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第二十七章 相似三角形 培优卷
满分 120分
一、单选题
1. ( 3分 ) 已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长分别为24、36，则
它们对角线AC与A′C′的比为（ ）
A. 2：3 B. 3：2 C. 4：9 D. 9：4
【答案】 A
【考点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC、A′C′
∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，
∴ = ，∠B=∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′，
24 2
∴ = = 36 = 3 ，
故答案为：A．
【分析】连接AC、A′C′,根据已知易证△ABC∽△A′B′C′，就可证得对角线之比等于相似比，然后根据周长
比等于相似比，可解答。
2. ( 3分 ) 如图，已知DE为△ABC的中位线，△ADE的面积为3，则四边形DECB的面积为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. 6 B. 8 C. 9 D. 12
【答案】 C
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，2DE＝BC，
∴△ADE∽△ABC，
DE 1
∴ ＝（ BC ）2＝ 4 ，
∴S ＝4S ＝12，
△ABC △ADE
∴四边形DECB的面积为12﹣3＝9，
故答案为：C.
【分析】利用三角形中位线定理可证得DE∥BC，2DE＝BC，可以推出△ADE∽△ABC，再利用相似三角
形的面积比等于相似比的平方，就可求出△ABC的面积，然后求出四边形DECB的面积。
3. ( 3分 ) “相似的图形”是（ ）
A. 形状相同的图形 B. 大小不相同的图形 C. 能够重
合的图形 D. 大小相同的图形
【答案】 A
【考点】相似图形
【解析】【解答】解：相似图形是形状相同的图形，大小可以相同，也可以不同，
故选A．
【分析】根据相似形的定义直接进行判断即可．
4. ( 3分 ) 如图，在△ABC中，点D是BC边上任一点，点F，G，E分别是AD，BF，CF的中点，连结
GE，若△FGE的面积为8，则△ABC的面积为( )
学科网（北京）股份有限公司A. 32 B. 48 C. 64 D. 72
【答案】 C
【考点】三角形的角平分线、中线和高，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ 点G，E分别是BF，CF的中点，
1
∴GE∥BC，GE= BC，
2
∴△FEG∽△FBC，
∴ ，
∵ △FGE的面积为8 ，
∴△FBC的面积为32，
∵点F是AD的中点，
∴S =S ， S =S ，
△AFB △FBD △ACF △CDF
∴S +S =S +S =S =32，
△AFB △ACF △FBD △CDF △FBC
∴S =S +S +S =64.
△ABC △AFB △ACF △FBC
故选C.
1
【分析】根据三角形中位线定理可得GE∥BC，GE= BC，利用平行线可证△FEG∽△FBC，利用相似三角
2
形的性质可得 ， 从而可得△FBC的面积为32.根据三角形的等底同高可得
S =S ， S =S ， 从而可得S +S =S +S =S =32，由
△AFB △FBD △ACF △CDF △AFB △ACF △FBD △CDF △FBC
学科网（北京）股份有限公司S =S +S +S 即可求出结论.
△ABC △AFB △ACF △FBC
5. ( 3分 ) 已知△ABC的三边长分别为6cm ， 7.5cm ， 9cm ， △DEF的一边长为4cm ， 当
△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（ ）
A. 2 cm，3 cm B. 4 cm，5 cm C. 5 cm，6 cm D. 6 cm，7 cm
【答案】 C
【考点】相似三角形的判定
【解析】解答：设△DEF的另两边为xcm，ycm，
若△DEF中为4cm边长的对应边为6cm，
则： = = ，
解得：x=5，y=6；
若△DEF中为4cm边长的对应边为7.5cm，
则： = = ，
解得：x=3.2，y=4.8；
若△DEF中为4cm边长的对应边为9cm，
则： = =
解得：x= ，y= ；
故选C ．
分析：根据三边对应成比例的三角形相似，即可求得．注意△DEF中为4cm边长的对应边可能是6cm或
7.5cm或9cm，所以有三种情况．
6. ( 3分 ) 如图，在正方形ABCD中，G为CD的中点，连结AG并延长，交BC边的延长线于点E，对角
线BD交AG于点F，已知AF=2，则线段AE的长是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】 B
