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第四课时——二次函数的图像与系数、最值问题与存在性问题（答案卷）
二次函数图像与系数的关系
1．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②2c＜3b；③a+2b＞m
（am+b）（m≠1）；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．其中，正确结论的个数
是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据二次函数的图象可知 a＜0，b＞0，c＞0，然后由图象可知当 x＝1时，y的最大值为
a+b+c．当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0．若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，分别设为x ，x ，x ，x ，再由图
1 2 3 4
象对称性可知x +x ＝2，x +x ＝2．
1 2 3 4
【解答】解：①、由图象可知： ＝1＞0，a＜0，c＞0，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①不符合题意．
②、由①知：b＝﹣2a，
由图象可知：x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴a+2a+c＜0，
∴3a+c＜0，
∴2c﹣3b＝2c+6a＝2（3a+c）＜0，
即2c＜3b，故②符合题意．
③由图象可知：当x＝1时，y的最大值为a+b+c，
∴当x＝m（≠1）时，am2+bm+c＜a+b+c，
∴m（am+b）＜a+b，
∵a+b﹣a﹣2b＝﹣b＜0，
∴a+b＜a+2b，
∴a+2b＞m（am+b），故③符合题意．
④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，分别设为x ，x ，x ，x ，
1 2 3 4
其中x ，x 是方程ax2+bx+c＝1的两个根，x ，x 是方程ax2+bx+c＝﹣1的两个根，
1 2 3 4
则x +x ＝2，x +x ＝2，
1 2 3 4
即这四个根的和为4，故④不符合题意．
故选：B．
2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（6，0），与y轴相交于点C，小红同学得
出了以下结论：①b2﹣4ac＞0；②4a+b＝0；③当y＞0时，﹣2＜x＜6；④a+b+c＜0．其中正确的个
数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据二次函数的性质和图象中的数据，可以分别判断出各个结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
该抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故①正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（6，0），
∴该抛物线的对称轴是直线x＝ ＝2，∴﹣ ＝2，
∴b+4a＝0，故②正确；
由图象可得，当y＞0时，x＜﹣2或x＞6，故③错误；
当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故④正确；
故选：B．
3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其顶点为（ ，1），有下列结论：①ac＜0；
②函数最大值为1；③b2﹣4ac＜0；④2a+b＝0．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由抛物线开口方向，与y轴交点位置可判断①，由抛物线开口方向及顶点坐标可判断②，由
抛物线与x轴交点个数可判断③，由抛物线对称轴为直线x＝ 可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴ac＜0，①正确．
∵抛物线开口向下，顶点为（ ，1），
∴函数最大值为y＝1，②正确．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，③错误．∵﹣ ＝ ，
∴b＝﹣a，
∴a+b＝0，④错误．
故选：B．
4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，现有下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＜0；③a＜﹣
；④a+b＞n（an+b）（n≠1）；⑤2c＜3b．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】先由开口方向得到a的正负，由对称轴的位置得到b的正负，由图象与y轴的交点得到c的取
值范围，判断①；由图象可知当x＝2时，y＞0，判断②；由对称轴为直线x＝1得到a与b的关系，然
后由x＝﹣1时，y＜0结合c的取值范围求得a的取值范围，判断③；由x＝1时，函数取得最大值，判
断④；由x＝﹣1时，y＜0和a与b的关系得到2c与3b的关系，判断⑤．
