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第二十七章 相似三角形 培优卷
满分 120分
一、单选题
1. ( 3分 ) 已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长分别为24、36，则
它们对角线AC与A′C′的比为（ ）
A. 2：3 B. 3：2 C. 4：9 D. 9：4
【答案】 A
【考点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC、A′C′
∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，
∴ = ，∠B=∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′，
24 2
∴ = = 36 = 3 ，
故答案为：A．
【分析】连接AC、A′C′,根据已知易证△ABC∽△A′B′C′，就可证得对角线之比等于相似比，然后根据周长
比等于相似比，可解答。
2. ( 3分 ) 如图，已知DE为△ABC的中位线，△ADE的面积为3，则四边形DECB的面积为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. 6 B. 8 C. 9 D. 12
【答案】 C
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，2DE＝BC，
∴△ADE∽△ABC，
DE 1
∴ ＝（ BC ）2＝ 4 ，
∴S ＝4S ＝12，
△ABC △ADE
∴四边形DECB的面积为12﹣3＝9，
故答案为：C.
【分析】利用三角形中位线定理可证得DE∥BC，2DE＝BC，可以推出△ADE∽△ABC，再利用相似三角
形的面积比等于相似比的平方，就可求出△ABC的面积，然后求出四边形DECB的面积。
3. ( 3分 ) “相似的图形”是（ ）
A. 形状相同的图形 B. 大小不相同的图形 C. 能够重
合的图形 D. 大小相同的图形
【答案】 A
【考点】相似图形
【解析】【解答】解：相似图形是形状相同的图形，大小可以相同，也可以不同，
故选A．
【分析】根据相似形的定义直接进行判断即可．
4. ( 3分 ) 如图，在△ABC中，点D是BC边上任一点，点F，G，E分别是AD，BF，CF的中点，连结
GE，若△FGE的面积为8，则△ABC的面积为( )
学科网（北京）股份有限公司A. 32 B. 48 C. 64 D. 72
【答案】 C
【考点】三角形的角平分线、中线和高，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ 点G，E分别是BF，CF的中点，
1
∴GE∥BC，GE= BC，
2
∴△FEG∽△FBC，
∴ ，
∵ △FGE的面积为8 ，
∴△FBC的面积为32，
∵点F是AD的中点，
∴S =S ， S =S ，
△AFB △FBD △ACF △CDF
∴S +S =S +S =S =32，
△AFB △ACF △FBD △CDF △FBC
∴S =S +S +S =64.
△ABC △AFB △ACF △FBC
故选C.
1
【分析】根据三角形中位线定理可得GE∥BC，GE= BC，利用平行线可证△FEG∽△FBC，利用相似三角
2
形的性质可得 ， 从而可得△FBC的面积为32.根据三角形的等底同高可得
S =S ， S =S ， 从而可得S +S =S +S =S =32，由
△AFB △FBD △ACF △CDF △AFB △ACF △FBD △CDF △FBC
学科网（北京）股份有限公司S =S +S +S 即可求出结论.
△ABC △AFB △ACF △FBC
5. ( 3分 ) 已知△ABC的三边长分别为6cm ， 7.5cm ， 9cm ， △DEF的一边长为4cm ， 当
△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（ ）
A. 2 cm，3 cm B. 4 cm，5 cm C. 5 cm，6 cm D. 6 cm，7 cm
【答案】 C
【考点】相似三角形的判定
【解析】解答：设△DEF的另两边为xcm，ycm，
若△DEF中为4cm边长的对应边为6cm，
则： = = ，
解得：x=5，y=6；
若△DEF中为4cm边长的对应边为7.5cm，
则： = = ，
解得：x=3.2，y=4.8；
若△DEF中为4cm边长的对应边为9cm，
则： = =
解得：x= ，y= ；
故选C ．
分析：根据三边对应成比例的三角形相似，即可求得．注意△DEF中为4cm边长的对应边可能是6cm或
7.5cm或9cm，所以有三种情况．
6. ( 3分 ) 如图，在正方形ABCD中，G为CD的中点，连结AG并延长，交BC边的延长线于点E，对角
线BD交AG于点F，已知AF=2，则线段AE的长是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】 B
【考点】正方形的性质，相似三角形的性质，三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝CD ， AB∥CD ，
∴∠ABF＝∠GDF ， ∠BAF＝∠DGF ，