【考点】正方形的性质，相似三角形的性质，三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝CD ， AB∥CD ，
∴∠ABF＝∠GDF ， ∠BAF＝∠DGF ，
∴△ABF∽△GDF ，
AF AB
= ，
FG DG
1
∴FG＝ AF＝1，
2
∴AG＝3．
∵CG∥AB ， AB＝CD=2CG ，
∴CG为△EAB的中位线，
∴AE＝2AG＝6．
故答案为：B ．
【分析】根据正方形的性质可得出AB∥CD ， 进而可得出△ABF∽△GDF ， 由相似三角形的性质可得
AF AB
出 = ＝2，结合AF＝2可求出FG、AG的长度，由CG∥AB、AB＝2CG可得出CG为△EAB的中位
FG DG
线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度．
7. ( 3分 ) 已知抛物线y=–x2+1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的
平行线交二次函数图像于点B，分别过点B，A作x轴的垂线，垂足分别为C，D，连接PA，PD,PD交AB
于点E，△PAD与△PEA相似吗？（ ）
A. 始终相似 B. 始终不相似
C. 只有AB=AD时相似 D. 无法确定
学科网（北京）股份有限公司【答案】 A
【考点】相似三角形的判定与性质，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：令x=0，则y=1，
∴OP=1，
设A（m，﹣m2+1），即AD=﹣m2+1，
∵AB⊥y轴，AD⊥x轴，
∴AF=OD=m，OF=﹣m2+1，PF=m2 ，
在Rt△PAF中，PA2=PF2+AF2=（m2）2+m2=m4+m2 ，
在Rt△POD中，PD= √OP2+OD2=√1+m2 ，
由AB∥x轴得，△PEF∽△PDO，
PF PE
∴ = ，
OP PD
m2 PE
即 = ，
1 √1+m2
解得PE=m2 √1+m2 ，
∴PA2=PD·PE= m4+m2 ，
PA PE
∴ = ，
PD PA
∵∠APE=∠DPA，
∴△PAD∽△PEA，
则△PAD与△PEA始终相似.
故答案为：A.
【分析】根据抛物线与y轴交点的坐标特点求出点P的坐标，从而求出OP的长，根据点的坐标与图形的
性质设点A的坐标为A（m，﹣m2+1），根据矩形的性质及点到坐标轴的距离公式即可得出AF=OD=m，
OF=﹣m2+1，进而根据线段的和差得出PF=m2 ， 在Rt△POD中，根据勾股定理表示出PD，根据平行于
三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△PEF∽△PDO，根据相似三角形对应边
PF PE
成比例得出 = ，根据比例式表示出PE的长，在Rt△PAF中根据勾股定理表谁出PA2 ， 进而即
OP PD
PA PE
可得出PA2=PD·PE，即 = ， 根据两组边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似得出
PD PA
学科网（北京）股份有限公司△PAD∽△PEA，故△PAD与△PEA始终相似.
8. ( 3分 ) 如图，在平面直角坐标系中，动点A、B分别在x轴上和函数y=x的图象上，AB＝4，
CB⊥AB，BC＝2，则OC的最大值为（ ）
A. 2 √2 ＋2 B. 2 √2 ＋4 C. 2 √5 D. 2 √5 ＋2
【答案】 A
【考点】勾股定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：作以B为圆心，以2为半径的圆，
当OC∥AB时最大，此时OC与圆B相切，
过B作BE⊥x轴于E，过A作AD⊥OC于D，
∵BC⊥AB，OC⊥BC，
∴四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=2，CD=AB=4，
点B在y=x上，点A在x轴上，
设A（n，0），B（m，m），
∵∠OAD+∠BAE=90°，∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠OAD=∠ABE，
学科网（北京）股份有限公司又∠ODA=∠AEB=90°，
∴△AOD∽△BAE，
AD OA 2 n
∴ = 即 = ，
BE AB m 4
∴ mn=8
在RtABE中，
AE=m-n，
由勾股定理得： (m-n) 2+m2=16 ，
2m2−2mn+n2=16 ，
2m2+n2=32 ，
2m2+n2=32
{ ，
mn=8
8 2
2m2+( ) =32 ，
m
2m4+64=32m2 ，
m4−16m2+32=0 ，
，
m2=8卤4√2 ，
∵2 < m < 4，
∴4 < m2 < 16，
m2=8+4√2 ，
在Rt△OAD中，
OD= ，
，
=√28−2m2 ，
=√28−2(8+4√2) ，
=√12−8√2 ，
学科网（北京）股份有限公司=√ (2√2−2) 2 ，
，
∴OD ，
OC=OD+DC= ，
故答案为：A.