【解答】解：由图可知，开口向下，对称轴为直线x＝1，图象与y轴的交点在y轴正半轴上，
∴a＜0，b＞0，1＜c＜2，且﹣ ＝1，
∴abc＜0，故①错误，不符合题意；
由图象可知，当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故②错误，不符合题意；
∵b＝﹣2a，﹣2＜﹣c＜﹣1，
由图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c＜0，即3a＜﹣c＜﹣1，
∴a＜﹣ ，故③正确，符合题意；由图象可知，当x＝1时，函数有最大值，
∴a+b+c＞an2+bn+c（n≠1），
∴a+b＞n（an+b）（n≠1），故④正确，符合题意；
∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴﹣2a+2b﹣2c＞0，
∵b＝﹣2a，
∴b+2b﹣2c＝3b﹣2c＞0，
∴2c＜3b，故⑤正确，符合题意；
∴正确的结论有3个，
故选：B．
5．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为x＝﹣1，有下列结论：①abc＞0；②a+b＜﹣c；
③4a﹣2b+c＞0；④3b+2c＜0；⑤a﹣b＜m（am+b）（其中m为任意实数），其中正确结论的个数
有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴以及与y轴的交点即可判断①；根据x＝1时，y＜0即可判断②；
根据当x＝﹣2时，y＞0，即可判断③；由2a＝b，结合当x＝1时，a+b+c＜0即可判断④；根据x＝﹣
1时，函数y＝a﹣b+c的值最大，即可判断⑤．
【解答】解：∵开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线和y轴的正半轴相交，
∴c＞0，∵对称轴为x＝﹣ ＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∴abc＞0，故①正确；
当x＝1时，y＜0，则a+b+c＜0，
∴a+b＜﹣c，故②正确；
由图象可知，当x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，故③正确；
∵当x＝1时，a+b+c＜0，b＝2a，
∴a＝ b，
∴ b+b+c＜0，
∴3b+2c＜0，故④正确；
∵当x＝﹣1时，二次函数有最大值，
所以当m为任意实数时，有a﹣b+c≥am2+bm+c，
所以a﹣b≥m（am+b），故⑤错误．
故选：C．
6．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③m为任意
实数，则a+b＞am2+b m；④3a+c＜0；⑤若ax 2+bx ＝ax 2+bx 且x ≠x ，则x +x ＝2．其中正确结论
1 1 2 2 1 2 1 2
的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据
对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，能得到：a＜0，c＞0，﹣
＞0，b＞0，∴abc＞0，错误；
②∵对称轴是直线x＝1，与x轴交点在（3，0）左边
∴二次函数与x轴的另一个交点在（﹣1，0）与（0，0）之间，
∴a﹣b+c＜0，∴②错误；
③∵对称轴是直线x＝1，图象开口向下，
∴x＝1时，函数最大值是a+b+c；
∴m为任意实数，则a+b+c≥am2+bm+c，∴③错误；
④∵﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a
由②得a﹣b+c＜0，
∴3a+c＜0，∴④正确；
⑤∵ax 2+bx ＝ax 2+bx ，
1 1 2 2
∴ax 2+bx ﹣ax 2﹣bx ＝0，
1 1 2 2
∴a（x +x ）（x ﹣x ）+b（x ﹣x ）＝0，
1 2 1 2 1 2
∴（x ﹣x ）[a（x +x ）+b]＝0，
1 2 1 2
∵x ≠x ，
1 2
∴a（x +x ）+b＝0，
1 2
∵x +x ＝﹣ ，b＝﹣2a，
1 2
∴x +x ＝2，∴⑤正确；
1 2故选：B．
7．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c给出下列结论：①abc＜0，②4a+2b+c＜0，③a+c＞b，④a+b≤t
（at+b）（t是任意一个实数），⑤当x＜﹣1时，y随x的增大而减少．其中结论正确的个数是
（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置，可判断①．由x＝0时y＜0及抛
物线对称轴为直线x＝1可判断②．由x＝﹣1时y＞0可判断③．由x＝1时y取最小值可判断④．由
图象开口方向及对称轴位置可判断⑤．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，①错误．
∵x＝0时y＜0，抛物线对称轴为直线x＝1，
∴x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，②正确．
∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∴a+c＞b，③正确．
∵x＝1时y取最小值，
