是中心对称图
形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
2.如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A的度数为110°，∠D的度数为40°，则∠AOD
的度数是（ ）
A．50° B．60° C．40° D．30°
【答案】A
【解析】解： 将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，∴ ∠BOD=∠AOC=800
∠A的度数为110°，∠D的度数为40°，∴∠C=∠A=1100
∴∠COD=1800-1100- 400=300;∴∠AOD=800-300=500
故选A
3.如图，若正方形ABCD绕图中某点顺时针旋转90°得到正方形EFGH，则旋转中心应是（ ）A．H点 B．N点 C．C点 D．M点
【答案】D
【解析】解：∵正方形ABCD绕图中某点顺时针旋转90°得到正方形EFGH，
∴连接对应点A和点E，点D和点H，
分别作线段DH和线段AE的中垂线，交点M即为旋转中心．
故选：D．
4.如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2 ，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′
的坐标是（ ）
A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2 ，﹣4）或（﹣2 ，4）
C．（﹣2 ，2）或（2 ，﹣2） D．（2，﹣2 ）或（﹣2，2 ）
【答案】C
【解析】过点A作 于点C．
在Rt△AOC中， ．
在Rt△ABC中， ．∴ ．∵OA＝4，OB＝6，AB＝2 ，∴ ．∴ ．∴点A的坐标是 ．
根据题意画出图形旋转后的位置，如图，
∴将△AOB绕原点O顺时针旋转90°时，点A的对应点A′的坐标为 ；
将△AOB绕原点O逆时针旋转90°时，点A的对应点A′′的坐标为 ．
故选：C．
5.如图，将 绕点 逆时针方向旋转110°，得到 ，若点 在线段BC的延长线上，则
的度数为（ ）
A．85° B．80° C．75° D．70°
【答案】D
【解析】根据旋转的性质可知∠BAB'=110°，且AB=AB'，∠B=∠AB'C'．
∵点B'在线段BC的延长线上，∴∠BB'A=∠B=35°．∴∠AB'C'=35°．
∴∠BB'C'=∠BB'A+∠AB'C'=35°+35°=70°．
故选：D．
6.如图，在△AOB中，已知∠AOB=90°，AO=3，BO=4．将△AOB绕顶点O按顺时针方向旋转α（0°＜α＜
90°）到△AOB 处，此时线段OB 与边AB的交点为点D，则在旋转过程中，线段BD长的最大值为（
1 1 1 1
）A．4.5 B．5 C． D．
【答案】D
【解析】解：因为OB 的长度是定值，所以当OD最短即可OD⊥AB时，BD长的取最大值．
1 1
∵如图，在△AOB中，已知∠AOB=90°，AO=3，BO=4，∴AB= =5，
则 OA•OB= AB•OD，∴OD= ．
由旋转的性质知：OB=OB=4，∴BD=OB-OD= ．即线段BD长的最大值为 ．
1 1 1 1
故选：D．
7.如图，在平面直角坐标系中，点 ，将线段 作以下变换：以点 为旋转中心，将 的长变为两
倍并逆时针旋转 得到 ，连接 ；以点 为旋转中心，将 的长变为两倍并逆时针旋转 得到
，连接 ；……依此规律得到线段 ，则线段 的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意：
， ， ， ，
在 中，
，
故选：C．
8.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合， 轴，交y轴于
点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：正六边形ABCDEF边长为2，中心与原点O重合， 轴，
∴AP＝1， AO＝2，∠OPA＝90°，∴OP＝ ＝ ，∴A（1， ），
第1次旋转结束时，点A的坐标为（ ，-1）；
第2次旋转结束时，点A的坐标为（-1， ）；
第3次旋转结束时，点A的坐标为（ ，1）；
第4次旋转结束时，点A的坐标为（1， ）；∵将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，∴4次一个循环，
∵2022÷4＝505……2，∴经过第2022次旋转后，点A的坐标为（-1， ），
故选：B
二．填空题（每小题2分，共16分）
9.平面直角坐标系内的点P（m，4）与点Q（ ，n）关于原点对称，则 ________．
【答案】1
【解析】∵P（m，4）与点Q（ ，n）关于原点对称
∴m＋（ ）＝0；4＋n＝0，∴m＝5；n＝-4，∴
故答案为1．
10.如图，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，∠A＝30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转，使得点B旋转到AB
边上的点D处，则旋转角是________度．
【答案】60
【解析】解：∵在Rt△ABC，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴ ，