【分析】作以B为圆心，以2为半径的圆，当OC // AB时最大，此时OC与圆B相切，过B作BE⊥x轴于
E，过A作AD⊥OC于D，可证四边形ABCD为矩形，可得AD=BC=2，CD=AB=4，由点B在y=x上，点
2 n
A在x轴上，设A (n, 0)，B (m,m)，可证∠AOD∽△BAE，由相似三角形的性质可得 = ， 即mn=8，
m 4
由勾股定理得：(m-n)2+m2=16，联立解得 ， 由2<m<4，可确定m2=8+4√2 ， 在
Rt△OAD中，由勾股定理OD= ， 则由线段和差关系求得OC长.
9. ( 3分 ) 如图，在矩形 ABCD 中， AB=3 ， AD=4 ， CE 平分 ，与对角线 BD 相交于
5 25
N F CE OF= ON=
点 ， 是线段 的中点，则下列结论中：① 6 ；② 26 ；③ ；④
，正确的有（ ）个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
学科网（北京）股份有限公司【答案】 C
【考点】矩形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理
【解析】【解答】如图，过点E作 ，
∵CE是 的角平分线， ， ，
∴BE=EG，
∴GC=BC=4，
又∵ AB=3 ， AD=4 ，
∴AC=5，
∴AG=1，
在Rt△AGE中，
，
5 4
得 AE= ， BE= ，
3 3
∵O、F分别是AC、EC的中点，
∴ ，
∴ ，
OF OC 1
∴ = = ，
AE AC 2
1 5
∴ OF= AE= ，故①符合题意；
2 6
由 得 ，
学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
25
∴ NO= ，故②符合题意；
26
4√10
∵ EC=√EB2+BC2= ，
3
∴ ，故④不符合题意；
25
∵ NO= ，
26
20
∴ BN= ，
13
ON 5
∴ = ，
BN 8
∴△NOF与△NBE的相似比是 ，
，
∵
∴ ，
同理可得： ，
学科网（北京）股份有限公司∴ ，故③符合题意；
故答案选：C．
【分析】过点E作 ，证明 ，可得到①，根据平行证出 ，根
据比例可得到②，根据勾股定理求出EC，再由正弦的意义可得出④，根据已知线段的长度，可求出
△NOF与△NBE的相似比是 ，分别计算△NOF和△OFC的面积相加即可；
10. ( 3分 ) 在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD边上的两个动点，∠EAF＝45°，下列几个结论中：
①EF＝BE＋DF；②MN2＝BM2＋DN2；③FA平分∠DFE；④连接MF，则△AMF为等腰直角三角形；
⑤∠AMN＝∠AFE. 其中一定成立的结论有（ ）
A. 2个 B. 3个
C. 4个
D. 5个
【答案】 D
【考点】三角形全等的判定，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD正方形，
∴AB=AD， ，
∴将 绕点A逆时针旋转 90掳 得到 ，如图所示，
则AH=AE， ，
∴ ，
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵AF=AF，
∴ ，
∴EF=FH=DF+DH=DF+BE，故①正确；
如图所示，
将 绕点A逆时针旋转 90掳 得到 ，连接NG，易证 ， 是
直角三角形，
∴MN=GN，
∴ M N2=NG2=DN2+DG2=DN2+BM2 ,故②正确；
由①可得， ，
∴ ，
∴FA平分∠DFE，故③正确；
∵BD是正方形ABCD的对角线，
学科网（北京）股份有限公司∴∠BDC=45°，
∵∠MAN=45°，
∴∠BDC=∠MAN，
∴点A，M，F，D四点共圆，
∵∠ADF=90°，
∴∠AMF=90°，
∴则△AMF为等腰直角三角形，故④正确；
由∠MAN＝∠FDN=45°， ，可得到 ，
∴ ,
又∵ ，
∴∠AMN＝∠AFE，故⑤正确；
故答案为：D.