∴a+b+c≤at2+bt+c，即a+b≤t（at+b），∴④正确．
由图象可得x＜1时y随x增大而减小，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而减少，⑤正确．
故选：C．
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1．下列结论：①ab＞0；②b﹣2a＞0；③4a+c＜
2b；④（a+c）2＜b2；⑤m（am+b）+b＜a（m≠﹣1）．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线开口方向和对称轴位置确定a，b符号及b＝2a可判断①②，由抛物线对称性可得x
＝﹣2时y＞0可判断③，由a+b+c及a﹣b+c的符号可判断④，由函数最大值为y＝a﹣b+c可判断⑤．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∴①正确，②错误．
∵x＝0时y＞0，抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∴x＝﹣2时y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，即4a+c＞2b，③错误，
∵a+b+c＜0，a﹣b+c＞0，
∴（a+b+c）（a﹣b+c）＝（a+c）2﹣b2＜0，
∴（a+c）2＜b2，④正确，∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∴y＝a﹣b+c为函数最大值，
∴am2+bm+c＜a﹣b+c（m≠﹣1），
∴m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），⑤正确，
故选：C．
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴一个交点在﹣1，﹣2之间，对称轴为直线x＝1，图象如图，
给出以下结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③2a﹣b＝0；④8a+c＜0；⑤ ．其中结
论正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据
对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断即可．
【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，①正确；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，②正确；∵﹣ ＝1，∴2a+b＝0，③错误；
∵x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，即8a+c＞0，④错误；
根据抛物线的对称性可知，当x＝3时，y＜0，
∴9a+3b+c＜0，
∴ ＜0，⑤正确．
综上所述，正确的结论是：①②⑤．
故选：C．
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①ac﹣b2＜0；②3b+2c＜0；③m
（am+b）+b≤a；④（a+c）2＜b2；其中正确结论的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】先由对称轴为直线x＝﹣1、与y轴的交点得到a与b、c的关系，然后进行判断①②③④．
【解答】解：由图可知，开口向下，与y轴的交点在y轴正半轴上，对称轴为直线x＝﹣1，
∴a＜0，b＜0，c＞0，﹣ ＝﹣1，a+b+c＜0，当x＝﹣1时，y最大值 ＝a﹣b+c＞0，
∴ac＜0，b2＞0，b＝2a，
∴ac﹣b2＜0，故①正确，符合题意；
3b+2c＝b+2b+2c＝2a+2b+2c＝2（a+b+c）＜0，故②正确，符合题意；（a+c）2﹣b2＝（c+3a）（c﹣a）＝（a+b+c）（c﹣a），
∵a+b+c＜0，c﹣a＞0，
∴（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（c﹣a）＜0，即（a+c）2＜b2，故④正确，符合题意；
∵y最大值 ＝a﹣b+c，
∴am2+bm+c≤a﹣b+c，
∴am2+bm≤a﹣b，
∴m（am+b）+b≤a，故③正确，符合题意；
∴正确的选项有①②③④．
故选：D．
二次函数的最值问题与存在性问题：
11．如图，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为M，连接
MA，MC，AC，过点C作y轴的垂线l．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）直线l上是否存在点N，使得S△MBN ＝2S△MAC ？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，若将原抛物线绕点C逆时针旋转45°，求新抛物线与y轴交点P坐标．【分析】（1）直接代入A（1，0），B（3，0）
两点坐标即可求解；
（2）如图所示，先求出△MAC的面积为1，然
后设出直线MN与x轴的交点坐标E，表示出
S△MBN ＝ |x
E
﹣x
B
|×（y
N
﹣y
M
）＝ |x
E
﹣3|×4＝2|
x
E
