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第 28 章 锐角三角形
（能力挑战卷）
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．在 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵在 中， ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
2．如图，已知 中， ，D是 上一点， ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【详解】∵ ， ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，
故选：C．
3．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长
为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为 ，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆
在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ）
A． 米 B．12米 C． 米 D．6米
【答案】A
【详解】解：如图， 交 延长线于点D，作 于点E，
在 中， ， 米，
米， 米，
同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，
，
米，
米，
米，
米，
故选A．4．点 关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵ ，
∴点 ，
所以关于 轴的对称点为 ，
故选：A．
5．锐角α满足 ，且 ，则α的取值范围为（ ）
A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°
【答案】B
【详解】解：∵ ，且 ，
∴45°﹤α﹤90°
∵ ，且
∴0°＜α＜60°
∴45°＜α＜60°．
故选：B．
6．如图，在边长为1的 的正方形网格中， 为 与正方形网格线的交点，下列结论中不正确的是
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意得， ，
，
是直角三角形， ，故B正确，不符合题意；
，故A正确，不符合题意；
，
，
，
，
，
，
，故C错误，符合题意；
，故D正确，不符合题意；
故选：C．7．如图，是某一景区雕像，雕像底部前台 米，台末端点有一个斜坡 长为 米且坡度为 ，
与坡面末端相距 米的地方有一路灯，雕像顶端 测得路灯顶端 的俯角为 ，且路灯高度为 米则，
约为（ ）米．（精确到 米， ， ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，作 于 ，延长 交 于 ，作 于 ，
根据题意， ， ， ， ， ， ，
∴四边形 是矩形，四边形 是矩形，
和 为直角三角形，
∴ ， ， ， ，
∵斜坡 长为 米且坡度为 ，
∴在 中， ， ，
∴ ，
解得： 或 （不合题意，舍去），
∴ ，
在 中， ，
∴
，∴
（米）．
故选：B．
8．如图，将矩形 绕点A旋转至矩形 的位置，此时 的中点恰好与 点重合， 交
于点．若 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由旋转的性质可知： ，
为 的中点，
，
是矩形，
， ， ，
∴ ，
，
，
，根据旋转可知， ，
，
∴ ，
，
，
， ，
∴ ，
，故B正确．
故选：B．
9．如图，工人师傅准备从一块斜边 长为 的等腰直角 材料上裁出一块以直角顶点 为圆心
的面积最大的扇形，然后用这块扇形材料做成无底的圆锥 接缝处忽略 ，则圆锥的底面半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，作 于点 ，
∵ 是斜边 长为 的等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴扇形的弧长 ，
设底面半径为 ，
则 ，
解得： ，
∴圆锥的底面半径为 ．
故选：A
10．如图，这是某拦河坝改造前后河床的横断面示意图， ，坝高 ，将原坡度
的迎水坡面 改为坡角为 的斜坡 ，此时，河坝面宽减少的长度 等于（ ）（结果精确
到 ，参考数据 ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：过点 作 于点 ，过 作 于点 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵坡度 ，∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴ （ ），
∴ （ ）．
故选：B
二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．在 中， ， ， ，则 的值是______；
【答案】 ##0.6
【详解】解： 在 中， ，
故答案为：
12．在 中， ，如果 ， ，那么 ___________．
【答案】 ##4.5##
【详解】如图：
∵ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