【分析】通过图形的旋转，得到 ，证明 ，可得①正确；将 绕点A逆
时针旋转 90掳 得到 ，连接NG，证得 ，可得②正确；根据
可得③正确；由∠BDC=∠MAN=45°，可得点A，M，F，D四点共圆，进而可得到④正
确；通过证明三角形相似可得⑤正确；
二、填空题
4 k
11. ( 4分 ) 如图，一次函数 y= x+b 的图象与y轴交于点 B(0,3) ，与反比例函数 y= (x<0) 的
3 x
学科网（北京）股份有限公司图象交于点 D(m,n) ．以 BD 为对角线作矩形 ABCD ，使顶点 A ， C 落在 x 轴上（点 A 在点
C 的右边）， BD 与 AC 交于点 E ．则 k= ________．
27
【答案】
2
【考点】矩形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点D作DF∥x轴，交y轴于点F，如图所示．
4
∵直线 y= x+b 经过点 ，
3
∴ b=3 ．
∴OB=3．
4
∴一次函数的解析式为 y= x+3 ．
3
∵四边形ABCD是矩形，
1
∴ BE=DE= BD ．
2
∵ DF//x 轴，
∴ ．
BO BE 1
∴ = = ．
BF BD 2
1
∴ BO= BF ．
2
学科网（北京）股份有限公司∴点O是BF的中点．
∴OF=OB=3．
∴ ．
∴ ．
4
∵点 在直线 y= x+3 上，
3
∴
解得， ．
∴ ．
k
y= (x<0)
∵点 在双曲线 x 上，
∴ ．
27
故答案为： ．
2
4
y= x+3
【分析】先求出一次函数的解析式为 3 ，再求出 ， 最后求解即可。
12. ( 4分 ) 如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=4，BD=5,则边AC的长为
________．
【答案】 6
【考点】相似三角形的判定与性质
学科网（北京）股份有限公司【解析】【解答】解：∵ ∠ADC=∠ACB，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
AC AD
∴ =
AB AC
∵
AD=4，BD=5 ，
∴AB=9，
AC 4
∴ = ，
9 AC
∴AC=6.
故答案为：6.
【分析】根据两角分别相等的两个三角形相似，可证△ACD∽△ABC，由相似三角形对应边成比例，可得
AC AD
= ， 代入相应数据计算即得.
AB AC
13. ( 4分 ) 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：
4，则S△BDE：S△ACD＝________.
【答案】 1：20
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵S ：S ＝1：4，
△BDE △DEC
∴BE：EC＝1：4，
∴BE：BC＝1：5，
学科网（北京）股份有限公司∵DE∥AC，
∴△BED∽△BCA，
BE 2 1
( )
∴ ＝ BC ＝ 25 ，
设S ＝k，则S ＝4k，S ＝25k，
△BED △DEC △ABC
∴S ＝20k，
△ADC
∴S ：S ＝1：20.
△BDE △DCA
故答案为：1：20.
【分析】根据相似三角形的判定“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三
角形与原三角形相似”可得△BED∽△BCA，再由相似三角形的面积的比等于相似比的平方可得
可求解.
14. ( 4分 ) 在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 (1,3) ，点 B 的坐标为 (3,1) ，在第三象限内作与
位似的 ，点 A 的对应点为点 C ， 与 的位似比为 1:3 ，则点 C 的
坐标为________．
1
【答案】 (- ,-1)
3
【考点】位似变换
【解析】【解答】解：∵ 与 位似，点 A 的对应点为点 C ， 与 的位
似比为 1:3 ，
∵点 A 的坐标为 (1,3) ，点 C 在第三象限内，
1
C 3脳(- )=-1
∴点 的横纵坐标分别为： ， 3 ；
1
∴点 C 的坐标为 (- ,-1) ；
3
1
故答案为： (- ,-1) ；
3
【分析】根据相似和点C所在的象限求解即可。
学科网（北京）股份有限公司15. ( 4分 ) 如图，在 中，
AC=BC=5
，
AB=6
，点D为AC上一点，作
DE//AB
交BC
于点E ， 点C关于DE的对称点为点O ， 以OA为半径作⊙O恰好经过点C ， 并交直线DE于点
M ， N则MN的值为________．
25√3
【答案】
8
【考点】垂径定理，轴对称的性质，相似三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OC，延长CO交AB于H，交圆于F，连接BF，再连接OC、OM，OC
交MN于K，
∵△ACB为等腰三角形，
∴CH⊥AB，
CH= =√52−32 =4，
∵∠FBC=∠BHC=90°，∠BCH=∠BCF，
∴△BHC∽△FBC，
∴BC：CH=CF：BC，
，
学科网（北京）股份有限公司25
∴OM= ，
8
∵ 点C关于DE的对称点为点O，
25
∴OK=KC= ，
16
∴MK= ，
25√3
∴MN=2MK= .
8
25√3
故答案为： .
8
【分析】连接OC，延长CO交AB于H，交圆于F，连接BF，再连接OC、OM，OC交MN于K，根据
等腰三角形的性质，先求出CH的长，再利用相似三角形的性质求出CF的长，则知圆的半径的长，再由对
称的性质得出OK的长，然后根据勾股定理即可求出MK的长，则知MN的长.