﹣3|，最后根据S△MBN ＝2S△MAC ，求出点N的
坐标；
（3）将CP绕点C顺时针旋转45°交原抛物线于点P′，即可得出直线CP′的表达式，从而求出P′的
坐标，进而算出CP′的长度，最后得出点P的坐标．
【解答】解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入抛物线y＝ax2+bx+3中，
则 ，
解得： ，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3；
（2）假设存在这样的点N，设直线MC与x轴交于点D，直线MN与x轴交于点E，如图：
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴M（2，﹣1）令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
设直线MC的解析式为y＝kx+m，
则 ，
解得： ，
∴直线MC的解析式为y＝﹣2x+3，
令y＝0，则﹣2x+3＝0，
解得x＝ ，
∴点D坐标为（ ，0），
∴S△MAC ＝ （x
D
﹣x
A
）（y
C
﹣y
M
）＝ × ×4＝1，
S△MBN ＝ |x
E
﹣x
B
|×（y
N
﹣y
M
）＝ |x
E
﹣3|×4＝2|x
E
﹣3|，
∵S△MBN ＝2S△MAC ，
∴2|x ﹣3|＝2，
E
解得：x ＝4或x ＝2，
E E
∴点E的坐标为（4，0）或（2，0），①当M为（2，﹣1），E为（2，0）时，直线MN的表达式为：
x＝2，
∴点N的坐标为（2，3），
②当M为（2，﹣1），E为（4，0）时，
设直线MN的表达式为y＝nx+g，
则 ，解得： ，
∴直线MN的表达式为y＝ x﹣2，
联立 ，得 ，
∴点N的坐标为（10，3），
∴点N的坐标为（2，3）或（10，3）；
（3）如图所示，将CP绕点C顺时针旋转45°交原抛物线于点P′，
∵CP′与x轴的夹角为45°，
∴CP′与直线y＝x平行，
则l
CP′
：y＝x+3，
联立 ，
解得 ，
∴P′（5，8），
∴CP′＝ ＝5 ，∴CP＝5 ，
∴点P坐标为（0，5 ）．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣2，0），且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2+bx+c
（a≠0）图象经过A，B，C三点．
（1）求A，C两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC
于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．
【分析】（1）根据B点坐标及OA＝OC＝4OB结合图象即可确
定A点，C点的坐标；
（2）由（1）可将抛物线的表达式写成两点式，然后代入C点坐标即可求出解析式；
（3）求出直线CA的解析式，过点P作y轴的平行线交AC于点H，求出∠PHD＝∠OCA＝45°，设点P
（a， a2﹣3a﹣8），则点H（a，a﹣8），写出PD的表达式根据二次函数的性质求最值即可．
【解答】解：（1）∵B的坐标为（﹣2，0），
∴OB＝2，
∴OA＝OC＝4OB＝8，
故点A、C的坐标分别为（8，0）、（0，﹣8）；
（2）由（1）知，抛物线的表达式可写为：y＝a（x+2）（x﹣8）＝a（x2﹣6x﹣16），
把C（0，﹣8）代入得：﹣16a＝﹣8，
解得：a＝ ，
故抛物线的表达式为：y＝ x2﹣3x﹣8；
（3）∵直线CA过点C，∴设其函数表达式为：y＝kx﹣8，
将点A坐标代入上式并解得：k＝1，
故直线CA的表达式为：y＝x﹣8，
过点P作y轴的平行线交AC于点H，
∵OA＝OC＝8，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∵PH∥y轴，
∴∠PHD＝∠OCA＝45°，
设点P（a， a2﹣3a﹣8），则点H（a，a﹣8），
∴PD＝HPsin∠PHD＝ （a﹣8﹣ a2+3a+8）＝ ＝﹣ （a﹣4）2+4 ，
∴当a＝4时，其最大值为4 ，此时点P（4，﹣12）．
13．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A（﹣1，0），C（4，0），
AC＝BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段AB上一动点（不与A，B重合），过点E作
x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求
点E的坐标及S△ABF ；（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的 P点，使△ABP成为直角三角形？若存在，
求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求得点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可得到关于b、c的方
程组，从而可求得b、c的值；
（2）设点E的坐标为（x，x+1），则点F的坐标为F（x，x2﹣2x﹣3），则可得到EF与x的函数关系
式，利用配方法可求得EF的最大值以及点E的坐标，最后根据EF的最大值可得△ABF的面积；