∴△ABF∽△GDF ，
AF AB
= ，
FG DG
1
∴FG＝ AF＝1，
2
∴AG＝3．
∵CG∥AB ， AB＝CD=2CG ，
∴CG为△EAB的中位线，
∴AE＝2AG＝6．
故答案为：B ．
【分析】根据正方形的性质可得出AB∥CD ， 进而可得出△ABF∽△GDF ， 由相似三角形的性质可得
AF AB
出 = ＝2，结合AF＝2可求出FG、AG的长度，由CG∥AB、AB＝2CG可得出CG为△EAB的中位
FG DG
线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度．
7. ( 3分 ) 已知抛物线y=–x2+1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的
平行线交二次函数图像于点B，分别过点B，A作x轴的垂线，垂足分别为C，D，连接PA，PD,PD交AB
于点E，△PAD与△PEA相似吗？（ ）
A. 始终相似 B. 始终不相似
C. 只有AB=AD时相似 D. 无法确定
学科网（北京）股份有限公司【答案】 A
【考点】相似三角形的判定与性质，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：令x=0，则y=1，
∴OP=1，
设A（m，﹣m2+1），即AD=﹣m2+1，
∵AB⊥y轴，AD⊥x轴，
∴AF=OD=m，OF=﹣m2+1，PF=m2 ，
在Rt△PAF中，PA2=PF2+AF2=（m2）2+m2=m4+m2 ，
在Rt△POD中，PD= √OP2+OD2=√1+m2 ，
由AB∥x轴得，△PEF∽△PDO，
PF PE
∴ = ，
OP PD
m2 PE
即 = ，
1 √1+m2
解得PE=m2 √1+m2 ，
∴PA2=PD·PE= m4+m2 ，
PA PE
∴ = ，
PD PA
∵∠APE=∠DPA，
∴△PAD∽△PEA，
则△PAD与△PEA始终相似.
故答案为：A.
【分析】根据抛物线与y轴交点的坐标特点求出点P的坐标，从而求出OP的长，根据点的坐标与图形的
性质设点A的坐标为A（m，﹣m2+1），根据矩形的性质及点到坐标轴的距离公式即可得出AF=OD=m，
OF=﹣m2+1，进而根据线段的和差得出PF=m2 ， 在Rt△POD中，根据勾股定理表示出PD，根据平行于
三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△PEF∽△PDO，根据相似三角形对应边
PF PE
成比例得出 = ，根据比例式表示出PE的长，在Rt△PAF中根据勾股定理表谁出PA2 ， 进而即
OP PD
PA PE
可得出PA2=PD·PE，即 = ， 根据两组边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似得出
PD PA
学科网（北京）股份有限公司△PAD∽△PEA，故△PAD与△PEA始终相似.
8. ( 3分 ) 如图，在平面直角坐标系中，动点A、B分别在x轴上和函数y=x的图象上，AB＝4，
CB⊥AB，BC＝2，则OC的最大值为（ ）
A. 2 √2 ＋2 B. 2 √2 ＋4 C. 2 √5 D. 2 √5 ＋2
【答案】 A
【考点】勾股定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：作以B为圆心，以2为半径的圆，
当OC∥AB时最大，此时OC与圆B相切，
过B作BE⊥x轴于E，过A作AD⊥OC于D，
∵BC⊥AB，OC⊥BC，
∴四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=2，CD=AB=4，
点B在y=x上，点A在x轴上，
设A（n，0），B（m，m），
∵∠OAD+∠BAE=90°，∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠OAD=∠ABE，
学科网（北京）股份有限公司又∠ODA=∠AEB=90°，
∴△AOD∽△BAE，
AD OA 2 n
∴ = 即 = ，
BE AB m 4
∴ mn=8
在RtABE中，
AE=m-n，
由勾股定理得： (m-n) 2+m2=16 ，
2m2−2mn+n2=16 ，
2m2+n2=32 ，
2m2+n2=32
{ ，
mn=8
8 2
2m2+( ) =32 ，
m
2m4+64=32m2 ，
m4−16m2+32=0 ，
，
m2=8卤4√2 ，
∵2 < m < 4，
∴4 < m2 < 16，
m2=8+4√2 ，
在Rt△OAD中，
OD= ，
，
=√28−2m2 ，
=√28−2(8+4√2) ，
=√12−8√2 ，
学科网（北京）股份有限公司=√ (2√2−2) 2 ，
，
∴OD ，
OC=OD+DC= ，
故答案为：A.
【分析】作以B为圆心，以2为半径的圆，当OC // AB时最大，此时OC与圆B相切，过B作BE⊥x轴于
E，过A作AD⊥OC于D，可证四边形ABCD为矩形，可得AD=BC=2，CD=AB=4，由点B在y=x上，点
2 n
A在x轴上，设A (n, 0)，B (m,m)，可证∠AOD∽△BAE，由相似三角形的性质可得 = ， 即mn=8，
m 4
由勾股定理得：(m-n)2+m2=16，联立解得 ， 由2