16. ( 4分 ) 如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，N是斜边AB上方一点，连接BN，
点D是BC的中点，DM垂直平分BN，交AB于点E，连接DN，交AB于点F，当△ANF为直角三角形时，
线段AE的长为________．
28
【答案】 6或
5
【考点】线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】如图1中，当∠AFN＝90°时，
学科网（北京）股份有限公司在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，AC＝4，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝8，BC＝ √3 AC＝4 √3 ，
∵∠AFN＝∠DFB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠FDB＝60°，
∵CD＝DB＝2 √3 ，
1
∴DF＝ BD＝ √3 ，
2
∵DM垂直平分线段BN，
∴DB＝DN，
∴∠FDN＝∠EDB＝∠EBD＝30°，
∴DE＝EB，
∵DE＝ ＝2，
∴BE＝DE＝2，
∴AE＝AB﹣BE＝8﹣2＝6．
如图2中，当∠ANF＝90°时，连接AD，CN交于点O，过点E作EH⊥DB于H．设EH＝x，则BH＝ √3
x，DH＝2 √3 ﹣ √3 x．
∵AC＝AN，CD＝DN，
学科网（北京）股份有限公司∴AD垂直平分线段CN，
∴∠AON＝90°，
∵CD＝DB，MN＝BM，
∴DM∥CN，
∴∠ADM＝∠AON＝90°，
∵∠ACD＝∠EHD＝90°，
∴∠ADC+∠EDH＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，
∴∠ADC＝∠DEH，
∴△ACD∽△DHE，
AC CD
∴ = ，
DH EH
2√3
∴ ＝ x ，
6
解得x＝ ，
5
12
∴BE＝2x＝ ，
5
12 28
∴AE＝AB﹣BE＝8﹣ ＝ ，
5 5
28
综上所述，满足条件的AE的值为6或 ．
5
28
故答案为6或 ．
5
【分析】分两种情形：如图1中，当∠AFN＝90°时．如图2中，当∠ANF＝90°时，分别求解即可解决问
题．
17. ( 4分 ) 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝16，点D在边BC上，点E在边AB上，沿DE
将△ABC折叠，使点B与点A重合，连接AD ， 点P是线段AD上一动点，当半径为5的⊙P与△ABC
的一边相切时，AP的长为________．
学科网（北京）股份有限公司25 15
【答案】 或
3 4
【考点】直线与圆的位置关系，翻折变换（折叠问题），相似三角形的性质，三角形-动点问题
【解析】【解答】解：设BD＝x ， 由折叠知AD＝BD＝x ， CD＝16﹣x ，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，x2＝82+（16﹣x）2 ，
解得，x＝10，
∴CD＝10，
∵AB＝ √AC2+BC2 = √82+162 = 8√5 ，
1
∴AE＝BE＝ AB＝ 4√5 ，
2
∴DE＝ √102-(4√5) 2=2√5<5 ，
∴点P是线段AD上运动时，⊙P不可能与AB相切，
分两种情况：①当⊙P与AC相切时，过点P作PF⊥AC于点F ， 如图1，
∴PF＝5，PF∥CD ，
∴△APF∽△ADC ，
AP PF AP 5
∴ = ，即 = ，
AD CD 10 6
25
∴ AP= ；
3
②⊙P与BC相切时，过点P作PG⊥BC于点G ， 如图2，
∴PG＝5，PG∥AC ，
∴△DPG∽△DAC ，
学科网（北京）股份有限公司DP PG DP 5
∴ = ，即 = ，
DA AC 10 8
25
∴DP＝ ，
4
25 15
∴AP＝10﹣ = ，
4 4
25 15
综上，AP的长为 或 ．
3 4
【分析】设BD＝x ， 由折叠性质得AD与CD ， 在Rt△ACD中由勾股定理列出x的方程，进而求得
DE ， 得出⊙P不能与AB相切，进而分两种情况：⊙P与AC相切和⊙P与BC相切，过P作切线的垂线
段，再根据相似三角形的比例线段便可求得结果．
18. ( 4分 ) 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，点P为边AC上一点，且AP＝5cm．点Q
为边AB上的任意一点（不与点A，B重合），若点A关于直线PQ的对称点A'恰好落在△ABC的边上，
则AQ的长为________cm．
50
【答案】 或4
11
【考点】勾股定理，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，
∴BC＝6cm，
①若点A'落在BC上，如图：
点A关于直线PQ的对称点A'，
∵点A关于直线PQ的对称点A'，
∴A'Q＝AQ，AP＝A'P，
∵AP＝5，
∴PC＝3，A'C＝4，A'B＝2，
∴A'A＝4 √5 ，
学科网（北京）股份有限公司作A'H垂直AB，由勾股定理可得：