（3）存在，设P（1，m），分三种情况：分别以A，B，P为直角顶点，根据勾股定理和两点的距离公
式列方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），C（4，0），
∴AC＝5，OC＝4，
∵AC＝BC＝5，
∴B（4，5），
把A（﹣1，0）和B（4，5）代入二次函数y＝x2+bx+c中得：
，解得： ，
∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图1，∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴ ，解得： ，
∴直线AB的解析式为：y＝x+1，
∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），
∴EF＝（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣（t﹣ ）2+ ，
∴当t＝ 时，EF的最大值为 ，
∴点E的坐标为（ ， ），
∴S△ABF ＝ ＝ ＝ ．
（3）存在，
y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴设P（1，m），
分三种情况：
①以点B为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+AB2＝PA2，
∴（4﹣1）2+（m﹣5）2+（4+1）2+52＝（1+1）2+m2，
解得：m＝8，
∴P（1，8）；
②以点A为直角顶点时，由勾股定理得：PA2+AB2＝PB2，∴（1+1）2+m2+（4+1）2+52＝（4﹣1）2+（m﹣5）2，
解得：m＝﹣2，
∴P（1，﹣2）；
③以点P为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+PA2＝BA2，
∴（1+1）2+m2+（4﹣1）2+（m﹣5）2＝（4+1）2+52，
解得：m＝6或﹣1，
∴P（1，6）或（1，﹣1）；
综上，点P的坐标为（1，8）或（1，﹣2）或（1，6）或（1，﹣1）．
14．如图，抛物线y＝﹣ x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点
D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P
点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线
相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？
求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
【分析】（1）直接把A点和C点坐标代入y＝﹣ x2+mx+n得m、n
的方程组，然后解方程组求出m、n即可得到抛物线解析式；
（2）先利用抛物线对称轴方程求出抛物线的对称轴为直线 x＝﹣ ，则D（ ，0），则利用勾股定理
计算出CD＝ ，然后分类讨论：如图1，当CP＝CD时，利用等腰三角形的性质易得P （ ，4）；当
1
DP＝DC时，易得P （ ， ），P （ ，﹣ ）；
2 3
（3）先根据抛物线与x轴的交点问题求出B（4，0），再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝﹣ x+2，利用一次函数图象上点的坐标特征和二次函数图象上点的坐标特征，设 E（x，﹣ x+2）
（0≤x≤4），则F（x，﹣ x2+ x+2），则FE＝﹣ x2+2x，由于△BEF和△CEF共底边，高的和为
4，则S△BCF ＝S△BEF +S△CEF ＝ ×4×EF＝﹣x2+4x，加上S△BCD ＝ ，所以S四边形CDBF ＝S△BCF +S△BCD ＝﹣
x2+4x+ （0≤x≤4），然后根据二次函数的性质求四边形CDBF的面积最大，并得到此时E点坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，2）代入y＝﹣ x2+mx+n得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y＝﹣ x2+ x+2；
（2）存在．
抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝ ，
则D（ ，0），
∴CD＝ ＝ ＝ ，
如图1，当CP＝CD时，则P （ ，4）；
1
当DP＝DC时，则P （ ， ），P （ ，﹣ ），
2 3
综上所述，满足条件的P点坐标为（ ，4）或（ ， ）或（ ，﹣ ）；
（3）当y＝0时，﹣ x2+ x+2＝0，解得x ＝﹣1，x ＝4，则B（4，0），
1 2
设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（4，0），C（0，2）代入得 ，解得 ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣ x+2，
设E（x，﹣ x+2）（0≤x≤4），则F（x，﹣ x2+ x+2），
∴FE＝﹣ x2+ x+2﹣（﹣ x+2）＝﹣ x2+2x，
∵S△BCF ＝S△BEF +S△CEF ＝ ×4×EF＝2（﹣ x2+2x）＝﹣x2+4x，
而S△BCD ＝ ×2×（4﹣ ）＝ ，