13．在 中，若 ， ，则 ______．【答案】
【详解】解：如图， ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
14．如图，在直角坐标系中，点A是函数 图象l上的动点，以A为圆心，1为半径作 ．已知点
，连接 ，线段 与x轴所成的角 为锐角，当 与两坐标轴同时相切时， 的
值为__________．
【答案】 或
【详解】解：当圆A在第二象限时，
∵点A是函数 图象l上的动点，以A为圆心，1为半径作 ,
∴当 时，设与x轴切于点D， ， ，
∴ ；当圆A在第四象限时， ，
设与x轴切于点E， ， ，
∴ ；
故答案为： 或 ．
15．如图．某同学为测量宣传牌的高度 ，他站在距离教学楼底部 处9米远的地面 处，测得宣传牌
的底部 的仰角为60°，同时测得教学楼窗户 处的仰角为30°（ 、 、 、 在同一直线上）．然后，
小明沿坡度 的斜坡从 走到 处，此时 正好与地面 平行．他在 处又测得宣传牌顶部 的仰
角为45°，则宣传牌 的高度___________（结果保留根号）．
【答案】 米
【详解】解：过点F作 于G，
依题意知 ， ， ，
∴四边形 是矩形， ∴ ， ，
在 中， （米），
∴ ，∵斜坡 的坡度为 ．
∴ 中， （米），
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
在 中， （米），
∴ （米）．
答：宣传牌的高度为 米．
故答案为： 米．
16．如图，在 中， ， ，半径为1的 在 内平移（
可以与该三角形的边相切），则点A到 上的点的距离的最大值为 _____．
【答案】
【详解】解：当 与 都相切时，则 为点A到 上的点的距离的最大值，
设 与 的切点分别为E、F，
则 ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共6题，满分52分）
17．（6分）计算： ．
【答案】
【详解】解：
18．（6分）活动小组的同学为了测量某棵大树与建筑物间的距离，在大树A处测得建筑物B位于北偏东
，他们向南走50 到达D点，测得建筑物B位于北偏东 ．求大树与建筑物之间的距离AB的长（参
B考数据： ，结果精确到1 ）．【答案】
【详解】如图，过点B作 ，垂足为C，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
答：大树与建筑物之间的距离AB的长约为137m．
19．（8分）如图， 是 的中线， 是锐角， ， ， ．(1)求 的长．
(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：过点 作 于点 ，
在 中，
，
，
，
，
， ，
在 中，
，
，
为等腰直角三角形，
，
；
（2）解： 为 边上的中线，
，
，
．
20．（8分）如图，一楼房 后有一假山 ， 的坡度为 ，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山山脚与楼房水平距离 米，与亭子距离 米，小丽从楼房房顶A处测得E的俯角为
．
(1)求点E到水平地面的距离．
(2)求楼房 的高（精确到 米．参考数据： ， ， ）．
【答案】(1)8米
(2) 米
【详解】（1）解：如图，过点E作 交 延长线于点F，
∵ 的坡度为 ，
∴ ，
∵ ， 米，
∴ ，
解得： 米，
即点E到水平地面的距离8米；
（2）解：过点E作 于点G，则 米，
由（1）得： 米，
∴ 米，
在 中， ，
∴ 米，
∴ 米，
即楼房 的高 米．
21．（10分）我校中学数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽 ．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为 ，无人机沿水平线A方向继续飞行60米至B处，测得正
前方河流右岸D处的俯角为 ，线段 的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线
上．其中 ， 米．
(1)求无人机的飞行高度 ；（结果保留根号）
(2)求河流的宽度 ．（结果精确到1米，参考数据： ， ）
【答案】(1) 米
(2)河流的宽度 约为642米
【详解】（1）由题意可知 ，
∴ ，即 ，
解得： 米．
（2）解：如图，过点B作 于点N．
由题意可知 米， 米， ，
∴ ，即 ，
解得： 米．
∴ 米，
∴ 米，
∴河流的宽度 约为642米．
22．（14分）如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高 为5cm，长度均为20cm的连杆 ，
与 始终在同一平面上．(1)转动连杆 ，使 成平角， ，如图2，求连杆端点D高桌面l的高度 ．
(2)将（1）中的连杆 再绕点C逆时针旋转，使 ，如图3，问此时连杆端点D离桌面l的高
度是增加还是减少？增加或减少了多少？
【答案】(1) ；
(2)减少高度 ．
【详解】（1）解：（1）如图2中，作 于O，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
答：连杆端点D离桌面l的高度 为 ；
（2）作 于F， 于P， 于G， 于H，则四边形 是矩形，∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴减少高度： ．