，
设AQ＝AQ'＝x，BH＝y，
∴ ，
50
x=
11
解得： { ，
6
y=
5
50
故AQ的长为 ．
11
②若点A'落在AB上，如图：
∵点A关于直线PQ的对称点A'，
∴PQ⊥AB，
∴△APQ～△ABC，
AP AQ
∴ = ，
AB AC
5 AQ
∴ = ，
10 8
∴AQ＝4．
50
综上所述：若点A关于直线PQ的对称点A'恰好落在△ABC的边上，则AQ的长为 或4cm．
11
50
故答案为 或4．
11
【分析】由对称可知AP=A'P，AQ=A'Q，由勾股定理可计算A'C，A'P，作A'H⊥AB构造直角三角形，用
勾股定理列方程组即可计算AQ的长．
三、解答题
学科网（北京）股份有限公司19. ( 5分 ) 如图,小丽在观察某建筑物AB．
（1）请你根据小亮在阳光下的投影,画出建筑物AB在阳光下的投影．
（2）已知小丽的身高为1.65m,在同一时刻测得小丽和建筑物AB的投影长分别为1.2m和8m,求建筑物AB
的高．
【答案】 解：（1）如图:
（2）如图,因为DE,AB都垂直于地面,且光线DF∥AC,
所以Rt△DEF∽Rt△ABC,
DE EF
所以 = ,
AB BC
1.65 1.2
即 = ,所以AB=11（m）．
AB 8
即建筑物AB的高为11m．
【考点】相似三角形的应用
【解析】【分析】考查相似三角形的应用．因为在同一时刻物高与影长成正比例,所以解题的关键是将实际
学科网（北京）股份有限公司问题转化为数学问题．
20. ( 11分 ) 如图 ，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上， ，垂足为点E，
，垂足为点F.
AG
（1）发现问题：在图 中， 的值为________.
BE
（2）探究问题：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转 角 ，如图 所示，探究线
段AG与BE之间的数量关系，并证明你的结论.
（3）解决问题：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图 所示，延长CG
交AD于点H；若 AG=6 ， GH=2√2 ，直接写出BC的长度.
【答案】 （1）√2
（2）解： AG=√2BE ，
理由如下：
如图 ，
四边形ABCD，四边形GECF是正方形，
， ，
学科网（北京）股份有限公司， ，
，
AC
=√2
， BC ，
，且 ，
∽ ，
，
即 AG=√2BE ，
（3）解：如图 ，过点H作 于点M，
四边形ABCD，四边形GECF是正方形，
， ，
，
为等腰直角三角形，
，
学科网（北京）股份有限公司，
在 中，
AH=√AM2+HM2=2√5 ，
，且
∽
，
6 2√2
即 = ，
AC 2√5
，
在 中，
√2
BC= AC=3√5 ，
2
的长度为 3√5 .
【考点】正方形的性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质
【解析】【解答】（1） 四边形ABCD是正方形，
， ，
，
， ，
，
，
学科网（北京）股份有限公司，
，
故答案为： √2
AB//GE
【分析】（1）由正方形的性质可得 ， ，可证 ，
AG CG
，可得 GC=√2EC ，由平行线分线段成比例可得 = =√2 ；（2）由正方形
BE CE
AG AC
的性质可得 ，即可证 ∽ ，可得 = =√2 ，则 AG=√2BE ；（3）
EB BC
过点H作 于点M，构造等腰 ，利用HG的长度分别求出HM，GM，AH的长度，再
利用 与 相似即可求出AC的长度，进一步求出BC的长度.
21. ( 10分 ) 如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足
∠DEF=∠B，且点D．F分别在边AB、AC上．
（1）求证：△BDE∽△CEF；
（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．
【答案】 （1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠BDE=180°﹣∠B﹣∠DEB，
∠CEF=180°﹣∠DEF﹣∠DEB，
∠DEF=∠B，
∴∠BDE=∠CEF，
学科网（北京）股份有限公司∴△BDE∽△CEF
（2）证明：∵△BDE∽△CEF，
BE DE
∴ = ，
CF EF
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE，
CE DE
∴ = ，
CF EF
∵∠DEF=∠B=∠C，
∴△DEF∽△CEF，
∴∠DFE=∠CFE，
∴FE平分∠DFC
【考点】等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的内角和和平角的定义得到
∠BDE=∠CEF，利用相似三角形的判定方法可得结论；
（2）根据相似三角形的性质得到BE：CF＝DE：EF，然后根据线段中点定义可得BE=CE，等量代换得到
CE：CF＝DE：EF，根据相似三角形的判定即可得角相等，从而得到结论.