∴S四边形CDBF ＝S△BCF +S△BCD
＝﹣x2+4x+ （0≤x≤4），
＝﹣（x﹣2）2+
当x＝2时，S四边形CDBF 有最大值，最大值为 ，此时E点坐标为（2，1）．
15．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为 A（﹣2，0），B
（5，0），点C在抛物线上，且直线AC与x轴形成的夹角为45°．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P为直线AC上方抛物线上的动点，求点P到直线AC距离的最大值；
（3）将满足（2）中到直线AC距离最大时的点P，向下平移4个单位长度得到点Q，将原抛物线向右
平移2个单位长度，得到抛物线y＝a x2+b x+c （a ≠0），M为平移后抛物线上的动点，N为平移后抛
1 1 1 1
物线对称轴上的动点，是否存在点M，使得以点C，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，
请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理
由．【分析】（1）待定系数法求函数表达式即可；
（2）点P到AC的距离PH转化为PD，求PD的最大值来转化；
（3）根据条件先求出Q，C的坐标，再根据QC为平行四边形的边和对角线进行分类讨论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣2，0），B（5，0），
∴y＝﹣（x+2）（x﹣5），
∴y＝﹣x2+3x+10，
（2）作PH⊥AC于H，PD∥y轴交AC于D点，交x轴于E，
∵∠CAB＝45°，
∴∠PDH＝45°，
∴PD＝ ，
设P（m，﹣m2+3m+10），
则E（m，0），
∴AE＝m+2，
∴DE＝m+2，
∴PD＝﹣m2+3m+10﹣（m+2）
＝﹣m2+2m+8，
当m＝1时，PD最大为9，
∴PH的最大值为 ，
即P到AC的最大距离为 ，
（3）由（2）知：P（1，12），
∴Q（1，8），
∵直线AC：y＝x+2与抛物线y＝﹣（x+2）（x﹣5）交点C坐标为（4，6），抛物线y＝﹣（x+2）（x﹣5）向右平移2个单位后解析式为：y＝﹣x（x﹣7）＝﹣x2+7x，
∴对称轴为：直线x＝ ，
当CQ为边时，如图，若C（4，6）平移到N，Q（1，8）平移到M，则M的横坐标为 ，
将x＝ 代入平移后解析式：y＝﹣x2+7x得，y＝ ，
∴ ，
当CQ为边时，若C（4，6）平移到M，Q（1，8）平移到N，则M的横坐标为 ，
将x＝ 代入平移后解析式：y＝﹣x2+7x得，y＝ ，
∴ ，
当CQ为对角线时，可看作C平移到N，M平移到Q，
∴M的横坐标为 ，
将x＝ 代入平移后解析式：y＝﹣x2+7x得，y＝ ，
∴ ，
综上所述： ．16．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+6的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点
C．
（1）请求出该二次函数的表达式；
（2）请求出图象的对称轴和顶点坐标；
（3）在二次函数图象的对称轴上是否存在点 P，使△APC的周长最小？
若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由于二次函数的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点两点，把A，B两点坐标
代入y＝ax2+bx+6，计算出a、b的值即可求出抛物线解析式；
（2）利用配方法将（1）中抛物线解析式转化为顶点式，据此直接得到答案；
（3）作点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接AC′，交抛物线对称轴于P点，连接CP，P点即
为所求．
【解答】解：（1）将A，B两点的坐标代入y＝ax2+bx+6，得
．
解得 ．
∴二次函数的表达式为y＝﹣ x2+2x+6．（2）∵y＝﹣ x2+2x+6＝﹣ （x﹣2）2+8，
∴二次函数图象的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，8）．
（3）存在，理由如下：
如图，作点C关于二次函数图象的对称轴的对称点 C′，连接AC′，交二次函数图象的对称轴于点
P，此时△APC的周长最小．
∵C（0，6），
∴C′（4，6）．
设直线AC′的表达式为y＝kx+n，则 ．
解得 ．
∴直线AC′的表达式为y＝x+2．
当x＝2时，y＝4，即P（2，4）．
17．如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，
3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从 点D与点M
同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运
动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．【分析】（1）代入A（1，0）和C（0，3），解方程组即可；
（2）求出点B的坐标，再根据勾股定理得到BC，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：