∵将△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到 ，∴ ，∴ 为等边三角形，
∴ ，即旋转角是60°．
故答案为：60．
11.如图是一个中心对称图形， 为对称中心，若 ， ， ，则 的长为_________．
【答案】12
【解析】解：∵在 中， ， ，∴ ，
∵ 与 关于 中心对称，∴ ，
故答案为：12．
12.如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转50°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠B′BC＝_____度．
【答案】105
【解析】解： 把 绕点 逆时针旋转 ，得到 △ ，
， ， ，
， ， ， ，
故答案为：105．
13.如图所示的平面直角坐标系中，△ 是由△ABC绕点P顺时针旋转90°得到的，则点P的坐标是
__________．
【答案】（1，0）
【解析】解：如图，点P即为所求，P（1，0）．
故答案为：（1，0）．
14.如图，在长方形 中， ， ，将长方形 绕点 旋转一定角度后得长方形 ，
交 于点 ，且 ，则 的长为______．【答案】5
【解析】解：由旋转可得AB=AB=8，
1
∵长方形 ，∴BC=AD=4，CD=AB=8，∠C=90°，
设BE=DE=x，则CE=8-x，在Rt△BCE中，由勾股定理，得42+(8-x)2=x2，
解得：x=5，即DE=5，
故答案为：5．
15.如图，矩形ABCD在平面直角坐标系中，已知 ， ，点P为射线AB上一动点，将直线OP
绕点P逆时针旋转90°，交直线BC于点Q，当 为等腰三角形时，点P的坐标为______．
【答案】P（1，3），P（7，3）
1 2
【解析】解：∵ ， ，点P为射线AB上一动点，∴设P（m，3）
∵△POQ是等腰三角形，
①若P在线段AB上，∠OPQ＝90°∴PO＝PQ，
又∵∠OAP=∠PBQ=90°，∴∠AOP=90°-∠APO=∠BPQ，
∴△OAP≌△PBQ，∴PB＝AO，即3＝4−m，
∴m＝1，即P点坐标（1，3）；
②若P在线段AB的延长线上，PQ交CB的延长线于Q，此时PO＝PQ，同理：△AOP≌△BPQ，∴AO＝PB，即3＝m−4，m=7，即P点的坐标（7，3）；
故点P坐标为P（1，3），P（7，3）．
1 2
故答案为：P（1，3），P（7，3）．
1 2
16.如图，△ABC，△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠PDE＝90°．使△DEP的顶点P与
△ABC的顶点A重合，PD，PE分别与BC相交于点F、G，若BF＝6，CG＝4，则FG＝_____．
【答案】
【解析】解：将△ABF绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，
∵△ACH由△ABF旋转得到，∴∠BAF=∠CAH，CH=BF=6，AF=AH，∠B=∠ACH
∵△ABC，△DEP是两个全等的等腰直角三角形∴∠B=45°，∠ACB=45°，∴∠HCG=90°
在Rt△HCG中，由勾股定理得：GH= ，
∵∠FAG=45°，∴∠BAF+∠GAC=45°，∴∠CAH+∠GAC=45°，即∠GAH=45°
在△FAG和△GAH中，
AF=AH， ∠FAG=∠GAH ，AG=AG
∴△FAG≌△GAH，∴FG= GH=故答案为： ．
三．解答题（共60分）
17.（6分）如图，△ABC绕着顶点A逆时针旋转到△ADE，∠B＝40°，∠E＝60°，AB//DE，求∠DAC的度
数．
【答案】40°
【解析】∵△ABC旋转到△ADE，∠B＝40°，∠E＝60°
∴∠B＝∠D＝40°，∠C＝∠E＝60°，∴∠BAC＝180°－40°－60°＝80°
∵AB∥DE，∴∠BAD＝∠D＝40°
∴∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝80°－40°＝40°
18.（8分）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE顺时针旋转至△ABF的位置．
(1)若连结EF，则△AEF是 三角形；并证明；
(2)若四边形AECF的面积为25，DE＝2，求AE的长．
【答案】(1)等腰直角三角形，证明见解析；(2)
【解析】(1)△AEF是等腰直角三角形，
理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵把△ADE顺时针旋转至△ABF的位置，∴△ADE≌△ABF，∴AE＝AF，∠EAF＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
故答案为等腰直角；
(2)∵△ADE≌△ABF，∴S ADE＝S ABF，
△ △
∴四边形AECF＝S ABF+S ABCE＝S ADE+S ABCE＝S ABCD＝25，∴AD＝5，
△ 四边形 △ 四边形 正方形
∴AE ．19.（8分）如图，将 绕点A按顺时针方向旋转90°得到 ，点B的对应点为点D，点C的对应点
E落在BC边上，连接BD， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求线段BD的长．