22. ( 5分 ) 如图，△ABC中， ，
AB=2AC
．点P在△ABC内，且
，求△ABC的面积．
【答案】 解：如图，作△ABQ， 使得
学科网（北京）股份有限公司则△ABQ∽△ACP .由于
AB=2AC
，所以相似比为2.于是 ．
.由
AQ:AP=2:1
知， ，
于是 PQ=√3AP=3 ．所以 BP2=25=BQ2+PQ2 ，从而 ．于是
AB2=PQ2+(AP+BQ) 2=28+8√3
.故 ．
【考点】三角形的面积，相似三角形的判定与性质
1
【解析】【分析】通过旋转把PA 、PB、PC组合到一个直角三角形中，运用三角形面积公式S= absinC
2
,可求出面积.
23. ( 5分 ) 附加题：
如图，在 中， AB=AC ， ，垂足为 D ， E 、 G 分别为 AD 、 AC 的中点，
，垂足为 F ，求证： FG=DG ．
【答案】 证明：连接 AF 、 CF ，
学科网（北京）股份有限公司∵AD⊥BC，DF⊥BE
∴∠BFD=∠DFE=∠BDE=90°，
∴∠BDF+∠FDE=∠FBD+∠BDF =90°，
∴∠FDE=∠FBD
∴ ，
BD DF
∴∠BDF=∠DEF， = ，
DE EF
∴180°-∠BDF=180°-∠DEF
即∠FDC=∠FEA
∵E是AD的中点
∴AE=DE
∵AB=AC，AD⊥BC
∴BD=CD
CD BD
∴ =
AE DE
CD DF
∴ =
AE EF
∴
∴∠AFE=∠CFD
∴∠AFE+∠EFC=∠CFD+∠EFC
即∠AFC=∠EFD=90°，
又∵G是AC的中点，
1
∴在Rt△AFC中， FG= AC
2
学科网（北京）股份有限公司1
在Rt△ADC中， DG= AC
2
∴ FG=DG ．
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】先证明 ，再求出 ∠AFE=∠CFD ，最后计算求解即可。
四、综合题
24. ( 12分 ) 抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若
∠MNC＝90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．
（3）如图2，将抛物线平移，使其顶点E与原点O重合，直线y＝kx+2（k＞0）与抛物线相交于点P、Q
（点P在左边），过点P作x轴平行线交抛物线于点H，当k发生改变时，请说明直线QH过定点，并求
定点坐标．
【答案】 （1）解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A、C，
把点A（﹣1，0），C（0，﹣3）代入，得： ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）解：如图，作CH⊥EF于H，
学科网（北京）股份有限公司∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标E（1，﹣4），
设N的坐标为（1，n），﹣4≤n≤0
∵∠MNC＝90°，
∴∠CNH+∠MNF＝90°，
又∵∠CNH+∠NCH＝90°，
∴∠NCH＝∠MNF，
又∵∠NHC＝∠MFN＝90°，
∴Rt△NCH∽△MNF，
CH HN
∴ = ，
NF FM
即
3 2 5
解得：m＝n2+3n+1＝ (n+ ) m:sm:s− ，
2 4
∴当 时，m最小值为 ；
当n＝﹣4时，m有最大值，m的最大值＝16﹣12+1＝5．
∴m的取值范围是 ．
（3）解：设点P（x ， y），Q（x ， y），
1 1 2 2
∵过点P作x轴平行线交抛物线于点H，
∴H（﹣x ， y），
1 1
学科网（北京）股份有限公司∵y＝kx+2，y＝x2 ，
消去y得，x2﹣kx﹣2＝0，
x+x＝k，xx＝﹣2，
1 2 1 2
设直线HQ表达式为y＝ax+t，
将点Q（x ， y），H（﹣x ， y）代入，得 ，
2 2 1 1
∴y﹣y＝a（x+x），即k（x x）＝ka，
2 1 1 2 2﹣ 1
∴a＝x x ，
2﹣ 1
∵ x2 ＝（ x﹣x）x+t，
2 2 1 2
∴t＝﹣2，
∴直线HQ表达式为y＝（ x﹣x）x﹣2，
2 1
∴当k发生改变时，直线QH过定点，定点坐标为（0，﹣2）．
【考点】二次函数的最值，相似三角形的判定与性质，二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出抛物线的顶点坐标，设点N坐标为（1，n），由已知点N是线段EF上一点可得﹣4≤n≤0，根
据已知条件易证得△NCH∽△MNF，利用相似的性质可得m关于n的函数关系式，利用二次函数的增减性
可得m的最小值；当N与E重合时，求得m的最大值，故可得m的取值范围。
（3）设直线HQ表达式为y＝ax+t，抛物线平移后的解析式为y=x2。设点P（x ， y），Q（x ，
1 1 2
y），由抛物线的轴对称性可得H（﹣x ， y），然后由待定系数法和勾股定理可得a＝x﹣x ，
2 1 1 2 1
t=-2，可得HQ过定点（0，-2）。
25. ( 10分 ) 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，点D从点C出发，以2cm/s 的速度
沿折线C→A→B向点B运动，同时点E从点B出发，以1cm/s的速度沿BC边向点C运动，设点E运动的
时间为t（单位：s）（0＜t＜8）.