①CP＝CB；②BP＝BC；③PB＝PC；
（3）设AM＝t则DN＝2t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，S△MNB＝ ×（2﹣t）×2t＝﹣t2+2t，运用二次函
数的顶点坐标解决问题；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴
下方2个单位处．
【解答】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y＝x2+bx+c，
解得：b＝﹣4，c＝3，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，
解得：x＝1或x＝3，
∴B（3，0），
∴BC＝3 ，
点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，
①当CP＝CB时，PC＝3 ，∴OP＝OC+PC＝3+3 或OP＝PC﹣OC＝3 ﹣3
∴P （0，3+3 ），P （0，3﹣3 ）；
1 2
②当BP＝BC时，OP＝OC＝3，
∴P （0，﹣3）；
3③当PB＝PC时，
∵OC＝OB＝3
∴此时P与O重合，
∴P （0，0）；
4
综上所述，点P的坐标为：（0，3+3 ）或（0，3﹣3 ）或（0，﹣3）或（0，0）；
（3）如图2，设M运动时间为t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，则DN＝2t，
∴S△MNB＝ ×（2﹣t）×2t＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1，
即当M（2，0）、N（2，2）或（2，﹣2）时△MNB面积最大，最大面积是1．
18．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与y轴交于点C，与x轴交于点
A、B，点A在原点的左侧，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），且OB＝OC．
（1）写出C点的坐标；
（2）求这个二次函数的解析式；
（3）若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线
上的一动点，当点P运动到什么位置时，△AGP的面积最大？求此时点
P的坐标和△AGP的最大面积．
【分析】（1）根据OB＝OC，可得C点坐标；
（2）根据待定系数法，可得函数解析式；
（3）根据自变量与函数值的对应关系，可得 G点坐标，根据点在函数图象上，可得 P（x，x2﹣2x﹣3），根据待定系数法，可得直线AG的解析式，根据PQ平行于y轴，可得Q点的横坐标，根据自变量
与函数值的对应关系，可得Q点的纵坐标，根据线段的和差，可得PQ的长，根据面积的和差，可得用
x表示出三角形的面积，根据二次函数的最值，可得答案．
【解答】解：（1）由点B的坐标为（3，0），且OB＝OC，得C（0，﹣3）；
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象过A、B、C点，得
，解得 ，
这个二次函数的解析式y＝x2﹣2x﹣3；
（3）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，
当x＝2时，y＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，G（2，﹣3），
直线AG为y＝﹣x﹣1．
设P（x，x2﹣2x﹣3），则Q（x，﹣x﹣1），
PQ＝﹣x2+x+2．S△APG ＝S△APQ +S△GPQ ＝ （﹣x2+x+2）×3
当x＝ 时，△APG的面积最大，
此时P点的坐标为（ ，﹣ ），S△APG最大 ＝ × ×3＝ ．
19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，其顶点为D，
连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如图1，过点P作PE⊥y轴于点E．求△PAE面积S的最大值；
（3）如图2，抛物线上是否存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形？若存在求出Q点坐标，若
不存在请说明理由．
【分析】（1）根据抛物线y＝ax2+bx+3经过
A（﹣3，0）、B（1，0）两点，可以求得该抛物线的解析式，然后将函数解析式化为顶点式，从而可以得到该抛物线的顶点坐标，即点 D的坐
标；
（2）根据题意和点A和点D的坐标可以得到直线AD的函数解析式，从而可以设出点P的坐标，然后
根据图形可以得到△APE的面积，然后根据二次函数的性质即可得到△PAE面积S的最大值；
（3）根据题意可知存在点Q使得四边形OAPQ为平行四边形，然后根据函数解析式和平行四边形的性
质可以求得点Q的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，
∴ ，得 ，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），
即该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，顶点D的坐标为（﹣1，4）；