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】(1)将 绕点A按顺时针方向旋转90°得到90°，
∴ ， ， ，∴ ，
∴ ，∴ ；
(2)∵ ， ，∴ ，
∴在Rt△AEC中， ，∴ ，
由旋转可知 ，
∴ ．
20.（8分）如图，把长方形 绕点D按逆时针方向旋转角度 得到长方形 ，使点E
在对角线 上，连接 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)求证： ．
【答案】(1)20°，(2)见解析【解析】(1)解：由旋转的性质可知DC=DG，∠CDG=40°，∴ ，
∵四边形DEFG是长方形，∴∠FGD=90°，∴∠CGF=∠FGD-∠DGC=20°
(2)解：由旋转的性质可得DA=DE，∴∠DAE=∠DEA，
∵DF，AC分别是两个矩形的对角线，∴DF=AC，∠EDF=∠DAC，∴∠EDF=∠DEA，
∴ ，∴四边形ACFD是平行四边形，∴AD=CF，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∴CF=BC．
21.（10分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角
坐标系， 的顶点都在格点上．
(1)将 向右平移4个单位长度得到 ，请画出 ；
(2)画出 关于点O的中心对称图形 ；
(3)若将 绕某一点旋转可得到 ，那么旋转中心的坐标为_____________．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)(2，-0.5)
【解析】(1)如图， 即为所作，
(2)如图， 即为所作，(3)根据图形可知，旋转中心的坐标为(2，-0.5)．
故答案为：(2，-0.5)．
22.（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线 l 经过点A（一2，3），B（4，0），交y轴于点C
(1)求直线 l 的函数表达式；
(2)若D为x轴上一动点，当△ACD的面积为1时，试求出点D的坐标；
(3)若将CB绕着点C旋转90°得到CP，试求出点P的坐标
【答案】(1)y x+2；(2)D（2，0）或（6，0）；(3)点P（2，6）或（﹣2，﹣2）
【解析】(1)解：设直线AB解析式为y＝kx+b，
∵直线AB经过点A（﹣2，3），B（4，0），
∴ ，∴ ，
∴直线AB的解析式：y x+2；
(2)解：∵直线AB交y轴于点C，∴点C（0，2），∴OC＝2，
∴S△ABD BD•3 BD，S△BCD BD•2＝BD，
∵△ACD的面积为1，∴S△ACD＝S△ABD﹣S△BCD BD﹣BD BD＝1，∴BD＝2，
∴D（2，0）或（6，0）；
(3)解：如图，当点P在直线AB下方时，过点P作PE⊥y轴于E，∴∠PEC＝∠PCB＝90°，∴∠PCE+∠BCO＝90°＝∠PCE+∠CPE，∴∠CPE＝∠BCO，
又∵PC＝BC，∠BOC＝∠PEC＝90°，∴△PCE≌△CBO（AAS），
∴BO＝CE＝4，OC＝PE＝2，∴OE＝2，∴点P（﹣2，﹣2），
当点P在直线AB上方时，同理可得：OC＝P'E'＝2，E'C＝OB＝4，
∴OE'＝6，∴点P'（2，6），
综上所述：点P（2，6）或（﹣2，﹣2）．
23.（10分）如图，点O是等边△ABC内一点， ，将△BOC绕点C按顺时针方向
旋转 得△ADC，连接OD．
(1)填空：线段OD与OC的数量关系为___ ；
(2)当 时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)直接写出当 为多少度时，△AOD为等腰三角形．
【答案】(1) ；(2)△AOD是直角三角形，理由见解析；(3) 为 或 或
【解析】(1)解：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴CO＝CD，∠OCD＝60°，∴△COD是等边三角形，∴OD＝OC，
故答案为：OD＝OC；
(2)解：当α＝150°时，△AOD是直角三角形．
理由是：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，∴∠ADC＝∠BOC＝150°，OD＝OC，
∴△COD是等边三角形，∴∠ODC＝60°，∴∠ADO＝∠ADC−∠ODC＝90°，
∵∠α＝150°，∠AOB＝110°，∠COD＝60°，
∴∠AOD＝360°−∠α−∠AOB−∠COD＝360°−150°−110°−60°＝40°，
∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形；
(3)解：∵∠AOC＝360°−110°−α＝250°−α，∴∠AOD＝∠AOC−60°＝190°−α，
∵∠ADC＝∠BOC＝α，∴∠ODA＝α−60°，
∵△AOD为等腰三角形，
当AO＝OD时，∠AOD＋2∠ODA＝180°，
即190°−α＋2×（α−60°）＝180°，解得α＝110°，
当AO＝AD时，∠AOD＝∠ODA，即190°−α＝α−60°，解得α＝125°，
当OD＝AD时，2×（190°−α）＋α−60°＝180°，解得α＝140°.
所以当α为110°、125°、140°时，△AOD是等腰三角形．
综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．