（1）当△BDE 是直角三角形时，求t的值；
（2）若四边形CDEF是以CD、DE为一组邻边的平行四边形，①设它的面积为S，求S关于t的函数关系
式；②是否存在某个时刻t，使平行四边形CDEF为菱形?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
学科网（北京）股份有限公司【答案】 （1）解：如图1，当∠BED=90°时，△BDE是直角三角形，
则BE=t，AC+AD=2t，
∴BD=6+10-2t=16-2t，
∵∠BED=∠C=90°，
∴DE∥AC，
∴ ，
∴ ，
3t
∴DE= ，
4
DE 3
∵sinB= = ，
BD 5
∴ ，
64
t= ；
13
如图2，当∠EDB=90°时，△BDE是直角三角形，
则BE=t，BD=16-2t，
学科网（北京）股份有限公司cosB= ，
∴ ，
40
∴t= ；
7
64 40
答：当△BDE是直角三角形时，t的值为 或
13 7
（2）解：①如图3，当0＜t≤3时，BE=t，CD=2t，CE=8-t，
1
∴S =2S =2× ×2t×（8-t）=-2t2+16t，
▱CDEF △CDE 2
如图4，当3＜t＜8时，BE=t，CE=8-t，过D作DH⊥BC，垂足为H，
∴DH∥AC，
∴ ，
∴ ，
3(16−2t)
∴DH= ，
5
学科网（北京）股份有限公司1 3(16−2t) 6 96 384
∴S =2S =2× ×CE×DH=CE×DH=（8-t）× = t2− t+ ；
▱CDEF △CDE 2 5 5 5 5
∴S于t的函数关系式为：当0＜t≤3时，S=-2t2+16t，
6 96 384
当3＜t＜8时，S= t2− t+ ；
5 5 5
②存在，如图5，当 ▱CDEF为菱形时，DH⊥CE，
由CD=DE得：CH=HE，
4(16−2t)
BH= 5 ，BE=t，EH= ，
∴BH=BE+EH，
4(16−2t)
∴ 5 =t+ ，
88
∴t= ，
21
88
即当t= 时， ▱CDEF为菱形．
21
【考点】菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）因为 △BDE 是直角三角形有两种情况：
① 当∠BED=90°时， 可得 DE∥AC， 根据平行于三角形一边的直线和其它两边（或其延长线）相交，
所构成的三角形与原三角形相似 可得 ,于是可得比例式将DE用含t的代数式表示，再根
DE
据 sinB= 可得关于t的方程，解方程即可 求解 ；
BD
② 当∠EDB=90°时，同理可求解；
（2）① 当0＜t≤3时， S =2S 可得s与t的关系式； 当3＜t＜8时， 过D作DH⊥BC，
▱ CDEF △CDE
学科网（北京）股份有限公司垂足为H，根据 平行于三角形一边的直线和其它两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相
似 可得 ,于是可得比例式将DH用含t的代数式表示，则 S =2S 可得s与t
▱ CDEF △ CDE
的关系式； 当3＜t＜8时，同上；
② 存在，当 ▱CDEF为菱形时，DH⊥CE， 根据 BH=BE+EH可得关于t的方程， 解方程即可求解。
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