（2）设直线AD的函数解析式为y＝kx+m，
，得 ，
∴直线AD的函数解析式为y＝2x+6，
∵点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），
∴设点P的坐标为（p，2p+6），
∴S△PAE ＝ ＝﹣（p+ ）2+ ，
∵﹣3＜p＜﹣1，
∴当p＝﹣ 时，S△PAE 取得最大值，此时S△PAE ＝ ，
即△PAE面积S的最大值是 ；
（3）抛物线上存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形，
∵四边形OAPQ为平行四边形，点Q在抛物线上，∴OA＝PQ，
∵点A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∴PQ＝3，
∵直线AD为y＝2x+6，点P在线段AD上，点Q在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上，
∴设点P的坐标为（p，2p+6），点Q（q，﹣q2﹣2q+3），
∴ ，
解得， 或 （舍去），
当q＝﹣2+ 时，﹣q2﹣2q+3＝2 ﹣4，
即点Q的坐标为（﹣2+ ，2 ﹣4）．
20．如图，抛物线y＝﹣ x2+bx+c经过点A（4，0）、B（1，0）两点，点C为抛物线与y轴的交点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点D是直线AC上方的抛物线上一点，求△DCA面积的最大值，以及△DCA面积取得最大值时，
点D的坐标；
（3）点P是直线AC上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、C为
顶点，BC为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）抛物线 y＝﹣ x2+bx+c 经过点 A（4，0）、B（1，0）两点，得 ，即可求解；
（2）过点D作DE∥x轴交x轴于点F，交直线AC于点E，设点D坐标为（m，﹣ m2+ m﹣2），求
直线AC的关系式为：y＝ x﹣2，利用平行的性质点E的坐标可表示为（m， m﹣2），用m的代数式
表示出DE＝﹣ m2+ m﹣2﹣（ m﹣2）＝﹣ m2+2m，△DCA面积＝ ×4（﹣ m2+2m），利用函数
来讨论最值问题，即可求解；
（3）存在点P、Q，使得以点P、Q、B、C为顶点，BC为一边的四边形是平行四边形，设点Q的坐标
为（m，﹣ m2+ m﹣2），①如图，点Q在x轴上方，利用平行知识表示出P点坐标为（m﹣1，﹣
m2+ m﹣4），把点P坐标代入直线y＝ x﹣2，得， （m﹣1）﹣2＝﹣ m2+ m﹣4，解得m＝1或3
（1舍去），即可求解；②如图，点Q在x轴下方，利用平行知识表示出P点坐标为（m+1，﹣ m2+
m），把点P坐标代入直线y＝ x﹣2，得， （m+1）﹣2＝﹣ m2+ m，解得m＝2± ，即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣ x2+bx+c经过点A（4，0）、B（1，0）两点，
∴ ，
解得： ，
∴此抛物线的解析式：y＝﹣ x2+ x﹣2；
（2）过点D作DE∥x轴交x轴于点F，交直线AC于点E，
设点D坐标为（m，﹣ m2+ m﹣2），
设直线AC关系式为：y＝px+q，
把A（4，0）和C（0，﹣2）代入，得 ，
∴ ，
直线AC的关系式为：y＝ x﹣2，
∴点E的坐标可表示为（m， m﹣2），
∴DE＝﹣ m2+ m﹣2﹣（ m﹣2）＝﹣ m2+2m，
∴△DCA面积S＝S△ADE +S△CDE
＝ DE•AF+ DE•OF
＝ ED•AO
＝ ×4（﹣ m2+2m）
＝﹣m2+4m
＝﹣（m﹣2）2+4，
当m＝2时，△DCA的面积最大，最大面积为4，
此时点D坐标为（2，1）；
（3）存在点P、Q，使得以点P、Q、B、C为顶点，BC为一边的四边形是平行四边形，
设点Q的坐标为（m，﹣ m2+ m﹣2），
①如图，点Q在x轴上方，
∵BC∥PQ，
从B，C坐标可得B点向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到
点C，∴点Q向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到点P，
∴P点坐标为（m﹣1，﹣ m2+ m﹣4），
把点P坐标代入直线y＝ x﹣2，
得， （m﹣1）﹣2＝﹣ m2+ m﹣4，
∴m＝1或3（1舍去），
此时点Q坐标为（3，1），点P坐标为（2，﹣1）；
②如图，点Q在x轴下方，
∵BC∥PQ，
从B，C坐标可得C点向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点C，
∴点Q向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点P，
∴P点坐标为（m+1，﹣ m2+ m），
把点P坐标代入直线y＝ x﹣2，
得， （m+1）﹣2＝﹣ m2+ m，
∴m＝2± ，
此时点Q坐标为（2+ ， ），点P坐标为（3+ ， ）
或点Q坐标为（2﹣ ， ），点P坐标为（3﹣ ， ）．
∴点Q坐标为（3，1），点P坐标为（2，﹣1）或点Q坐标为（2+ ， ），点P坐标为（3+
， ）或点Q坐标为（2﹣ ， ），点P坐标为（3﹣ ， ）．
